Unidad 14: DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

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1 Undad 4: DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD 4..- DISTRIBUCIONES ESTADÍSTICAS Gráfcos: dagramas de barras e hstogramas Observa las dos dstrbucones dadas gráfcamente: En un hstograma, las frecuencas correspondentes a los ntervalos son proporconales a las áreas de los respectvos rectángulos. Por eso, s las bases de los rectángulos son guales, sus alturas son tambén proporconales a las frecuencas. Pero s las bases tenen dferentes anchos, las alturas de los rectángulos se deben hallar de tal forma que las áreas sean proporconales a sus frecuencas, esto es, la altura de cada rectángulo se obtene dvdendo su área (frecuenca correspondente) por la base (longtud del ntervalo). Cálculo de los parámetros y σ NÚMERO DE ACIERTOS DE 40 ALUMNOS EN UN TEST TIEMPO QUE TARDAN EN LLEGAR AL TRABAJO LOS EMPLEADOS DE UNA EMPRESA Ambas son dstrbucones de frecuenca de varables cuanttatvas (numércas). La prmera corresponde a una varable dscreta, pues solo puede tomar valores aslados (el número de acertos puede ser, por ejemplo, 5 o 6, pero no un valor ntermedo). Por eso la hemos representado medante un dagrama de barras. En él, las alturas de las barras son proporconales a las respectvas frecuencas. En la segunda dstrbucón la varable es contnua: cada ndvduo puede tener un valor stuado en un punto cualquera del ntervalo al que pertenece. Por eso, en vez de barras, levantamos rectángulos que ocupan todo el ntervalo. El gráfco se llama hstograma. 3 f f f f n f n VARIANZA: Cuando la dstrbucón vene dada medante una tabla de frecuencas, las fórmulas para el cálculo de los parámetros adoptan las sguentes formas: MEDIA: f + f + + f n n = = f f + f + f f n ( ) + ( ) + + ( ) ( ) f f f f n n σ = = o ben, f + f + f f n f + f + + f f σ = = f + f + f f n n n DESVIACIÓN TÍPICA: σ = VARIANZA

2 4..- DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DE VARIABLE DISCRETA Las dstrbucones de probabldad son dealzacones teórcas de las dstrbucones de frecuencas relatvas, que se obtenen empírcamente (epermentado u observando). Cuando la varable es dscreta, unas y otras se representan medante dagramas de barras. DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS RELATIVAS (00 lanzamentos) DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES Parámetros de una dstrbucón de probabldad Se defnen de forma smlar a los parámetros de las dstrbucones estadístcas: MEDIA: p p p p n n VARIANZA: µ = = ( ) ( ) ( ) ( ) σ = p µ + p µ + + p µ = p µ n n Idealzacón o ben ( ) σ = p + p + + p µ = p µ n n p p p n p n Una dstrbucón de probabldad de una varable dscreta X es el resultado de asgnar a cada valor de la varable,, su probabldad, p. ( ) P X = = p DESVIACIÓN TÍPICA: ( ) σ = VARIANZA = p µ = p µ Observa las dos fórmulas de la varanza: En la prmera se ve claro el sgnfcado de la varanza: suma ponderada de los cuadrados de las dferencas de cada valor a la meda. Cada p es un número comprenddo entre 0 y : La suma de todos los p es : p = Se representan medante un dagrama de barras. 0 p La segunda es mucho más cómoda para calcular la varanza a partr de los datos. Pero, naturalmente, ambas son equvalentes. 3 4

