INTEGRAL DEFINIDA. El hallar el área aproximada bajo la curva por suma de n áreas rectangulares de igual ancho x

Transcripción

1 en INTEGRAL DEFINIDA El concepto de integrl definid está relciondo con el vlor que determin el áre jo l curv dd por un función f (x) el [, ]. (ve l intervlo gráfic) Uno de los primeros psos pr llegr este concepto fue desrrolldo por Riemnn, quien ordo el cálculo del áre con prticiones rectngulres, como se muestr en l siguiente gráfic. El hllr el áre proximd jo l curv por sum de n áres rectngulres de igul ncho x, y por l función f(x), est dd por A n i f ( c i ) x Con l nimción podemos oservr que el áre exct jo l curv se d por l sum de infinits prticiones rectngulres.

2 Σ indic Luego el áre exct es el límite de ests sums, llmds sums de Riemnn, A lim n n i f ( c ) x i En generl (f positiv o negtiv), se d l siguiente definición. DEFINICIÓN: L integrl definid de f des hst es ( lim f x) n n i f ( c i ) x pr culquier función f definid en [,] pr l cul existe el límite. L letr grieg sum; esto mismo hce l s lrgd,, que se us como símolo pr l integrl. Los límites de integrción, inferior y superior, indicn el intervlo en el que se está integrndo. Not: Si f es continu y 0 en [,], entonces Áre jo l

3 entonces curv en [,] En otrs plrs, l integrl es definid por que d como resultdo un vlor numérico. Propieddes de l integrl definid Sen f, g funciones integrles definids en el intervlo [, ]. Entonces se cumplen ls siguientes propieddes: U. Propieddes de linelidd: i) ( ( x) + g( x)) + ii) Si iii) f g( x) c R, f ( x) c c U. Propiedd de ditividd respecto del intervlo: Si < c <, entonces En l gráfic se puede interpretr: ( x) + c f c ( x). f 0 Est propiedd se puede interpretr como l no existenci de áre en el mismo punto.

4 f es f ( TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO Este teorem permite clculr l integrl definid de un función utilizndo l ntiderivd de l función ser integrd. Este se divide en dos prtes y cuy segund prte tmién es llmdo segundo teorem fundmentl del cálculo o tmién se le llm l Regl de rrow, en honor Isc rrow. Teorem: UPrte IU: Se función un función integrle en el intervlo [, ], se define un nuev Entonces F es continu en [ ] Es más, si c y x F ( x) f ( t) dt,. Tl que F '( x) continu en un punto c del intervlo F '( c) f ( c), ), entonces F es derivle en UPrte IIU: Si F es un ntiderivd de f, entonces F( ) F( ) Est prte indic como evlur l integrl definid de un función f(x). Entonces primero se hll l ntiderivd de l función y luego est se evlú en el límite superior y se rest el vlor en el límite inferior. TEOREMA DEL VALOR MEDIO Alguns veces es necesrio encontrr l medi (vlor medio) de un función f(x) continu en un intervlo [,], entonces existirá un punto c en este intervlo donde se lcnz este vlor. El siguiente teorem permite determinr el vlor medio: Teorem: Dd un función continu f definid en [,], existe un vlor c tl que: ( ) f ( c)

5 y y y Interpretción gráfic Ejercicios resueltos: Ejemplo : Teorem fundmentl (prte II) Evlur l siguiente integrl x 0 UNotU: l interpretción que le podemos dr est integrl es hllr el áre jo l curv de l práol dd entre x 0 x USolución:U primero hllmos l ntiderivd de x 0 x l evlumos en x en x x Ejemplo : Utilizndo el método de sustitución x Evlur l siguiente integrl ( x + ) Solución: Hcemos cmio de vrile u ( x +) ()

6 si x u Cmimos los limites de integrción si x u 5 Derivndo l expresión () du x Sustituyendo, l nuev integrl qued, De otr form podemos escriir, Resolviendo l integrl, du u 5 5 u du u u u 5 Reemplzndo y simplificndo, ( ) ( ) Ejemplo : Teorem fundmentl (prte I) Se l función integrl x ( t t) dt, hllr f (x) y luego evlur f ( ) Solución: Utilizndo el teorem fundmentl en su prte I, dice que l derivd de un función integrl es,

7 d x f ( x) t ( f ( x) x + x + t) dt Ahor l hllmos en el punto ddo x, esto es, f ( ) ( ) + ( ) 0.