4 - DESIGUALDAD DE CHEBYSHEV- LEY DE LOS GRANDES NUMEROS

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1 arte Desigualdad de Chebyshev rof. María B. itarelli 4 - DESIGULDD DE CHEBYSHE- LEY DE LOS GRNDES NUMEROS La desigualdad de Chebyshev es ua importate herramieta teórica. Etre otras aplicacioes costituirá u medio para compreder cómo la variaza mide la variabilidad de ua dada variable aleatoria, co respecto a su esperaza matemática. Tambié os permitirá establecer co más precisió el hecho, reiteradamete señalado, de que la frecuecia relativa f de u suceso asociado a u experimeto aleatorio tiede, cuado el úmero de repeticioes de se hace ifiitamete grade, a la probabilidad (resultado coocido como la ). ero además es de utilidad práctica pues, al costituir ua cota de ciertas probabilidades, os podrá servir como ua estimació de esas mismas probabilidades. 4.-Desigualdad de Chebyshev Sea ua variable aleatoria cuya esperaza es E ( ) supogamos que ( c) E existe y es fiito. Etoces, sea c u úmero real cualquiera y > 0 ( c ) E ( c) Dem.) Cosideraremos el caso e que es ua v.a. cotiua. El caso de ua v.a. discreta se demuestra e forma similar cambiado itegrales por sumas. Sea, etoces, f ( x) la fdp de. Teemos: ( c ) f ( x) x: x c dx hora bie, los valores de x que verifica x c so los mismos que verifica. Etoces, puesto que f ( x) 0 y que ambos miembros e la desigualdad aterior so tambié o egativos es: ( c ).f ( x) x: x c dx x: x c.f ( x) dx dode la última desigualdad proviee del hecho de que simplemete extiedo los límites de itegració a todos los reales pero siedo siempre el itegrado positivo. De maera que estoy agregado ua cotribució positiva sobre el valor de la itegral x: x c.f ( x) dx. Si teemos presete la expresió para la esperaza de ua fució ( ) variable aleatoria :. f ( x) dx H de ua 77

2 arte Desigualdad de Chebyshev rof. María B. itarelli H ( x) f ( x) dx E[ H ( )] y lo aplicamos a H ( x), teemos fialmete: ( c ) ( c) E E [( c) ] Observació: La desigualdad lleva el ombre del matemático ruso que la descubrió. Su ombre aparece e ua variedad de formas e la literatura: Chebyshev, Chebychev, Tchebyshev, etc. Formas alterativas de la desigualdad de Chebyshev. odemos escribir la desigualdad de Chebyshev e ua serie de formas alterativas: a ) Teemos e primer lugar la forma que acabamos de demostrar: ( c ) E ( c) a ) Si cosideramos el suceso complemetario a podemos escribir, recordado que ( c < ) ( c ) E ( c) :, esto es: ( c < ) E ( c) b ) Si e c, es decir c <, y E E teemos: a ) elegimos c E( ) teemos ( E( ) ) E [ E( )] recordado la defiició de la variaza: ( ) ( E( ) ) ( ) b ) La correspodiete expresió para el suceso complemetario es: c ) Si e ( E( ) < ) ( ) a ) elegimos c E( ) y además elegimos kσ k ( ) ( ) σ kσ, es decir: ( kσ ) ( kσ ) ( E ), teemos 78

3 arte Desigualdad de Chebyshev rof. María B. itarelli k ( E( ) kσ ) c ) Fialmete a correspodiete expresió para el suceso complemetario e c ) es: k ( E( ) < kσ ) cotiuació daremos u ejemplo e el que podremos apreciar cómo la desigualdad de Chebyshev os permite teer estimacioes de ciertas probabilidades que e alguos casos mejora las estimacioes triviales dadas por el axioma i) de las probabilidades, esto es, que 0. σ Ejemplo Deseamos estimar la probabilidad E a) Si coocer la distribució b) Sabiedo que U, +. a) Ua estimació de la probabilidad e cosideració cuado o se cooce la distribució, es decir que vale cualquiera sea la distribució puede teerse usado la desigualdad de Chebyshev e la forma c ) : ( E( ) kσ ) co k. k Teemos e cosecuecia: 4 E( ) σ emos que, e este caso, la estimació ( / ) 9 mejora sustacialmete la cota superior trivial : E. ( ) σ 0 44 < Notemos que esta estimació es aplicable cualquiera se la distribució de y vale sea ésta discreta o cotiua. b)si sabemos que U, + teemos toda la iformació y podemos calcular la probabilidad exactamete. Teemos: + E + ` 79

