Ámbito científico tecnológico. Ecuaciones de segundo grado Sistemas de ecuaciones

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1 Dirección Xeral de Educación, Formación Profesional e Innovación Educativa Educación secundaria para personas adultas Ámbito científico tecnológico Educación a distancia semipresencial Módulo Unidad didáctica 8 Ecuaciones de segundo grado Sistemas de ecuaciones Página de 56

2 Índice. Introducción.... Descripción de la unidad didáctica.... Conocimientos previos.... Objetivos didácticos.... Secuencia de contenidos y actividades.... La función cuadrática..... Gráfica de las funciones de tipo y a Gráfica de las funciones de tipo y a + c Gráfica de la función cuadrática completa y a + b + c...7. La ecuación de segundo grado Resolución de la ecuación de segundo grado a + b + c Número de soluciones de una ecuación de segundo grado Ecuaciones de segundo grado incompletas..... Soluciones de una ecuación y puntos de corte con el eje OX Resolución de problemas utilizando ecuaciones de segundo grado.... Sistemas de ecuaciones lineales Métodos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales Resolución de problemas mediante sistemas de ecuaciones.... Resumen de contenidos.... Actividades complementarias Ejercicios de autoevaluación Soluciones de las actividades propuestas Soluciones de las actividades complementarias Soluciones de los ejercicios de autoevaluación Glosario Bibliografía y recursos...56 Página de 56

3 . Introducción. Descripción de la unidad didáctica Se empieza con el estudio de las funciones cuadráticas (características y representación gráfica) en relación con el número de soluciones de las ecuaciones de segundo grado. Se aborda luego la resolución de ecuaciones de segundo grado completas e incompletas, usando la fórmula general u otros métodos, cuando sea posible, y se discute la eistencia de una, de dos o de ninguna solución, según el valor del discriminante. Después se estudian los métodos de resolución de sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, incluyendo el método gráfico, y los casos de compatibilidad e incompatibilidad que puedan eistir. Finalmente se propone un amplio abanico de problemas que se pueden resolver mediante ecuaciones de primer grado, de segundo grado y de sistemas de ecuaciones lineales, para familiarizarse con los métodos algebraicos de aplicación en una gran variedad de situaciones.. Conocimientos previos Resolución de ecuaciones de primer grado. Representación gráfica de funciones lineales. Interpretación de las características de las gráficas de funciones. Interpretar y traducir información al lenguaje algebraico. Efectuar operaciones con epresiones algebraicas.. Objetivos didácticos Relacionar las funciones de segundo grado con su representación gráfica. Identificar las características más destacadas en la gráfica de la parábola. Resolver ecuaciones de segundo grado completas e incompletas, y comprobar las soluciones, si las hay. Relacionar el número de soluciones de una ecuación de segundo grado con el valor del discriminante y con el número de puntos de corte con el eje OX. Usar las ecuaciones de segundo grado para calcular el tiempo que tarda un móvil con aceleración en alcanzar una cierta posición, despejándolo de la ecuación s so + vot + ½ at. Resolver problemas mediante la formulación y la resolución de la ecuación de segundo grado correspondiente, e interpretar la pertinencia o no de las soluciones obtenidas. Interpretar gráficamente la solución de un sistema de ecuaciones como el punto de corte de las rectas asociadas. Formular sistemas de ecuaciones y resolverlos en problemas de encuentro y alcance de móviles, y de los ámbitos socioeconómico y científico. Página de 56

4 . Secuencia de contenidos y actividades. La función cuadrática Las funciones cuadráticas son las que se epresan mediante un polinomio de grado : y a + b + c (con a 0). La gráfica de una función cuadrática es siempre una parábola. Veámoslo con un ejemplo: Un móvil parte de la posición s o m con velocidad inicial v o m/s y aceleración a m/s. Dibuje su gráfica s/t (posición/tiempo). Solución: s so + vot + a t s +. t + t + t + t s + t + t t s La gráfica obtenida es una parábola (eactamente un arco de parábola). La función cuadrática más sencilla es y. Veamos su gráfica: y y Página de 56

5 En la gráfica anterior observamos: El punto más bajo de la curva es, en este caso, el punto de coordenadas (0, 0). A este punto más bajo se le llama vértice de la parábola. La curva es simétrica respecto del eje OY. La función es decreciente para valores de menores que cero ( < 0) y creciente para valores positivos de ( > 0). La curva es convea: está abierta hacia arriba (tiene forma de V)... Gráfica de las funciones de tipo y a Veamos ahora las gráficas de las funciones y (verde) e y (azul), comparándolas con la anterior (roja): y y y y Todas las parábolas tienen el vértice en el mismo punto (0,0) y son conveas (forma de V), pero cuanto mayor es el valor del coeficiente a, más estrecha es la curva. Qué ocurre cuando el coeficiente a es negativo? Fíjese: y - y - y - y y y Página 5 de 56

6 Ya ve el resultado: si el coeficiente a es negativo, la parábola es cóncava, es decir, está abierta hacia abajo (tiene forma de Λ). El vértice de la parábola ahora es el punto más alto de ella. Actividades propuestas S. De las funciones cuadráticas siguientes, cuáles son cóncavas y cuáles conveas? y -/ y /5 y 7 y - 0,.. Gráfica de las funciones de tipo y a + c Comparemos entre sí las funciones y + (verde), y (azul) e y (rojo): y y + y - y y y La forma de las tres parábolas es igual, pero y + está desplazada hacia arriba tres unidades, e y - está cuatro unidades hacia abajo respecto de la parábola y. Entonces, el parámetro libre c tiene como efecto subir c unidades la parábola, si c es positivo, y bajarla c unidades si es negativo. Actividades propuestas S. Compruebe que el efecto del parámetro c en las parábolas de tipo y a + c es desplazarlas hacia arriba o abajo, dibujando la gráfica de las parábolas y +, y e y - S. Compare las gráficas de las siguientes funciones: y -, y - +. Qué observa? Página 6 de 56

7 .. Gráfica de la función cuadrática completa y a + b + c Representemos gráficamente la siguiente parábola: y + - : y + - y Como a > 0, la parábola es convea (abierta hacia arriba). Puede demostrarse que, para cualquier parábola, la coordenada del vértice viene dada por la epresión: Esto quiere decir que si a y b tienen el mismo signo, el eje de simetría de la parábola y el vértice estarán desplazados hacia la izquierda del eje OY (como en el ejemplo anterior), y si tienen signos contrarios estarán desplazados hacia la derecha. El parámetro c juega el mismo papel de subir o bajar la gráfica que ya vimos antes. Para representar una parábola conviene calcular primero la posición de su vértice, y luego completar la tabla de valores -y dándole a valores simétricos respecto de v. Actividades resueltas Actividad. Representar la función cuadrática y - - Solución: la coordenada v del vértice es: Solución Así que le damos a los valores, ±, ±, ±, etc. Página 7 de 56

