Ejercicios y Problemas. 2º Bachillerato de Ciencias. Matemáticas II

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1 Ejercicios Problems. º chillerto de Ciencis. Mtemátics II ÍNDICE:. Mtrices. Determinntes. Sistems lineles de ecuciones. Geometrí en el espcio - Vectores. Rects plnos en el espcio. Geometrí métric en el espcio 8 7. Límites continuidd 7 8. Derivds 9. Representción de funciones 8. Integrles 89. Probbilidd combintori 99. Distribuciones de probbilidd 8 LibrosMreVerde.tk utores: utores: Letici Gonále Pscul Álvro Vldés. Ilustrciones: nco de Imágenes de INTEF de los utores º de chillerto. Mtemátics II. Ejercicios problems LibrosMreVerde.tk utores: Letici Gonále Pscul Álvro Vldés

2 º de chillerto. Mtemátics II. Ejercicios problems utores: Letici Gonále Pscul Álvro Vldés LibrosMreVerde.tk CPÍTULO : MTRICES CTIVIDDES PROPUESTS. CONCEPTO DE MTRIZ. Utili mtrices pr representr l informción siguiente: Un gricultor cultiv lechugs, nrnjs melones. Durnte el ño h recogido mil lechugs, kilos de nrnjs melones. En los ños nteriores su producción h sido de, respectivmente. Por cd lechug recibe un céntimo, por cd kilo de nrnjs céntimos por cd melón céntimos. Escribe l mtri de sus gnncis del ño.. nli los siguientes elementos de tu entorno determin si son mtrices o no:. Un clendrio. b. L clsificción de l Lig de fútbol (o culquier otro deporte). c. El disco duro de un ordendor. d. Un rmrio donde se gurd un colección de cops. e. Los lineles de un supermercdo. f. Un pntll de televisión. g. El boleto de l Loterí Primitiv, de l Quiniel del Euromillón. h. Los buones de un viviend. i. Los pupitres de un clse.. Propón otros elementos de tu entorno que se mtrices o puedn representrse medinte mtrices.. OPERCIONES CON MTRICES. Escribe tres mtrices fil.. Escribe tres mtrices column.. Escribe tres mtrices cudrds de dimensión, respectivmente. 7. Escribe l mtri unidd de dimensión,. 8. Escribe l mtri nul de dimensión,. 9. Dds ls mtrices 7 9, 7 C clcul: ) + b) + C. Pr ls mtrices 7 9 clcul. Es el producto conmuttivo?. Dds ls mtrices 7 9 clcul t.. Clcul ls mtrices inverss, si eisten, de ls siguientes mtrices: 7 9,, C, D. Resuelve l ecución mtricil M X + N = P siendo: 7 9 M, N, P. Clcul el rngo de ls siguientes mtrices: 9,, C, D

3 º de chillerto. Mtemátics II. Ejercicios problems utores: Letici Gonále Pscul Álvro Vldés LibrosMreVerde.tk EJERCICIOS Y PROLEMS.. - Dds ls mtrices, clcul: ) + b) C c) + C. - Pr ls mtrices clcul. Es el producto conmuttivo?. - Clcul los productos posibles entre ls mtrices,..- Dds ls mtrices clcul t..- Pr ls mtrices,, reli ls siguientes operciones si es posible: ) + b) c) d) D e) C f) C D g) t C. - Es posible que pr dos mtrices no cudrds puedn eistir? 7. - ) Clcul 97 pr l mtri b) Encuentr los vlores de b pr que l mtri conmute con l mtri Clcul n, pr n N, siendo ls siguientes mtrices: ) b) c) 9.- Se dice que dos mtrices conmutn si =. Dd l mtri hll ls mtrices que conmuten con.. - Encuentr tods ls mtrices, del orden correspondiente, que conmuten con ls mtrices:. - Sen ls mtrices m E m D C m,,,,. Clcul cd uno de los productos, D E, E, C E..- Sen dos mtrices de orden, en ls que,, denotn vlores numéricos desconocidos. ) Determin, rondmente, los vlores de,, R de mner que =. b) Es posible el cálculo de? Ron l respuest. C C C D b

4 º de chillerto. Mtemátics II. Ejercicios problems utores: Letici Gonále Pscul Álvro Vldés LibrosMreVerde.tk Se l mtri clcul, si eisten, ls siguientes mtrices: ) Un mtri X, tl que X b) Un mtri Y tl que Y. - Clcul ls mtrices inverss, si eisten, de ls siguientes mtrices: ) b) c) d).- Dds ls mtrices clcul..- Dd l mtri ) Hll l mtri invers de b) Comprueb que - = - = I c) Hll un mtri X tl que X =, siendo 7.- Clcul l mtri invers de 8. - Dds ls mtrices obtén, si procede, ( ) Sen ls mtrices ) Clcul l mtri invers de b) Hll el producto de l invers de por l invers de. Qué relción eiste entre l mtri del prtdo nterior est mtri? Justific l respuest.. Se comprueb que t = clcul ( t )..- Sen ls mtrices:, ) Hll C D b) Clcul l mtri invers de C D c) Comprueb que (C D) = D C..- Resuelve l ecución mtricil M X + N = P siendo, 8 t () ) ( C D M N P

5 º de chillerto. Mtemátics II. Ejercicios problems utores: Letici Gonále Pscul Álvro Vldés LibrosMreVerde.tk - Sen ls mtrices, ) Clcul ( + I) b) Determin l mtri X pr que X = + I. - Sen ls mtrices, C. Resuelve l ecución X X C = C. - Clcul el rngo de ls siguientes mtrices: ) b) c). - Clcul el rngo de ls siguientes mtrices según los vlores del prámetro : ) b) 7.- Determin ls mtrices que son soluciones del siguiente sistem: Obtener ls mtrices X e Y que verifiquen los siguientes sistems mtriciles. ) b) c) 9. - Utilindo ls operciones elementles por fils, obtén mtrices tringulres equivlentes ls siguientes mtrices: ) b) c) d). - En un cdemi de idioms se imprten inglés lemán en cutro niveles dos modliddes: grupos reducidos grupos normles. L mtri epres el número de persons, según el tipo de grupo, donde l primer column corresponde los cursos de inglés, l segund los de lemán ls fils, los niveles primero, segundo, tercero curto respectivmente. Ls columns de l mtri reflejn el tnto por uno de estudintes (común pr mbos idioms) que siguen curso reducido (primer fil) curso norml (segund fil) pr cd uno de los niveles. ) Obtener l mtri que proporcion el número de estudintes por modlidd e idiom. b) Sbiendo que l cdemi cobr euros por person en grupos reducidos euros por person en grupo norml, hllr l cntidd que obtiene l cdemi en cd uno de los idioms. Y X Y X Y X Y X Y X Y X 8,,,7,8,7,,,

6 . - Tres escritores presentn un editor, l cbr l enciclopedi, l minut que se recoge en l tbl djunt: Hors de trbjo Conferencis dds Vijes Escritor Escritor 8 8 Escritor C El editor pg l hor de trbjo 7 euros, l conferenci euros el vije euros. Si sólo piens pgr, respectivmente, el %, el % el % de lo que corresponderí cd escritor, qué gsto tendrí el editor?. - Un fábric produce dos modelos de lvdors,, en tres terminciones: N, L S. Produce del modelo : uniddes en l terminción N, uniddes en l terminción L uniddes en l terminción S. Produce del modelo : uniddes en l terminción N, en l L en l S. L terminción N llev hors de tller hor de dministrción. L terminción L llev hors de tller, hors de dministrción. L terminción S llev hors de tller, hors de dministrción. ) Represent l informción en dos mtrices. b) Hll un mtri que eprese ls hors de tller de dministrción empleds pr cd uno de los modelos.. - Sen dos mtrices de igul orden, un número. Se sbe que ( + ) = +. Justific el resultdo.. - Sen dos mtrices cudrds de igul tmño. Si son simétrics, nli si, entonces, tmbién lo es su producto. Si l respuest es firmtiv, justifíquese; en cso contrrio, dese un contrejemplo que lo confirme. r. - Se l mtri M, siendo r s dos números reles tles que r s. s Clcul M, M, M M k pr k N. b. - Se el conjunto de mtrices definido por: M ;, b R b ) Comprueb que, M, tmbién + M M b) Encuentr tods ls mtrices C M, tles que C = C Se dice que un mtri cudrd es ortogonl si se verific que t = I donde t es l mtri trspuest de e I es l mtri identidd. Si son dos mtrices ortogonles de igul tmño, nli si es un mtri ortogonl. 8. Consider ls mtrices, C definids como: ij i j, i, j,, b ij i j, i,; j,, c i j, i,,;, j, C ij ) Construe ls tres mtrices. b) Hll ls trspuests t, t C t determin cuál (o cuáles) de ls mtrices es simétric. c) nli cuáles de los productos,, C,,, C, C, C o C C pueden relirse. d) Determin el rngo de ls tres mtrices, C. 9. Dd l mtri: M en l que se verific + + =. ) Clcul M. b) Clcul P = M + I. c) Comprueb que P = P. d) Comprueb que P M = M P = O. º de chillerto. Mtemátics II. Ejercicios problems utores: Letici Gonále Pscul Álvro Vldés LibrosMreVerde.tk

7 º de chillerto. Mtemátics II. Ejercicios problems utores: Letici Gonále Pscul Álvro Vldés LibrosMreVerde.tk 7 UTOEVLUCIÓN Dds ls mtrices ; 7.- L dimensión de l mtri es: ) b) c) d).- L mtri es: ) un mtri fil b) cudrd c) trspuest d) rectngulr.- L sum de ls mtrices es: 7 ) 9 ) b ) c 9 ) d.- El producto es: 7 ) 9 9 ) b 9 ) c ) d.- Indic qué firmción es ciert ) Ls mtrices se pueden multiplicr b) Ls mtrices no se pueden multiplicr c) mbs tienen mtri invers d) Sus mtrices trspuests son igules Dds ls mtrices ; ; ; F E D C.- L mtri identidd es l mtri: ) C; b) D; c) E; d) F. 7.- El producto de ls mtrices E F es: 8 ) EF 8 ) EF b 9 8 ) EF c 8 ) EF d 8.- L mtri invers de l mtri F es: ) F ) F b ) F c ) F d 9.- L mtri trspuest de l mtri F es: ) t F ) t F b ) t F c ) t F d.- El rngo de l mtri C es: ) b) c) d) no tiene

