Unidad didáctica 2: Interpolación 1. Diferencias divididas. Diferencias finitas.
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- Alberto Ortiz de Zárate Acosta
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1 Udad ddáctca : Iterolacó. Derecas dvddas. Derecas tas. Israel añaó Valera Dto. de Mateátca Alcada y Métodos Iorátcos E.T.S.I. Mas
2 ÍNDIE. Plateaeto del roblea.. Derecas dvddas. Fórula de Newto. Tablas. 3. Derecas tas. Tablas. 4. Eerccos. Talleres - y -.
3 . PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA Obetvo: Hallar el oloo terolador de la ucó () sobre el soorte { }. ( ) P ( ) ( ). Podeos resolver el sstea de ecuacoes (o recoedado).. Podeos deterar los oloos de base de Lagrage. Problea: ua vez calculado el oloo terolador ara el soorte { } () s añados u uto al soorte tedreos que reetr todos los cálculos ara obteer el uevo oloo (). Estratega: trateos de arovechar el oloo () ara obteer el uevo oloo (). 3
4 . DIFERENIAS DIVIDIDAS q Sea el soorte { - } su oloo terolador será: ( ) ( ) ( ) o u uto ás { - } el oloo será ahora: ( reaos el oloo q () () - () P que cule: q ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) evaluaos e ( ) ( ) ( ) ( ) so las raíces de q () ( ) 4
5 . DIFERENIAS DIVIDIDAS Decó: a la costate eresó: ( ) ( ) dada or la se le deoa dereca dvdda de la ucó () el soorte { - } y se rereseta coo [ - ]. Proedad : el orde de los utos del soorte o altera el valor de la dereca dvdda e ellos: EP: deostrarlo. [ ] [ ] 5
6 . DIFERENIAS DIVIDIDAS Proedad : se verca la sguete relacó etre las derecas dvddas: [ ] [ ] DEMOSTRAIÓN: Soorte: Poloo: { } { } { } ( ) ( ) ( ) { } { } ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 6 { } ( ) ( ) ( )
7 7. DIFERENIAS DIVIDIDAS Por teer solucó úca uestro roblea sabeos que: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) luego odeos gualar los coecetes de los téros de grado : (deostracó de roedad ) y tabé los coecetes de los téros de grado -: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) c.q.d.
8 8. FÓRMULA DE NEWTON. TABLAS TABLA DE FRASSER-LOGENZE Decó: a la eresó: se le deoa Fórula de Newto. ( ) ( )
9 . DIFERENIAS DIVIDIDAS. EJEMPLO Eelo -. a) Hallar el oloo terolador de la ucó () se() e el tervalo [ π/] toado coo soorte de terolacó { π/4 π/}. { } Teeos que calcular las derecas dvddas: [ ] ; [ ] ; [ ] Lo haceos edate la Tabla de Frasser-Logeze: y el oloo terolador será: π 4 π π π ( ) π [ ] 8 π ( ) ( ) ( ) ( )( 4) π [ 8 ] y ( ) π [ ] [ ] [ ] [ ] y()-() ucó..5 ol. terolador
10 . DIFERENIAS DIVIDIDAS. EJEMPLO Eelo - (cot.). b) Se desea eorar la terolacó ateror añadedo al soorte los utos π/6 y π/3. alcular el uevo oloo terolador. { π/4 π/ π/6 π/3} Lo haceos arovechado la Tabla de Frasser-Logeze ateror: 8( ) π π.785 π 4.77 (.373 ) y()-().3.57 π.477 π π 6.47 π y el oloo terolador será:.5.5 ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )( )( ) 4. π 4 π.9 π 4 π π ( π 4).( π 4)( π ).9( π 4)( π )( π 6)
11 3. DIFERENIAS FINITAS Sea el soorte equdstate de utos e [a b] dedo or: ( ) a b h h a co ) ( Decó: se deoa dereca ta rogresva de orde de () e a: co ) ( ) ( TABLA DE DIFERENIAS FINITAS PROGRESIVAS
12 3. DIFERENIAS FINITAS Decó: se deoa dereca ta regresva de orde de () e a: co ) ( ) ( TABLA DE DIFERENIAS FINITAS REGRESIVAS
13 3. DIFERENIAS FINITAS. PROPIEDADES Proedad : se verca la sguete relacó etre las derecas tas rogresvas y las regresvas: ( ) ( ) ( )... (... ) Proedad : se verca la sguete relacó etre las derecas tas rogresvas y las derecas dvddas: [ ]! h y aálogaete se verca la sguete relacó etre las derecas tas regresvas y las derecas dvddas: [ ]! h EP: deostracó (sugereca: or duccó). 3
14 4. EJERIIOS. TALLERES - Y - Taller -. a) alcular el oloo terolador de la ucó ( ) 5 e el tervalo [- ] co u soorte equdstate de 5 utos edate el rocedeto de Newto. b) Hallar la eresó del error y ua cota válda del so. Evaluar el error roducdo e.5. Taller -. a) Deducr la eresó dada or la roedad que relacoa las derecas tas rogresvas y regresvas de la sguete ora: ( ) ( ) ( )... (... ) 4
15 4. EJERIIOS. TALLERES - Y - Taller -. a) alcular el oloo terolador de la ucó ( ) e el tervalo [- ] co u soorte equdstate de 5 utos edate el rocedeto de Newto. Por la tabla de Frasser-Logeze teeos: Y or la órula de Newto: ( ) ( ) 4 ( ) 5 ( )( ) 5 ( )( ) 3 3 y ()-() ucó ol. terolador 5
16 4. EJERIIOS. TALLERES - Y - Taller -. b) Hallar la eresó del error y ua cota válda del so. Evaluar el error roducdo e.5. Alcaos la eresó del error a uestro caso artcular: ε ( ) ota áa de (5 (c): (5 4 ( c) ( ) c [ ] () 5! (5 ( ) ota áa del roductoro: π ( ) ( )( ) ( )( ) ±.644 π ( ±.644) 3.63 π '( ) ±.544 π ( ±.544) ± y susttuyedo e la eresó del error: ε Por otro lado el error coetdo e.5 es: (.5) (.5) (. 5) 4 (5 a( ) 5 3 ε.5 ( ) 3. 8 ( ) ( ) E π (.64) a < Ea 6
17 4. EJERIIOS. TALLERES - Y - Taller -. a) Deducr la eresó dada or la roedad que relacoa las derecas tas rogresvas y regresvas de la sguete ora: ( ) ( ) ( )... (... ) Hareos la deostracó or duccó: Para se cule: y ara : ( ) ( ) ( ) ( ) S suoeos que esta relacó se verca ara -: ( ) ( ) deostraos que tabé se cule ara : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) c.q.d. 7
18 RESUMEN QUÉ HEMOS VISTO?. óo calcular el oloo terolador de Lagrage edate derecas dvddas. óo calcularlas edate la Tabla de Frasser-Logeze. Derecas tas rogresvas y regresvas ara u soorte equdstate. QUÉ VEREMOS?. Relacó etre las derecas dvddas y las tas. Fórula de Newto-Gregory rogresva y órula del error ara u soorte equdstate. Soorte de Tchebyche. 8
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