3 Ejercco resuelto En una lotería popular hay 000 números. Se rfa un número, que gana El anteror y el sguente ganan 000 cada uno. Todos los que tenen la msma termnacón que el ganador se llevan 0, y el resto, nada. Cómo se descrbe la probabldad de premo de una persona que lleve un únco número? Hemos construdo una tabla en la que se asoca a cada premo,, la probabldad de consegurlo, p. Completamos la tabla con las columnas p y sumas nos srven para calcular los parámetros. µ = p = 7, 99 p p p , , ,099 0,99 9,9 0 0, p = σ = p µ = 7009, 9 7, 99 = 64,5 p = 7, 99 p = 7009, 9 p cuyas (Esto sgnfca que s jugáramos muchísmas veces un número a esa lotería, ganaríamos 7,99 por térmno medo. Esto, sn contar lo que nos cuesta el boleto.) Ejercco La dstrbucón de probabldad de una varable aleatora dscreta vene dada por esta tabla: Sabemos que P ( X ) = 0,7 y que ( ) valores de a, b y c y calcula µ y σ. Ejercco P X = 0,75. Halla los En una urna hay dez bolas con los números,,, 3, 3, 3, 4, 5, 5, 0. Sacamos una bola y anotamos el resultado. Elabora la dstrbucón de probabldad y calcula µ y σ LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL EXPERIENCIA DICOTÓMICA S en una eperenca aleatora destacamos un suceso A y prestamos atencón, eclusvamente, a s ocurre A o su contraro, A, se trata de una eperenca dcotómca. Al suceso A se le denomna éto, y a su probabldad, P ( A) = p p 0, a b c 0, La probabldad de su contraro es P ( A) = p = q. Por ejemplo, son eperencas dcotómcas las sguentes: 5 6

4 . Lanzar una moneda: A = cara, A = no cara = cruz = ( ) = q P ( cruz) p P cara. Lanzar un dado y ver s sale 5: = = A = { 5} A = {,, 3, 4, 6} = ( ) = q P ( A) p P A 6 5 = = 6 3. Etraer una carta de una baraja y ver s es fgura: A = fgura = { as, sota, caballo, rey} A = no fgura = {, 3, 4, 5, 6, 7} p P ( A) 0,4 = = ( ) DISTRIBUCIÓN BINOMIAL q = P A = 0,6 Partmos de una eperenca dcotómca en la que p es la probabldad de éto. La repetmos n veces y observamos el número,, de étos que se consguen. La varable X es dscreta porque toma los valores 0,,,, n. X = { 0,,,, n} La dstrbucón de probabldad de X se llama dstrbucón bnomal B(n,p). Por ejemplo, son dstrbucones bnomales las sguentes:. Lanzamos 0 monedas y nos preguntamos por el número de caras. Lanzar una moneda es una eperenca dcotómca Éto: cara P ( cara) = p = 0,5 Lanzar 0 monedas es equvalente a lanzar 0 veces una moneda. Es la eperenca dcotómca descrta anterormente repetda 0 veces. Es, por tanto, una dstrbucón bnomal B( 0; 0,5 ) La varable X es el número de caras obtendas. X = { 0,,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0}. Lanzamos 6 dados correctos y nos preguntamos por el número de cncos. Es una dstrbucón bnomal con n = 6 y p = 6 B 6, 6 3. Etraemos una carta de una baraja, observamos s es o no fgura y la devolvemos al mazo. Barajamos y volvemos a etraer. Repetmos cnco veces la eperenca. Es una dstrbucón bnomal: n = 5 y p 0,4 B 5; 0,4. APARATO DE GALTON = ( ) Este aparato de Galton se comporta, para cada bola, como una dstrbucón bnomal B(4, /). La bola en su camno encuentra cuatro bfurcacones y en cada una la probabldad de que vaya haca una lado o haca otro es /. 7 8

5 Cálculo de probabldades en una dstrbucón B(n,p) Etraer 5 cartas con reemplazamento de una baraja de 40 y observar cuántas fguras se obtenen es una dstrbucón bnomal B( 5; 0,4 ) X = número de fguras obtendas X es B( 5; 0,4 ) X = { 0,,, 3, 4, 5} Cada etraccón es una secuenca de 5 cartas de las que solo mporta s son o no fguras. Veamos la probabldad de algunas de estas secuencas: F F F F F F F F F F Probab. Probab. 3 0,4 0,6 0,4 0,4 0,6 = 0,4 0,6 4 0,6 0,6 0,6 0,4 0,6 = 0,4 0,6 Cuál es la probabldad de obtener 3 fguras? 3 F F F F F 0,4 0,6 3 F F F F F 0,4 0,6 3 F F F F F 0,4 0,6 3 F F F F F 0,4 0,6 En total hay 5 formas dstntas de que salga 3F y F. Por 3 tanto: 5 3 P ( 3F ) = 0,4 0,6 = 0, p 0 0, ,590 0, , , ,004,00000 Ejercco resuelto Dstrbucón de probabldades en una bnomal B(5 ; 0,4) y su representacón gráfca. S X es una varable B(n,p), la probabldad de obtener k étos es: n k n k ( = ) = p q P X k k p es la probabldad de éto en cada una de las eperencas. n es el número de veces que se realza la eperenca. Los parámetros de esta dstrbucón son En una bnomal B(8; 0, ), calcular P ( X = 0), P ( X 0) P ( X = ), así como los parámetros µ y σ P ( X = 0) = 0, 0, 8 = 0, 8 = 0,678 0 µ = np, σ = npq (probabldad de nngún éto ), 0