8 8 () Se l mtri péndice: Problems de mtrices en ls P...U. ) Comprueb que verific I = O, con I l mtri identidd O l nul. b) Clcul. c) sándote en los prtdos nteriores sin recurrir l cálculo de inverss, hll l mtri X que verific l iguldd X + I = () ) Define rngo de un mtri. b) Un mtri de fils columns tiene rngo. Cómo vrí el rngo si quitmos un column? Si suprimimos un fil un column, podemos segurr que el rngo de l mtri resultnte vldrá dos? () Se un mtri (m n) ) Eiste un mtri tl que se un mtri fil? Si eiste, qué orden tiene? b) Se puede encontrr un mtri tl que se un mtri fil? Si eiste, qué orden tiene? c) usc un mtri tl que = ( ) siendo () Dd l mtri el vector X, se pide obtener rondmente: ) El vector X tl que X = X. b) Todos los vectores X tles que X = X. c) Todos los vectores X tles que X = X. () Sen I ls mtrices cudrds siguientes: 7 9 I 7 Se pide clculr, eplicndo todos los psos necesrios: ) Ls mtrices. b) Los números reles b pr los cules se verific (I + ) = I + b. () Dd l ecución mtricil: donde es un mtri cudrd de tmño, se pide: 7 ) Clcul el vlor o vlores de pr los que est ecución tiene solución. b) Clcul en el cso =. (7) Un mtri se dice que es tringulr si el primer elemento de su segund fil es. Encuentr tods ls mtrices t 7 tringulres tles que. 8 (8) Comprueb rondmente que: ) Si el producto de dos mtrices cudrds es conmuttivo, entonces se deduce que el producto de los cudrdos de dichs mtrices es igul l cudrdo del producto de dichs mtrices. b) L mtri stisfce l relción + I = O, siendo I O, respectivmente, ls 7 mtrices de orden unidd nul. c) Clcul rondmente, escribiendo todos los psos del ronmiento utilido, los vlores b que hcen que = + b I, sbiendo que l mtri verific l iguldd = + I. º de chillerto. Mtemátics II. Ejercicios problems utores: Letici Gonále Pscul Álvro Vldés LibrosMreVerde.tk

9 º de chillerto. Mtemátics II. Ejercicios problems utores: Letici Gonále Pscul Álvro Vldés LibrosMreVerde.tk 9 (9) ) Clcul ls mtrices reles cudrds de orden, X e Y, que stisfcen ls ecuciones: C Y X Y X donde: C b) Si X e Y son ls mtrices nteriores, clcul ( X + Y) X ( X + Y) (Y). () Clcul todos los vlores reles,,, t pr los cules se verific X = X, donde t X () Tenemos ls mtrices e I ) Clcul l mtri invers de. b) Clcul l mtri = ( + I). c) Determin los números reles que cumplen: = + I, = + t I, () Sen ls mtrices: dos mtrices de orden ( ) en ls que, R denotn vlores numéricos desconocidos. ) Determin, rondmente, los vlores de, R de mner que =. b) Es posible el cálculo de? Ron l respuest () Se + I = un epresión mtricil, donde denot l mtri cudrd de orden ( ): e I es l mtri identidd de orden correspondiente: ) Qué dimensión tiene l mtri? b) Determin los elementos que integrn l mtri, esto es, ij q. c) Clcul + I. () Sen dos mtrices desconocids. Resuelve el siguiente sistem de ecuciones: 7 7 () Sen X e Y dos mtrices desconocids. Resuelve el siguiente sistem de ecuciones: 9 Y X Y X () Se llm tr de un mtri l sum de los elementos de su digonl principl. Hll, mtri de tmño ( ), sbiendo que l tr de t es cero. (7) Se un mtri que tiene tres fils; se l mtri que result de sustituir en l ª fil por l sum de ls otrs dos. Qué debe ocurrir entre ls fils de pr que tengn el mismo rngo? (8) Dds ls mtrices c c b se pide: ) Encontrr ls condiciones que deben cumplir, b c pr que se verifique =. b) Pr = b = c =, clculr. (9) Denotmos por M t l mtri trspuest de un mtri M. Consider: 9,, C ) Clcul ( ) t ( ) t. b) b) Determin un mtri X que verifique l relción C X t. () Clcul tods ls mtrices X tles que X X, donde: () Clcul dos números nturles b menores que tles que l siguiente mtri teng rngo : b b

10 º de chillerto. Mtemátics II. Ejercicios problems utores: Letici Gonále Pscul Álvro Vldés LibrosMreVerde.tk RESUMEN Definición de mtri Tbl de números ordendos Dimensión de un mtri El número de fils (m) el número de columns (n) L dimensión de l mtri nterior es. Iguldd de mtrices Dos mtrices son igules si tienen l mism dimensión si los términos que ocupn l mism posición son igules = ij = bij i,j Tipos de mtrices Mtri fil: Mtri column: ; Mtri tringulr de dimensión : Mtri digonl: Mtri esclr: Mtri unidd: Sum de mtrices Se sumn los elementos que ocupn l mism posición: Producto de un rel por un mtri Es otr mtri de elementos los de l mtri multiplicdos por el número: Producto de mtrices Mtri invers Mtri trspuest Se obtiene cmbindo fils por columns. Rngo de un mtri Número de fils o columns de l mtri que son linelmente independientes, es decir, que no pueden obtenerse prtir de ls demás fils o columns de l mism mtri. El rngo de l mtri es. 7 7 ij ij ij b c C ij k ij k k n k kj ik ij ij ij ij ij b c c b C bij 7 I / / / / t

11 º de chillerto. Mtemátics II. Ejercicios problems utores: Letici Gonále Pscul Álvro Vldés LibrosMreVerde.tk CPÍTULO : DETERMINNTES. CTIVIDDES PROPUESTS. CONCEPTO DE DETERMINNTE. Clcul los siguientes determinntes: ) b) c). Clcul los siguientes determinntes: ) b) c). PROPIEDDES DE LOS DETERMINNTES. Comprueb qué ocurre en un determinnte de orden tres cundo hces dos permutciones de fils.. Comprueb qué ocurre en un determinnte de orden dos cundo hces un permutción de fils seguid de un permutción de columns.. Comprueb qué ocurre en un determinnte de orden tres cundo hces dos permutciones de fils.. Comprueb qué ocurre en un determinnte de orden tres cundo hces un permutción de fils seguid de un permutción de columns. 7. Ron por qué est propiedd puede deducirse de l propiedd número. 8. Comprueb en un determinnte de orden que l propiedd se verific tmbién cundo h dos columns igules. Hlo de dos forms diferentes: desrrollndo el determinnte utilindo l propiedd del determinnte de l mtri trspuest. 9. Demuestr est propiedd pr determinntes de orden tres.. Comprueb que el vlor del segundo determinnte, obtenido del primero con l trnsformción indicd, es el mismo que el del determinnte de prtid.. Comprueb est propiedd pr ls siguientes mtrices cudrds de orden tres: ) 7 ; b) ; c). Ron si es posible que pr dos mtrices eistn los productos, pero no se verifique que.. Dds dos mtrices, cudrds de igul dimensión, ron si ls siguientes epresiones son cierts o no: ) b) c) d) e) f) g) h) i) j). CÁLCULO DE DETERMINNTES POR LOS ELEMENTOS DE UN LÍNE. Clcul por djuntos el vlor de este determinnte:. Hll el vlor de que verific: 7 7 C C C C

12 . Pr ls mtrices del ejemplo, determin: ) ; b) dj t dj t ; c) dj dj t. Qué observs? 7. ) Clcul l mtri djunt de:. b) Hll C, dj C t efectú el producto C djc t. c) Qué observs? C. MTRIZ INVERS: 8. Comprueb pr los ejemplos nteriores que = I = I t º de chillerto. Mtemátics II. Ejercicios problems utores: Letici Gonále Pscul Álvro Vldés LibrosMreVerde.tk

13 º de chillerto. Mtemátics II. Ejercicios problems utores: Letici Gonále Pscul Álvro Vldés LibrosMreVerde.tk EJERCICIOS Y PROLEMS..- Clcul los determinntes de ls siguientes mtrices: ) b) c) d) e) f) g) h) i) j).- Prueb, sin desrrollrlos, que los determinntes de ls siguientes mtrices son nulos: ) b).- Demuestr sin desrrollr que los determinntes son múltiplos de..- Prueb sin desrrollr que los determinntes siguientes son múltiplos de : ) b).- Comprueb, prtir de ls propieddes de los determinntes, que = que =..- Sbiendo que clcul, sin desrrollr, el vlor de 7.- Sbiendo que clcul sin desrrollr: 8.- Cuál será el orden de un mtri cudrd si sbemos que su determinnte vle que el determinnte de l mtri t vle? 9.- Justific, sin relir cálculo lguno, que.- Dds ls mtrices de orden con, clcul,..- Obtén, en función de, b c el vlor del determinnte: b b b m m m m m b c c b c b d c b c d b b d c i h g f e d c b b c b e d c f h g i r q p c b q r p b c c r c b q b p q b b q r c c r p p t t c b

14 .- Demuestr que: b b b ( ) ( ).- Dd l mtri se pide: ) Clcul: ; ; ; ; b) Resuelve l siguiente ecución:.- Se un mtri simétric M cuo determinnte es. Comprueb si es verddero o flso t 9 M t 7 M t Si son flss, indic l respuest correct..- Sen ls mtrices M t tles que. Con estos dtos clcul de form rond: ; t ) Hll los menores complementrios de los elementos,,, cundo eistn. b) Hll los djuntos de dichos elementos, cundo eistn. 8.- ) L mtri verific. Hll los posibles vlores del determinnte de. t b) L mtri verific que I. Hll los posibles vlores del determinnte de. 9.- Dd l mtri clcul el determinnte de l mtri de ls siguientes mners: ) plicndo l regl de Srrus. b) Desrrollndo por los elementos de l ª fil de l ª column. t t 9 t 7 t ; ; ; ;. - Sen F, F, F F ls cutro fils de un mtri cudrd, cuo determinnte vle. Se pide clculr de form rond: ) El determinnte de l mtri. b) El determinnte de l mtri invers de. c) El determinnte de l mtri. d) El determinnte de un mtri cus fils son: F, F F, F, F. b c d b b b c d 7.- Pr los determinntes b b b b b b b º de chillerto. Mtemátics II. Ejercicios problems utores: Letici Gonále Pscul Álvro Vldés LibrosMreVerde.tk

15 º de chillerto. Mtemátics II. Ejercicios problems utores: Letici Gonále Pscul Álvro Vldés LibrosMreVerde.tk Dds ls mtrices, se pide clculr el vlor de los siguientes determinntes: ; ; ; ;. - Resuelve ls siguientes ecuciones: ) b).- Resuelve ls siguientes ecuciones: ) b).- Resuelve l siguiente ecución, siendo e I l mtri unidd..- Hll los determinntes de ls siguientes mtrices:.- plicndo propieddes, clculr el vlor del determinnte: ) Indicndo los psos relir, hst llegr uno de orden. b) Desrrollndo por los elementos de un líne.. - Comprobr el vlor de los siguientes determinntes: ; 7.- Clcul el determinnte: 8.- Clcul los determinntes siguientes: ) b) C C t t C C I D E F G H J

