EJERCICIOS TEMA 8. INFERENCIA ESTADISTICA

Transcripción

1 º BACHILLERATO. CIENCIAS SOCIALES 1. Ua variable aleatoria tiee ua distribució ormal de media m y desviació típica s. Si se extrae muestras aleatorias de tamaño : a) Qué distribució tiee la variable aleatoria media muestral?. b) Si se toma muestras de tamaño 4 de ua variable aleatoria co distribució N (16,1), calcular ( > 173,7). ( s) N, tamaño N s a) es N,,ojo ha cambiado b) Tamaño 4; N 4 es ( 16,1 ) N, Calcular ( > 173,7) 1 4 es N 16, N( 16,6) 173,7 16 ( > 173,7) Tipificar > ( > 1,4) 6. Se supoe que los igresos diarios e ua empresa sigue ua distribució ormal co media 400 euros y desviació 0 euros. a) Cómo se distribuye la media muestral, para muestras aleatorias de tamaño?. b) Se dispoe de ua muestra de observacioes. Calcular la probabilidad de que el promedio de igresos esté etre 30 y 40 euros. es N ( 400,0), Calcular: a) es 0 N 400, b) ( 30 > > 40) Tipificar > > ( 1 > > 1)

2 º BACHILLERATO. CIENCIAS SOCIALES 3. La edad a la que cotrae matrimoio los hombres de la isla de Barataria es ua variable aleatoria que se aproxima por ua distribució ormal de media 3 años y desviació típica de años. Se elige ua muestra de100 hombres de dicha isla. Sea la media muestral de la edad de casamieto. a) Cuáles so la media y variaza de?. b) Cuál es la probabilidad de que la edad media de casamieto de la muestra esté compredida etre 36 y 37 años? es ( 3,) a) N siedo: N 100 var iaza media 3 ( desviació) ( 0.) b) ( 36 > > 37) Tipificar > > ( > > 4) El peso e kg de lo estudiates uiversitarios de ua ciudad se aproxima por ua distribució ormal co media 60 kg y desviació típica 8 kg. Se toma 100 muestras de 64 estudiates cada ua. Se pide: a) La media y desviació típica de la distribució de la media muestral. b) E cuátas de las 100 muestras cabe esperar ua media etre 9 y 61 kg? a) es N 60, N( 60,1 ) ( 9 > > 60) Tipificar ( 1 > > 1) b) > > 68.6% 68. muestras ( 1 1) ( 1) ( 1 ( 1 )

3 º BACHILLERATO. CIENCIAS SOCIALES. E cierta població humaa la media muestral de ua característica sigue ua distribució ormal. La probabilidad de que la media muestral sea meor o igual 7 es 0,8 y la de que la media sea mayor que 80 es 0,04. Hallar la media y la desviació típica de la media muestral. - N ( µ,σ ) - ( 7 ) 0, 8 - ( 80 ) 0, 04 7 µ µ σ σ SOLUCION: ( 7) 0, µ > µ σ σ - ( 80) 0,04 ( 80) 1 0,04 0,96 0, ,7 7 µ 0, σ µ 7 0. σ , σ 1,7 σ + 0, σ 1,7 σ σ 3, 80 µ 1,7 σ 1,7 0,0 µ 7 0, σ 7 0, 3, 74,3 ( ) 6. El tiempo de espera e miutos e ua vetailla se supoe aproximado mediate ua distribució ormal co desviació típica igual a 3 miutos. Se lleva a cabo u muestreo aleatorio de 10 idividuos y se obtiee que la media muestral del tiempo de espera es de miutos. Determiar u itervalo de cofiaza al 9% para la media poblacioal Tiempo es N ( µ, σ ) N( µ,3) mi, 10 y 9% de cofiaza. Itervalode.. Cofiaza I. C ± Z Cogemos la gráfica de la distribució de probabilidad ormal estadar, N(0,1) y hallamos el Z

4 º BACHILLERATO. CIENCIAS SOCIALES Sustituimos e la fórmula del Itervalo de Cofiaza: 3 C ± Z ± 1,96 ± 1,86 10 ( ) ( 1,86; + 1,86 ) ( 3,14;6,86 ) 7. El tiempo e miutos dedicado cada día a escuchar música por los estudiates de secudaria de ua cierta ciudad se supoe que es ua variable aleatoria co distribució ormal de desviació típica igual a 1 miutos. Se toma ua muestra aleatoria simple de 10 estudiates y se obtiee los siguietes tiempos (e miutos): 91, 68, 39, 8,, 70, 7, 6, 4 y 67. a) Determiar u itervalo de cofiaza al 90% para el tiempo medio diario dedicado a escuchar música por u estudiate. b) Calcular el tamaño muestral míimo ecesario para coseguir ua estimació de la media del tiempo diario dedicado a escuchar música co u error meor que miutos, co u ivel de cofiaza del 9%. a) Determiar u itervalo de cofiaza al 90% para el tiempo medio diario dedicado a escuchar música por u estudiate Tiempo es N ( µ, σ ) N( µ,1) mi 66 mi, 10 y 90% de cofiaza. 10 Itervalode. Cofiaza I. C ± Z. Cogemos la gráfica de la distribució de probabilidad ormal estadar, N(0,1) y hallamos el Z. ( 1,64) El valor 0,97 está etre los valores ( 1,6) 0,949 0,90 0,970 Z 1,64+,16 1,64-4 -

