PLAN DE CLASE (1/4) Escuela: Fecha: Profesor (a):

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1 PLAN DE CLASE (1/4) Escuela: Fecha: Profesor (a): Curso: Matemáticas 8 Eje temático: F E y M Contenido: Cálculo de la medida de ángulos inscritos y centrales, así como de arcos, el área de sectores circulares y de la corona. Intenciones didácticas: Que los alumnos calculen las medidas de ángulos inscritos y centrales en una circunferencia. Consigna: Organizados en parejas encuentren la medida de los ángulos centrales e inscritos marcados en cada una de las siguientes circunferencias. En todos los casos el punto C es centro. Consideraciones previas En el caso de la estrella de 8 picos, los alumnos pueden razonar que el ángulo inscrito abarca un arco que es o de toda la circunferencia, por lo que el ángulo central con el mismo arco mide 90º y, en consecuencia, el ángulo inscrito marcado mide 45º. Es probable que algunos estudiantes tracen el ángulo central que abarca el mismo arco y noten de inmediato que se trata de un ángulo recto. Para el valor del ángulo inscrito en la figura con el decágono regular, es probable que algunos estudiantes recuerden la manera de calcular el ángulo interior de este tipo de figuras y podrán usarla si así lo desean ( ( ) ). Otra manera es observando que el ángulo central correspondiente abarca de la circunferencia por lo que mide 8 x 36º, esto da 288º, de ahí que la medida del ángulo inscrito es 144º que coincide con el valor encontrado con la fórmula anterior. Si no surgen estas dos maneras, pueden mencionarse en la puesta en común que se haga. Finalmente, en la última figura los alumnos tendrán que poner en juego varios conocimientos para encontrar el valor de los tres ángulos marcados, estos conocimientos son: 1. Que los ángulos interiores de un triángulo suman 180º 1

2 2. Que los radios de una circunferencia tienen la misma media y, por lo tanto, los dos triángulos menores que se forman son isósceles. 3. Que en un triángulo isósceles, a lados opuestos se oponen ángulos opuestos. 4. Que dos ángulos adyacentes uno de cuyos lados es prolongación del otro forman un ángulo de 180º. Todo lo anterior se conjuga para que los estudiantes encuentren que: El ángulo central que adyacente al ángulo de 80º mide 100º. Uno de los ángulos inscritos mide 50º y el otro, 40º Si nota que a los alumnos les está costando trabajo puede apoyarlos con preguntas como cuánto suman los ángulos interiores de un triángulo?, qué tipo de triángulos son estos (los isósceles)?, etcétera. Observaciones posteriores: 1. Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión? 2. Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase? 3. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil Útil Uso limitado Pobre 2

3 PLAN DE CLASE (2/4) Escuela: Fecha: Profesor (a): Curso: Matemáticas 8 Eje temático: F E y M Contenido: Cálculo de la medida de ángulos inscritos y centrales, así como de arcos, el área de sectores circulares y de la corona. Intenciones didácticas: Que los alumnos resuelvan problemas que implican calcular el área de sectores circulares. Consigna: Organizados en parejas resuelvan el problema siguiente: Una cabra está atada, mediante una cuerda de 3 metros de longitud, a una de las esquinas exteriores de un corral de forma cuadrada, de 5 m de lado. El corral está rodeado por un campo de hierba. Primero estima el resultado de: a) En qué área puede pastar la cabra? b) Cuál es la longitud total del arco que describe el desplazamiento de la cabra cuando la cuerda está a su máxima longitud? 5m cabra 3m a) Antes de hacer operaciones, cuál es la medida de la superficie en la que puede pastar la cabra? b) Realiza las operaciones convenientes y calcula la superficie en la que puede pastar la cabra. Anótala: c) Compara la estimación que hiciste en el inciso a) con el resultado obtenido en el inciso b). Consideras que hiciste una buena estimación?. Argumenta tu respuesta: Consideraciones previas: El inciso a) tiene el propósito de desarrollar en los estudiantes la habilidad para estimar el resultado de un problema, esta estimación les permite concentrarse en los datos del problema antes de enfrascarse en las operaciones, también puede permitirle controlar si su resultado encontrado después es o no razonable, a partir de compararlo con su estimación. 3