16 º de chillerto. Mtemátics II. Ejercicios problems utores: Letici Gonále Pscul Álvro Vldés LibrosMreVerde.tk Resuelve ls siguientes ecuciones: ) b).- Resuelve ls siguientes ecuciones: ) b).- Hll ls mtrices inverss de ls mtrices: ) b) c).- Siendo ls mtrices. ) Es cierto que det( ) = det( )? b) Clcul, si es posible, l invers de.. - Dd l mtri hll los vlores de t pr los cules no tiene invers..- Dd l mtri, verigu pr qué vlores de eiste, clcúll pr..- Clcul l mtri invers de.- Dd l mtri ) Comprueb si es un mtri regulr o inversible. En cso firmtivo, hll su invers. b) Descompón l mtri M en sum de dos mtrices, un simétric otr ntisimétric. c) Descompón M en sum de dos determinntes P Q, tles que sus elementos sen todos no nulos que el vlor de uno de ellos se nulo. d) Comprueb si: e) Resuelve l ecución: 7.- Pr qué vlores de l mtri no tiene invers? Hll l invers pr =. 8.- ) Pr qué vlores del prámetro no es invertible l mtri? b) Pr los vlores de encontrdos clculr los determinntes de de c b c b c t t M Q P M Q P M M 7 t t

17 º de chillerto. Mtemátics II. Ejercicios problems utores: Letici Gonále Pscul Álvro Vldés LibrosMreVerde.tk Se C l mtri ) Pr qué vlores de m no tiene invers l mtri C? b) Clcul l invers de C pr m =..- Dd l mtri donde es un número rel, hll: ) Los vlores de pr los que l mtri pose invers. b) L invers de pr =. c) Con =, el vlor b R pr que l mtri b teng determinnte..- Dds ls mtrices, C M, plnte l resolución de ls siguientes ecuciones utilindo l mtri invers: ) b) c).- Clcul tods ls mtrices digonles de orden dos que coinciden con su invers. Si es un de ess mtrices, clcul su cudrdo..- ) Hll, si eiste, l mtri invers de M. b) Clcul l mtri X que cumple.- Dds ls mtrices: ) Qué vlores de hcen singulr l mtri C? b) Qué dimensiones debe tener l mtri pr que l ecución teng sentido? c) Clcul pr el vlor..- Resuelve ls siguientes ecuciones: ) b) c).- Hll el rngo de ls siguientes mtrices: ) b) c) d) 7. - Hll el rngo de ls siguientes mtrices: 8.- Hll el rngo de ls mtrices en función del prámetro: ) b) c) d) m X X X C X t M M M M X C D D C C

18 º de chillerto. Mtemátics II. Ejercicios problems utores: Letici Gonále Pscul Álvro Vldés LibrosMreVerde.tk Determin el rngo de ls mtrices siguientes en función del prámetro correspondiente:.- Dd l mtri ) Resuelve l ecución b) Clcul el rngo de l mtri según los vlores de.. - Dds ls mtrices ) Discute el rngo de según los vlores de m. b) Qué dimensiones debe tener l mtri X pr que se posible l ecución? c) Clcul X pr m =..- Resuelve ls ecuciones: ) siendo b), siendo c) siendo, d) siendo, C det m m m X X C X C C X 9 C C X C

19 º de chillerto. Mtemátics II. Ejercicios problems utores: Letici Gonále Pscul Álvro Vldés LibrosMreVerde.tk 9 UTOEVLUCIÓN Dds ls mtrices = =.- El vlor del determinnte de l mtri es: ) b) c) d) 8.- El djunto del determinnte de l mtri es: ) b) c) d).- El vlor del determinnte de l mtri es: ) b) c) 8 d) 8.- El rngo de es: ) b) c) d).- L mtri invers de es: ) b) c) d) Dds ls mtrices:.- L mtri invers de l mtri F es: 7.- El rngo de l mtri C es: ) b) c) d) no tiene 8.- L mtri de determinnte nulo es: ) C b) D c) E d) F 9.- El determinnte de l mtri CD vle: ) b) c) d).- El rngo de l mtri CF es: ) b) c) d) no tiene 7 / / / / / / / / / / / / / / / / / / ; ; ; F E D C ) F ) F b ) F c ) F d

20 º de chillerto. Mtemátics II. Ejercicios problems utores: Letici Gonále Pscul Álvro Vldés LibrosMreVerde.tk péndice: Problems de determinntes en l P..U. () Consider ls mtrices ) Puede eistir un mtri C de form que se puedn relir los productos C C? Si es posible, proporcion un ejemplo. Si no es posible, eplic por qué. b) Clcul ( I). c) Determin los vlores de que verificn = 7 I () Ddos los números reles, b, c d, se consider l mtri Prueb que el polinomio p() = det( I ) es p() = tr() + det(), donde tr() es l tr de l mtri, es decir, l sum de los elementos de l digonl de. () Consider l mtri ) Hll el determinnte de l mtri. b) Hll el determinnte de l mtri. c) Hll el determinnte de l mtri ( ). () Dds ls mtrices cudrds ) Clcul ls mtrices ( I) ( I). b) Justific rondmente que b.) Eisten ls mtrices inverss de ls mtrices ( I). b.) No eiste l mtri invers de l mtri ( I). c) Determin el vlor del prámetro rel pr el que se verific que = ( I). () Consider l mtri ) Estudi pr qué vlores de l mtri tiene invers. b) usc, si es posible, l mtri invers de cundo () Se dn ls mtrices, M, donde M es un mtri de dos fils dos columns que verific que M = M. Obtén rondmente: ) Todos los vlores reles k pr los que l mtri = k I tiene invers. b) L mtri invers cundo k =. c) Ls constntes reles pr ls que se verific que + = I. d) Comprueb rondmente que l mtri P = I M cumple ls relciones: P = P M P = P M. (7) Ddo el número rel se consider l mtri ) Obtén los vlores del número rel pr los que l mtri tiene invers. b) usc, si es posible, l mtri invers de cundo =. (8) Se consider l mtri ) Obtén el polinomio p() = det(). b) Si c =, busc ls ríces de p() dependiendo de b.,, I d c b I sec tg tg sec θ θ θ θ θ I b c

21 º de chillerto. Mtemátics II. Ejercicios problems utores: Letici Gonále Pscul Álvro Vldés LibrosMreVerde.tk (9) Se considern ls mtrices: ) Clcul, si es posible, l mtri invers de l mtri. b) Resuelve, si es posible, l ecución mtricil X =. () Utilindo ls propieddes de los determinntes: ) Verific que: b) Clcul: () Se ) Clcul su invers, si eiste. b) Encuentr l regl de cálculo de ls sucesivs potencis n de. c) Resuelve l ecución () Se consider un mtri cudrd de orden tres que verific l ecución = 9 I, donde I es l mtri identidd. ) Epres como combinción linel de I. b) ) Estudi si l mtri verific l ecución = 9 I. ) Determin si tiene invers, si l tiene, clcúll. () Dd l mtri ) Resuelve l ecución det() =. b) Clcul el rngo de l mtri según los vlores de. () Se ) Clcul ls mtrices que verificn l relción = + I (I es l mtri identidd) b) Clcul tods ls mtrices digonles que no poseen invers que verificn l relción nterior. c) Se verific pr culquier pr de mtrices C l relción + C = + C? Si no es cierto pon un contrejemplo. () Se l mtri ) Clcul el vlor de su determinnte en función de. b) Encuentr su invers, si eiste, cundo =. () plicndo ls propieddes de los determinntes ( sin desrrollr, ni plicr l regl de Srrus) responde rondmente ls siguientes pregunts: ) Cómo vrí el determinnte de un mtri de orden si se multiplic cd elemento ij de l mtri por i j? b) L mtri, de orden, = ( ij ) con ij = i + j, tiene invers? 7 d c b

22 º de chillerto. Mtemátics II. Ejercicios problems utores: Letici Gonále Pscul Álvro Vldés LibrosMreVerde.tk (7) plicndo ls propieddes de los determinntes sin utilir l regl de Srrus, clcul rondmente ls ríces de l ecución polinómic:. Enunci ls propieddes utilids. (8) Dd l siguiente mtri de orden n: se pide: ) Clculr el determinnte de l mtri. b) Clculr el determinnte de l mtri. c) Clculr el determinnte de l mtri. (9) Dd l mtri: ) Determin el rngo de M según los vlores del prámetro. b) Determinr pr qué vlores de eiste l mtri invers de M. Clcul dich invers pr =. () Hll un mtri X tl que X =, siendo: () Clcul los vlores de b pr los cules l mtri tiene invers. () Resuelve l siguiente ecución: () Obtén rondmente: ) El determinnte de un mtri cudrd de dos fils, que tiene mtri invers verific l ecución =. b) El determinnte de un mtri cudrd que tiene tres fils que verific l ecución:, Sbiendo que el determinnte de es positivo. () Dd l mtri se sbe que T es un mtri cudrd de tres fils tres columns cuo determinnte vle. Clcul rondmente los determinntes de ls siguientes mtrices, indicndo eplícitmente ls propieddes utilids en su cálculo: ) ½ T b) M c) TM T - () Dds ls mtrices ) Obtén rondmente el vlor de pr que el determinnte de l mtri () se. b) Clcul rondmente el determinnte de l mtri (). c) Demuestr que l mtri () no tiene mtri invers pr ningún vlor rel de. p ) ( n M b b b 9 M 8 ) ( 8 ) (

23 º de chillerto. Mtemátics II. Ejercicios problems utores: Letici Gonále Pscul Álvro Vldés LibrosMreVerde.tk () Se d l mtri donde m es un prámetro rel. ) Obtén rondmente el rngo o crcterístic de l mtri en función de los vlores de m. b) Eplic por qué es invertible l mtri cundo m =. c) Obtén rondmente l mtri invers - de cundo m =, indicndo los distintos psos pr l obtención de -. Comprueb que los productos - - dn l mtri identidd. (7) Dds ls mtrices clcul rondmente el vlor de los determinntes siguientes escribiendo todos los psos utilidos. ) b) c) (8) Dd l mtri ) Clcul, en función de, le determinnte de l mtri (), escribiendo los cálculos necesrios. b) Determin, rondmente, los números reles, pr los que el determinnte de l mtri invers () es igul. (9) Dds ls mtrices cudrds, e ) Justific que l mtri tiene invers obtener rondmente l mtri invers de, incluendo en l respuest todos los psos. b) Clcul, rondmente, el determinnte de l mtri -, incluendo en l respuest todos los psos relidos. c) Obtén rondmente los vlores reles,, que verificn l ecución: I + + =. () Dd l mtri ) Clcul ( I) ( I) donde I es l mtri identidd. b) Obtén l mtri trspuest de l mtri. c) Ron si eiste l mtri invers de, en su cso, clcúll. () Tenemos ls mtrices reles : ) Justific que eiste l mtri invers de, clcúll clcul el determinnte de -. b) Clcul el determinnte de l mtri, = ( + I ). c) Determin los números reles,,, t que cumplen: - = + I, = + t I. m m ) ( I I