6 P ( X 0) = P ( X = 0) = 0,678 = 0, P ( X = ) = 0, 0, 8 = 0,936 MEDIA: µ = np = 8 0, =, 6 DESVIACIÓN TÍPICA: σ = npq = 8 0, 0, 8 =,3 Ejercco resuelto 3 En un centro de fertldad, cada ntento de nsemnacón n vtro para cualquer pareja tene un porcentaje de éto del 30%. Esta semana han acuddo al centro 0 parejas para realzar el tratamento. a) Qué probabldad hay de que nnguna pareja concba? b) Y qué probabldad hay de que alguna pareja concba? X : número de parejas que concbe de las 0 que acuden al centro. p = probabldad de que la pareja concba = 0,3 X es una varable dscreta que sgue una dstrbucón bnomal B(n,p) con n = 0 y p = 0,3. X es B(0;0,3). n P X = k = p q k k n k a) Aplcamos la fórmula ( ) (probabldad de algún éto ) P ( nnguna pareja concba) = P ( X = 0) = 0,3 0, 7 = 0, 08 0 Alguna pareja concba es lo contraro de nnguna pareja concba. Ejercco 3 P ( X > 0) = P ( X = 0) = 0,08 = 0,978 Reconoce en cada uno de los sguentes casos una dstrbucón bnomal y d los valores de n, p, q, µ y σ. Un eamen tpo test consta de 50 preguntas, cada una con tres respuestas, de las que solo una es correcta. Se responde al azar. Cuál es el número de preguntas acertadas? En el eamen descrto en el apartado anteror, un alumno conoce las respuestas de 0 preguntas y responde las restantes al azar. Nos preguntamos cuántas de ellas acertará. Una moneda se lanza 400 veces. Número de caras. El % de certas soldaduras son defectuosas y revsamos ml de ellas. Número de soldaduras defectuosas que habrá. Ejercco 4 Ana tene una probabldad de 0,7 de encestar un trple. En un concurso de trples hay que trar 5 veces. La mejor marca ha sdo la de Raquel, con 3 canastas. Qué probabldad tene Ana de batr a Raquel?

7 Ejercco 5 La probabldad de que una flecha lanzada por un arquero dé en la dana es 0,4. S se lanzan 6 flechas, halla la probabldad de que: a) solo una dé en la dana. b) al menos una dé en la dana. Ejercco DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DE VARIABLE CONTINUA Las dstrbucones de probabldad de varable contnua son dealzacones de las dstrbucones estadístcas de varable contnua. Estas se obtenen empírcamente (epermentando u observando). Aquellas son dstrbucones teórcas. Por ejemplo, estaturas, pesos, tempos, son varables contnuas. Un eamen de opcón múltple está compuesto por 9 preguntas, con cuatro posbles respuestas cada una, de las cuales, solo una es correcta. Supóngase que uno de los estudantes que realza el eamen responde al azar. Cuál es la probabldad de que conteste correctamente a 6 preguntas? Cuál es la probabldad de que no acerte nnguna? ESTATURA EN CENTÍMETROS DE 500 CHICAS Idealzacón ESTATURAS DE CHICAS Ejercco 7 En un proceso de fabrcacón de tornllos se sabe que el % son defectuosos. Los empaquetamos en cajas de 50 tornllos. Halla la probabldad de que en una caja haya este número de tornllos defectuosos: a) nnguno b) uno c) más de dos Ejercco 8 Un tratamento contra una enfermedad produce mejoría en 8 de cada 0 enfermos a los que se les aplca. S se sumnstra el tratamento a 5 enfermos, calcula la probabldad: a) de que los cnco pacentes mejoren. b) de que, al menos tres no epermenten mejoría. 3 Las dstrbucones de probabldad de varable contnua se defnen por medo de una funcón, y = f(), que se llama funcón de probabldad o funcón de densdad cuyas condcones descrbmos a contnuacón. Para que f() sea la funcón de densdad o funcón de probabldad de una varable aleatora, es necesaro que: f() sea no negatva: f() 0 para todo. El área bajo la curva y = f() sea gual a. 4

