DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

Transcripción

1 DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

2 VARIABLE ALEATORIA

3 Una variable x valuada numéricamente varía o cambia, dependiendo del resultado particular del experimento que se mida. Por ejemplo, suponga que se tira un dado y se mide x, el número observado en la cara superior. La variable x puede tomar cualquiera de seis valores: 1, 2, 3, 4, 5, 6, dependiendo del resultado aleatorio del experimento. Por esta razón, la variable x se conoce como variable aleatoria.

4 QUÉ ES LA VARIABLE ALEATORIA? Los resultados de un experimento (eventos) se han descrito en palabras; claramente esto dificulta el análisis de algunos problemas. Es mucho más fácil describir y manipular cuando se utilizan números. El propósito de la variable aleatoria es "mapear" cada punto de un espacio muestral en un punto de un eje real, y puesto que la regla de correspondencia para realizar el mapeo de un conjunto a otro recibe el nombre de función, la variable aleatoria es entonces una función. Una variable x es variable aleatoria si el valor que toma, correspondiente al resultado de un experimento, es una probabilidad o evento aleatorio.

5 Sea S un espacio muestral sobre el que se encuentra definida una función de probabilidad. Sea X una función de valor real definida sobre S, de manera que transforme los resultados de S en puntos sobre la recta de los reales. Se dice entonces que X es una variable aleatoria. Se dice que X es aleatoria porque involucra la probabilidad de los resultados del espacio muestral, y X es una función definida sobre el espacio muestral, de manera que transforma todos los posibles resultados del espacio muestral en cantidades numéricas.

6 Los fenómenos que más interesan a los ingenieros son aquellos que pueden ser identificados por números, los cuales reciben el nombre de eventos numéricos. Una variable aleatoria (v.a.) es una función, cuyos valores son números reales, definida en un espacio muestral. De una manera simple puede denotarse por X S R X S R

7 En otras palabras, una variable aleatoria es una función que asigna números reales a cada posible resultado de un experimento aleatorio; esto es, es una función cuyo dominio de definición es el espacio muestral de un experimento y cuyo rango es el eje real. Usualmente, se denotan a las variables aleatorias (vv.aa.) utilizando las últimas letras mayúsculas del alfabeto. Los valores de la imagen de dicha función, se conocen como valores de la variable aleatoria (v.a.) y se denotan con la misma letra que la función, pero con minúsculas.

8 CLASIFICACIÓN DE LAS VARIABLES ALEATORIAS Las variables aleatorias pueden clasificarse en Variables aleatorias discretas continuas Una variable aleatoria discreta toma valores de un conjunto numerable, mientras que una variable aleatoria continua toma valores de un conjunto continuo.

9 VARIABLE ALEATORIA DISCRETA

10 Una variable aleatoria se dice discreta si solamente puede tomar valores de un conjunto numerable de valores. Se dice que una variable aleatoria X es discreta si el número de valores que puede tomar es contable (ya sea finito o infinito), y si éstos pueden arreglarse a una secuencia que corresponde con los enteros positivos. Una vez definida una variable aleatoria discreta, se debe definir la forma en la que se asignarán las probabilidades a cada valor que puede tomar la variable aleatoria. Sea X una v.a. discreta, se define su función de probabilidad f x (x) como: f x x = P(X = x) Donde f: R x [0,1]

11 DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD Una variable aleatoria discreta X representa los resultados de un espacio muestral en forma tal que por P(X = x) se entenderá la probabilidad de que X tome el valor de x. De esta forma, al considerar los valores de una variable aleatoria es posible desarrollar una función matemática que asigne una probabilidad a cada realización x de la variable aleatoria X. Esta función recibe el nombre de función de probabilidad de la variable aleatoria X. El término más general, distribución de probabilidad, se refiere a la colección de valores de la variable aleatoria y a la distribución de probabilidad entre estos. Sin embargo, hacer referencia a la distribución de probabilidad de X no sólo implica la existencia de la función de probabilidad, sino también la existencia de la función de distribución acumulativa de X.

12 Una función de probabilidad generalmente se representa de manera gráfica utilizando líneas verticales, que representan la probabilidad.