24 Definición de determinnte Determinnte de orden dos RESUMEN El determinnte de un mtri cudrd es el número rel que se obtiene medinte i... nn det det S n 7 Determinnte de orden tres. Regl de Srrus 8 Menor complementrio Menor complementrio del elemento ij, ij, es el determinnte de orden n que se obtiene l eliminr l fil i l column j. djunto de un elemento djunto del elemento ij, ij, es el menor complementrio ij, precedido de + o según l sum de los subíndices i + j se pr o impr. ij i j ij Mtri djunt Se llm mtri djunt de l mtri l mtri formd por los djuntos de l mtri, se represent por dj(). dj Desrrollo por djuntos Mtri invers El determinnte de un mtri es igul l sum de los productos de los elementos de un líne por sus djuntos correspondientes. Si el determinnte de no es nulo: dj t Menor de un mtri Menor de orden k es el determinnte formdo por l intersección de k fils k columns de l mtri. M Rngo de un mtri Rngo (o crcterístic) de un mtri es el orden del menor de mor orden no nulo El rngo de l mtri nterior es dos, porque M = =. º de chillerto. Mtemátics II. Ejercicios problems utores: Letici Gonále Pscul Álvro Vldés LibrosMreVerde.tk

25 º de chillerto. Mtemátics II. Ejercicios problems utores: Letici Gonále Pscul Álvro Vldés LibrosMreVerde.tk CPÍTULO : SISTEMS DE ECUCIONES. CTIVIDDES PROPUESTS. nli resuelve, cundo se posible, los sistems siguientes: ) b) c) 7 d) 9. Escribe en form mtricil encuentr l mtri mplid de los sistems siguientes: ) b) c) 7 d) 9. Pr los sistems nteriores, clcul el determinnte de l mtri que hs obtenido utili l epresión: e b b c c b b b c b c pr intentr resolverlos.. Pr los sistems nteriores, nli qué relción eiste entre el vlor del determinnte de l mtri l clsificción como Sistem Comptible o Sistem Incomptible que hiciste en l primer ctividd propuest.. Pr los sistems nteriores, determin el rngo de l mtri mplid que hs obtenido nli qué relción eiste entre dicho rngo, el de l mtri l clsificción como Sistem Comptible Determindo, Sistem Comptible Indetermindo o Sistem Incomptible.. Decide cuáles de los siguientes sistems puede resolverse con est metodologí mtricil: ) b) c) d) 7. Dds ls siguientes mtrices, *, determin los sistems lineles socidos: ) ; b) ; c) * ; d) * 8. Escribe en form mtricil encuentr l mtri mplid de los sistems siguientes: ) ; b) ; c) 7 7 ; d) 9. Ron qué vlores debe tener el prámetro m pr que el sistem se comptible determindo, comptible indetermindo o incomptible: ) m b) m c) 7 m d) 9 m. Determin si los sistems siguientes son equivlentes o no: ) b) 7 9. Determin el vlor de m pr que los sistems siguientes sen equivlentes: ) m b) m

26 º de chillerto. Mtemátics II. Ejercicios problems utores: Letici Gonále Pscul Álvro Vldés LibrosMreVerde.tk nli resuelve medinte el método de Guss los sistems siguientes: ) b) c) 9 7 d) 9 9 e) f) g) h) i) w w. Resuelve el sistem nterior comprueb que el spirnte deberá contestr pregunts correctmente, errónemente dejr pregunts sin contestr pr lcnr los puntos. EJERCICIOS Y PROLEMS. Resuelve los siguientes sistems plicndo el método de eliminción o de Guss: ) b) c) d). Ddos los sistems: ) b) c) ) Epréslos en form mtricil comprueb que son sistems de Crmer. b) Resuélvelos utilindo l mtri invers plicndo l regl de Crmer.. Discute resuelve, cundo se posible, los siguientes sistems: ) b) c). Resuelve los siguientes sistems plicndo, si es posible, l Regl de Crmer: ) b) c) d). Discute resuelve los sistems en los csos que se posible: ) b). Ddo el sistem ) Estudi su comptibilidd según los vlores de. b) Resuélvelo pr el cso =. 7. Dds ls ecuciones: se pide: ) ñde un ecución pr que el sistem resulte ser incomptible. b) ñde un ecución pr que el sistem resulte ser comptible determindo m m 9

27 7 8. Ddo el sistem de ecuciones se pide: ) Discute resuelve, cundo se posible. b) ñde un ecución linel pr que el sistem resultnte teng: i) un solución ii) muchs soluciones iii) no teng solución 9. Discute resuelve cundo se posible los siguientes sistems homogéneos: ) b) c). Sen ls mtrices,,,, m C D m E ) Clcul cd uno de los tres productos, E D, D E. b) Si CD plnte un sistem de ecuciones incógnits (representds por, ) en función de m. Pr qué vlores de m el sistem tiene solución? Es siempre únic?. Sen ls mtrices,, C, D, E ) Sbiendo que CD E, plnte un sistem de ecuciones incógnits (representds por,, ) en función de. b) Pr lgún vlor de el sistem tiene solución únic? c) Pr = encuentr un solución del sistem con. El cjero utomático de un determind entidd bncri sólo dmite billetes de, de. Los viernes depositn en el cjero billetes por un importe totl de 7. verigu el número de billetes de cd vlor depositdo, sbiendo que l sum del número de billetes de de euros es el doble que el número de billetes de euros.. Se dispone de tres billeters, C con billetes de, euros respectivmente. Si psmos billetes de, el número de billetes en ést es igul l sum de los otros dos, pero si psmos billetes de C, el número de billetes en ést tmbién es igul l sum de los otros dos. verigu cuántos billetes h en cd billeter si se sbe que en totl h euros.. L sum de ls tres cifrs de un número es 8. L cifr de ls uniddes es igul l sum de ls decens más ls centens. Si se invierte el orden de ls cifrs el número ument en 9 uniddes. De qué número se trt?. Un emen de Mtemátics II v consistir en un test de pregunts. Por cd cierto se drán puntos, por cd fllo se quitrán puntos por cd pregunt no contestd se quitrá punto. Pr probr h que obtener por lo menos puntos. Cuánts pregunts hbrá que contestr correctmente pr obtener los puntos que el número de fllos más el quíntuple del número de pregunts no contestds se igul l número de ciertos?. En el mercdo podemos encontrr tres limentos preprdos pr gtos que se fbricn poniendo, por kilo, ls siguientes cntiddes de crne, pescdo verdur: limento Migto: g de crne, g de pescdo g de verdur limento Ctomel: g de crne, g de pescdo g de verdur limento Comect: g de crne, g de pescdo g de verdur Si queremos ofrecer nuestro gto 7 g de crne, 7 g de pescdo g de verdur por kilo de limento, qué porcentje de cd uno de los compuestos nteriores hemos de meclr pr obtener l proporción desed? 7. Clcul ls eddes de un fmili (pdre, mdre e hij), sbiendo que entre los tres sumn 7 ños, que hce cutro ños l edd del pdre er siete veces l edd de l hij que dentro de quince ños l edd de l hij será l curt prte de l sum de ls eddes del pdre de l mdre. 8. Un person invirtió 7 reprtidos en tres empress obtuvo de beneficios. Clculr l inversión relid en cd empres sbiendo que en l empres hio el triple de inversión que en l C junts, que los beneficios de ls empress fueron del % en l empres, el 8 % en l empres el % en l empres C. 9. Se tienen tres tipos de cfé: el de l clse, que cuest /kg, el de clse, que cuest 8 /kg el de l clse C que cuest /kg. Se dese hcer un mecl pr vender 8 kg de cfé 7 /kg. Cuántos kg de cd clse se deben poner si del primer tipo debe entrr el doble del segundo más el tercero? º de chillerto. Mtemátics II. Ejercicios problems utores: Letici Gonále Pscul Álvro Vldés LibrosMreVerde.tk

28 8. Clcul ls eddes ctules de un mdre sus dos hijos, sbiendo que hce ños l edd de l mdre er veces l sum de ls eddes de los hijos en quel momento, que dentro de ños l edd de l mdre será l sum de ls eddes que los hijos tendrán en ese momento que cundo el hijo mor teng l edd ctul de l mdre, el hijo menor tendrá ños.. En un frmci se comercilin tipos de chmpú de ciert mrc: norml, con vitmins nticsp. Se sbe que el precio l que se vende el norml es de euros el de vitmins es de euros. Se desconoce el precio l que se vende el nticsp. Por otro ldo, el dinero totl obtenido por ls vents de los tipos de chmpú el mes psdo fue de euros el dinero obtenido en vents con el chmpú norml fue euros inferior l dinero totl obtenido en vents con el resto. demás, el dinero totl obtenido en vents con el chmpú de vitmins el nticsp fue el mismo que el que hubier obtenido vendiendo 8 uniddes del nticsp ningun de los demás. ) Plnte un sistem de ecuciones (en función del precio desconocido del chmpú nticsp, que puedes llmr por ejemplo m) donde ls incógnits (,, ) sen ls uniddes vendids el mes psdo de cd tipo de chmpú. b) Qué puedes concluir sobre el precio del chmpú nticsp prtir de un estudio de l comptibilidd del sistem? c) Si se sbe que el número de uniddes vendids del nticsp fue, utili el resultdo del prtdo (b) pr clculr ls uniddes vendids de los otros.. En el trecto que h entre su cs el trbjo, un individuo puede repostr gsolin en tres estciones de servicio (, C). El individuo recuerd que este mes el precio de l gsolin en h sido de, euros/litro el precio de l gsolin en de,8 euros/litro, pero h olviddo el precio en C. (Supongmos que son m euros/litro). Tmbién recuerd que: l sum del gsto en litros de gsolin en ls estciones superó en,8 l gsto en C. el número de litros de gsolin consumidos en fue el mismo que en C. el gsto de litros en superó l de en, euros. ) Plnte un sistem de ecuciones (en función de m ) pr determinr los litros consumidos en cd gsoliner. b) Estudir l comptibilidd del sistem en función de m. Puedes dr lgún precio l que se imposible hber vendido l gsolin en l gsoliner C?. En un cfeterí los ocupntes de un mes bonron por cfés, tostd refrescos, mientrs que los de otr mes pgron 9 por cfés, tostds refrescos. ) Cuánto tienen que pgr los clientes de un tercer mes si hn consumido cfés tostds? b) Con los dtos que se dn, se puede clculr cuánto vle un cfé? Justific ls respuests. º de chillerto. Mtemátics II. Ejercicios problems utores: Letici Gonále Pscul Álvro Vldés LibrosMreVerde.tk

