Electromagnetismo I. Semestre: TAREA 5 Y SU SOLUCIÓN Dr. A. Reyes-Coronado

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1 Electromgnetismo I Semestre: 20-2 TAREA 5 Y SU SOLUCIÓN Dr. A. Reyes-Corono Solución por Crlos Anrés Escobr Ruíz.- Problem: (20pts) Un moelo primitivo pr el átomo consiste en un núcleo puntul con crg + roeo por un nube electrónic esféric e rio con crg, como se muestr en l figur ). Consier ue este átomo está hor bjo l cción e un cmpo eléctrico E e mner ue el núcleo se moverá un peueñ istnci respecto l centro e l nube electrónic, como se muestr en l figur b). Consierno ue el esplzmiento es peueño ( < ), y ue l nube electrónic sigue tenieno form esféric, clcul l polrizbili tómic el átomo. )" b)" " +" "" " +" "" Solución l problem! r E Como ice el enuncio, en presenci e un cmpo externo E, el núcleo será esplzo ligermente l erech y l nube electrónic l izuier. El euilibrio ocurre cuno el núcleo es esplzo un istnci el centro e l esfer. En este punto el cmpo externo empujno el núcleo l erech euilibr el cmpo interno ue está empujno éste l izuier: E = E e, one E e es el cmpo proucio por l nube electrónic. Ahor bien, sbemos ue el cmpo un istnci e un esfer uniformemente crg e rio está o por E e =, () con lo cul, en el euilibrio se clnz cuno E = E e =, o bien, p = = ( )E. (2) Entonces l polrizbili estrá por one V es el volumen el átomo. α = = ɛ 0 V, ()

2 2.- Problem: (20pts) Un átomo e hirógeno (rio Bohr e meio ngstrom) se encuentr entre os plcs metálics seprs por mm, ls cules están conects un bterí e 500 volts. Qué frcción el rio tómico represent l istnci e seprción entre ls crgs inuci por l iferenci e potencil (e mner proxim)? Estim el voltje necesrio pr ionizr el átomo. Solución l problem 2 Sbemos ue el cmpo eléctrico entre os plcs prlels es constnte e inepeniente e l posicin (plcs infinits), por lo ue el potencil es el proucto el cmpo eléctrico por l istnci mei ese un e ls plcs hci l otr. Entonces, el cmpo eléctrico est o por: E = φ 500 Volts = x 0 m = 5 05 V/m. () L polrizbili tómic el hirógeno es α = m, (5) con lo cul Por lo tnto, α = π( C2 s 2 Kg m )( m ) = 7. 0 C2 s 2 Kg. (6) p = αe = (7) one es l crg el electrón, e, en este cso. Entonces l seprción máxim inuci entre ls crgs en el átomo será = α E e = C2s2 (7. 0 Kg )(5 05 V/m) ( = m. (8) C) Si el átomo e hirógeno tiene e rio el rio e Bohr, entonces l frcción /R será R = m m = (9) Digmos ue el átomo se ionizrá cuno l istnci e seprción se igul l rio e Bohr (el electrón estrá os rios e istnci el núcleo). Entonces, pr = R se tiene ue R = α E e = αφ ex, φ = Rex α = ( m)( C)(0 m) (7. 0 C 2 s 2 Kg ) = 0 8 V.. Problem: (20pts) De cuero l mecánic cuántic, l nube electrónic pr un átomo e hirógeno en el esto bse tiene un ensi e crg ρ(r) = π e 2r/, one es l crg el electrón y es el rio e Bohr. Clcul l polrizbili tómic el átomo. (Hint: primero clcul el cmpo eléctrico e l nube electrónic, luego expne el exponencil sumieno ue r << ). 2 (0)