13 Sea X una variable aleatoria discreta. Se llamará a p(x) P(X = x) función de probabilidad de la variable aleatoria X, si satisface las siguientes propiedades: 1. p x 0 para todos los valores x de X. 2. σ x p x = 1 La función de distribución acumulativa de la variable aleatoria X es la probabilidad de que X sea menor o igual a un valor específico de x y está dada por F x P X x = x i x p x i Por lo tanto, en el caso discreto, una variable aleatoria X está caracterizada por la función de probabilidad puntual p x, la cual determina la probabilidad puntual de que X=x, y por la función de distribución acumulativa F x, la que representa la suma de las probabilidades puntuales hasta el valor x de X inclusive.

14 Una función de distribución acumulativa

15 La función de distribución acumulativa F x de una variable aleatoria discreta es una función no decreciente de los valores de X, de tal manera que 1) 0 F x 1 para cualquier x 2) F x i F x j si x i x j 3) P X > x = 1 F x Además, puede establecerse que para varias variables aleatorias de valor entero se tiene 4) P X = x = F(x) F(x 1) 5) P x i X x j = F x j F(x i 1)

16 VARIABLE ALEATORIA CONTINUA

17 VARIABLE ALEATORIA CONTINUA Para el caso de la v.a. continua, las reglas o propiedades de la v.a. discreta no se cumplen; por ello, la probabilidad de que una v.a. continua de X tome un valor específico es cero. Se dice que una variable aleatoria X es continua si su valores consisten en uno o más intervalos de la recta de los reales. Por ejemplo: Supóngase que se observa el intervalo entre dos llegadas consecutivas a un servicio. Si el dispositivo de medición puede medir el tiempo hasta una décima de segundo, entonces un intervalo de 83.4 seg. Puede tomarse como la media y el valor verdadero puede encontrarse entre y seg. Por lo tanto, en el caso continuo es lógico visualizar probabilidades de intervalos que de puntos e particular.

18 DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD La distribución de probabilidad de una variable aleatoria continua X esta caracterizada por una función f(x) que recibe el nombre de Función de densidad de probabilidad. Esta función f(x) no es la misma función de probabilidad que para e caso discreto. Como la probabilidad de que X tome el valor específico x es 0, la función de densidad de probabilidad no representa la probabilidad de que X=x. más bien, proporciona un medio para determinar la probabilidad de un intervalo a X b.

19 Gráficamente Se grafican las frecuencias relativas para cada intervalo por medio de rectángulos, para indicar que la frecuencia se refiere al intervalo completo más que a un punto en particular. *** La suma de las áreas de todos los rectángulos es 1.

20 La función f(x), cuya gráfica es la curva límite que se obtiene para un número muy grande de observaciones y para una amplitud de intervalo muy pequeña, es la función de densidad de probabilidad para una variable aleatoria continua X, ya que la escala vertical se elige de manera que el área total bajo la curva es igual a uno. Curva límite para la frecuencia relativa

21 La función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria continua X se define formalmente: Si existe una función f(x) tal que: 1. f x 0, < x < 2. f x dx = 1, y 3. P a X b = a b f x dx Para cualesquiera a y b, entonces f(x) es la función de densidad de probabilidad de la variable aleatoria continua X.

22 Por lo tanto, el área total bajo f(x) es uno y la probabilidad del intervalo a X b es el área acotada por la función de densidad y las recta X=a y X=b.

23 FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN ACUMULATIVA La función de distribución acumulativa de una variable aleatoria continua X es la probabilidad de que X tome un valor menor o igual a algún x específico. Estos es, x P X x = F x = f t dt En donde t es una variable artificial de integración. Por lo tanto, la función de distribución acumulativa F(x) es el área acotada por la función de densidad que se encuentra a la izquierda de la recta X=x.

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25 Dado que para cualquier variable aleatoria continua X, Entonces: P X = x = න x x f t dt = 0 P X x = P X < x = F x La distribución acumulativa F(x), es una función lisa no decreciente de los valores de la variable aleatoria con las siguientes propiedades: 1. F = 0 2. F = 1 3. P a < X < b = F b F a 4. df x /dx =f(x) La propiedad de la derivada de la función de distribución acumulativa es la función de densidad de probabilidad, es una consecuencia del teorema fundamental del cálculo integral.