29 º de chillerto. Mtemátics II. Ejercicios problems utores: Letici Gonále Pscul Álvro Vldés LibrosMreVerde.tk 9 UTOEVLUCIÓN Ddo el siguiente sistem de ecuciones:.- Su mtri de coeficientes es: ) b) c) d).- Su mtri mplid es: ) b) c) d).- Si plicmos el método de Guss l nuev mtri mplid obtenid es: ) b) c) d).- El sistem es: ) comptible determindo b) comptible indetermindo c) incomptible d) tiene tres soluciones Ddo el siguiente sistem de ecuciones.- Su form mtricil es: ) b) c).- l ñdir l ecución indicd el sistem es comptible determindo ) b) c) d) 7.- l ñdir l ecución indicd el sistem es comptible indetermindo ) b) c) d) 8.- l ñdir l ecución indicd el sistem es incomptible ) b) c) d) 9.- Indic l firmción que es correct: ) Los sistems homogéneos tienen siempre infinits soluciones. b) Dos sistems son equivlentes si coincide lgun de sus soluciones. c) Un sistem es comptible si sólo si el rngo de l mtri de los coeficientes coincide con el rngo de l mtri mplid. d) Todos los sistems se pueden resolver por el método de Crmer

30 péndice: Problems de mtrices en ls P...U. () Ddo el siguiente sistem de ecuciones: - ) Obtén su mtri de coeficientes. b) Clcul el determinnte - ; de l mtri nterior. c) Sin resolver el sistem, ronr si tendrá solución únic. () En el primer curso de un centro de l Universidd de Oviedo se hn mtriculdo lumnos divididos en tres titulciones distints. En l tercer titulción h l tercer prte de lumnos que en l primer, l diferenci de lumnos que h entre l primer titulción l segund es inferior en dos lumnos l doble de los lumnos que h en l tercer. ) Estblece un sistem de ecuciones con ls condiciones del problem, en función del número de lumnos en cd titulción, obteng el número de lumnos que h en cd titulción. b) Clcul el determinnte de l mtri del sistem. () En un prtido de bloncesto femenino, el equipo de l Universidd de Oviedo gnó l de otr universidd espñol con un mrcdor 8. El mrcdor obtenido por el equipo gndor se consiguió medinte cnsts de dos puntos, triples (cnsts de tres puntos) tiros libres (cnsts de un punto). El número de tiros libres fue dos más que cinco veces el número de triples. demás, el número de cnsts de dos puntos fue dos más que el número de tiros libres. ) Plnte el sistem de ecuciones resultnte de lo nterior. ) Escribe l mtri mplid del sistem obtenido en ). C) Cuánts cnsts de cd tipo metió el equipo de l Universidd de Oviedo? () Cd cción de h ddo un gnnci de euros cd cción de NKO h ddo un gnnci de m euros. Un inversor hbí comprdo cciones de mbos tipos, lo que le supuso un gnnci totl de 8 euros, pero está rrepentido de su inversión, porque si hubiese comprdo l mitd de cciones de el doble de NKO, su gnnci totl hbrí sido de euros. ) Plnte un sistem de ecuciones (en función de m) donde ls incógnits e sen el número de cciones comprds de cd tipo. sándote en un estudio de l comptibilidd del sistem, eiste lgún vlor de m pr el que el sistem teng más de un solución? b) Si l gnnci por cd cción de NKO fue de euros, cuánts cciones de NKO hbí comprdo? () Un tiend vende bolss de crmelos euros cd un bolss de gominols euros cd un. L recudción de un determindo dí por estos dos conceptos h scendido euros se sbe que el número de bolss de crmelos que hn vendido ese dí es m veces el número de bolss de gominols. ) Plnte un sistem de ecuciones (en función de m) donde ls incógnits e sen el número de bolss de cd tipo que se hn vendido ese dí. sándote en un estudio de comptibilidd del sistem nterior, es posible que se hn vendido el doble de bolss de crmelos que de gominols? b) Suponiendo que se hn vendido el triple de bolss de crmelos que de gominols, cuánts bolss de gominols se hn vendido? () Un tren reli un vije directo entre dos cpitles. El vije lo reli por dos tipos de vís, por l primer circul siempre Km/h por l segund circul siempre m Km/h. El recorrido totl del vije es de Km l durción del mismo es de hors. ) Plnte un sistem de ecuciones (en función de m) donde ls incógnits e sen el número de hors que circul por cd tipo de ví. sándote en un estudio de l comptibilidd del sistem nterior, es posible que l velocidd l que circul por el segundo tipo de ví se tmbién de Km/h? b) Suponiendo que l velocidd l que circul por el segundo tipo de ví es Km/h, cuánto tiempo h estdo circulndo por el primer tipo de ví? (7) Un cdemi de idioms d clses de espñol un totl de m lumnos, entre los de nivel básico los de nivel vndo, con los que recud euros. Los lumnos de nivel básico pgn m euros l mes, mientrs que los de nivel vndo pgn el doble. ) Plnte un sistem de ecuciones (en función de m) donde ls incógnits e sen el número de lumnos de cd tipo en ls clses de espñol de l cdemi. sándote en un estudio de comptibilidd del sistem nterior, es posible que los lumnos de nivel básico pguen euros l mes? b) Si los lumnos de nivel básico pgn euros l mes, cuántos lumnos de nivel vndo h? (8) Jun Luis son dos migos que en totl tienen hijos. Un tercer migo, Jvier, tiene m hijos más que Jun m veces los de Luis. ) Plnte un sistem de ecuciones (en función de m) donde ls incógnits e sen el número de hijos de Jun Luis. Pr qué vlores de m el sistem nterior tiene solución? En cso de eistir solución, es siempre únic? b) Si Jvier tiene el doble de hijos que Luis, cuántos hijos tiene Luis? º de chillerto. Mtemátics II. Ejercicios problems utores: Letici Gonále Pscul Álvro Vldés LibrosMreVerde.tk

31 º de chillerto. Mtemátics II. Ejercicios problems utores: Letici Gonále Pscul Álvro Vldés LibrosMreVerde.tk (9) Un grupo de persons se reúne pr ir de ecursión, juntándose un totl de entre hombres, mujeres niños. Contndo hombres mujeres juntos, su número result ser el triple del número de niños. demás, si hubier cudido un mujer más, su número igulrí l de hombres. ) Plnter un sistem pr verigur cuántos hombres, mujeres niños hn ido de ecursión. b) Resolver el problem. () Considere el sistem ; ) Estudie su comptibilidd según los distintos vlores del número rel. b) Resuélvlo, si es posible, en el cso. () Ddo el sistem ) Estudie su comptibilidd según los vlores de. b) Resuélvlo cundo. () L mtri mplid socid cierto sistem de ecuciones lineles es: ) Obtener ls ecuciones del sistem. b) Clculr el rngo de l mtri formd por los coeficientes del sistem. c) Sin resolver el sistem, deducir rondmente si dmite soluciones en qué número. () L mtri de los coeficientes de un sistem es l de términos independientes ) Pr qué vlor o vlores de el sistem no tiene solución? b) Pr cierto vlor de un individuo encontró soluciones del sistem. Cuánto vlí? Tení más soluciones el sistem? c) Encuentr un vlor de pr el que el sistem teng solución únic, pr dicho vlor, resuélvelo. () Sen ls mtrices donde,, son desconocidos. ) Clculr ls mtrices ( ) + C D b) Sbiendo que, plnter un sistem de ecuciones pr encontrr los vlores de,,. c) Estudir l comptibilidd del sistem Cuánts soluciones tiene? d) Encontrr, si es posible, un solución. () Sen ls mtrices donde es desconocido. ) Se el sistem de ecuciones con tres incógnits cu mtri de coeficientes es de términos independientes. Puede pr lgún vlor de no tener solución este sistem? Pr qué vlores de el sistem tiene solución únic? b) Si l mtri de coeficientes es pero l de términos independientes es C, es posible que pr lgún vlor de el sistem no teng solución? Encuentr un vlor de pr el que el sistem teng más de un solución clcul dos de ells. () Sen ls mtrices,,,, ) Clcul cd uno de los tres productos, D E, E. b) Si plnte un sistem de ecuciones incógnits (representds por, ) en función de m. Pr qué vlores de m el sistem tiene solución? Es siempre únic? *,, D C D C C m C m D m E D C

32 º de chillerto. Mtemátics II. Ejercicios problems utores: Letici Gonále Pscul Álvro Vldés LibrosMreVerde.tk (7) Sen ls mtrices,,, ) Si, plnte un sistem de ecuciones incógnits (representds por, ) en función de. b) Pr qué vlores de el sistem tiene solución? Es siempre únic? Encuentr un solución pr = con (8) Sen ls mtrices ) Sbiendo que = C D, plnte un sistem de ecuciones incógnits (representds por,, ) donde es cierto vlor desconocido. b) Si se supier que el sistem tiene solución, podrímos descrtr lgún vlor de? c) Si se supier que el sistem tiene solución únic, podrímos descrtr lgún vlor de? d) H lgún vlor de pr el que el sistem teng más de un solución? (9) Sen ls mtrices,,,, ) Sbiendo que, plnte un sistem de ecuciones incógnits (representds por,, ) en función de. b) Pr lgún vlor de el sistem tiene solución únic? c) Pr = encuentr un solución del sistem con () Hll tods ls soluciones de un sistem linel de tres ecuciones con tres incógnits del que se conoce que son soluciones el rngo de l mtri de los coeficientes es mor o igul que uno. C D D C C D C D E E D C ) (,,,,,,,

33 º de chillerto. Mtemátics II. Ejercicios problems utores: Letici Gonále Pscul Álvro Vldés LibrosMreVerde.tk RESUMEN Ejemplos Sistem de ecuciones lineles Se denomin sistem de m ecuciones lineles con n incógnits l conjunto de relciones: Sistem homogéneo Un sistem de ecuciones lineles se dice que es homogéneo cundo el término independiente de tods ls ecuciones es igul cero. Sistems equivlentes Dos sistems con el mismo número de incógnits, unque no tengn el mismo número de ecuciones, se dice que son equivlentes si tienen ls misms soluciones, es decir, tod solución del primero es solución del segundo, vicevers. Verificn = ; = Epresión mtricil de un sistem Todo sistem puede epresrse como producto de mtrices en l form : ; Resolución por invers Teorem de Rouchè- Fröbenius El teorem de Rouchè-Fröbenius dice: "L condición necesri suficiente pr que un sistem de m ecuciones n incógnits se comptible (teng solución) es que el rngo de l mtri de los coeficientes se igul l rngo de l mtri mplid". Regl de Crmer L solución de un sistem puede clculrse como: Siendo i el determinnte que result de sustituir l column de l incógnit i ésim por l mtri de términos independientes. m n mn m n n n n b b b X m n mn m m n n b b b 8 X 8 X I X X X S.I. rg rg SCI rg SCD rg rg rg * * n n Si i i,

