Matemáticas CCSS LÍMITES DE FUNCIONES 1. INTRODUCCIÓN BÁSICA: A) LÍMITES SOBRE GRÁFICAS. Ejercicio nº 1.- Ejercicio nº 2.

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1 LÍMITES DE FUNCIONES. INTRODUCCIÓN BÁSICA: A) LÍMITES SOBRE GRÁFICAS Ejercicio nº.- Ejercicio nº.- Página

2 B) LÍMITES APOYÁNDONOS EN LAS GRÁFICAS B.) FUNCIONES POLINÓMICAS De grado : a ) 3 + b ) 3 + c ) d ) 3 + e ) 3 + f ) De grado : a ) b ) c ) +0 d ) e ) f ) +0 De grado par: a ) 4 b ) 4 c ) 4 d ) 6 e ) f ) 0 De grado impar: a ) 5 b ) 5 c ) 5 d ) 4 7 e ) 3 9 f ) Página

3 B.) FUNCIONES RACIONALES( sencillas) a ) b ) 0 + c ) 0 d ) e ) f) + g ) h ) 0 + i ) + j ) + k ) 3 l ) + 3 m ) 3 n ) 3 0 ) 3 p ) q ) 0 + r ) 0 s ) t ) u ) + v ) w ) 0 + y ) + z ) + Página 3

4 B.3) FUNCIONES IRRACIONALES a ) + 5 b ) + 5 c ) d ) + 5 e ) + 5 f ) g ) h ) + 5 i ) j ) k ) + 5 l ) B.4) FUNCIONES EXPONENCIALES a ) b ) c ) 3 d ) ( ) e ) ( ) f ) 0 ( ) g ) e h ) e i ) 3 e j ) k ) l ) 3 B.5) FUNCIONES LOGARÍTMICAS a ) d ) 8 g ) log log ln b ) 0 + log c ) log e ) log f ) log 0 + h ) 0 + ln i ) ln Página 4

5 . OPERACIONES VÁLIDAS SOBRE LÍMITES FINITOS. Supongamos que para las funciones f y g eisten los límites cuando a, siendo ambos límites FINITOS: Es decir, a f() l y a g() l Se considera a, con a tanto finito como infinito. A) El límite de una suma es la suma de los límites: a (f() ± g()) a f() ± a g() l ± l a) 3 + b) 4 ( + ) c) ( ) d) ( ln ) e) ( e ) f) ( ) Página 5

6 B) El límite de un producto es el producto de los límites: a (f() g()) a f() a g() l l a) 4 ( ) b) ( ) c) ( ln ) d) ( e ) e) ( 3 ) En particular si una función es constante f()k nos queda: El límite del producto por una constante es igual a la constante por el límite: a ( k f()) k a f() Este resultado junto con la propiedad de la suma nos permite calcular los límites de todas las funciones polinómicas: f) ( ) g) ( ) Página 6

7 C) El límite de un cociente es el cociente de los límites: (siempre que el límite del denominador no sea cero) f() a ( f() ) a g() a g() l l, si l 0 Debemos tener en cuenta que a) b) c) 0 k k 0 0 ; k 0 ± ; k 0 hay que determinar el signo del calculando los límites laterales. 0 es una INDETERMINACIÓN. 0 a) 3 +3 b) c) Ln + d) + +log e Página 7

8 k 0 con k 0 e) f) + g) + h) 3 + Lim 3 + i) j) Lim Página 8

9 INDETERMINACIÓN 0 0 En funciones racionales - polinómicas: La indeterminación desaparece descomponiendo en factores el numerador y el denominador y simplificando. a) b) 3 c) 0 + Página 9

10 d) En funciones con radicales: La indeterminación desaparece multiplicando y dividiendo por la epresión radical conjugada y simplificando. + a) b) Página 0

11 D) LÍMITE DE LA COMPOSICIÓN DE FUNCIONES: El límite de una potencia es la potencia del límite: ( f() k ) ( f() ) k l k a a a) 0 ( + 3) b) Ln El límite de una raíz es la raíz del límite: n a f() n a f() n l ( siempre que f() >0 en índices pares) a) 3 b) 4 + Ln El límite de un logaritmo es el logaritmo del límite: a (log n f()) log n ( a f()) log n l (para n>0 y f()>0) a) L n ( 3) b) log 5 ( + ) El límite de una eponencial es la eponencial del límite: a [k] f() [k] a f() [k] l a) e b) De igual forma : a [f()] g() [ a f()] a g() l l Salvo 0 0 (La INDETERMINACIÓN [0 0 ] se resolverá tomando logaritmos) a) ( ) + b) 3 ( + ) 3 Página