8 y - - y v yv Actividad. Representar la parábola y Solución Coordenada del vértice: b v a. y y v - yv Observe que, como el coeficiente a es negativo, la parábola es cóncava (abierta hacia abajo), y que como a y b tienen el mismo signo, el vértice está a la izquierda del eje OY. Actividades propuestas S. Calcule las coordenadas del vértice de las parábolas: y - 8 y y / - + y y S5. Represente gráficamente las funciones cuadráticas siguientes: y - 9; y ; y. S6. Sin dibujar la gráfica, determine si el eje de simetría y el vértice de las parábolas están a la izquierda o a la derecha del eje OY: y - + 5; y -. Página 8 de 56

9 . La ecuación de segundo grado Tenemos que resolver el siguiente problema de movimiento uniformemente acelerado: Un móvil parte de la posición inicial s o m con una velocidad de 0 m/s y aceleración m/s. Cuánto tiempo tardará en pasar por la posición s 78 m? Solución: Hay que despejar t y dejarlo solo en un miembro pero... no sabemos hacerlo! Por eso tenemos que aprender ahora a resolver ecuaciones de segundo grado. En qué puntos cortan las parábolas al eje OX? Lo podemos saber sin representarlas gráficamente? Pues sí que podemos: en esos puntos la coordenada y vale cero; por lo tanto: y 0 a +b + c Así que para saber el valor de en los puntos de corte nos encontramos de nuevo con el problema de resolver una ecuación de segundo grado. Veamos ya cómo se hace... Resolución de la ecuación de segundo grado a + b + c 0 Una ecuación de segundo grado es completa cuando los coeficientes a, b y c son todos distintos de cero. Si los coeficientes b o c, o los dos, son nulos, la ecuación se llama incompleta. Las soluciones de la ecuación de segundo grado completa vienen dadas por la epresión (que no deducimos): b ± b ac a (sempre a 0) El doble signo ± delante de la raíz cuadrada quiere decir que en general hay dos soluciones: - b + b - ac -, b b - ac a a Ejemplo. Resuelva la ecuación Solución: Las soluciones son y. Las podemos comprobar sustituyendo estos valores en la ecuación y viendo si realmente dan cero: ; Solución correcta ; Solución correcta. Página 9 de 56

10 Actividades propuestas S7. Resolver las siguientes ecuaciones de segundo grado completas: Número de soluciones de una ecuación de segundo grado Una ecuación de segundo grado puede tener dos soluciones, una o ninguna, y eso depende del valor del discriminante, es decir, de la epresión b - ac, que es la parte roja que está dentro de la raíz cuadrada en la ecuación: - b± b - a ac Si el discriminante es positivo, b - ac > 0, la ecuación tiene dos soluciones distintas; si el discriminante vale cero la ecuación tiene una solución (o dos de igual valor, que viene siendo lo mismo); y si el discriminante es negativo, b - ac < 0, la raíz cuadrada no se puede calcular (con números reales) y la ecuación no tiene ninguna solución. Ejemplos. La ecuación no tiene ninguna solución, porque: La ecuación tiene una sola solución, porque: La solución única - también se llama solución doble. La ecuación tiene dos soluciones distintas: Actividades propuestas S8. Determine, con la ayuda del discriminante, cuántas soluciones tiene cada ecuación: Página 0 de 56

11 .. Ecuaciones de segundo grado incompletas Son las ecuaciones en las que los términos b o c valen 0. Ecuaciones de tipo a + c 0 Son del tipo en el que b 0. El método más sencillo de resolución es despejar la incógnita : Si el valor de c es positivo, la raíz se puede efectuar y la ecuación tiene dos soluciones, a pero si el cociente es negativo, la raíz no eiste y la ecuación no tiene ninguna solución real. Ejemplo. Resuelva la ecuación - 0. Ejemplo. Resuelva la ecuación ±...No tiene solución real. Ecuaciones del tipo a + b 0 Ocurre cuando c 0. Lo más sencillo es sacar factor común : a + b 0 (a + b) 0 Tenemos la multiplicación de dos factores, y (a + b). La única forma de que multiplicando dos factores sea cero es que uno de ellos, o los dos, sean nulos: Por lo tanto este tipo de ecuaciones incompletas siempre tiene dos soluciones, una de ellas 0. Ejemplo. Resuelva la ecuación Actividades propuestas S9. Resuelva las ecuaciones incompletas siguientes: / / - 5/ 0-9/ Página de 56

12 .. Soluciones de una ecuación y puntos de corte con el eje OX En la figura está representada la gráfica de una cierta función f(). Fíjese que en los puntos en que la curva corta el eje OX la coordenada y vale cero, es decir, en estos puntos ocurre que f() 0 y, entonces, los valores de la coordenada son las soluciones de la ecuación f() 0. En el caso de la función de la figura, las soluciones son -, - y : la ecuación tiene tres soluciones. Con las funciones cuadráticas ocurre igual. Veamos algunos ejemplos. Ejemplo. f() y En los puntos de corte con el eje OX ocurre que ; la solución de esta ecuación es: La ecuación tiene dos soluciones, así que la parábola tiene que tener dos puntos de corte con el eje OX: son los puntos (-,0) y (,0). Compruébelo observando la gráfica de la función: y y Ejemplo. Hagamos lo mismo con la función y / Primero resolvemos la ecuación asociada, / Página de 56

13 Solo hay una solución (o dos iguales), por lo tanto la parábola corta al eje OX en un único punto. Fíjese en la gráfica de esta parábola: y / y / / 0 6 7/ Ejemplo. Por último, una parábola que no corta el eje OX: y Encontramos los puntos de corte resolviendo la ecuación. El discriminante es negativo así que no tiene soluciones, luego no hay puntos de corte con el eje OX. Fíjese cómo es la gráfica de la parábola: y y Página de 56