5 º BACHILLERATO. CIENCIAS SOCIALES Sustituimos e la fórmula del Itervalo de Cofiaza: C ± Z 1 66 ± 1,64 10 ( 66 ± 7,8) ( 66 7,8;66 + 7,8) ( 8,;73,8 ) b) Calcular el tamaño muestral míimo ecesario para coseguir ua estimació de la media del tiempo diario dedicado a escuchar música co u error meor que miutos, co u ivel de cofiaza del 9%. Z al 9%, Z 1, 96, Error, Sustituimos e la fórmula que relacioa el Itervalo de Cofiaza y el Error: Z 1,96 1 > > máximo (,88) 34, Se supoe que la calificació e Matemáticas obteida por los alumos de ua cierta clase es ua variable aleatoria ormal de desviació típica 1, putos. Se elige ua muestra aleatoria simple de tamaño 10 y se obtiee que la suma de sus calificacioes es igual a 9, putos. a) Determiar u itervalo de cofiaza al 9% para la calificació media de la clase. b) Qué tamaño ha de teer la muestra para que el error máximo de la estimació sea de 0, putos, co ivel del 9%?. a) Determiar u itervalo de cofiaza al 9% para la calificació media de la clase. ( µ, σ ) N( µ;1, ) N 9, mi 9, mi, 10 y 9% de cofiaza. 10 Itervalode. Cofiaza I. C ± Z. Cogemos la gráfica de la distribució de probabilidad ormal estadar, N(0,1) y hallamos el Z. Sustituimos e la fórmula del Itervalo de Cofiaza: C ± Z 1,,9 ± 1,96 10 (,9 ± 0,9) (,9 0,9;,9 + 0,9) (,0;6,87 ) b) Qué tamaño ha de teer la muestra para que el error máximo de la estimació sea de 0, putos, co ivel del 9%?. Z al 9%, Z 1, 96, Error, - -

6 º BACHILLERATO. CIENCIAS SOCIALES Sustituimos e la fórmula que relacioa el Itervalo de Cofiaza y el Error: Z 1,96 1, > > máximo 0, (,88) 34, Se supoe que la estacia, e días, de u paciete e u hospital se puede aproximar por ua variable aleatoria co distribució ormal de desviació típica igual a 9 días. De ua muestra aleatoria formada por 0 pacietes se ha obteido ua media muestral igual a 8 días. a) Determia u itervalo de cofiaza del 9% para la estacia media de u paciete. b) Cuál debe ser el tamaño muestral míimo que ha de observarse para que dicho itervalo de cofiaza tega ua logitud total iferior o igual a 4 días?. a) Determia u itervalo de cofiaza del 9% para la estacia media de u paciete ( µ, σ ) N( 8;1, ) N 8.dias, 10 y 9% de cofiaza. Itervalode. Cofiaza I. C ± Z. Cogemos la gráfica de la distribució de probabilidad ormal estadar, N(0,1) y hallamos el Z. Sustituimos e la fórmula del Itervalo de Cofiaza: C ± Z 8 ± 1, ( 8 ± 3,94) ( 8 3,94;,9 + 3,94) ( 4,06;11,94 ) b) Cuál debe ser el tamaño muestral míimo que ha de observarse para que dicho itervalo de cofiaza tega ua logitud total iferior o igual a 4 días?. Aplicamos la fórmula del Error y la Amplitud. Amplitud 4 Amplitud Error Error Sustituimos e la fórmula que relacioa el Itervalo de Cofiaza y el Error: Z 1,96 9 > > máximo ( 8,8) 77, La duració de la vida de ua determiada especie de tortuga se supoe que es ua variable aleatoria co distribució ormal de desviació típica igual a 10 años. Se toma ua muestra aleatoria simple de 10 tortugas y se obtiee las siguietes duracioes e años: 46, 38, 9, 9, 34, 3, 38, 1, 44 y 34. a) Determiar u itervalo de - 6 -