8 4.5.- LA DISTRIBUCIÓN NORMAL La curva normal es una funcón de probabldad contnua y smétrca, cuyo mámo concde con la meda, µ. Para hallar la probabldad P ( a b), obtendremos el área que hay bajo la curva en el ntervalo a, b : ( ) P a b = área bajola curva en a, b Esta curva fue descrta por el matemátco alemán Carl Fredrch Gauss. Llegó a ella estudando los errores que se producen al medr reteradamente una certa magntud. Estas son su ecuacón y su representacón gráfca. y = e σ π µ σ Por su forma acampanada, se denomna campana de Gauss. Las probabldades de sucesos puntuales son cero: P ( X = a) = 0, ( ) P X = b = 0, Por tanto: P ( a b) = P ( a < < b) Parámetros La meda, µ, y la desvacón típca, σ, tenen los msmos sgnfcados que en las dstrbucones estadístcas: MEDIA, µ: centro de gravedad de la dstrbucón. DESVIACIÓN TÍPICA, σ: medda de la dspersón. Cuantfca el grado de separacón de los valores respecto de la meda. 5 La gran mportanca de esta dstrbucón se debe a la enorme frecuenca con que aparece en las stuacones más varadas. Entre las muchas varables que se dstrbuyen normalmente, podemos ctar: Caracteres morfológcos de ndvduos (personas, anmales, plantas) de una msma raza. Por ejemplo: tallas, pesos, envergaduras, etc. Caracteres fsológcos. Por ejemplo, efectos de una msma doss de un fármaco o de una msma cantdad de abono. Caracteres socológcos. Por ejemplo, consumo de certos productos por ndvduos de un msmo grupo humano. 6

9 Caracteres físcos. Por ejemplo, resstenca a la rotura de pezas aparentemente déntcas. Y, en general, cualquer característca que se obtenga como suma de muchos factores. Reparto del área bajo la curva normal Por ser una dstrbucón de probabldad, el área bajo una curva normal cualquera es. Pero esta área se dstrbuye del sguente modo: Para cada valor de µ (meda) y cada valor de σ (desvacón típca), hay una curva normal que se desgna N( µ, σ ). Por ejemplo, observemos las dstrbucones N(0,4), N(0,4) y N(0,) Sn embargo, el reparto de probabldades en ellas es práctcamente déntco. Solo depende de los parámetros µ y σ. Observamos que dos curvas normales con la msma desvacón típca son déntcas. Y s tenen dstnta desvacón típca, son smlares: guales salvo un cambo de escala. Ahora veremos en qué se concreta esta smltud. Esto sgnfca que, por ejemplo, s el cocente ntelectual (C.I.) de las personas de un certo colectvo se dstrbuye N(,6), entonces: - El 68,6% de ellos tene un C.I. entre 06 y 8. - El 95,44% de ellos tene un C.I. entre 00 y 4. - El 99,74% de ellos tene un C.I. entre 94 y