34 CPÍTULO : GEOMETRÍ EN EL ESPCIO - VECTORES. CTIVIDDES PROPUESTS. GEOMETRÍ DEL PLNO Clcul ls componentes el módulo de un vector de origen,, etremo,,. Ddos los puntos P,,, Q,, R,, los vectores (,, ), w (, clcul, indicndo si el resultdo es punto o vector: ) QP b) v w c) v RP d) P v e) R PQ w Ddos tres puntos genéricos, P p, p p, Q q, q q R r, r r, demuestr:, ) PQ QR PR b) PQ QP c) PP d) PQ PQ PQ Ddos los vectores u,,, v,, w 7,, clcul: ) u v w b) u v w c) ( u v ) w d) u ( v w) Ddos los puntos,,, 8,, determin el punto medio del segmento. Comprueb si los puntos,,,,, C,, están linedos. Determin si son linelmente independientes o no los conjuntos de vectores siguientes: u, v, w, con u,,, v,, w,, 7. u, v, con u,, v,,. C u, v, w,, con,,,,,,,, 7,,. PRODUCTO ESCLR Clcul el producto esclr de los vectores, u,, v,,, u v w v,). - Ddos los vectores libres: EJERCICIOS Y PROLEMS. ) Represent los vectores:, v b c d w b c. b) Hll un vector d tl que b c d.. - Ddos, b,m, hll el vlor de m pr que sen linelmente dependientes.. - Comprueb si son o no linelmente independientes los siguientes vectores: ), e, 9 b),,,,,,,, t,, c),,,,,,,,,,. - ) Ddos los vectores,, e, m,, hll el vlor de m pr que los dos vectores sen linelmente independientes. b) Si m, se puede epresr el vector,8, como combinción linel de e?. - Ddos los vectores u,,, v,, w, m,, clcul el vlor de m pr que el vector u se pued epresr como combinción linel de v w.. - Ddos los vectores,,,,, m,,, hll el vlor de m pr que los tres vectores sen linelmente dependientes. En este cso, epres como combinción linel de e Ddos los vectores u,, m, v, m, w,m,, determin el vlor de m pr que: ) Sen linelmente independientes. b) El vector v se pued epresr como combinción linel de u w, hll dich combinción. c) Sen coplnrios Los vectores,,,,,,,, formn un bse de V? En cso firmtivo: ) Hll ls componentes del vector u,, respecto de dich bse. b) Hll ls componentes en l bse cnónic i j, k del vector, si sus coordends en l bse u, v, w son, respectivmente., v º de chillerto. Mtemátics II. Ejercicios problems utores: Letici Gonále Pscul Álvro Vldés LibrosMreVerde.tk

35 9. - Hll un punto C que esté linedo con, otro punto D que no lo esté.. - De un segmento, el punto tiene de coordends,, el punto medio del segmento tiene de coordends M,,. Hll ls coordends del punto divide el segmento M en cutro prtes igules.. - De un segmento, se sbe que,, que el punto medio del segmento tiene de coordends M,,. Hll ls coordends de dividir el segmento en prtes igules.. - Ddos los puntos,,,,, hll dos puntos C D que estén linedos con, de mner que uno de ellos (C) esté situdo entre mbos el otro (D) esté situdo l iquierd de.. - De los vectores u v se sbe que u, u v los dos vectores formn un ángulo de. Hll v, pro u v pro. v u. - Puede hber dos vectores u v tles que u v 8 siendo u v?. - Ddos los vectores u,, v,,, clcul: ) El producto esclr u v. b) El módulo de el módulo de v. c) El ángulo formdo por ellos. d) El ángulo formdo por u u v. e) Un vector perpendiculr que teng módulo. Cuánts soluciones h?. - Ddos los vectores, clcul: ) El producto esclr. b) El módulo de el módulo de v u. c) El ángulo formdo por los vectores u u v. d) Los cosenos directores de v. e) Un vector perpendiculr u v que teng módulo Clcul ls componentes de un vector v que teng l mism dirección que el vector u,, su módulo se ls de otro vector w que se unitrio pero con sentido opuesto l vector u. Cuáles son los cosenos directores de u? 8. - Los cosenos directores del vector u son: cos,, cos, cos, 87. Si u, cuáles son sus componentes? 9. - Un vector u form con los vectores u de l bse ortonorml ángulos de, con el vector un ángulo u u gudo. Si u, determin ls componentes del vector u.. - Determin, si es posible, el vlor de m de modo que u m,, v, m, sen: ) Prlelos. b) Perpendiculres. - ) Clcul el vlor de m pr que los vectores u, m, v m,, sen perpendiculres. b) Qué ángulo formrán pr m los vectores u v u v?. - De dos vectores ortogonles se sbe que u v u v 7 u v. Hll u v.. - Ddos dos vectores u v, tles que u u v u v, clcul el módulo de v.. - Ddos los vectores u,,8 v,, clcul: ) Ls componentes de un vector unitrio de l mism dirección que v. b) Un vector de l mism dirección que v cuo módulo se igul l proección de u sobre v. c) Un vector perpendiculr mbos de módulo.. - Se u, v, w un bse de vectores tl que u, v, w demás verific que u v, u w v w. Clcul el vlor de m pr que u m v w b u v w sen ortogonles.. - Ddos los vectores,,, b,, c,,, determin un vector unitrio (de módulo ) que siendo coplnrio con b, se ortogonl (perpendiculr) c Dos vectores u v son tles que u, v u v 7. Qué ángulo formn? 8. - Sen u v dos vectores tles que u v. Si u v formn un ángulo de, hll: ) u v u v u v b) u v u v c) El ángulo que formn los vectores u v u v 9. - Determin, si es posible, el vlor de de modo que los vectores u,, v,, : ) Sen prlelos. b) Sen perpendiculres. c) Formen un ángulo de.. - Hll todos los vectores de módulo que formen un ángulo de con u,, de con v,,.. - Hll todos los vectores de módulo que formen un ángulo de 9 con,, con v,,. u º de chillerto. Mtemátics II. Ejercicios problems utores: Letici Gonále Pscul Álvro Vldés LibrosMreVerde.tk

36 . - Ddos los vectores u,,, v,, w,,, clcul: ) u, w v w u v b) v u w u v v w. - Ddos los vectores u,, 8, v,, w,, hll: ) v u v v w b) u, v w u w v. - Ddos los vectores u,,, v,, w u v, clcul: ) w, w v w u v b) v u w, v u w u v v w. - Ddos los vectores u,, v,, clcul: ) El módulo de u de v el ángulo que formn. b) El producto vectoril de u de v. c) Un vector unitrio que se ortogonl. d) El áre del prlelogrmo que tiene por ldos los vectores.. - Ddos los vectores u, m,, v,, w,,, se pide: ) El vlor de m pr que los vectores u tengn distint dirección. b) El vlor de m pr que los vectores u v sen ortogonles. c) Un vector que teng módulo que se perpendiculr los vectores v v w Ddos los vectores u,,m, v, m, w, m,, determin el vlor de m pr que: ) Sen linelmente independientes. b) El vector v se pued epresr como combinción linel de los vectores u w. Hll dich combinción. c) Sen coplnrios. d) El áre del prlelogrmo determindo por los vectores v w vlg u En un sistem de referenci ortogonl R O, u, u, u, donde u, u u, tenemos los vectores u u u b u u u. Con estos dtos se pide: ) u u, u u, u, u u u b) b,, b ángulo que formn b. c) u u, u u, u, áre del triángulo u b b determindo por. d) Repite los prtdos nteriores en el cso de ser un sistem de referenci ortonorml Encuentr un vector que teng de módulo, tl que si,, verifique:,,.. - Sen m, m,, m,, C,,m los vértices de un triángulo C. Cuánto vle m pr que el triángulo se rectángulo en?. - Los vértices de un triángulo C son,,,,, C 7,,. Cuánto vle pr que el triángulo se rectángulo en?. - Dos vértices consecutivos de un prlelogrmo son,,,,. Si O,, es el centro de dicho prlelogrmo, hll ls coordends de los otros dos vértices el áre del prlelogrmo.. - Ddos los puntos,,,,, C, m,, se pide hllr el vlor de m pr que los tres puntos: ) estén linedos. b) formen un triángulo rectángulo donde ˆ 9º. c) formen un triángulo isósceles, siendo  el ángulo desigul. d) formen un triángulo de áre u.. - Ddos los puntos,,,,, C, m,, se pide: ) Hllr pr qué vlores del prámetro m están linedos. b) Hllr si eisten vlores de m pr los cules, C son tres vértices de un prlelogrmo de áre u, en cso firmtivo, clculrlos. c) Hllr pr qué vlor de m formrán un triángulo rectángulo en, clculr el áre.. - Ddos los puntos,,,,,, C,, D,, clcul: ) El áre el perímetro del triángulo de vértices, C. b) El volumen del tetredro cuos vértices son,, C D. c) El volumen del prlelepípedo determindo por esos cutro puntos. d) El áre de un de ls crs lterles.. - Se l pirámide de vértices,,,,,, C,, D,,, clcul: ) El áre del prlelogrmo determindo por los puntos, C. b) El áre de cd cr. c) Su volumen. º de chillerto. Mtemátics II. Ejercicios problems utores: Letici Gonále Pscul Álvro Vldés LibrosMreVerde.tk

37 7 UTOEVLUCIÓN. Ddos los vectores de componentes (,, ) (,, ), indic el vlor de pr que los dos vectores sen linelmente dependientes. ) b) 9 c) d). El módulo del vector de origen (,, ) etremo (,, ) es: ) 8 b) c) d). Ddos los vectores u,,, v,, el vector w u v tiene de componentes: ) (,, ) b) (9,, ) c) (,, ) d) (,, ). Ddos los puntos,,, 7,, ls coordends del punto medio del segmento son: ) (,, ) b) (,, ) c) (,, ) d) (,, ). Ddos los vectores u,,, v,,, su producto esclr es: ) b) c) d). Ddo el vector v,, indic cuál de los vectores u es ortogonl él: ) u,, b) u,, c) u,, 7 d) u,, 7. Ddos los puntos,,,, 7, C(, 7, ) el áre del triángulo construido sobre ellos es: ) b) c) d) 8. Ddos los vectores u,,, v,,, su producto vectoril es: ) u v,, b) u v,, c) u v,, d) u v,, 9. Ddos los vectores u,,, v,, w,,, su producto mito es: ) b) c) d). Ddos los vectores u,,, v,, w,,, el volumen del prlelepípedo construido sobre ellos es: ) b) c) d) péndice: Problems de vectores en ls P...U.,7,8,, C,, D,,,, () usc el áre del polígono de vértices,,. () Ls coordends de los puntos medios de los ldos de un triángulo C son M, N,, P,,. ) Obtén ls coordends de los vértices, C del triángulo. b) Hll el áre del triángulo. () Los puntos P,, Q,, son dos vértices de un triángulo isósceles. Obtén ls coordends del tercer vértice sbiendo que el punto es de l form R,,. Es únic l solución? () Se consider el prlelepípedo cuos vértices de l cr inferior son los puntos,,,,,, C,, D,, con C vértices opuestos. Se ',, el vértice dcente en l cr superior. Clcule: ) Los vértices de l cr superior. b) El volumen del prlelepípedo. () Sen los puntos,,,,, C,,. ) Pr qué vlores de los puntos no formn un triángulo? b) Con clcul el áre del triángulo que formn los puntos. b c () Si, son vectores del espcio, indic cuál o cuáles de ls siguientes epresiones no tienen sentido: b c b c b c b c b b c (7) Sen, b c tres vectores linelmente independientes. Indic cuál o cuáles de los siguientes productos mitos vle cero: c c, b c c b, b c, b c, c,, º de chillerto. Mtemátics II. Ejercicios problems utores: Letici Gonále Pscul Álvro Vldés LibrosMreVerde.tk