14 ..5 Resolución de problemas utilizando ecuaciones de segundo grado Por fin podemos resolver ya el problema con el que iniciamos esta sección: cuándo pasará el móvil por la posición s 78 m? (Vaya atrás y léalo de nuevo). Solución: Resolviendo la ecuación: La primera solución (t - 5 s) no tiene sentido físico, al no eistir tiempos negativos, así que la rechazamos. La solución válida es que a los 5 s el móvil pasará por la posición 78 m. Las ecuaciones de segundo grado permiten resolver problemas de móviles y de muchos otros campos de la ciencia y de la vida cotidiana. Veamos unos cuantos. Ejemplo. Desde una altura de 00 m lanzamos verticalmente hacia bajo un cuerpo con una velocidad inicial de 0 m/s. Cuánto tiempo tarda en llegar al suelo? Solución: el movimiento es uniformemente acelerado, usamos la ecuación de la posición: Ejemplo. El producto de un número natural por el siguiente es 7. Cuál es ese número? Solución: sea el número buscado. Entonces (+) 7; haciendo las operaciones tenemos: Resolviendo: Página de 56

15 El número natural buscado es 6. La solución -7 es de un número entero. Ejemplo. En un cuadrado, el área es igual al doble del perímetro. Cuánto mide el lado del cuadrado? Solución: sea la longitud del lado del cuadrado. Área ; Perímetro Condición del problema: área.perímetro.; Es una ecuación incompleta. El lado del cuadrado mide 8. Ejemplo. Un almacén compró un lote de cajas y pagó por todas ellas 00 euros. Con el mismo dinero podría comprar diez cajas más si cada una costase 5 euros menos. Cuántas cajas compró? Solución: sea el número de cajas. El precio de cada caja es 00. Condición del problema: Hacemos las operaciones: Resolvemos la ecuación de segundo grado: Página 5 de 56

16 Compró 0 cajas a 5 euros cada una. Actividades propuestas S0. Reparta el número 0 en dos sumandos de modo que la suma de sus cuadrados sea 50. S. Si al triple de un número se le suma su cuadrado, se obtiene 88. Cuál es el número? S. Averigüe la edad de una persona sabiendo que si a su cuadrado se le resta el triple de la edad resulta nueve veces esta. S. Un rectángulo tiene m de perímetro y 5 m de área. Calcule las dimensiones del rectángulo. S. Determine el perímetro de un triángulo rectángulo isósceles cuya área es m. S5. Un campo de fútbol mide 0 m más de largo que de ancho; su área es de m. Cuánto miden los lados del campo? S6. Dos números se diferencian en siete unidades, y su producto es 60. Cuáles son esos números? S7. En un triángulo rectángulo de m de perímetro, la longitud de un cateto es igual a los / del otro. Determine las dimensiones del triángulo. S8. El instituto regala 55 euros para repartirlos entre el alumnado de ESA. Como 5 alumnos no asisten hoy a clase, cada uno de los presentes obtiene 0,50 euros más. Cuántos alumnos hay en total en ESA? Página 6 de 56

17 . Sistemas de ecuaciones lineales Qué son los sistemas de ecuaciones lineales? Una ecuación es lineal cuando es de grado respecto de todas las incógnitas, y no hay productos ni divisiones entre ellas; así, + y es una ecuación lineal. - y no es una ecuación lineal. y + 8y 8 tampoco es una ecuación lineal. Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas tiene la forma general: donde e y son las incógnitas, y a, b, c, a', b', c' son los coeficientes y términos independientes (números normalmente). Resolver el sistema de ecuaciones lineales consiste en encontrar los valores de las incógnitas que hacen ciertas las dos ecuaciones simultáneamente. Por ejemplo: En este sistema la solución es e y, ya que hacen verdaderas las dos igualdades: La mayoría de las veces los sistemas de ecuaciones tienen una única solución (un valor para cada incógnita), pero puede ocurrir también que el sistema no tenga ninguna solución e incluso que tenga infinitas. Para resolver algunos problemas de móviles necesitamos los sistemas de ecuaciones lineales. Veamos un ejemplo: Un coche está en la posición inicial s o 00 m y se mueve a 0 m/s. Un motorista está inicialmente en la posición 0 m y persigue el coche con una velocidad de 5 m/s. Dónde y cuándo lo alcanza? Solución. Datos del coche (a): s o 00, v a 0 Datos de la moto (B): s o 0, v b 5 Aplicamos la ecuación de la posición del movimiento uniforme (s s o + v.t) a los dos móviles: s a t; s b t Página 7 de 56

18 En el momento del alcance, los dos móviles están en la misma posición, por lo tanto la condición será s a s b. Reuniendo todas las ecuaciones, tenemos tres incógnitas (s a, s b, t) y tres ecuaciones: esto es un sistema de ecuaciones lineales. En el apartado siguiente aprenderemos a resolverlos... Métodos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales Hay cuatro métodos (o técnicas) de resolución de un sistema: sustitución, igualación, reducción y representación gráfica Método de sustitución Despejamos una incógnita en una ecuación y sustituimos su valor en la otra ecuación. Ejemplo. La incógnita más fácil de despejar es la y de la primera ecuación: Y ahora sustituimos este valor de en cualquiera de las ecuaciones para despejar la otra incógnita; lo más fácil es hacerlo en la ecuación y - : La solución del sistema es, y. Método de igualación Despejamos la misma incógnita en las dos ecuaciones y luego igualamos los resultados. Ejemplo: Página 8 de 56

19 Multiplicamos en cruz: Y el valor de y obtenido lo sustituimos en cualquiera de las ecuaciones del principio; en este caso lo más fácil es hacerlo en esta ecuación: Obtenemos la misma solución que con el método de la pregunta anterior, como es lógico. Método de reducción En este método multiplicamos las dos ecuaciones por números adecuados de modo que los coeficientes de una de las incógnitas tengan valores opuestos en las dos ecuaciones. Veamos cómo se hace con el mismo sistema anterior: Vamos a conseguir que los coeficientes de las y tengan valores opuestos en las dos ecuaciones. Para eso multiplicamos la primera ecuación por y la segunda por : Y ahora sumamos las dos ecuaciones miembro a miembro: Y el último paso es sustituir este valor de en cualquiera de las ecuaciones anteriores para calcular el valor de y; por ejemplo, en + y : El sistema está resuelto. Interpretación gráfica de la solución de un sistema de ecuaciones Los métodos de sustitución, igualación y reducción son métodos algebraicos, y son los que usamos habitualmente. Pero hay un cuarto modo de encontrar la solución (a veces menos preciso), el método gráfico. Página 9 de 56