7 º BACHILLERATO. CIENCIAS SOCIALES cofiaza al 9% para la vida media de dichas tortugas. b) Cuál debe ser el tamaño de la muestra observada para que el error de estimació de la vida media o sea superior a años, co u ivel de cofiaza del 90%? a) Determiar u itervalo de cofiaza al 9% para la vida media de dichas tortugas ( µ, σ ) N( 8;1, ) N años 37, años, 10 y 9% de cofiaza. 10 Itervalode. Cofiaza I. C ± Z. Cogemos la gráfica de la distribució de probabilidad ormal estadar, N(0,1) y hallamos el Z. Sustituimos e la fórmula del Itervalo de Cofiaza: C ± Z 10 37, ± 1,96 10 ( 37, ± 6,0) ( 37,0 6,0;37,0 + 6,0) ( 31,30;43,70 ) b) Cuál debe ser el tamaño de la muestra observada para que el error de estimació de la vida media o sea superior a años, co u ivel de cofiaza del 90%? ( 1,64) El valor 0,97 está etre los valores ( 1,6) 0,949 0,90 0,970 Z 1,64+,16 1,64 Sustituimos e la fórmula que relacioa el Itervalo de Cofiaza y el Error: Z 1,64 10 > > máximo ( 3,9) 10, La recaudació diaria de los comercios de u barrio determiado es ua variable aleatoria que se aproxima a ua distribució ormal de desviació típica 38 euros. Se ha extraído ua muestra de 100 comercios de dicho barrio, obteiédose que la recaudació diaria media es de 148 euros. Calcular: a) El itervalo de cofiaza para la - 7 -

8 º BACHILLERATO. CIENCIAS SOCIALES recaudació diaria media co u ivel del 99%. b) El tamaño muestral míimo ecesario para coseguir, co u ivel de cofiaza del 9%, u error e la estimació de la recaudació diaria media meor de 17 euros. σ 38, 148, 10 y 99% de cofiaza a) El itervalo de cofiaza para la recaudació diaria media co u ivel del 99%. N ( µ, σ ) N( 8;1, ) años 37, años, 10 y 9% de cofiaza. 10 Itervalode. Cofiaza I. C ± Z. Cogemos la gráfica de la distribució de probabilidad ormal estadar, N(0,1) y hallamos el Z. (,7) El valor 0,99 está etre los valores (,8) Sustituimos e la fórmula del Itervalo de Cofiaza: C ± Z ( 1163,70;133,46 ) σ ±, ,9949 0,990 0,991 Z,7+,,8,7 ( 148 ± 84,30) ( ,30; ,30) b)el tamaño muestral míimo ecesario para coseguir, co u ivel de cofiaza del 9%, u error e la estimació de la recaudació diaria media meor de 17 euros

9 º BACHILLERATO. CIENCIAS SOCIALES Sustituimos e la fórmula que relacioa el Itervalo de Cofiaza y el Error: Z 1,9 38 > > máximo 17 (,06), Se supoe que la catidad de agua e litros recogida cada día e ua estació meteorológica se puede aproximar por ua variable aleatoria co distribució ormal de desviació típica igual a litros. Se elige ua muestra aleatoria simple y se obtiee las siguietes catidades de agua recogidas cada día (e litros): 9,1-4,9-7,3 -,8 -, - 6,0-3,7-8,6-4, - 7,6. a) Determíese u itervalo de cofiaza para la catidad media de agua recogida cada día e dicha estació, co u grado de cofiaza del 9%. b) Calcúlese el tamaño muestral míimo ecesario para que al estimar la media del agua recogida cada día e la estació meteorológica mediate la media de dicha muestra, la diferecia e valor absoluto etre ambos valores sea iferior a 1 litro, co u grado de cofiaza del 98%. σ.litros, 10 y 9% de cofiaza a) Determíese u itervalo de cofiaza para la catidad media de agua recogida cada día e dicha estació, co u grado de cofiaza del 9%. ( µ, σ ) N( 6;) N 9,1 + 4,9 + 7,3 +,8 +, + 6,0 + 3,7 + 8,6 + 4, + 7,6 litros 37, litros y 9% de cofiaza. 10 Itervalode. Cofiaza I. C ± Z. Cogemos la gráfica de la distribució de probabilidad ormal estadar, N(0,1) y hallamos el Z. Sustituimos e la fórmula del Itervalo de Cofiaza: C ± Z 6 ± 1,96 10 ( 6 ± 1,4) ( 6 1,4;6 + 1,4) ( 4,76;7,4 ) b) Calcúlese el tamaño muestral míimo ecesario para que al estimar la media del agua recogida cada día e la estació meteorológica mediate la media de dicha muestra, la diferecia e valor absoluto etre ambos valores sea iferior a 1 litro, co u grado de cofiaza del 98%