38 8 (8) Señl si ls siguientes firmciones son verdders o flss. En cso de ser cierts, justifícls; en cso contrrio, pon ejemplos que lo confirmen. ) El producto mito de tres vectores culesquier no nulos es siempre distinto de cero.b) Si, b c son tres vectores del espcio tridimensionl R no nulos que stisfcen l condición b c, entonces se verific que b c. (9) Ddos los vectores, b c, tles que, b, c b c clcul l siguiente sum de productos esclres: b b c c. () Ddos los puntos,,,,,, C,, D,, : ) Prueb que el cudrilátero CD es un trpecio (tiene dos ldos prlelos) hll l distnci entre los dos ldos prlelos. b) Hll el áre del triángulo C. () Es siempre cierto que b b b? En cso firmtivo, justifíclo; en cso contrrio, pon un ejemplo que lo confirme. () Ddos los puntos,,,,,, C,, D,, clcul: ) El áre del triángulo de vértices, C. b) El volumen del tetredro cuos vértices son,, C D. () ) Demuestr que si tres vectores v, v v son perpendiculres entre sí entonces se verific: v v v v v v donde w denot el módulo del vector w. b) Ddos los vectores v,,, v,, hll un vector v tl que: v v v v v v c) Ddo el vector v,,, hll los vectores v v que cumpln ls tres condiciones siguientes: ) v tiene sus tres coordends igules no nuls; b) v es perpendiculr v c) v v v () Los puntos,,,,, C,, son tres vértices consecutivos de un prlelogrmo. ) Hll ls coordends del curto vértice D clcul el áre de dicho prlelogrmo. b) Clsific el prlelogrmo por sus ldos por sus ángulos. () Sen, C tres puntos del espcio tridimensionl que verificn l relción C. ) Clcul el vlor que tom k en l epresión C k b) Si,,,, 9, hll ls coordends del punto C que cumple l relción de prtid. () Se considern los puntos,,,,, C,,. ) Comprueb que no están linedos, culquier que se el vlor que tome el prámetro. b) Hll el áre del triángulo que determinn los tres puntos. (7) Resuelve l siguiente ecución vectoril:,,,, sbiendo que. (8) Ddos los vectores u,,, v,, w,,, se pide: ) Determin los vlores de pr que los vectores u, v w sen linelmente dependientes. b) Estudi si el vector c,, depende linelmente de los vectores u, v w pr el cso =. c) Justific rondmente si pr = se cumple l iguldd u v w. º de chillerto. Mtemátics II. Ejercicios problems utores: Letici Gonále Pscul Álvro Vldés LibrosMreVerde.tk

39 9 se de un sistem de vectores Punto medio de un segmento Producto esclr de vectores RESUMEN Se dice que el conjunto de vectores u formn un bse del, u,, u n espcio, se denot por u cundo verificn:, u,, u n - u son linelmente independientes., u,..., u n - Culquier otro vector se puede escribir como combinción linel de ellos: v u λ u λ. λ n u n Ddos dos puntos, b, b b, el punto medio del,, b b b segmento es: M,, Ddos dos vectores u v, se llm producto esclr, u v, l número rel que result l multiplicr el producto de sus módulos por el coseno del ángulo que formn: u v u v cos Producto vectoril de vectores Producto mito de vectores Proección de un vector sobre otro Ddos dos vectores u v, se llm producto vectoril, u v, l vector: - De módulo u v u v sen - Dirección perpendiculr u v - Sentido indicdo por l regl de Mwell Se llm producto mito de tres vectores, u, v w, l número rel que result de multiplicr esclrmente u por el vector resultnte del producto vectoril de : u, v, w u v w v w El producto esclr de dos vectores no nulos u v es igul l producto del módulo de uno de ellos por l proección del otro sobre él: Pro uv v cos α Ángulo entre vectores El ángulo entre dos vectores se clcul con l fórmul: u v u v cosα α rccos u v u v Áre de un prlelogrmo Áre de un triángulo Volumen de un prism Volumen de un tetredro El áre del prlelogrmo definido por dos vectores se clcul con l fórmul: Áre u v El áre del triángulo definido por dos vectores se clcul con l fórmul: Áre u v El volumen del prlelepípedo definido por tres vectores se clcul con l fórmul: Volumen, C, D El volumen del tetredro definido por tres vectores se clcul con l fórmul: Volumen, C, D º de chillerto. Mtemátics II. Ejercicios problems utores: Letici Gonále Pscul Álvro Vldés LibrosMreVerde.tk

40 CPÍTULO : RECTS Y PLNOS EN EL ESPCIO CTIVIDDES PROPUESTS. Escribe l ecución vectoril, prmétric, continu e implícit de l rect que ps por el punto,, tiene por vector director v,,. Escribe l ecución vectoril, prmétric, continu e implícit de l rect que ps por el punto,, tiene por vector director v,,. Escribe l ecución vectoril, prmétric, continu e implícit de l rect que ps por el punto,, tiene por vector director v,,. Escribe ls ecuciones de l rect que ps por los puntos,,,,.. Escribe ls ecuciones de l rect que ps por los puntos,,,, 7.. Escribe ls ecuciones de l rect que ps por los puntos,, 7,,. EJERCICIOS Y PROLEMS.. - ) Hll l ecución de l rect que ps por el punto,, tiene como vector director u,, rect de tods ls forms posibles. b) Pertenece el punto,, dich rect? Y el punto,, 7 Hll el vlor de m n pr que el punto D m, 7, n pertenec dich rect.. - Epres de tods ls forms posibles l rect que ps por los puntos,,,,. - Ddos los puntos. Epres dich C? c). Hllr un punto C que esté linedo con, otro punto D que no lo esté.,,,,, se pide: ) Epres de tods ls forms posibles l rect que ps por mbos puntos. b) Hll dos puntos C D que estén linedos con, de mner que uno de ellos (C) esté situdo entre mbos el otro (D) esté situdo l iquierd de.. - Epres de tods ls forms posibles ls siguientes rects: ) r : b) s : c) r : d) s:. - Epres de tods ls forms posibles l rect r : demás hll: ) Un punto de dich rect tl que su segund coordend se -. b) Un punto de dich rect tl que l sum de sus coordends vlg.. - Epres de tods ls forms posibles l rect de ecución r hll un punto de l mism cu primer coordend se Hll ls ecuciones de los ejes OX, OY, OZ eprésl de tods ls forms posibles Hll l ecución de l rect que ps por el punto,, es prlel: ) l eje OY. b) l rect de ecución r : Eprésl de tods ls forms posibles Dd l rect r : se pide: ) Epres dich rect de tods ls forms posibles. b) Hll un punto de dich rect tl que l sum de sus coordends vlg. c) Hll l ecución de un rect s que se prlel l rect r que pse por el punto,,. - Epres de tods ls forms posibles l rect r : hll l ecución de un rect s que psndo por el punto,, teng como vector director el de l rect r.. - Epres de tods ls forms posibles l ecución del plno : hll puntos de ese plno que estén linedos.. - Hll l ecución del plno (epresrlo de tods ls forms posibles) en los siguientes csos: ) Ps por el punto,, tiene como vectores directores u,, v,,. b) Ps por los puntos,,,, uno de sus vectores directores es u,,. c) Ps por los puntos,,,,, C,,.. - Hll ls ecuciones de los plnos OXY, OXZ, OYZ epréslos de tods ls forms posibles. º de chillerto. Mtemátics II. Ejercicios problems utores: Letici Gonále Pscul Álvro Vldés LibrosMreVerde.tk

41 º de chillerto. Mtemátics II. Ejercicios problems utores: Letici Gonále Pscul Álvro Vldés LibrosMreVerde.tk - Encuentr ls ecuciones prmétrics del plno que ps por el punto 8,9, P es prlelo ls rects: : r : s. - Hll l ecución del plno que ps por el punto,, contiene l rect r de ecución r :.. - Epres de tods ls forms posibles l ecución del plno que ps por el origen de coordends contiene l rect r Epres de tods ls forms posibles l ecución del plno que ps por el origen de coordends contiene l rect r : Hll l ecución del plno que contiene l punto,, M l rect : r 9. - Clcul pr qué vlor de m los puntos,, m, m,, 9,8, C están linedos. En el cso de que m, hll l ecución del plno que contiene dichos puntos. Pertenece el punto,, M dicho plno?. - Hll el plno que contiene l rect r : es prlelo : s.. - Clcul m n pr que l rect : r esté contenid en el plno, cu ecución es : n m.. - Estudi l posición reltiv de ls rects : r : s, hll l ecución del plno que ls contiene.. - Hll l posición reltiv, según los vlores de m n, de ls rects: n m r : : s. - Estudi l posición reltiv de ls siguientes rects plnos: ) : : r b) : : r c) : : r d) : : r. - Estudi l posición reltiv de los siguientes plnos: ) : : b) : : c) : : : d) : : :. - Estudi, según los vlores de, l posición reltiv de los siguientes plnos: ) : : b) : : : c) 8 : : : d) : : : 7. - Estudi, según los vlores de, l posición reltiv de ls siguientes rects plnos, clculndo (cundo se posible), el punto de intersección. ) : : r b) : : r 8. - Dds ls rects : r : s se pide: ) Posición reltiv de mbs rects. b) Ecución del plno que contiene dichs rects Dds ls rects r s de ecuciones r : : s. ) Estudi su posición reltiv. b) Hll l rect que cort r s es prlel l rect,,,,,, : t.