20 Si en cada ecuación del sistema despejamos la y, obtendremos dos funciones lineales. La representación gráfica de esas funciones son dos líneas rectas, que se cortarán en un punto: las coordenadas de este punto son los valores de e y de la solución del sistema, ya que en ese punto los valores de e y satisfacen simultáneamente las dos ecuaciones. Ejemplo. Sea el sistema: Hacemos las tablas de valores, y para las dos funciones lineales obtenidas y representamos: y - y 5+ y y El punto de corte de las rectas es el (,), así que la solución del sistema es, y Qué ocurriría si las dos rectas resultasen ser paralelas? No habría punto de corte y el sistema de ecuaciones no tendría ninguna solución: sería un sistema incompatible. Actividades propuestas S9. Resuelva los sistemas de ecuaciones siguientes por los tres métodos indicados: sustitución, igualación y reducción. S0. Calcule gráficamente la solución de los sistemas: Página 0 de 56

21 .. Resolución de problemas mediante sistemas de ecuaciones Resolvamos ahora el problema de la moto que alcanza al coche. Las ecuaciones eran: Despejamos s a de la tercera ecuación (de hecho, ya está despejada) y sustituimos su valor en las otras dos ecuaciones: Resolvemos por el método de igualación, despejando en las dos ecuaciones s b (en realidad, ya están despejadas): y s b t metros. Gráficamente: sa t sb t t sa t sb Actividades resueltas Actividad. En un eamen hay diez preguntas. Por cada una bien contestada, me dan dos puntos, y por cada pregunta mal contestada, me quitan un punto. En el eamen saqué un 8. Cuántas preguntas fallé? Solución Preguntas acertadas ; preguntas falladas y Las condiciones del problema se resumen en las ecuaciones siguientes: + y 0 (preguntas) - y 8 (puntos) Resolviendo el sistema, la solución es: 6, y. Fallé cuatro preguntas. Página de 56

22 Actividad. Calcule dos números sabiendo que se diferencian en unidades y que su media aritmética es 5. Solución Sean e y los números que nos piden. Las condiciones del problema son: Diferencia en unidades: - y + y Media aritmética: 5 La solución del sistema es, y 8 Actividad. La edad de Antía es el doble que la de Xiana. Si Antía tuviese años menos y Xiana 8 años más, las dos tendrían la misma edad. Cuántos años tiene cada una de ellas? Solución Edad de Antía ; edad de Xiana y Condiciones del problema: edad doble: y Otra condición: - y + 8 La solución del sistema es 0 años, y 0 años Actividades propuestas S. Busque dos números que sumen 8 y cuyo cociente sea 6. S. En un corral hay gallinas y conejos; hay 50 cabezas y patas. Cuántos conejos y cuántas gallinas hay? S. El producto de dos números es y la suma de sus cuadrados es 7. Cuáles son esos números? S. Tenemos dos tipos de piensos, uno de 0,50 euros el kilogramo y otro de 0,80 euros el kilogramo. Qué cantidad de cada tipo debemos mezclar para tener 00 kg de pienso a 0,70 euros cada kilogramo? S5. Una persona recorre 000 km, parte en coche y parte en bicicleta. En el coche va a 90 km/h y en la bicicleta, a 0 km/h. Tarda 5 horas en completar el viaje. Cuántos kilómetros hace en la bicicleta? S6. Un hotel tiene habitaciones dobles e individuales; en total son 0 habitaciones. El número de camas es 95. Cuántas habitaciones son dobles? S7. En una fiesta, si cada invitado come 5 pasteles, entonces sobran ; y si come 6, falta. Cuántos invitados y cuántos pasteles hay en la fiesta? Página de 56

23 . Resumen de contenidos La función cuadrática Las funciones cuadráticas son las que se pueden epresar mediante un polinomio de segundo grado de la forma y a + b + c (con a 0), y su gráfica siempre es una parábola. Características de las gráficas de las funciones cuadráticas: La gráfica alcanza su punto máimo o mínimo en el vértice de la parábola. La coordenada v del vértice se obtiene mediante la fórmula: La gráfica es simétrica respecto de un paralelo al eje OY, y tiene dos ramas: en una rama la función es creciente y en la otra es decreciente. La gráfica puede ser cóncava (abierta hacia bajo Λ), si a < 0, o convea (abierta hacia arriba V), si a > 0. La ecuación de segundo grado Una ecuación de segundo grado a + b + c 0 es completa cuando los coeficientes a, b y c son todos distintos de cero. Si los coeficientes b o c, o los dos, son nulos, la ecuación se llama incompleta. Las soluciones de la ecuación de segundo grado se obtienen a partir de la epresión: b ± b ac a (sempre a 0) Número de soluciones de una ecuación de segundo grado El número de soluciones de una ecuación de segundo grado depende del valor de su discriminante. El discriminante es el término: b - ac. Eisten tres posibilidades, según el signo del discriminante: Discriminante b - ac > 0 la ecuación tiene dos soluciones distintas. Discriminante b - ac 0 la ecuación tiene una solución (solución doble). Discriminante b - ac < 0 la ecuación no tiene ninguna solución. Ecuaciones de segundo grado incompletas Se pueden resolver aplicando la fórmula general, sustituyendo por 0 los coeficientes que faltan en la ecuación, pero también se pueden resolver despejando directamente. Ecuaciones de tipo a + c 0 Despejamos directamente la incógnita : Página de 56

24 Ecuaciones de tipo a + b 0 Sacamos factor común e igualamos a cero los dos factores: a + b 0 (a + b) 0 Este tipo de ecuaciones siempre tiene dos soluciones, una de ellas 0. Soluciones de una ecuación y puntos de corte con el eje OX Los puntos de corte de la gráfica de la función cuadrática y a + bc + c se obtienen resolviendo la ecuación a + bc + c 0. Si las soluciones de la ecuación son y, los puntos de corte con el eje OX son los puntos de coordenadas (, 0), (, 0). Sistemas de ecuaciones lineales Una ecuación es lineal cuando es de primer grado respecto de todas las incógnitas, y no hay productos ni divisiones entre ellas; por ejemplo, + y Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas tiene la forma general: Métodos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales Eisten cuatro métodos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales: Método de sustitución: despejamos una incógnita, generalmente la que resulte más sencilla de despejar, y sustituimos su valor en la otra ecuación. Método de igualación: despejamos la misma incógnita en las dos ecuaciones e igualamos las epresiones obtenidas. Método de reducción: multiplicamos las ecuaciones por los números convenientes de modo que los valores de los coeficientes de unas de las incógnitas sean opuestos y, seguidamente, sumamos ambas ecuaciones. Método gráfico: despejamos la incógnita y en cada ecuación y representamos gráficamente las funciones lineales obtenidas, que serán dos rectas. Las coordenadas del punto de corte de las rectas (, y) serán las soluciones del sistema. Interpretación gráfica de la solución de un sistema de ecuaciones lineales Según la posición relativa de las rectas correspondientes a las ecuaciones lineales que forman el sistema dado, pueden eistir tres posibilidades: Las rectas se cortan en un punto (, y): el sistema es compatible y tiene solución, y esta viene dada por los valores de e y. Las rectas son coincidentes: tienen infinitos puntos comunes. El sistema es compatible y tiene infinitas soluciones, que son los valores de los puntos (, y) que pertenecen a la recta. Página de 56