10 º BACHILLERATO. CIENCIAS SOCIALES (,3) El valor 0,99 está etre los valores (,33) 0,9898 0,9901 0,99 Z,3+,,33,3 Sustituimos e la fórmula que relacioa el Itervalo de Cofiaza y el Error: Z,3 > > máximo 1 ( 4,6) 1,6 13. E ua ecuesta se preguta a persoas cuátos libros lee al año, obteiédose ua media de libros. Se sabe que la població tiee ua distribució ormal co desviació típica. a) Hallar u itervalo de cofiaza al 80% para la media poblacioal. b) ara garatizar u error de estimació de la media o superior 0, co u ivel de cofiaza del 9%, a cuátas persoas como míimo sería ecesario ecuestar?. σ litros, µ litros y 80% de cofiaza a) Hallar u itervalo de cofiaza al 80% para la media poblacioal Itervalode. Cofiaza I. C ± Z C ± Z. ± 1, *) 80% de. cofiaza Z 1, 8. ( ± 0.03) ( 0,03; + 0,03) ( 4,97;,03 ) b) b) ara garatizar u error de estimació de la media o superior 0, co u ivel de cofiaza del 9%, a cuátas persoas como míimo sería ecesario ecuestar?. *) 9% de. cofiaza Z 1, 96 Z 1,96 > > máximo 0, ( 1,68) 4, El precio de uos electrodomésticos sigue ua variable aleatoria co distribució ormal de desviació típica 100 euros. Los precios e euros de ua muestra de 9 electrodomésticos so:, 8, 10, 90, 80, 80, 7, 90, 13. a) Hallar u itervalo de cofiaza al 98% para la media poblacioal. b) Hallar el tamaño míimo que debe teer la muestra, para que co u ivel de cofiaza del 99%, el error de estimació del precio medio o supere los 0 euros

11 º BACHILLERATO. CIENCIAS SOCIALES σ 100, µ litros y 80% de cofiaza a) Hallar u itervalo de cofiaza al 98% para la media poblacioal , ,9 y 98% de cofiaza. 9 Itervalode. Cofiaza I. C ± Z C ± Z ,9 ±,3 9 *) 98% de. cofiaza Z, 3. ( 178,9 ± 77,0) ( 178,9 77,0;178,9 + 77,0) ( 101,;6,6 ) b) Hallar el tamaño míimo que debe teer la muestra, para que co u ivel de cofiaza del 99%, el error de estimació del precio medio o supere los 0 euros. *) 99% de. cofiaza Z, 7 Z,7 100 > > máximo 0 (,1 ) 6, Se ha extraído ua muestra de 10 familias de u barrio, obteiédose ua reta familiar media de euros. Se supoe que la reta sigue ua distribució ormal de desviació 1.00 euros. a) Hallar u itervalo de cofiaza para la reta familiar media co u ivel de cofiaza del 9%. b) Qué tamaño míimo es ecesario para coseguir, co u ivel de cofiaza del 90%, u error e la estimació de la reta familiar media o superior a ± 14 euros? σ 100, µ y 9% de cofiaza a) Hallar u itervalo de cofiaza para la reta familiar media co u ivel de cofiaza del 9%. Itervalode. Cofiaza I. C ± Z C ± Z. ( 1979,9;040,0 ) ± 1,96 10 *) 9% de. cofiaza Z 1, 96. ( 0000± 40,0) ( ,0; ,0 ) b) Qué tamaño míimo es ecesario para coseguir, co u ivel de cofiaza del 90%, u error e la estimació de la reta familiar media o superior a ± 14 euros? *) 90% de. cofiaza Z 1, 64 Z 1, > > máximo 14 ( 17,38) 301, El peso de los perros adultos de ua cierta raza es ua variable aleatoria que se distribuye ormalmete co desviació típica 0 6 kg. Ua muestra aleatoria de 30 aimales ha dado u peso medio de 7 4 kg. a) Calcular u itervalo de cofiaza al 99% para el peso medio de los perros adultos de esta raza. b) Qué tamaño míimo debe teer la muestra para teer ua cofiaza del 9% de que la media muestral o se diferecie e más de 0 3 kg. de la media de la població?