10 Afnando más, podemos decr que se dstrbuyen del sguente modo: Tabla de áreas bajo la curva normal N(0,) En la dstrbucón N(0,), a la varable se la suele representar por la letra Z. La tabla que aparece a contnuacón nos da las probabldades P(Z k) para valores de k de 0 a 3,99, de centésma en centésma. A estas probabldades se las llama F(k): F(k) = P(Z k) Todas las curvas normales son esencalmente guales S en lugar de tomar 0,5 desvacones típcas a la zquerda y, a la derecha de la meda hubéramos tomado otras dos constantes, las msmas en las dos curvas, tambén las áreas serían guales. Esto sgnfca que, en esenca, todas las curvas normales son déntcas, salvo un cambo de orgen y de escala. Esta concdenca permte conocer la dstrbucón de áreas bajo una curva normal cualquera s se conoce la de una de ellas. Concretamente, la más senclla, la norma de meda 0 y desvacón típca. Las áreas bajo la curva normal N(0,), es decr, sus probabldades, son conocdas, están tabuladas y vamos a aprender a manejarlas a contnuacón. Con ellas podremos calcular probabldades en una normal cualquera, N(, ) µ σ. 9 0

11 El valor de k se busca así: Para abscsas negatvas, P(Z k) = P(Z k) = F(k) Undades y décmas en la columna de la zquerda. Centésmas en la fla de arrba. El número que nos da la tabla es el valor de: F(k) = P(Z k) Ejemplos: P(Z 0, 83) = F(0, 83) = 0, 7967 P(Z, 3) = F(, 30) = 0, 9893 P(Z ) = F(, 00) = 0, 843 Las restantes probabldades se pueden obtener a partr de las anterores como se ve en los sguentes ejemplos:. P(Z, 86) = P(Z <, 86) = F(, 86) = 0, 9686 = = 0, 034 Recíprocamente, s conocemos el valor de la probabldad F(k), se puede saber el valor de k. Ejemplos: P(Z k) = F(k) = 0, 790 k = 0, 58 P(Z k) = F(k) = 0, 8643 k =, P(Z k) = F(k) = 0, 5560 k = 0,4 Recordemos que en una dstrbucón de varable contnua las probabldades puntuales son nulas: P(X = k) = 0.. P(0,8 Z, 9) = F(, 9) F(0,8) = 0, 905 0, 574 = = 0, 330 Por tanto, P(X k) = P(X < k) Cálculo de probabldades en una N(0,) S k 0, las probabldades P(Z k) = P(Z < k) = F(k) se encuentran drectamente en las tablas. P(Z k) = P(Z < k) = F(k)

12 3. P( 0, 56 Z, 9) = F(, 90) F( 0,56) = 0, 973 F(0, 56) = = 0, 973 0, 73 = 0, 973 0,877 = 0, 6836 Ejercco 0 Calcula el valor de k (eacta o apromadamente) en cada uno de los sguentes casos: a) P(Z k) = 0,5 b) P(Z k) = 0, 879 c) P(Z k) = 0,9 d) P(Z k) = 0,33 e) P(Z k) = 0, f) P(Z > k) = 0, 4. P(, 83 < Z < ) = P( < Z <, 83) = F(, 83) F(, 00) = = 0, , 843 = 0,5 g) P(Z k) = 0, 997 h) P(Z k) = 0, 6 Cálculo de probabldades en una N( µ, σ) Se puede demostrar que s una varable X sgue una dstrbucón normal con meda µ y desvacón típca σ, X µ entonces la varable Z = sgue una dstrbucón normal σ con meda 0 y desvacón típca. Es decr: S X µ X es N( µ, σ) Z = es N(0,) σ Ejercco 9 Halla las sguentes probabldades en una dstrbucón N(0,): a) P(Z >,8) b) P(Z,8) c) P(Z >, 8) d) P(,6 Z,3) e) P( Z ) f) P( 0,6 Z,4) g) P( Z ) h) P(,3 Z, 7) ) P( Z ) 3 Al proceso de pasar de una varable X que es N( µ, σ ) a una X µ varable Z = que es N(0,) se le llama tpfcacón de σ la varable. Las probabldades de la varable tpfcada se pueden calcular mrando en las tablas. Ejercco resuelto 4 En una dstrbucón N(66,8), calcular: a) P(X < 70) b) P(X > 80) c) P(70 < X < 80) 4