26 VALOR ESPERADO El valor esperado (o esperanza) de una variable aleatoria es un concepto muy importante en el estudio de las distribuciones de probabilidad. La esperanza de una variable aleatoria tiene sus orígenes en los juegos de azar, debido a que los apostadores deseaban saber cuál era el valor esperado de ganar repetidamente un juego. En este sentido, la esperanza representa la cantidad de dinero promedio que el jugador está dispuesto a ganar o perder después de un número muy grande de apuestas. Este significado también es válido para una v.a. Es decir, el valor promedio de una v.a. después de un número grande de experimentos es su valor esperado.

27 DEFINICIÓN El valor esperado de una variable aleatoria X es el promedio o valor medio de X y está dado por: E X = σ x xp (x) si x es discreta x E X = xf x dx si X es continua x Eb donde p(x) y f(x) son las funciones de probabilidad y de densidad de probabilidad, respectivamente.

28 En general, el valor esperado de una función g(x) de la variable aleatoria X, esta dado por: E[g X ] = σ x g(x)p (x) E[g X ] = g(x)f x dx si x es discreta si X es continua La esperanza de una variable aleatoria X no es una función de X sino un número fijo y una propiedad de distribución de probabilidad de X. Por otra parte, el valor esperado puede no existir dependiendo de si la correspondiente suma o integral no converge en una valor finito.

29 PROPIEDADES DEL VALOR ESPERADO 1) El valor esperado de una constante c, es la misma constante. E c = c 2) El valor esperado de una variable aleatoria por una constante, es la constante por el valor esperado de la variable aleatoria. E cx = ce(x) 3) El valor esperado de la cantidad ax + b donde a y b son constantes, es el producto de a por el valor esperado de X más b. E ax + b = ae X + b

30 4) Si g x es una función de X, entonces: E[g X ] g x f x x x න g x f x x dx X discreta X continua 5) El valor esperado de una suma de funciones es igual a la suma de los valores esperados. Si g 1 x y g 2 x son funciones de X, entonces: E g 1 x + g 2 x = E g 1 x +E g 2 x El valor esperado de una variable aleatoria discreta puede ser interpretado como el centro de masa de una distribución de masas f x x i colocadas en los puntos x i del eje x. El valor esperado de una variable aleatoria continua puede ser interpretado como la abscisa del centroide de la figura formada por la función f x x junto con el eje x (y los extremos def x x si los hubiera).

31 MOMENTOS DE UNA VARIABLE ALEATORIA Los momentos de una variable aleatoria X son los valores esperados de ciertas funciones de X. Éstos forman una colección de medidas descriptivas que pueden emplearse para caracterizar la distribución de probabilidad de X y especificarla si todos los momentos de X son conocidos. A pesar de que los momentos de X pueden definirse alrededor de cualquier punto de referencia, generalmente se definen alrededor del cero o del valor esperado de X.

32 Sea X una variable aleatoria. El r-ésimo momento de X alrededor del cero (respecto al origen) se define como: μ r = E X r μ r = E X r = = න x x r p(x) x r f x dx si X es discreta si X es continua El primer momento alrededor del cero es la media o valor esperado de la variable aleatoria y se denota por μ, de esta manera se tiene μ t = μ = E(X). La media de una variable aleatoria se considera como una cantidad numérica alrededor de la cual los valores de la variable aleatoria tiende a agruparse. Por lo tanto, la media es una medida de tendencia central.

33 Sea X una variable aleatoria. El r-ésimo momento central de X o el r-ésimo momento alrededor de la media de X se define por: μ r = E X μ r = x μ r = E X μ r = න X μ r p(x) X μ r f x dx si X es discreta si X es continua El primer momento alrededor del cero es la media o valor esperado de la variable aleatoria y se denota por μ, de esta manera se tiene μ t = μ = E(X). La media de una variable aleatoria se considera como una cantidad numérica alrededor de la cual los valores de la variable aleatoria tiende a agruparse. Por lo tanto, la media es una medida de tendencia central.