12 º BACHILLERATO. CIENCIAS SOCIALES σ 0,6Kg, µ 7,4Kg 30 y 99% de cofiaza a) ) Calcular u itervalo de cofiaza al 99% para el peso medio de los perros adultos de esta raza. Itervalode. Cofiaza I. C ± Z C ± Z. 0,6 7,4 ±,7 30 *) 99% de. cofiaza Z, 7. ( 7,4 ± 0,8) ( 7,4 0,8;7,4 + 0,8) ( 7,1;7,68 ) b) Qué tamaño míimo debe teer la muestra para teer ua cofiaza del 9% de que la media muestral o se diferecie e más de 0 3 kg. de la media de la població? *) 9% de. cofiaza Z 1, 96 Z 1,96 0,6 > > máximo 0,3 ( 3,9) 1, E u laboratorio se obtuviero seis determiacioes del H de ua solució, co los siguietes resultados: 7 91, 7 94, 7 90, 7 93, 7 89, y Se supoe que la població de todos los datos del H tiee ua distribució ormal de media descoocida co desviació típica igual a 0 0. a) Determiar u itervalo de cofiaza al 98% para la media de todas las determiacioes del H obteidas co el mismo método. b) Co el mismo ivel de cofiaza aterior, cuál debe ser el tamaño míimo de la muestra para que la amplitud del itervalo de cofiaza sea a lo sumo de 0 0?. σ 0,0, µ 7,4Kg 6 y 99% de cofiaza a) Determiar u itervalo de cofiaza al 98% para la media de todas las determiacioes del H obteidas co el mismo método. 7,91+ 7,94 + 7,90 + 7,93 + 7,89 + 7,91 7,91 y 98% de cofiaza. 6 Itervalode. Cofiaza I. C ± Z C ± Z. 0,0 7,91±,3 6 *) 98% de. cofiaza Z, 3. ( 7,91± 0,019) ( 7,91 0,019;7,91 + 0,019) ( 7,89;7,93 ) b) Co el mismo ivel de cofiaza aterior, cuál debe ser el tamaño míimo de la muestra para que la amplitud del itervalo de cofiaza sea a lo sumo de 0 0?. Amplitud 0,0 Amplitud Error Error 0,01 *) 98% de. cofiaza Z, 3 Z,3 0,0 > > máximo 0,01 ( 4,6) 1, El redimieto por hectárea de las platacioes de trigo de ua cierta regió, se supoe que es ua variable aleatoria co distribució ormal de desviació típica igual a 1 toelada por hectárea. Se ha tomado ua muestra - 1 -

13 º BACHILLERATO. CIENCIAS SOCIALES aleatoria simple de 64 parcelas co ua superficie igual a 1 hectárea cada ua, obteiédose u redimieto medio de 6 toeladas. a) uede asegurarse que el error de estimació del redimieto medio por hectárea es meor que 0, toeladas, co u ivel de cofiaza del 98%?. Razóese. b) Qué tamaño muestral míimo ha de tomarse para que el error e la estimació sea meor que 0, toeladas co u ivel de cofiaza del 9%? σ 1 Toeleada Hecatarea, µ 6. Toeladas 64. parcelas y 98% de cofiaza a) uede asegurarse que el error de estimació del redimieto medio por hectárea es meor que 0, toeladas, co u ivel de cofiaza del 98%?. Razóese Z Z σ σ (,31 ) > Error > 0,08 Error máximo 64 Sí, el error máximo por hectárea es de 0,9 0,08 0,9 b) Qué tamaño muestral míimo ha de tomarse para que el error e la estimació sea meor que 0, toeladas co u ivel de cofiaza del 9%? *) 9% de. cofiaza Z 1, 96. Z 1,961 > > máximo 0, ( 3,9) 1, Se supoe que el gasto mesual dedicado al ocio por ua familia de u determiado país se puede aproximar por ua variable aleatoria co distribució ormal de desviació típica igual a euros. Se ha elegido ua muestra aleatoria simple de 81 familias, obteiédose u gasto medio de 30 euros. a) Se puede asegurar que el valor absoluto del error de la estimació del gasto medio por familia mediate la media de la muestra es meor que 10 euros co u grado de cofiaza del 9%? Razóese la respuesta. b) Cuál es el tamaño muestral míimo que debe tomarse para poder asegurarlo?. σ, µ familias y 9% de cofiaza a) Se puede asegurar que el valor absoluto del error de la estimació del gasto medio por familia mediate la media de la muestra es meor que 10 euros co u grado de cofiaza del 9%? Razóese la respuesta *) 9% de. cofiaza Z 1, 96 Z > máximo Z ( 1,96 ) Error > No, el error máximo es de 11,97 euros. σ 81 11,97 b) Cuál es el tamaño muestral míimo que debe tomarse para poder asegurarlo?. Z 1,96 > > máximo 10 ( 10,78) 116, Se supoe que el tiempo de ua coversació e u teléfoo móvil se puede aproximar por ua variable aleatoria co distribució ormal de desviació típica igual a 1,3 miutos. Se desea estimar la media del tiempo de las coversacioes mateidas co u error iferior o igual e valor absoluto a 0, miutos y co u grado de cofiaza del 9%. a) calcule el tamaño míimo de la muestra que es ecesario observar para llevar a cabo dicha estimació mediate la media muestral. b) Si se supoe que la media del tiempo de las coversacioes es de 4,