25 Las rectas son paralelas. El sistema es incompatible ya que las rectas no tienen ningún punto común. Página 5 de 56

26 . Actividades complementarias Función cuadrática S8. Busque el vértice y los puntos de corte con el eje OX de las parábolas siguientes: y 8 y - y S9. Represente las siguientes funciones cuadráticas: y, y - + 5, y +. S0. Localice las coordenadas del vértice de las parábolas: y y - + y S. Sabemos que la función cuadrática y a + b pasa por los puntos (-, -5) y (, -). Determine el valor de los coeficientes a y b. S. Busque la función cuadrática que tiene el vértice en el punto (,-) y pasa por el punto (0, ). Ecuaciones de segundo grado S. Resuelva las ecuaciones: ( ) Problemas con ecuaciones de segundo grado S. Un concesionario de coches crea una campaña publicitaria. Espera que el número y de coches vendidos (en cientos) en cada año venga dado por la función y 0,5 - + Represente gráficamente la función, empezando en 0. Cuál será el año de menos ventas? Cuántos coches venderá ese año? A partir de qué año se recuperan las ventas? S5. Para embaldosar un salón de 8 m de longitud por 6 m de ancho se utilizan 00 baldosas cuadradas. Cuánto mide el lado de las baldosas? S6. La diagonal de un rectángulo mide 0 cm. Calcule sus dimensiones si un lado mide cm menos que el otro. Página 6 de 56

27 S7. Dentro de años, la edad de Pedro será la mitad del cuadrado de la edad que tenía hace años. Cuál es la edad actual de Pedro? Sistemas de ecuaciones S8. Resuelva los sistemas de ecuaciones. S9. Resuelva gráficamente los sistemas: S0. El perímetro de un triángulo rectángulo isósceles mide 6 cm y la altura mide cm. Calcule la medida de los lados del triángulo. S. La suma de dos números es el doble que su diferencia, y uno de ellos es el triple del otro. Calcule el valor de esos números. S. Berta paga por dos cafés solos y tres con leche,5 euros; Edelmiro paga 0,0 euros menos por cuatro solos y uno con leche. Cuánto vale cada tipo de café? S. Un deportista es diez veces más rápido corriendo que nadando. En una prueba recorre.0 m corriendo durante 0 minutos y nadando durante 5 minutos. Con qué velocidades corre y nada el deportista? Página 7 de 56

28 5. Ejercicios de autoevaluación. La parábola y + 6: No pasa por el origen de coordenadas. Tiene el vértice en v -. Es abierta hacia abajo.. La parábola y - + : Pasa por el punto (0, ). Tiene el vértice en el punto (, ). Pasa por el origen de coordenadas.. Las soluciones de la ecuación son: y 5. - y 6. y 0.. Las soluciones de la ecuación son: 0 y. y 8. 0 y De dos pueblos A y B, distantes km, salen al mismo tiempo dos ciclistas en sentido contrario por la misma carretera. El que sale de A va a 9 km/h, y el que sale de B va a km/h. A qué distancia de A se encontrarán? En cuánto tiempo? 70 km, h. 70 km, 5 h. 76 km, h. 76 km, 5 h. 6. La solución del sistema del recuadro es:, y 5., y 5/. /5, y /5. Página 8 de 56

29 7. Resuelva gráficamente el sistema de ecuaciones del recuadro. y y 8. El cociente de dos números es /. Si se suma 0 a cada uno de ellos, su cociente es /. Esos números son: 0 y 0. 5 y 0. 5 y 60. La suma de un número más su inverso es 7/6. Este número es: La edad de Xosefa era hace seis años la raíz cuadrada de la edad que tendrá dentro de seis años. Cuántos años tiene Xosefa hoy? Página 9 de 56

30 5. Soluciones de las actividades propuestas S. y -/ a -/ < 0 Cóncava y 7 a 7 > 0 Convea y /5 a /5 > 0 Convea y - 0, a - 0, < 0 Cóncava S. y + y y - Y y y y X Efectivamente, la gráfica de la función y + (verde) está desplazada unidades más arriba que la gráfica de la función y (negra), y la gráfica de la función y - (azul) está desplazada unidades más abajo. S. y - y - + Y y y X Se observa que la gráfica de la función y - + está desplazada unidades más arriba que la gráfica de la función y -. Página 0 de 56

31 S. y b 0 v 0 a. y v As coordenadas do vértice son ( ) 0,-8 - b a y y ( ) v v -(-) As coordenadas do vértice son (, 9 ) 9 y / - + y y b - (- ) v a. y v As coordenadas do vértice son (,-7) - b - (- ) v - a. (-) - y -(-) -. (-) v As coordenadas do vértice son - b -6-6 v - a. 6 y. (-) +6. (-) v As ( ) -, 5 coordenadas do vértice son (-, -) S5. y - 9 y y Y 0 0 X v 9/ yv -8/ Página de 56

32 y y 0 Y - X -7 v yv y - y Y v 0 yv - X - 7 S6. y a > 0, b < 0 a, b tienen distinto signo. El vértice está situado a la derecha. y - a > 0, b < 0 a, b tienen distinto signo. El vértice está situado a la derecha. S (- 5) ± (- 5) ± ± (- ) ± (- ) ± ± 6-8 Página de 56

33 ± -..(-). -± ± ± 9 -.(. -0). -9± ± S b - ac (-6) la ecuación tiene una solución b - ac..(-) + > 0 la ecuación tiene dos soluciones b - ac < 0 la ecuación no tiene solución b - ac (-).(-).(-) - -8 < 0 la ecuación no tiene solución b - ac > 0 la ecuación tiene dos soluciones. S ± 9 - / ± -0 A ecuación non ten solución / - 5/ ± / 0 9 ± ( ) ( + 5 ) (+ ) Página de 56