34 El momento central cero de cualquier variable aleatorio es uno, dado que: μ 0 = E(X μ) 0 = E 1 = 1 De manera similar, el primer momento central de cualquier variable aleatoria es cero, dado que: μ 1 = E X μ = E X μ = 0 El segundo momento central: μ 2 = E(X μ) 2 recibe el nombre de varianza de la variable aleatoria. Puesto que: μ 2 = Var X = E(X μ) 2 = E X 2 2Xμ + μ 2 = E X 2 2Xμ + μ 2 = μ 2 μ 2 la varianza de cualquier v.a. es el segundo momento alrededor del origen menos el cuadrado de la media, se denota por σ 2. La varianza de una v.a. es una medida de la dispersión de la distribución de la probabilidad de ésta. La raíz cuadrada positiva de la varianza recibe el nombre de desviación estándar, y se denota por σ.

35 PROPIEDADES DE LA VARIANZA 1. Var X = E X E X 2 = E X 2 E X 2 2. Var X = 0 3. Var ax = a 2 Var X 4. Var ax + b = a 2 Var X

36 Una medida que compara la dispersión relativa de dos distribuciones de probabilidad es el coeficiente de variación, y está definido por: V = σ μ El coeficiente de variación expresa la magnitud de la dispersión de una v.a. con respecto a su valor esperado. V es una medida estandarizada de la variación con respecto a la media, especialmente útil para comparar dos distribuciones de probabilidad cuando la escala de medición difiere de manera apreciable entre éstas.

37 El tercer momento central μ 3 = E(X μ) 3 está relacionado con la asimetría de la distribución de probabilidad de X. Para las distribuciones de probabilidad, si μ 3 < 0, se dice que la distribución es asimétrica negativamente; si μ 3 > 0, la distribución es asimétrica positiva; y si μ 3 = 0, la distribución recibe el nombre de simétrica. Una medida más apropiada de la asimetría, es el tercer momento estandarizado, dado por: α 3 = μ 3 /(μ 2 ) 3/2 Que recibe el nombre de coeficiente de asimetría. El coeficiente α 3 es la medida de la asimetría de una distribución de probabilidad con respecto a su dispersión.

38 Una distribución de probabilidad es asimétrica positiva (a), negativa (b) o simétrica (c) si α 3 > 0, α 3 < 0, o α 3 = 0 respectivamente.

39 El cuarto momento central μ 4 = E(X μ) 4 Es una medida de qué tan puntiaguda es la distribución de probabilidad y recibe el nombre de curtosis. Al igual que para el tercer momento, es preferible emplear el cuarto momento estandarizado, α 4 = μ 4 /(μ 2 ) 2 Como una medida relativa de la curtosis. Si α 4 > 3, la distribución de probabilidad presenta un pico relativamente alto y recibe el nombre de leptocúrtica; si α 4 < 3, la distribución es relativamente plana y recibe el nombre de platicúrtica; y si α 4 = 3, la distribución no presenta un pico ni muy alto ni muy bajo y recibe el nombre de mesocúrtica.

40 La distribución es: A) Leptocúrtica B) Platicúrtica C) Mesocúrtica

41 OTRAS MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Y DISPERSIÓN MEDIANA Para cualquier v.a. X, se define a la mediana x 0.5 de X, para ser: P(X < x 0.5 ) 1 2 y P(X x 0.5) 1 2 P(X x 0.5 ) 1 2 si X es discreta si X es continua Si existe uno de estos valores para X, entonces x 0.5 recibe el nombre de mediana de la distribución de X. La mediana es una medida de tendencia central, en el sentido de que es el valor para la cual la distribución de probabilidad se divide en dos partes.

42 MODA Para cualquier v.a. X, se define la moda como el valor x m de X que maximiza la función de probabilidad, si X es discreta, o la función de densidad si X es continua. Si existe uno de estos valores para X, entonces x m recibe el nombre de moda de la distribución de X. Si X es continua la moda es la solución de df(x)/dx=0 si d 2 f(x)/dx 2 <0. Si la segunda derivada es positiva, el valor recibe el nombre de antimoda; éste se encuentra en las distribuciones que tienen forma de U. Si existen varios máximos o mínimos, las distribuciones de probabilidad reciben el nombre de multimodales.

43 RANGO Es la mediada de dispersión más simple. El rango se define como la diferencia entre el mayor valor que puede asumir la variable y el menor valor que puede asumir. Rango = Mayor valor Menor valor DESVIACIÓN MEDIA La desviación media de una v.a. X es el valor esperado de la diferencia absoluta entre X y su media, y está dado por: E X μ = σ toda x x μ p(x) si X es discreta E X μ = x μ fx x dx si X es continua