42 . - Ddos los plnos : :, hll l ecución de un rect r que psndo por el punto M,, es prlel los dos plnos.. - Dds ls rects r s de ecuciones r :, s :, hllr: ) El vlor de m pr que mbs m rects se corten. b) Pr ese vlor de m, el plno que contiene r s. c) L ecución de l rect que ps por el punto M,, es perpendiculr l plno.. - Dd l rect r : el plno : m n clcul: ) Vlores de m n pr que l rect el plno sen: i) prlelos ii) perpendiculres iii) l rect esté contenid en el plno. b) Pr m n, el punto de intersección de l rect el plno. c) Punto de intersección de l rect r, con el plno OYZ.. - Dds ls rects r : s :, clcul l ecución de l rect que ps por el punto M,, es perpendiculr mbs rects.. - Dds ls rects r : s :, se pide: Posición reltiv de mbs rects. Ecución de l rect que ps por M,, es perpendiculr mbs rects.. - Hll el áre del triángulo cuos vértices son los puntos,,,,, el tercer vértice es el punto de corte del plno OXZ con l rect r :.. - Ddos los puntos,,,,, C,,, se pide: Clcul el vlor de pr que los tres puntos estén linedos. Pr, clcul el perímetro del triángulo que teng de vértices dichos puntos, sí como su áre el vlor de l ltur correspondiente l vértice. Hll l ecución de un medin Los puntos P,, Q,, son dos vértices de un triángulo, el tercer vértice S pertenece l rect r :,. demás, l rect que contiene los puntos P S es perpendiculr l rect r. ) Determin ls coordends de S. b) Clcul el áre del triángulo PQS Los puntos,,,, son dos vértices de un triángulo isósceles. ) Obtén ls coordends del otro r :,. b) Hll el vlor del ángulo desigul. vértice C, sbiendo que pertenece l rect º de chillerto. Mtemátics II. Ejercicios problems utores: Letici Gonále Pscul Álvro Vldés LibrosMreVerde.tk

43 UTOEVLUCIÓN. Un ecución de l rect que ps por el punto (,, ) tiene por vector director v,, es: ; b) ; c) ),,,, t,, ; d). Un ecución de l rect que ps por los puntos (,, ) (,, 7) es: ; b) ; c) ),,,, t,, 7 7 ; d) t t 9t. El vector director de l rect es: ),, ; b) (,, ) ; c) (,, ) ; d) (,, ). Un ecución del plno que ps por el punto (,, ) tiene como vectores directores u,, v,, es: ),,,,,, 7 (,, ) ; b) ; c) (,, ) = (,, ) + (,, ) + (,, ). Un ecución del plno que ps por el punto (,, ) contiene l rect,,,, t,, es: ) (,, ) = (,, ) + (,, ) + (,, ); b) ; c) = ; d) n,,. Un ecución del plno que ps por el punto (,, ) de vector norml es: ),,,,,, (,,) ; b) ; c) = ; d) 7. Un ecución del plno que ps por los puntos (,, ), (,, ), C(,, 7) es: ) ; b) ; c) 7 ; d) Los plnos 7 son: ) coincidentes; b) prlelos; c) secntes; d) ortogonles t 9. Ls rects t son: t ) coincidentes; b) prlels; c) secntes; d) se crun. El plno l rect son: ) l rect está contenid en el plno; b) prlelos; c) secntes; d) ortogonles º de chillerto. Mtemátics II. Ejercicios problems utores: Letici Gonále Pscul Álvro Vldés LibrosMreVerde.tk

44 péndice: Problems de rects plnos en ls P...U. () Los puntos P,,,, r :, Q son dos vértices contiguos de un rectángulo. Un tercer vértice pertenece l rect. ) Determin los vértices de un rectángulo que verifique ls condiciones nteriores. b) Qué posición reltiv deberí tener l rect r l que contiene l segmento PQ pr que l solución fuese únic? Ron l respuest. () Los puntos P,, Q,, son dos vértices opuestos de un cudrdo que está contenido en un plno perpendiculr l plno de ecución. ) Determin los vértices restntes. b) Clcul l ecución de l rect que ps por los vértices clculdos. c) Clcul el perímetro del cudrdo construido. () Se consider el prlelepípedo cuos vértices de l cr inferior son los puntos,,,,,, C,, D,, con C vértices opuestos. Se,, el vértice dcente en l cr superior. Clcul: ) Ls ecuciones de los plnos que contienen ls crs inferior superior. b) Los vértices de l cr superior. c) El volumen del prlelepípedo. () Los puntos,,,,,, C,, D formn un prlelogrmo. Clcul: ) Ls coordends del vértice D opuesto. b) El áre del prlelogrmo. c) L ecución de l rect que ps por el punto medio del segmento C es perpendiculr l plno que contiene l prlelogrmo. () Se el plno : t, s, s t l rect s :. ) Encuentr l posición reltiv de los mismos. b) Hll l ecución de l rect r que ps por el punto P,,, es prlel l plno es perpendiculr l rect s. () Ddos los puntos,,,, l rect r :,,, hll: ) Un punto C r de form que el triángulo C se rectángulo con el ángulo recto en C. b) El plno que ps por es prlelo r. (7) Considere ls rects r : s :. ) D su posición reltiv. b) Obtén, si es posible, un plno prlelo s que conteng r. (8) Ddo el punto,, l rect r :, clcul: ) Un vector u director de l rect r. b) El plno que contiene l rect r l punto. c) L rect s que ps por el punto, está contenid en el plno nterior, su dirección es perpendiculr l de l rect r. (9) Sen el plno : b l rect r :. ) Con, estudi l posición reltiv de l rect el plno. b) Siguiendo con, clcul b pr que el punto,, pertenec l rect l plno. c) Determin los vlore de b pr que l rect r esté contenid en el plno. () Un plno determin sobre l prte positiv de los ejes OX, OY OZ tres segmentos de longitudes, metros respectivmente. ) Hll l ecución del plno. b) Hll l ecución de l rect r que contiene los puntos,,,, estudie l posición reltiv de r según los vlores de. c) Pr el cso, hll el punto donde se cortn r.,,,,,,, () Se considern l rect r que ps por los puntos P Q, el plno que contiene los puntos,, C,,. Clcul: ) Ls ecuciones implícits de r. b) L posición reltiv de r. () Se consider l rect r :. ) Determin el plno que contiene r ps por el origen de coordends. b) Hll l ecución de l rect perpendiculr que ps por el punto,,. () Se considern ls rects r : s : t, m t, t. ) Clcule m pr que ls rects se corten en un punto. b) Pr ese m hlle el punto de corte. t () Hll l ecución del plno que ps por el punto P,, es prlelo ls rects: r : t s : t () Encuentr un ecución del plno que ps por el origen de coordends, es prlelo l plno determindo por el punto,, Q,, tiene vector director. P l rect que ps por el punto º de chillerto. Mtemátics II. Ejercicios problems utores: Letici Gonále Pscul Álvro Vldés LibrosMreVerde.tk

45 () Consider los plnos : :. ) Estudi l posición reltiv de. b) Encuentr, si es posible, un rect prlel que pse por el punto,,. (7) Hll los plnos que psndo por,,,,, corten l eje OX en un punto C tl que el áre del triángulo de vértices, C se. (8) Hll el áre del triángulo cuos vértices son los puntos de corte del plno con los ejes coordendos. (9) Ddo el plno de ecución : 7, los puntos,,, C, m, se el pie de l perpendiculr trd desde el punto l plno. ) Determin el vlor de m pr que el triángulo C se rectángulo en clcul su áre. b) Hll los dos ángulos restntes de dicho triángulo. () Ddo el punto,, los plnos : :, hll: ) L ecución de l rect que ps por el punto es prlel los plnos. b) El áre del triángulo cuos vértices son los puntos donde el plno cort los ejes. c) El volumen del tetredro de vértice el punto de bse el triángulo del prtdo nterior. () Hll el volumen del tetredro que tiene como vértices el punto,, los puntos en que el plno : cort los ejes coordendos. () Dd l rect r : el plno :, hllr el vlor de pr que: ) L rect se prlel l plno. b) L rect corte l plno. c) L rect se perpendiculr l plno. d) El volumen del tetredro que tiene como vértices el origen de coordends los puntos donde el plno cort los ejes vlg u. () Ddos los plnos : : : se pide: ) Obtén ls ecuciones prmétrics de l rect determind por. b) Clcul el seno del ángulo que l rect del prtdo nterior form con el plno. () Ddos el plno :, l rect r : ) Estudi l posición reltiv de r. b) Determin el plno que contiene r es perpendiculr. c) Determin l rect que ps por,,, cort r, es prlel. () Sen ls rects: : r s : k. ) Hll k pr que r s sen coplnris. b) Pr el vlor nterior de k, hll l ecución del plno que contiene mbs rects. c) Pr el vlor nterior de k, hll l ecución de l rect perpendiculr común ls rects dds. () Hll un ecución crtesin del plno que contiene l rect r: r : t, t, t es perpendiculr l plno : : (7) Pr cd vlor del prámetro rel, se considern los tres plnos siguientes: : : : Se pide: ) Clcul los vlores de pr los cules los tres plnos nteriores contienen un rect común. b) Pr los vlores de clculdos, hll uns ecuciones crtesins de dich rect común. (8) Ddos el plno : l rect s : ) Hll l ecución generl del plno ' que contiene r es perpendiculr. b) Escribe ls ecuciones prmétrics de l rect intersección de los plnos '. (9) Ddos los puntos,,,,, el plno : 7, determin el plno que es perpendiculr l plno ps por los puntos. () Dds ls rects: r : s : ) Hll el vlor de k pr que ls dos rects estén contenids en el mismo plno. b) Pr el vlor de k obtenido en el prtdo nterior, determin l ecución generl del plno que ls contiene. P,, cort perpendiculrmente l rect () Clcul ls ecuciones prmétrics de l rect que ps por el punto s : º de chillerto. Mtemátics II. Ejercicios problems utores: Letici Gonále Pscul Álvro Vldés LibrosMreVerde.tk

46 RESUMEN Vector norml del plno Se llm vector norml del plno : C D l vector n,, C que es perpendiculr l plno. Posiciones reltivs de dos plnos Plntedo el sistem de ecuciones formdo por ls ecuciones de los dos plnos de coeficientes M * C l mtri mplid con los términos independientes. M C : C D. Sen M l mtri : C D C D M * C D Plnos coincidentes Plnos prlelos rg * M rg M nº incógnits S. C. I. rg * M rg M S. I. Plnos secntes rg * M rg M nº incógnits S. C. I. Posiciones reltivs de dos rects Considermos ls rects r s, que vendrán determinds por un punto un vector director: P p, p, p Q q, q, q r : s : u u, u, u v v, v, v Rects coincidentes Rects prlels Rngo Rngo u, v, PQ u, v, PQ Rngo u, v, PQ Rects secntes,, Rngo,, Rngo u v PQ u v PQ Rects que se crun Rngo u, v, PQ Posiciones reltivs de un rect un plno Considermos l rect r, dd por ls ecuciones implícits, un plno, ddo por su ecución generl: Sen M l mtri de coeficientes Rect contenid en el plno C D : C D r : C D rg M * l mtri mplid del sistem formdo por sus ecuciones. M C C C * M rg M S. C. I. * M ' C C C D D D º de chillerto. Mtemátics II. Ejercicios problems utores: Letici Gonále Pscul Álvro Vldés LibrosMreVerde.tk