14 º BACHILLERATO. CIENCIAS SOCIALES miutos y se elige ua muestra aleatoria simple de 16 usuarios, cuál es la probabilidad de que el tiempo medio de las coversacioes de la muestra esté compredido etre 4 y miutos?. σ 1,3miutos, Error 0, miutos y 9% de cofiaza a) calcule el tamaño míimo de la muestra que es ecesario observar para llevar a cabo dicha estimació mediate la media muestral Fórmula que relacioa el Itervalo de Cofiaza y el Error: Z 1,961,3 > >,17 6,77 máximo 0, ( ) 7 b) Si se supoe que la media del tiempo de las coversacioes es de 4,36 miutos y se elige ua muestra aleatoria simple de 16 usuarios, cuál es la probabilidad de que el tiempo medio de las coversacioes de la muestra esté compredido etre 4 y miutos?. σ 1,3miutos, 4,36mi utos 1,3 es N 4,36, N( 4,36;0,33 ) 16 µ ( 4 > > )? 4 4,36 4,36 ( 4 ) Tipificar ( 1,09 1,94 ) 0, 839 0,33 0,33 1. El tiempo ivertido e cear por cada cliete de ua cadea de restaurates es ua variable aleatoria que se aproxima a ua distribució ormal co desviació típica de 3 miutos. Se quiere estimar la media de dicho tiempo co u error o superior a 10 miutos y co u ivel de cofiaza del 9%. Determiar el tamaño míimo muestral ecesario para poder llevar a cabo dicha estimació. σ 3miutos, Error 10miutos y 9% de cofiaza Fórmula que relacioa el Itervalo de Cofiaza y el Error: Z 1,96 3 > > máximo 10 ( 6,7) 39, Se estima que el tiempo de reacció de u coductor ate u obstáculo imprevisto tiee ua distribució ormal co desviació típica 0,0 segudos. Si se quiere coseguir que el error de estimació de la media o supere los 0,01 segudos co u ivel de cofiaza del 99%, qué tamaño míimo ha de teer la muestra de tiempos de reacció? σ 0,0segudos, Error 0, 01segudos y 99% de cofiaza Fórmula que relacioa el Itervalo de Cofiaza y el Error: Z,7 0,0 > > máximo 0,01 ( 1,87) 16, ara ua població ormal co desviació típica, qué tamaño muestral míimo es ecesario para estimar la media mediate u itervalo de cofiaza, co u error meor o igual que uidades y ua probabilidad mayor o igual que 0,9?. σ uidades, Error uidades y 9% de cofiaza (robabilidad igual al 9%)

15 º BACHILLERATO. CIENCIAS SOCIALES Fórmula que relacioa el Itervalo de Cofiaza y el Error: Z 1,96 > > máximo ( 9,8) 96, Calcular el tamaño míimo que debe teer ua muestra aleatoria para garatizar que, e la estimació de la media de ua població ormal co variaza igual a 60, al 90% de cofiaza, el error de estimació cometido o sea superior a 3 uidades. desviació. típica 60 σ 60 7,7, Error 3uidades y 90% de cofiaza Fórmula que relacioa el Itervalo de Cofiaza y el Error: Z 1,64 7,7 > > máximo 3 ( 4,) 18, El tiempo de coexió a iteret de los alumos de cierta Uiversidad sigue ua distribució ormal co desviació típica 1 miutos. ara estimar la media del tiempo se quiere calcular u itervalo de cofiaza que tega ua amplitud meor o igual que 6 miutos, co u ivel de cofiaza del 9%. Determiar el tamaño míimo de la muestra que es ecesario observar. σ 1, Amplitud 6miutos y 9% de cofiaza Amplitud 6 Amplitud Error Error 3 Fórmula que relacioa el Itervalo de Cofiaza y el Error: Z 1,96 1 > > máximo 3 ( 9,80) 96, Ua variable aleatoria tiee ua distribució ormal co desviació típica igual a 3. a) Si cosideramos muestras de tamaño 16, qué distribució sigue la variable aleatoria media muestral?. b) Si deseamos que la media de la muestra o difiera e más de 1 de la media de la població, co probabilidad de 0 99, cuátos elemetos, como míimo, se debería tomar e la muestra?. a) Nµ, N µ, N( µ ;0,7) 3 16 b) σ 3, Error 1 y 99% de cofiaza Fórmula que relacioa el Itervalo de Cofiaza y el Error: Z,7 3 > > máximo 1 ( 7,7) 9, Se sabe que el peso e kg de los alumos de Bachillerato de Madrid sigue ua distribució ormal co desviació kg. a) Si cosideramos muestras de alumos, qué distribució tiee la variable aleatoria media muestral? b) Si se desea que la media de la muestra o difiera e más de 1 kg de la media de la població, co probabilidad 0'9, cuátos alumos se debería tomar e la muestra?. a) Nµ, Nµ, N( µ ;1) b) σ kg, Error 1Kg y 9% de cofiaza Fórmula que relacioa el Itervalo de Cofiaza y el Error: - 1 -