4 Se sugiere favorecer la reflexión con las siguientes preguntas: Si la cuerda que ata a la cabra, permanece tirante, qué trayectoria describirá en su movimiento sobre la zona en que pasta, con respecto de la esquina donde se encuentra atada? Tiene alguna relación la medida del ángulo del cuadrado con la circunferencia trazada por el movimiento de la cabra alrededor del poste? Qué parte de la circunferencia comprende el sector circular, donde la cabra puede moverse libremente? (Es posible que el alumno conteste ¾ del círculo o la medida en grados del arco que corresponde a 270 ); o bien, qué parte de la circunferencia corresponde al sector en que la cabra no puede pastar? Cómo se obtiene la cuarta parte del área del circulo?; o bien, cómo calculas las 3 cuartas partes del área circular? Estas preguntas también pueden servir de orientación para la resolución del problema; esto en caso de que los alumnos no encuentren la forma de resolverlo. Si el problema es resuelto rápidamente por los alumnos, se pueden variar las condiciones, por ejemplo: Qué área de pastoreo tendrá la cabra si el corral tiene forma de hexágono regular de 5 m por lado y la cuerda atada al poste en uno de sus vértices es de 3 m de longitud? (Modificar el tamaño de la cuerda o cambiar el punto del corral en que la cabra está atada; por ejemplo en el centro de uno de los lados del corral). Observaciones posteriores: 1. Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión? 2. Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase? 3. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil Útil Uso limitado Pobre 4

5 PLAN DE CLASE (3/4) Escuela: Fecha: Profesor (a): Curso: Matemáticas 8 Eje temático: F E y M Contenido: Cálculo de la medida de ángulos inscritos y centrales, así como de arcos, el área de sectores circulares y de la corona. Intenciones didácticas: Que los alumnos apliquen sus conocimientos para calcular áreas de coronas circulares. Consigna: Organizados en parejas resuelvan el siguiente problema: La figura corresponde a un juego de tiro al blanco. Los puntos O, A, B, C y D están alineados y O es el centro de todos los círculos. La distancia del punto O al punto A es de 20 cm yla distancias AB = 10 cm, la BC = 10 cm y la CD = 10 cm. Con estos datos calculen: a) Sin hacer operaciones, estimen: El área del círculo central. El área de la corona circular entre A y B El área de la corona circular entre B y C. El área de la corona circular entre A y D. b) Hagan los cálculos necesarios y encuentren las áreas pedidas. El área del círculo central. El área de la corona circular entre A y B El área de la corona circular entre B y C. El área de la corona circular entre A y D. c) Compara tu estimación con los resultados que encontraste. Fue buena tu estimación? Argumenta tu respuesta. Consideraciones previas: Es buena que los alumnos estimen los resultados a los problemas antes de resolverlos, esto desarrollará su sentido numérico y se darán cuentan que no es sencillo estimar las áreas de superficies con lados curvos. Existen diferentes maneras de calcular el área de una corona circular. Es muy probable que los estudiantes calculen el área del círculo mayor y al resultado le resten el del círculo menor. Por ejemplo, para calcular el área de corona entre A y D, pueden proceder de la siguiente manera: Área del círculo con radio OD. 5