3 Solución l problem Do ue l ensi e crg sólo epene e l istnci ril r entonces tenemos simetrá esféric en el problem, por lo ue poemos hcer uso e l ley e Guss pr clculr el cmpo eléctrico E = Q enc ɛ 0. Clculno l crg totl encerr se tiene Q enc = ρv = π π { = exp r 0 2r exp 2 r ] r 2 r = ] ( + 2r + 2r2 2 { 2 exp 2 r ] )} ( r 2 + r + 2 r, 2 0 )}. () Por lo tnto, el cmpo eléctrico proucio por l nube electrónic es E e = { r 2 exp 2r ] ( + 2r )} + 2r2 2. (2) El protón será esplzo el origen r = 0 l punto one E e = E (el cmpo externo): E = { 2 exp 2 ] ( + Expnieno en potencis e /: entonces exp 2 ]( + Por lo tnto exp 2 ] = 2 ( + 2 ) = = E ( 2 ) 2 Con lo cul l polrizbili tómic está por )} () ( ) +, () ) 2 ( ) ] ( ) ( + 2 ( ) + órenes superiores. (5) ) = () = πɛ 0 p. (6) α = πɛ 0. (7). Problem: (20pts) Un esfer e rio R posee un polrizción por: P ( r ) = k r, one k es un constnte y r es el vector e posición en coorens esférics. () Clcul ls crgs inucis σ b y ρ b.

4 (b) Clcul el cmpo eléctrico entro y fuer e l esfer. Solución l problem ) Ls crgs inucis están s por σ b = P ˆn = kr, ρ b = P = r 2 r (r2 kr) = r 2 (kr2 ) = k. (8) b) Pr r < R, el cmpo eléctrico pr un esfer con ensi e crg constnte ρ está o por E = ɛ 0 ρ r ˆr, (9) con lo cul, en este cso tenemos ue E = k ɛ 0 r. (20) Pr r > R, es como si to l crg estuviese en el centro e l esfer. Sin embrgo, Q tot = (kr)(πr 2 ) + ( k)( πr ) = 0, (2) con lo cul el cmpo eléctrico es E = 0 entro e l esfer. 5. Problem: (20pts) Un cilinro peueño e rio y longitu L posee un polrizción uniforme P, prlel su eje e simetrí. Cclul ls crgs inucis y ibuj esuemáticmente el cmpo eléctrico pr i) L >>, ii) L << y iii) L. (A esto se le conoce como electreto en nlogí un mgneto ). Solución l problem 5 Ls crs inucis están s por ρ b = P = 0 y σ b = P ˆn = ±P. (22) El signo + correspone cuno P y el vector norml un e ls tps ˆn puntn en l mism irección. En l otr tp el cilinro P y ˆn tienen irecciones opuests y el signo eberá ser utilizo. Sobre l superficie, ue no son ls tps el cilinro, P es ortogonl l vector norml l superficie por lo ue su proyección es cero. i) L. Ls tps se pueen proximr como crgs puntules, y el sistem completo como un ipolo físico, e longitu L y crg P π 2. ii) L. En este cso el sistem se puee proximr un cpcitor circulr e plcs prlels. El cmpo entro es uniforme. iii) L. Ver figur.

5 6. Problem TORITO: (0pts) Clcul el potencil esclr e un esfer uniformemente polriz irectmente con l siguiente expresión: φ( r ) = V ( r r ) P ( r ) r r r. Solución l problem 6 Do ue P es constnte φ = r P r 2 v = P ] r r 2 v, (2) one r = r r. El término entro e los préntesis es el cmpo eléctrico e un esfer uniformemente crg iviio por ρ (su ensi e crg volumétric) y su vlor es r r 2 v = ρ πr ρ ˆr (r > R) r 2 πr ρ r (r < R) R, (2) por lo tnto φ(r, θ) = ρ R ˆP ɛ 0 ˆr = R P cos(θ) r 2 ɛ 0 (r > R) r 2 ɛ 0 ˆP r = P rcos(θ) ɛ 0 (r < R). (25) 5