16 º BACHILLERATO. CIENCIAS SOCIALES Z 1,96 > > máximo 1 ( 9,80) 96, U fabricate de electrodomésticos sabe que la vida media de estos sigue ua distribució ormal co media 100 meses y desviació típica σ 1 meses. Determiar el míimo tamaño muestral que garatiza, co ua probabilidad de 0 98, que la vida media de los electrodomésticos e dicha muestra se ecuetra etre 90 y 110 meses a) Nµ, N100, N( µ ;0,7) b) σ 1meses, Error y 98% de cofiaza Fórmula que relacioa el Itervalo de Cofiaza y el Error: Z,3 1 > > máximo ( ) (,79) 7, El salario de los trabajadores de ua ciudad sigue ua distribució ormal co desviació 1 euros. Se quiere calcular u itervalo de cofiaza para el salario medio co u ivel de cofiaza del 9 %. Determiar cuál es el tamaño míimo de la muestra que se ecesitará recoger para que el itervalo de cofiaza tega ua amplitud de 6 euros. σ 1, Amplitud 6 y 9% de cofiaza Amplitud 6 Amplitud Error Error 3 Fórmula que relacioa el Itervalo de Cofiaza y el Error: Z 1,96 1 > > máximo 3 ( 9,80) 96, El tiempo de reacció de ua alarma electróica ate u fallo del sistema es ua variable aleatoria ormal co desviació típica de 1 segudo. A partir de ua muestra de 100 alarmas se ha estimado la media poblacioal del tiempo de reacció mediate u itervalo de cofiaza co u error máximo de estimació de 0, segudos. Co qué ivel de cofiaza se ha realizado la estimació?. σ 1segudo, Error 0, segudos y 9% de cofiaza Fórmula que relacioa el Itervalo de Cofiaza y el Error: Z 1,96 1 > > máximo 3 ( 9,80) 96, De ua població co distribució ormal de media 0 y desviació 6, se extrae ua muestra de tamaño y se calcula la media muestral. a) Qué valor debe teer para que se cumpla la desigualdad -µ, co ua probabilidad de 0 9. b) Resolver el apartado aterior co ua probabilidad de Comparar ambos resultados. σ 6, 0 µ, N( ; σ ) N( 0;6) µ y 9% de cofiaza Fórmula que relacioa el Itervalo de Cofiaza y el Error: Z 1,96 6 > > máximo 3 ( 9,80) 96,

17 º BACHILLERATO. CIENCIAS SOCIALES 3. Se quiere comprobar si ua máquia de lleado de agua mieral tiee o o desajustes. Ua muestra de 10 evases proporcioa los siguietes datos: 0 49, 0, 0 1, 0 48, 0 3, 0, 0 49, 0 0, 0, y Supoiedo que se sigue ua distribució ormal de media 0 litros y desviació 0 0, se desea cotrastar si el coteido medio de los evases es de 0 litros co u ivel de sigificació del %. latear las hipótesis ula y alterativa del cotraste, determiar la regió crítica y realizar el cotraste. *) Euciamos las hipótesis: hipótesis ula: H 0 : p 0.0 hipótesis alterativa: H 1 : p ,0 9% Mirar e la tabla! Z 1, 96 Determiamos el itervalo de cofiaza: I. C ± Z 0,0 0,;0,06 + 1,96 10 ( 0,488;0,1 ) Se cotrasta que el coteido medio de los evases es de 0 litros co u ivel de sigificació del % ya que 0,488 0,1.or tato aceptamos la hipótesis ula. está detro del itervalo de cofiaza ( ) 33. E ua comuidad autóoma se estudia el úmero medio de hijos por mujer a partir de los datos dispoibles e cada muicipio. Se supoe que estos datos sigue ua distribució ormal co desviació típica de El valor medio de estos datos para 36 muicipios resulta ser igual a 1 17 hijos por mujer. Se desea cotrastar, co u ivel de sigificació de 0 01, si el úmero medio de hijos por mujer es de 1. latear cuáles so las hipótesis ula y la alterativa y determiar la regió crítica del cotraste. Es posible aceptar la hipótesis co el ivel de sigificació idicado?. *) Euciamos las hipótesis: hipótesis ula: H 0 : p 1, hipótesis alterativa: H 1 : p 1, 1 0,01 99% Mirar e la tabla! Z, 33 Determiamos el itervalo de cofiaza: I. C ± Z 0,08 1,17 ± +,33 36 ( 1,17 ± 0,031) ( 1,14 1,0 ) Se desea cotrastar, co u ivel de sigificació de 0 01, si el úmero medio de hijos por mujer es de 1, El dato de 1, está fuera del itervalo de cofiaza ( 1,14 1,0 ).or tato rechazamos la hipótesis ula. 34. La duració de la bombillas de 100 W que fabrica ua empresa sigue ua distribució ormal co ua desviació típica de 10 horas de duració. Su vida media está garatizada durate u míimo de 800 horas. Se escoge al azar ua muestra de 0 bombillas de u lote y, después de comprobarlas, se obtiee ua vida media de 70 horas. Co u ivel de sigificació de 0,01, habría que rechazar el lote por o cumplir la garatía? Euciamos las hipótesis: hipótesis ula: H 0 : µ 800 hipótesis alterativa: H 1 : µ ,01 99% Mirar e la tabla! Z, 33 Determiamos el itervalo de cofiaza: 10 I. C ± Z 800, ( 80039,4 ) ( 760, ) Se desea cotrastar y se obtiee ua vida media de 70 horas, co u ivel de sigificació de 0,01, El dato de 70 está fuera del itervalo de cofiaza ( 760,46 ).or tato rechazamos la hipótesis ula