6 De la misma manera se obtiene el área del círculo con radio OA: Y el resultado se obtiene restando: Posiblemente algunos alumnos encuentren un procedimiento más eficiente que consiste en restar primero los radios elevados al cuadrado y luego multiplicar por. Esto se deduce de factorizar : ( ) Un posible error que pueden cometer los alumnos es pensar que el área de la corona circular se obtiene restando los radios y luego elevar al cuadrado el resultado. La estimación de los resultados puede emplearse para que noten que de esta manera el resultado que obtienen no es razonable. Si el tiempo lo permite, podría presentarles el siguiente problema, o bien, dejarlo de tarea: Has sido elegido para presenciar un eclipse solar por unos cuantos instantes; la circunferencia de la luna y la del sol compartirán el mismo centro. Por motivos astronómicos es necesario que calcules el área aparente de la corona solar. El departamento de astronomía de la UNAM te proporciona los siguientes datos: Diámetro aparente del sol km. Diámetro real de la luna km. Observaciones posteriores: 1. Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión? 6

7 2. Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase? 3. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil Útil Uso limitado Pobre 7

8 PLAN DE CLASE (4/4) Escuela: Fecha: Profesor (a): Curso: Matemáticas 8 Eje temático: F E y M Contenido: Cálculo de la medida de ángulos inscritos y centrales, así como de arcos, el área de sectores circulares y de la corona. Intenciones didácticas: Que los alumnos resuelvan problemas que implican calcular el área de sectores circulares y la longitud de arcos de circunferencia. Consigna: En una pared que mide 6 metros de ancho por 5 metros de alto se tiene pensado hacer un hueco que funciones como puerta y que tenga como remate un arco. Se quiere elegir entre los siguientes tres diseños: Los dibujos están hechos a escala, cada cuadrito de los dibujos mide en la realidad 1 metro por 1 metro y en el último diseño el triángulo que sirve de guía es equilátero. a) Cuál es la cantidad mínima de mosaico que se requiere para cubrir cada pared una vez que se haya hecho el hueco para la puerta? b) Cuál es el perímetro de cada hueco para la puerta? Consideraciones previas: Las áreas pedidas implican que al área de la pared se le reste el área que dejará libre cada uno de los huecos para las puertas. El desafío lleva implícito un fuerte trabajo con la visualización de las figuras, de la manera en que los alumnos visualicen cada hueco encontrarán diferentes formas para calcular su área. El caso más sencillo es el primer diseño pues el hueco está formado por un rectángulo de 4 metros de base por 2 metros de altura y un semicírculo de radio 2 metros, por lo que el área que dejará libre el hueco es: 8

9 ( ) ( ) Obteniendo: ( ) Es muy probable que en el segundo diseño los alumnos traten de calcular el área del hueco visualizando que está formado por: - Un rectángulo de 4 x 2 - Un rectángulo de 2 x 1 - Dos cuartos de circunferencia - Dos figuras con un lado curvo, cada una de las cuales es el resultado de restar a un cuadrado un cuarto de circunferencia Otra manera de visualizar es reacomodando las partes curvas para notar que las cuatro forman dos cuadrados. Esta manera de visualizar el hueco permite calcular fácilmente el resultado: el hueco quitó al muro un área de 12 metros cuadrados por lo que se requiere comprar como mínimo 18 metros cuadrados de mosaicos. Finalmente, el tercer diseño es el que probablemente se les dificulte más a los estudiantes. Se puede hacer calculando las áreas de cada una de las partes para llegar al resultado. Será importante que los alumnos recuerden que los ángulos interiores de un triángulo equilátero miden 60º. Con este dato se darán cuenta de que sumado las áreas de las tres partes curvas se obtiene 1 ½ de círculo con radio 1 metro, esto permite repasar con los alumnos la suma de fracciones:. No obstante, habrá alumnos que prescindan de la suma de fracciones y visualizando las partes curvas del arco se den cuenta de que, en efecto, se forman con ellas un círculo y la mitad del otro. Ambas situaciones dará lugar a comprobar si lo que visualizan algunos puede comprobarse por medio de una suma de fracciones. 9

10 Observaciones posteriores: 1. Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión? 2. Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase? 3. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil Útil Uso limitado Pobre 10