13 S X 66 X es N(66,8) Z = es N(0,) 8 a) P ( X < 70) X P ( X < 70) = P < = P ( Z < 0,5) = F(0,5) = 8 8 = 0, 695 b) P ( X > 80) X P ( X > 80) = P > = P ( Z >,75 ) = F(,75) = 8 8 = 0, 9599 = 0, 040 c) P(70 < X < 80) X P ( 70 < X < 80) = P < < = = P 0,5 < Z <,75 = F(,75) F(0,5) = ( ) = 0, , 695 = 0,684 Ejercco En una dstrbucón N(6, 0,9), calcula k para que se den las sguentes gualdades: a)p(x k) = 0, 977 b) P(X k) = 0, 8 c)p(x k) = 0,3 d) P(X k) = 0, LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL SE APROXIMA A LA NORMAL Una dstrbucón bnomal se parece a una normal tanto más cuanto mayor es el producto np (o nq s q < p). Cuando np y nq son ambos mayores que 3, la apromacón es bastante buena. Y s superan a 5, la apromacón es cas perfecta. Ejercco En una dstrbucón N(8,4), halla las sguentes probabldades: a) P(X 0) b) P(X 6, 5) c) P(X ) d) P(9 X 3) e) P( X < 5) 5 6

14 Naturalmente, la curva normal a la cual se aproma la bnomal B(n, p) tene la msma meda µ = np y la msma desvacón típca σ = npq: B(n,p) N ( np, npq) Es decr, a cada valor puntual de X (0,,,, k,, n) se le asoca en X un ntervalo centrado en k y de rado 0,5. Por tanto: P ( a X < b) = P ( a 0,5 < X' < b 0,5) En la apromacón de ambas dstrbucones hay que tener en cuenta que la bnomal es dscreta y la normal, contnua. Cálculo de probabldades en una bnomal medante la apromacón a la normal La varable X se dstrbuye B(n, p), La varable X se dstrbuye N ( np, npq ). µ = np, σ = npq. S np 5 y nq 5, estas dos dstrbucones son cas déntcas salvo que X es dscreta (toma valores 0,,,, n) mentras que X es contnua. Esta dferenca se apreca cuando calculamos probabldades, que hemos de averguarlas del sguente modo: ( = ) ( < < + ) P X k P k 0,5 X' k 0,5 Por ejemplo: P ( a < X b) = P ( a + 0,5 < X' < b + 0,5) ( < ) = P ( a + 0,5 < X' ) P a X P ( 3 < X < 5) = P ( X = 4) = P ( 3,5 < X' < 4,5) P ( 3 X < 5) = P ( X = 3 o X = 4) = P (,5 < X' < 4,5) P ( 3 X 5) = P ( X = 3 o X = 4 o X = 5) = P (,5 < X' < 5,5 ) El área de la parte grs, de base, es apromadamente gual a la longtud de la barra roja 7 8

15 Ejercco resuelto 5 Una máquna fabrca tornllos. El 5% de ellos son defectuosos. Se empaquetan en cajas de 400. Calcular la probabldad de que en una caja haya más de 30 defectuosos. X: número de tornllos defectuosos en una caja de 400. X es bnomal con n = 400 y p = 0,05 B(400, 0,05) Sus parámetros son: µ = np = 400 0, 05 = 0 σ = npq = 400 0,05 0,95 = 4,36 Como np > 5 y nq > 5, la dstrbucón X es muy parecda a la normal X con la msma meda y la msma desvacón típca que X. X es N(0, 4,36) X' 0 30,5 0 p( X > 30) p( X' 30,5) = p = 4, 36 4, 36 Z es N(0,) = p(z, 4) = F(, 4) = 0, 990 = 0, 008 Ejercco 3 Una moneda se lanza 400 veces. Calcula la probabldad de que el número de caras: a) sea mayor que 00. b) esté entre 80 y 0. 9 Ejercco 4 Los pesos de 000 soldados presentan una dstrbucón normal de meda 75 kg y desvacón típca 8 kg. Halla la probabldad de que un soldado elegdo al azar pese: a) más de 7 kg. b) entre 73 y 79 kg. c) menos de 80 kg. d) más de 85 kg. Ejercco 5 Para lumnar el recnto de un estado deportvo se queren nstalar focos. El sumnstrador asegura que el tempo de vda de los focos es una varable normal con meda de 500 horas y desvacón típca de 00 h. a) Cuál es la probabldad de que un foco elegdo al azar luzca por lo menos 000 horas? b) S se compran 000 focos, cuántos puede esperarse que luzcan al menos 000 horas? Ejercco 6 En una poblacón de estudantes se ha comprado que la calfcacón obtenda en Inglés sgue una dstrbucón normal de meda 5, s se ha segudo el método A, y una normal de meda 6, s se ha segudo el método B. Se sabe que el 4% de los alumnos que han elegdo el método A obtenen una calfcacón nferor a 3,5 y que el % de los alumnos que han segudo el método B superan el 8. a) Qué porcentaje de estudantes que sguen el método A no superan la calfcacón de 6,5? b) Qué porcentaje de estudantes del método B obtenen una calfcacón comprendía entre 4 y 6? 30