18 º BACHILLERATO. CIENCIAS SOCIALES 3. Ua marca de ueces afirma que, como máximo, el 6% de las ueces está vacías. Se eligiero 300 ueces al azar y se detectaro 1 vacías. a) Co u ivel de sigificació del 1%, se puede aceptar la afirmació de la marca? b).si se matiee el porcetaje muestral de ueces que está vacías y 1-0.9, qué tamaño muestral se ecesitaría para estimar la proporció de ueces co u error meor del 1% por cieto? a) Co u ivel de sigificació del 1%, se puede aceptar la afirmació de la marca? *) Euciamos las hipótesis: hipótesis ula: H 0 : p 0.06 hipótesis alterativa: H 1 : p >0.06 *) Zoa de aceptació 1 0,01 99% Z, 33 Determiamos el itervalo de cofiaza:. C ± Z I ( 1 ) 0,06 ( 1 0,06) *) Comparamos. ' 1 p 0, *) Decisió ;0,06 +, ( ;0,09 ) Aceptamos la hipótesis ula H 0. Co u ivel de sigificació del 1%. b).si se matiee el porcetaje muestral de ueces que está vacías y 1-0.9, qué tamaño muestral se ecesitaría para estimar la proporció de ueces co u error meor del 1% por cieto? 1 0,9 9% Z 1, 96 Error Z 01 ( 1 ) 0,07 ( 1 0,07) Error 1,96 0, La variable altura de las alumas que estudia e ua escuela de idiomas sigue ua distribució ormal de media 1,6 m y la desviació típica 0,1 m. Cuál es la probabilidad de que la media de ua muestra aleatoria de 100 alumas sea mayor que 1.60 m? 0,1 Nµ; N1,6; N( 1,6;0,01 ) 100 1,60 1,6 ( 1,60) ( 1,66 ) 1 ( 1,66) 1 ( 1 ( 1,66 ) 1 ( 1 0,91) 0,91 0,01 1 0, Las vetas mesuales de ua tieda de electrodomésticos se distribuye segú ua ley ormal, co desviació típica 900. E u estudio estadístico de las vetas realizadas e los últimos ueve meses, se ha ecotrado u itervalo de cofiaza para la media mesual de las vetas, cuyos extremos so y a) Cuál ha sido la media de las vetas e estos ueve meses? b) Cuál es el ivel de cofiaza para este itervalo? a) Cuál ha sido la media de las vetas e estos ueve meses? N 9 ( ) x 1 b) Cuál es el ivel de cofiaza para este itervalo?

19 º BACHILLERATO. CIENCIAS SOCIALES Z > máximo Z 900 > 1,96 1 0,9 9% 9 ( 88 9 ) Z 88 ( 900) 38. Hallar las siguietes probabilidades: a) ( 1,78) 0, 96 EJEMLOS EN N ( 0,1 ) b) ( 0,3) 0, 6 c) ( >,01) 1 (,01) 1 0,9778 0, 0 d) ( > 1,4) 1 ( 1,4) 1 0,96 0, 073 e) ( > 0,8) 1 ( > 0,8) 1 ( 1 ( 0,8 ) 1 ( 1 0,803) 1 0,1977 0, 803 f) ( 1,7) 1 ( > 1,7) 1 0,973 0., 043 g) ( 0,1,1 ) (,1 ) ( 0,1) 0,9830 0,690 0, 88 h) ( 1,0 1,16 ) ( 1,16 ) ( 1,0 ) 0,8770 ( 1 ( 1,0 ) 0,8770 ( 1 0,831) 0, 7301 (,18 0,1 ) ( 0,1 ) (,18 ) ( 1 ( 0,1 ) ( 1 (,18 ) ( 1 0,96) ( 1 0,984) i) 0,4404 0,0146 0,48 j) ( 0,83) 0 EJEMLOS EN N (,4)

20 º BACHILLERATO. CIENCIAS SOCIALES ( ) ( ) µ;σ..,4 N Tipificar a N k) ( ) ( ) , σ µ l) ( ) > 4, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 478 0, 0, , , , 1 4, 1 4, > σ µ m) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 199 0, 0, ,080 0,0 1 0,01 0, 0,01 0,01 0, 4 6, 4 3 6, 3 6, 3 σ µ σ µ ) ( ) 7 ( ) ( ) ( ) ( ) 0, , , 0, σ µ σ µ o) ( ) 0,1 6 TABLA DE DISTRIBUCIÓN DE ROBABILIDAD NORMAL ESTANDAR z

21 º BACHILLERATO. CIENCIAS SOCIALES