34 S0. Si denominamos a una parte del número, la otra parte será (0 ). Podemos epresar así la condición del problema: + (0 - ) 50. Desarrollando el cuadrado y agrupando términos obtenemos: + (0 - ) Como todos los coeficientes son múltiplos de, dividimos la ecuación entre y resolvemos: (- 0) ± (- 0) - 5 0± ± La solución es única. Una parte del número será 5, y la otra parte Evidentemente se cumplen las condiciones del problema, ya que: S. Sea el número a determinar. Su triple será y su cuadrado. Por lo tanto, podemos escribir así las condiciones del problema: + 88 Agrupamos los términos en el primer miembro y aplicamos la fórmula: ± - ( -88) - ± Eisten dos soluciones: 8 y - Comprobación: ± - (-) + (-) ± S. Sea la edad de la persona. Su cuadrado será, el triple será y nueve veces esta, 9. Según las condiciones del problema escribimos la ecuación: 9 Agrupamos en el primer miembro y reducimos: Al tratarse de una ecuación de segundo grado sin término independiente, podemos descomponer en factores etrayendo factor común: ( -) 0 Las soluciones son: 0 0 Comprobación: (solución trivial) S. Si el perímetro del rectángulo es, la suma del largo y la altura será la mitad, es decir,. Sea la altura del rectángulo, entonces el largo será ( ). Página de 56

35 Recordando que: área del rectángulo largo altura, podemos escribir: ( ) ± Eisten dos soluciones: - ( -) ( -5) - ± ( -) ± ± (largo). la altura será: (largo). la altura será: 7 5 Las dos soluciones representan el mismo rectángulo de dimensiones 7 m y 5 m y de área 7 m 5 m 5 m S. Sea la medida de los lados iguales y b la medida de la base. Cambiando la posición del triángulo, como se observa en la segunda figura, y aplicando la fórmula del área, obtenemos:,9 La medida de la base se obtiene aplicando el teorema de Pitágoras: h c + c h +,9 +,9 + 8 h 8 6, 9 Por lo tanto, el perímetro del triángulo será:,9 m +,9 m + 6,9 m 6,7 m S5. Sea el ancho del campo. Si mide 0 m más de largo, este será ( + 0). Aplicando la fórmula del área del rectángulo tenemos: ( + 0) ± 0 - ( -7000) - 0± ± ± La segunda solución no es válida ya que la medida de una longitud nunca puede ser negativa, por lo que la única solución es 70 altura 70 m, largo 70 m + 0 m 00 m Página 5 de 56

36 S6. Sea el primer número y ( + 7) el segundo. Su producto es 60, por lo que podemos escribir la ecuación: ( + 7) ± 7 - ( -60) - 7± ± 89-7 ± Eisten dos soluciones, es decir, dos parejas de números que cumplen las condiciones del problema. Primera solución: Primer número: 5. Segundo número: Segunda solución: Primer número: -. Segundo número: S7. Sea la medida de un cateto. La medida del otro cateto será. La medida de la hipotenusa la ob- tenemos aplicando el teorema de Pitágoras: ( ) + 9 ( ) 5 5 h Sabemos que el perímetro del triángulo es m, por lo que podemos escribir la ecuación: Por lo tanto, las medidas de los lados del triángulo son: 8 m m m Comprobación: 8 m + 6 m + 0 m m 96 8 S8. Sea el número total de alumnos de ESA. Si asistiesen todos a clase, cada uno recibiría 55 euros. Al no asistir 5, el número de alumnos será ( 5) y a cada uno le toca percibir 55 euros, pero esta cantidad es 0,5 euros mayor que la anterior. Por lo tanto podemos escribir la - 5 ecuación: ,5-5 55( - 5) (57,5-0,5) 0,5 -, ,5( - 5) ,5-0, ,5 +,5-5 0, ,5-0, ,5-5 0 Página 6 de 56

37 Multiplicamos la ecuación por para obtener coeficientes enteros y despejamos: (-5) ± (-5) - ( -650 ) 5± ± ± Como el número de alumnos no puede ser negativo, la única solución válida es 75 alumnos. Comprobación: Si asisten los 75 alumnos, a cada uno le toca percibir 55 : 75 Si faltan 5 alumnos, asisten 50, por lo que a cada uno le toca percibir 55 : 50,50, es decir, 0,50 más. S9. Método de sustitución: despejamos en la primera ecuación y sustituimos en la segunda: 5 - y - y y - y - - y - y y - 6 y Método de igualación: despejamos la misma incógnita en ambas ecuaciones procurando que sea la más sencilla de despejar, en este caso, e igualamos las epresiones obtenidas: 5 - y y - - y - y Igualando - y 5 - y -6 y y Método de reducción: cambiamos de signo la segunda ecuación para conseguir los mismos coeficientes de, pero de signo contrario: + y y Sumando + y y y 6 y 6 Sustituimos el valor y en la primera ecuación para calcular el valor de : Método de sustitución: despejamos la incógnita más fácil de despejar, en este caso en la segunda ecuación, y la sustituimos en la primera: - y 7 - y 7 y -7 y (7-7 y) - y -7 - y - y y - y -7 - Método de igualación: despejamos la incógnita en ambas ecuaciones e igualamos las epresiones obtenidas: y y 7 y y y y 7 y y - 6 y + y + 7 Método de reducción: multiplicamos la segunda ecuación por (-) para obtener el mismo coeficiente de en la primera ecuación, cambiados de signo: - - y - y -7 - Sumando - y y - - 7y y - Sustituimos el valor y en la segunda ecuación para despejar : y Página 7 de 56

38 Método de sustitución: despejamos en la segunda ecuación y lo sustituimos en la primera: + y 6 y - 6y + y 6 + ( y - ) + y 6 8y 8 y ( y - ) + y y - + y 6 Método de igualación: eliminamos denominadores en la primera ecuación y despejamos la misma incógnita en ambas ecuaciones, igualando las epresiones obtenidas: + y 6 y y 6y y y - - y - 6y Igualando 6 - y y - - 8y -8-8 y 6-8 Método de reducción: eliminamos los denominadores en la primera ecuación y sumamos las ecuaciones, ya que tenemos los mismos coeficientes en y, pero con signo contrario: + y 6 + y 6 - y - - y - 8 Sustituyendo este valor de en la segunda ecuación y despejando y obtenemos: 8 - y - - y y - - y 6 - Método de sustitución: despejamos la incógnita y en la primera ecuación y la sustituimos en la segunda: y y ( - 0) y Método de igualación: despejamos la incógnita y en ambas ecuaciones e igualamos: y y Igualando 0 - : y Método de reducción: multiplicamos la primera ecuación por 7 para conseguir los mismos coeficientes de y con signo contrario en ambas ecuaciones: 7 ( - y) y y y 0 5-7y y Sustituyendo este valor de en la primera ecuación y despejando y obtenemos: 5 - y y 0 - y y 0 Página 8 de 56