16 Ejercco 7 La duracón de certo tpo de motor es una varable normal con una meda de 0 años y desvacón típca de años. El fabrcante garantza el buen funconamento de los motores por un perodo de 3 años. Qué porcentaje de motores se espera que no cumplan la garantía? Ejercco 8 El 0% de los alumnos con mejor nota de una escuela pueden acceder a estudos superores. Sabemos que las notas medas fnales en esa escuela se dstrbuyen normalmente con meda 5,8 y desvacón típca. Cuál es la nota meda mínma que debe obtener un alumno s quere hacer estudos superores? Ejercco 9 En un eamen pscotécnco, las notas de Branda y Chrstan fueron, respectvamente, 84 y 78. Sabemos que esas puntuacones tpfcadas son,75 y respectvamente. Calcula la meda y la desvacón típca de la dstrbucón. Ejercco 0 Las alturas de los alumnos de una clase sguen una N( µ, σ ). Sona, con 7 cm, y Begoña, con 67 cm, tenen unas alturas tpfcadas de,4 y 0,4, respectvamente. a) Cuál es la altura real de Estefanía s su altura tpfcada es de? b) Cuál es la tpfcacón de la altura de Azucena s mde 65 cm? 3 Ejercco Un test de sensbldad muscal da resultados que se dstrbuyen según una N(65,8). Se quere hacer un baremo por el cual, a cada persona, junto con la puntuacón obtenda, se le asgne uno de los sguentes comentaros: Duro de oído. Poco sensble a la músca. Normal. Sensble a la músca. Etraordnaramente dotado para la músca. de modo que haya en cada uno de los grupos, respectvamente, un 0%, un 35%, un 30%, un 0% y un 5% del total de ndvduos observados. a) En qué puntuacones pondrías los límtes entre los dstntos grupos? b) Qué comentaro se le haría a una persona que obtuvera una puntuacón de 80? Y a otra que obtuvera una puntuacón de 40? Ejercco Una compañía de autobuses sabe que el retraso en la llegada sgue una dstrbucón normal de meda 5 mnutos, y que el 68,6% de los autobuses llega entre mnutos y 8 mnutos tarde. a) Cuál es la desvacón típca? b) Cuál es la probabldad de que un autobús llegue puntual o antes de la hora? 3

17 Ejercco 3 En un hosptal, el 54% de los nacmentos son nñas. Halla la probabldad de que de 500 nacmentos, el número de nños esté entre 00 y 400, ambos nclusve. Ejercco 4 Un eamen tpo test tene 50 preguntas y cada pregunta, tres respuestas dferentes, solo una de las cuales es correcta. Para aprobar, hace falta responder ben a 5 preguntas; para sacar un notable, a 35; y para un sobresalente, a 45. S se responde al azar, cuál es la probabldad de aprobar? Y la de sacar notable? Y sobresalente? Ejercco 5 En un bombo de lotería tenemos 0 bolas numeradas del 0 al 9. Cada vez que se etrae una, se devuelve al bombo. a) S sacamos tres bolas, halla la probabldad de que el 0 salga una sola vez. b) S hacemos 00 etraccones, calcula la probabldad de que el 0 salga más de veces