4 arte Desigualdad de Chebyshev rof. María B. itarelli σ + ` ( / ) Etoces: E ( ) σ < E( ) σ Este valor + exacto es meor que la cota superior dada por la desigualdad de Chebyshev: E( ) σ <. La variaza como ua medida de la cocetració de la fdp de ua v.a. alrededor de la esperaza. odemos usar las formas b) de la desigualdad de Chebyshev para iterpretar a la variaza ( ) como ua medida de la variabilidad de la variable aleatoria co respecto a su esperaza o e otras palabras de cómo la distribució de la v.a. se cocetra o dispersa co respecto a la esperaza E ( ). De la expresió ( ) ( ) E vemos que, para u dado, si ( ) es E es muy muy pequeño etoces la probabilidad de que tome valores lejos de chica, es decir hay ua gra probabilidad de que tome valores próximos a E ( ). Iversamete si ( ) es grade, la probabilidad de que tome valores alejados de E ( ) puede ser tambié grade. odemos precisar u poco más esto cosiderado el siguiete Teorema. Si ( ) 0 etoces [ E( )]. Decimos que E( ) probabilidad ( es igual a su esperaza co probabilidad ). Dem.) ara cualquier > 0, si ( ) 0 ( ) teemos de b ) : ( E( ) < ) igualdad porque la probabilidad o pude superar a. ( E( ) < ) co, dode me quedo sólo co la uesto que puede hacerse arbitrariamete pequeño, el teorema queda demostrado. 80

5 arte Desigualdad de Chebyshev rof. María B. itarelli 4. - La ley de los grades úmeros. La ley de los grades úmeros establece e forma precisa el hecho que cuado el úmero de repeticioes de u experimeto se hace muy grade, la frecuecia relativa f de u suceso relacioado co el experimeto coverge e setido probabilístico a la probabilidad. Daremos ua versió de la coocida como la forma de Beroulli. Teorema (Forma de Beroulli de la ley de los grades úmeros) Sea u experimeto probabilístico y sea u suceso asociado co él. Cosideremos repeticioes idepedietes del experimeto. Sea el úmero de veces que ocurre e las repeticioes de forma tal que f es la frecuecia relativa. Sea p (que se supoe igual para todas las repeticioes). Etoces, para cualquier úmero > 0 se cumple p ( f p <. Dem.) De acuerdo co su sigificado, el úmero de veces que ocurre el suceso e las repeticioes, es ua variable aleatoria distribuida biomialmete co parámetros y p: B, p. Luego: E ( ) p ( ) p( or lo tato E f E E p p ( f E cosecuecia, aplicado a la v.a. f la desigualdad de Chebyshev e la forma b ) ( ) ( ) E <, es decir, ( ) ( f ) f E f < llegamos a lo propuesto por el teorema: p ( f p <. Es evidete que el teorema aterior implica que lim f p < para todo > 0. Etoces decimos que, e este setido, la frecuecia relativa f coverge a la probabilidad. 8

6 arte Desigualdad de Chebyshev rof. María B. itarelli Observació: Esta covergecia, llamada covergecia e probabilidad difiere de la covergecia ormalmete usada e Cálculo (límite aritmético). Recordemos que ua sucesió α,α,...,α,... tiee límite α o tambié que limα α si > 0 ν tal que α α < para todo > ν. Esto sigifica que, desde u e adelate, α se aproxima permaetemete al valor límite α. E cambio cuado decimos que f /, estamos sigificado que la probabilidad del coverge a suceso f < puede hacerse arbitrariamete próximo a uo tomado u suficietemete grade. ero estamos hablado de probabilidad y o de certeza como e el caso del límite aritmético. Es decir, o sigifica que al tomar u grade ocurra ciertamete que os aproximemos más al valor de la probabilidad sio que existe ua gra probabilidad de que eso ocurra. 8