39 S0. Despejamos la incógnita y en ambas ecuaciones y representamos gráficamente las funciones lineales obtenidas, elaborando las tablas de valores, y: + y y y - - y - y - - y - Y y y X Las gráficas de las dos funciones lineales se cortan en el punto (, -). Por lo tanto, la solución del sistema es, y -. Despejando la incógnita y en ambas ecuaciones obtenemos: y y + y - - y y - - y Y y y / -7/ -/ -/ / 5/ 8/ / X Las gráficas de las dos funciones son paralelas, por lo que no se cortan en ningún punto, lo que significa que el sistema es incompatible y no tiene solución. Página 9 de 56

40 S. Sean e y los números a determinar. Si su suma es 8 podemos escribir: + y 8. Que su cociente sea 6 significa que 6 y Resolvemos el sistema formado por ambas ecuaciones: + y 8 6 y + y 8 6y 6y + y 8 Por lo tanto, los números pedidos son 7 e y. Comprobación: + y y 7y 8 8 y 7 6y 6 7 S. Sea el número de gallinas e y el número de conejos. El número de cabezas es igual al número de animales, por lo que: + y 50 El número de patas de gallinas es y el número de patas de y conejos es y. Por lo tanto, + y Resolviendo el sistema obtenemos: + y 50 + y Sumando - - y y y y 7 + y 50 Por lo tanto, el número de gallinas es, y el número de conejos y 7. Comprobación: gallinas: 66 patas ; conejos: 7 68 patas Número total de patas patas 50-7 S. Sean e y los números a determinar. Si su producto es, podemos escribir: y La suma de sus cuadrados es, por lo que + y. Resolviendo el sistema obtenemos: y y y 7 + ( ) + 7 Esta ecuación se resuelve efectuando una sustitución: z, ( ) z : z (- 7 ) ± (- 7 ) z - 7 z ± 89-6 En la epresión siguiente podemos obtener el valor de : 7 ± 5 z 7 ± 5 ± z z z Por lo tanto, si z 6, tenemos que ± z ± 6 ±.Para cada valor de tenemos un valor de y: y - y - - De igual modo, si z, tenemos que ± z ± ±. Para cada valor de tenemos un valor de y: y - y - - Por lo tanto, en el segundo obtenemos las mismas soluciones:, y -, -. 6 Página 0 de 56

41 S. Sea la cantidad de pienso de 0,50 /kg que debemos mezclar e y la cantidad de pienso de 0,80 /kg. Según las condiciones del problema, tenemos la ecuación: + y 00 De otra parte, el valor de kg de pienso de 0,50 /kg será 0,50, el valor de y kg de pienso de 0,80 /kg será 0,80y, y el valor de 00 kg de pienso a 0,70 /kg será 000,70 70,. Por lo tanto, como el valor total de la mezcla es el mismo que el valor de los piensos antes de mezclarlos, obtenemos la ecuación: 0,50 + 0,80 y 70,. Resolviendo el sistema por sustitución, obtenemos: + y 00 0,50 + 0,80 y 70, 0,50-0,80 70, - 80 y 00-0,50 + 0,80(00-0,0-9,60 - ) 70, - 9,60-0,0 0, ,80 y 00 Por lo tanto, deberemos mezclar kg de pienso de 0,50 /kg y 68 kg de pienso de 0,80 /kg. - 70, 68 S5. Sea la parte del trayecto que recorrió en bicicleta e y la parte que recorrió en coche. De las condiciones del problema deducimos la ecuación: + y 000 De otra parte, recordando que en el movimiento uniforme t y/v, el tiempo empleado en recorrer en bicicleta km a una velocidad de 0 km/h es, y el tiempo empleado en recorrer y km a 90 km/h de velocidad es y Según las condiciones del problema, la suma de ambos tiempos fue de 5 h, por lo que podemos escribir la ecuación: y Eliminando denominadores y resolviendo el sistema por sustitución, obtenemos: + y 000 y y + y y y y y y Por lo tanto, recorrió 00 km en bicicleta y 900 en coche. y - 9y + y S6. Sea el número de habitaciones dobles e y el número de habitaciones individuales, en total 0 habitaciones. Por lo tanto, podemos escribir la ecuación: + y 0 De otra parte, en dormitorios dobles el número de camas será, y en y dormitorios individuales el número de camas será también y. Según las condiciones del problema, la suma de ambos es 95, por lo que obtenemos la ecuación: + y 95 Resolviendo el sistema por reducción, obtenemos: + y 0 + y 95 Sumando - - y -0 + y y Por lo tanto, el número de habitaciones dobles es 75 y el de habitaciones individuales y 5. Página de 56

42 S7. Sea el número de invitados e y el número de pasteles. Si cada invitado come 5 pasteles, el número total de pasteles que comen será 5, y si cada uno come 6 pasteles, el total será 6. De las condiciones del problema obtenemos las ecuaciones: 5 y 6 y + Despejando y en la primera ecuación obtenemos: y 5 +. Sustituyendo esta epresión en la segunda ecuación: y Por lo tanto, el número de invitados será y el número de pasteles y. Página de 56

43 5. Soluciones de las actividades complementarias Función cuadrática S8. - b 0 v 0 a 8 y 8 y v Por lo tanto, el vértice está situado en el punto (0, 0), punto en el que la gráfica corta los ejes de coordenadas OX y OY. y - - b - (-) v a y v Por lo tanto, el vértice está situado en el punto (, -). El punto de corte de la gráfica con el eje OY se obtiene en la ecuación para el valor 0: y Por lo tanto, el punto de corte con el eje OY será (0, 0). Los puntos de corte de la gráfica con el eje OX se obtienen en la ecuación para y 0: 0 ( ) 0 0 y En los puntos de corte con el eje OX el valor de la ordenada es 0. Por lo tanto, los puntos de corte con el eje OX serán los puntos de coordenadas (0, 0) y (, 0). y b - (-) v - a (-) - y v -(-) - (-) Por lo tanto, el vértice está situado en el punto (-, 0). El punto de corte de la gráfica con el eje OY se obtiene en la ecuación para el valor 0: y Por lo tanto el punto de corte con el eje OY será (0, -). Los puntos de corte de la gráfica con el eje OX se obtienen en la ecuación para y 0: 0 Resolviendo la ecuación obtenemos: - (- ) ± (- ) (-) - (-)(-) ± - - ± Como la solución es única, eiste un solo punto de corte con el eje OX, el punto de abscisa - y ordenada y 0, es decir (-, 0), que es el vértice. S9. y v 0 y 8 8 yv Y Página de 56 X