12 3. OPERACIONES VÁLIDAS SOBRE LÍMITES ± Todos los resultados vistos para límites finitos son válidos para los ±, SALVO situaciones concretas que llamamos INDETERMINACIONES: SUMA Y RESTA: a (f() ± g()) a f() ± a g() Salvo [ ] Debemos tener en cuenta que a) (± ) + k ± b) (+ ) + (+ ) (+ ) c) ( ) + ( ) ( ) a) ( + ) b) ( 3 + ) c) ( + 3 ) d) ( 3 + ) LA INDETERMINACIÓN [ ] se puede resolver comparando los infinitos: a) ( log ) b) ( ) c) ( 3 ) d) (log 5 ) e) ( ) f) ( 3 ) g) (3 5 ) h) ( 3 ) De esta forma el límite en ± de un FUNCIÓN POLINÓMICA queda reducido al límite en ± del monomio de mayor grado: a) (3 4 + ) b) (3 4 + ) c) ( ) d) ( ) Página

13 PRODUCTO: a (f() g()) a f() a g() Salvo [± 0] Debemos tener en cuenta que a) (± ) k ± si k>0 b) (± ) k si k<0 a) 0 ( ln ) b) 0 ( ln ) c) (e ln ) d) ( 3 ln ) LA INDETERMINACIÓN tipo [ 0 0 ], [± ± ]. [± 0] se resuelve convirtiéndola en otra indeterminación del [ ] Página 3

14 COCIENTE: f() a ( f() ) a Salvo [ ± ] g() a g() ± Debemos tener en cuenta que a) k ± 0, b) ± 0 ±, c) 0 ± 0, a) 0 +sen Ln b) e LA INDETERMINACIÓN [ ± ± ] En particular para funciones racionales-polinómicas: c) e Para resolver la indeterminación nos quedamos con los términos de mayor grado del numerador y del denominador, simplificamos y volvemos a tomar límite. Si el grado del numerador es mayor que el del denominador, el resultado del límite será ±. Si los grado son iguales, el resultado será el número que resulte de dividir los dos coeficientes. Si el grado del denominador es mayor, el resultado será 0. a) b) c) En particular para funciones con epresiones radicales: 4 a) + 5 b) c) En general se puede resolver comparando los infinitos: a) 3 3 b) c) log 3 3 log 3 log 3 log 3 3 Página 4

15 POTENCIA-EXPONENCIAL: a [f()] g() [ a f()] a g() Salvo ( ) 0, Debemos tener en cuenta que a) (+ ) k +, si k > 0 (+ ) k 0, si k < 0 b) k + + si k > k + 0 si 0 < k < c) k 0 si k > k + si 0 < k < d) (+ ) + +, (+ ) 0 a) ( + ) b) ( + ) c) ( + ) d) ( + ) En particular para funciones con epresiones eponenciales: Dividimos por la eponencial de mayor base. d) Página 5

16 RESUMEN SUMA Y RESTA: a (f() ± g()) a f() ± a g() Salvo [ ] Debemos tener en cuenta que a)(± ) + k ± b)(+ ) + (+ ) (+ ) c)( ) + ( ) ( ) PRODUCTO: a (f() g()) a f() a g() Salvo [ 0] Debemos tener en cuenta que a) (± ) k ± si k>0 b) (± ) k si k<0 COCIENTE: f() a ( f() ) a Salvo [ 0 ], g() g() 0 [ ] a Debemos tener en cuenta que a) k 0 ± b) k ± 0 c) ± 0 ± d) 0 ± 0 POTENCIA-EXPONENCIAL: a [f()] g() [ a f()] a g() Salvo 0 0, ( ) 0, Debemos tener en cuenta que a) (+ ) k +, si k > 0 (+ ) k 0, si k < 0 b) k + + si k > k + 0 si 0 < k < c) k 0 si k > k + si 0 < k < d) (+ ) + +, (+ ) 0 Página 6

17 COMPARACIÓN DE INFINITOS: a) Dado que para valores positivos < < 3 < < n < n+ < tenemos que < < 3 <. n < n+ < n b) Dado que para valores positivos < < n tenemos que n < < < < n c) d) El infinito eponencial es de orden superior al infinito potencial, y éste es de orden superior al infinito logarítmico, para. e) f) Dadas dos funciones eponenciales de base mayor que, la de mayor base es un infinito de orden superior. g) Cualquier función eponencial de base mayor que es un infinito de orden superior a cualquier potencia de. h) Las potencias de son infinitos de orden superior a las funciones logarítmicas. i) Dos polinomios del mismo grado o dos eponenciales de la misma base son infinitos del mismo orden. j) orden L < orden n < orden a < orden n (->+inf) Página 7

18 RESOLUCIÓN DE INDETERMINACIONES Resuelve las siguientes indeterminaciones del tipo : ( ) En funciones racionales-polinómicas: Se comparan los infinitos y en el caso de ser igual de potentes efectuaremos la operación: a) ( 3 ) + 3 b) ( ) c) ( ) + d) ( + 3 ) 9 e) ( ) 5 + f) ( + g) ( ) ) En funciones con epresiones radicales: Se comparan los infinitos y en el caso de ser igual de potentes multiplicamos y dividimos por la epresión conjugada: a) (3 5 ) b) ( ) c) ( 3 ) - d) ( + ) e) ( ) f) g) 0 + Resuelve las siguientes indeterminaciones del tipo : a) ( + ) b) ( 8 ) Página 8

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