44 y Y - 0 v/ y yv-/ X y + Y y -5/ - - v -/ 0 55/ 8 yv -/ X S0. y b -0 v -5 a y (-5) + 0(-5) v Por lo tanto, las coordenadas del vértice son (-5, 0). - b - (-) v a y - + y ( ) 7 v Por lo tanto, las coordenadas del vértice son (/, 7/8). y v - b a - (-8) (-) y -(-) - 8(-) v Por lo tanto, las coordenadas del vértice son (-, 5). S. Sustituyendo las coordenadas de los puntos por los que pasa la gráfica en su ecuación, obtenemos dos ecuaciones con incógnitas a y b. Si pasa por el punto de coordenadas (-, -5), estas cumplen la ecuación de la función. Por lo tanto, sustituyendo -, y-5 en la ecuación de la función, obtenemos: -5 a(-) + b(-) -5 a b Procediendo del mismo modo con el segundo punto (, -), obtenemos: - a + b - a + b Resolviendo el sistema formado por las dos ecuaciones, obtenemos los valores de los coeficientes a y b. Página de 56

45 a - b -5 a - b - 5 a + b Sumando a b - a + b - a -8 Por lo tanto los coeficientes son a -, b, y la función cuadrática será y - + b - + b S. La ecuación de la función será de la forma y a + b + c, en la que hay que determinar los coeficientes a, b, c. Que la gráfica pasa por el punto (0, ) significa que, en la ecuación de la función para 0, debe ser y. Sustituyendo obtenemos: a0 + b0 + c c c Por lo tanto la ecuación de la función será: y a + b +. La coordenada v del vértice se obtiene a partir de la fórmula: - b v a En este caso el vértice está en el punto (, -) por lo que v. Sustituyendo en la epresión anterior obtenemos b: - b - b a b -a a De otra parte, las coordenadas del vértice también tienen que cumplir la ecuación de la función, es decir, que para debe ser y-. Sustituyendo en la ecuación de la función obtenemos otra ecuación: y a + b + - a + b + - a + b + Para resolver el sistema formado por las dos ecuaciones: b -a - a + b + Sustituimos el valor b -a en la segunda ecuación y despejamos a: - a + (-a) + - a -8a + - -a + a + a a / Sustituyendo el valor de a en la primera ecuación: b -a - - Por lo tanto, la ecuación de la función para a, b -, c, será: y + Ecuaciones de segundo grado S. Resuelva las ecuaciones: Agrupamos todos los términos en el primer miembro y reducimos antes de aplicar la fórmula: (- 6) ± (- 6) - 9 La solución es única: 6± 6-6 6± 0 6 ( ) Eliminamos denominadores reduciendo a común denominador: 5( -) ( -) Agrupamos todos los términos en el primer miembro y reducimos antes de aplicar la fórmula: (-) ± (- ) 7-7 5± ± - 0 La ecuación no tiene solución ya que - 0 no es un número real. Página 5 de 56

46 Agrupamos todos los términos en el primer miembro y reducimos: Se trata de una ecuación de segundo grado incompleta, por lo que podemos despejar directamente sin aplicar la fórmula: ± - 5 La ecuación en este caso tampoco tiene solución ya que no es posible calcular - 5. Agrupamos todos los términos en el primer miembro y reducimos antes de aplicar la fórmula: Se trata de una ecuación incompleta sin término independiente, por lo que podemos despejar directamente descomponiendo en factores etrayendo factor común: + 0 ( + ) 0 Las soluciones son 0 y: + 0 / / Soluciones: 0, / Podemos aplicar la fórmula directamente: -(-) ± (- ) Soluciones:, - ± 9-8 ± Antes de aplicar la fórmula eliminamos denominadores reduciendo a común denominador: ( - ) (6 - + ) + ( Agrupando términos y reduciendo tenemos: /5 Solución: - ) -6 Problemas con ecuaciones de segundo grado S. y 0,5 - + Y centos de vehiculos y (cientos) ,5,5 5 8,5 X anos Página 6 de 56

47 Cuál será el año de menos ventas? Cuántos coches venderá ese año? El año de menos ventas es el º ya que para se obtiene el valor más bajo de y: y 0,5. El número de vehículos vendidos ese año es y 0, vehículos. A partir de qué año se recuperan las ventas? A partir del primer año el número de ventas se incrementa cada año. S5. Sea el lado de las baldosas cuadradas. La superficie de cada baldosa será. El área del salón a embaldosar es: 8 m 6 m 8 m Si se necesitan 00 baldosas para cubrir una superficie de 8 m, podemos escribir: 00 8 Despejando obtenemos: ,6 0,6 0, m Por lo tanto, se necesitan 00 baldosas cuadradas de 0, m de lado. S6. Sea el largo del rectángulo. Si la altura mide cm menos su medida será ( ). Mirando la figura vemos que los lados y la diagonal forman un triángulo rectángulo en el que la diagonal es la hipotenusa y los lados los catetos. Por lo tanto, podemos aplicar en este triángulo el teorema de Pitágoras escribiendo: + ( ) (- ) ± (- ) - ( -96) ± ± 78 ± La segunda solución no es válida ya que la medida de los lados no puede ser negativa. Por lo tanto, las medidas del rectángulo son: largo: 8 cm ; altura: 8 6 cm S7. Sea la edad actual de Pedro. Su edad hay años era ( ) y dentro de años será ( + ). Las condiciones del problema se traducen en la ecuación: ± ( - ) + ( - ) (-)(- 0) (-) - 6 ± ( - ) ± 96-6 ± La primera solución no es válida ya que hace años aún no había nacido, solo es válida la segunda: 0 años. Comprobación: Edad hace años: 0 8 años Edad dentro de años: 0 + años 6 0 Página 7 de 56