1. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN REAL
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- Alfonso Molina Jiménez
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1 ACTIVIDAD ACADEMICA: CÁLCULO DIFERENCIAL DOCENTE: LIC- ING: ROSMIRO FUENTES ROCHA UNIDAD Nº : LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES REALES Comptncias Utilizar técnicas d aproimación n procsos numéricos infinitos Usar las propidads d los númros rals n l cálculo d límits y n la dtrminación d la continuidad d funcions Eprsar con claridad los concptos d límits y continuidad Aplicar las propidads y conocimintos algbraicos para calcular límits d funcions. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN REAL. IDEA INTUITIVA DE LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO En l lnguaj informal cuando s mnciona la palabra límit, sta s rfir a un valor al cual nunca s db llgar. En matmáticas, la palabra límit s usa n l contto d las funcions. Así, l límit d una función y = f n un punto =a s l valor ral al qu tind la función n puntos muy crcanos a un valor a. Considérs la función linal f = +. A qué valor s aproima la función, cuando s aproima al valor? : Si s quir studiar l límit d sta función cuando tind a, hay qu vr los valors qu toma la función f n puntos muy próimos a. Para llo s pud hacr la siguint tabla d valors:,,8,9,99,999,9999,,,,, f,6,8,98,998,9998,,,, S obsrva qu al tomar valors d muy próimos a, ya san mayors o mnors qu él, sus imágns s aproiman al valor. Cuanto mayor s la proimidad d a, mayor s la proimidad d f a. Esto s prsa dicindo qu, cuando tind a, l límit d la función y = + s, y s scrib. Considérs la función S labora una tabla d valors: f, analic l valor d la función para valors crcanos a,,8,9,99,999,9999,,,,, f,,8,9,99,999,9999,,,,, S obsrva qu para valors crcanos a por izquirda y por drcha f s aproima a ; pro no stá dfinida para =. A psar d sto l límit s. Lugo. Considérs la función f, n valors crcanos a Matrial compilado: Rosmiro Funts Rocha, Licnciado n Matmáticas y Física, Ingniro d Antos Pág
2 S construy la tabla d valors:,,8,9,99,999,9999,,,,, f S obsrva qu n la mdida n qu toma valors crcanos a por izquirda y por drcha, f, no s aproima a ningún valor spcífico, s dcir st límit s indtrminado Lugo. DEFINICION DE LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO S dic qu una función f convrg, n l punto = a, hacia l valor L, o qu su límit n a s L, cuando para valors crcanos al valor a, los valors d f s aproiman a L. S dnota por: f L a S l l it d f cuando tind a a s igual a L.. EVALUACION DIRECTA DE LÍMITES Evaluar dirctamnt un límit s ncontrar l valor qu toma f cuando s rmplaza l valor d por un valor a. Ejmplo : Calcular dirctamnt S rmplaza l valor d por y s rsulv la opración plantada 6 Ejmplo : Calcular dirctamnt S rmplaza dirctamnt l valor d por -: 8, simplificando 6 Ejmplo : calcular Al valuar dirctamnt:, s obtin una indtrminación Cuando s prsntan stos casos s ncsario obsrvar si l numrador o dnominador o ambos son factorizabls, con l fin d inar los términos qu produzcan la indtrminación. Factorizo l numrador: difrncia d cuadrados Matrial compilado: Rosmiro Funts Rocha, Licnciado n Matmáticas y Física, Ingniro d Antos Pág
3 El dnominador no s factorizabl. Ahora l límit s transforma, s ina l factor + y qudaría, al valuar dirctamnt TALLER DE ESTUDIO INDEPENDIENTE Nº Evalúa dirctamnt los siguints límits LÍMITES LATERALES El límit por la izquirda d una función y = f, cuando tind al valor a, s l valor al qu tind la función para puntos muy próimos a a y mnors qu a. S scrib f a El límit por la drcha d una función y = f, cuando tind al valor a, s l valor al qu tind la función para puntos muy próimos a a y mayors qu a. S scrib f a RELACIÓN ENTRE EL LÍMITE Y LOS LÍMITES LATERALES DE UNA FUNCIÓN El límit d una función y = f n un punto a, ist si y solo si istn los Límits latrals y coincidn: f L f f L a a a Si s vrifica sto, y L s un númro finito, s dic qu la función s convrgnt.. PROPIEDADES DE LOS LÍMITES. LIMITE DE UNA CONSTANTE: Si f = c, dond c s una constant, ntoncs para todo valor d s cumpl qu f c a Ejmplo: 8 8, s vidnt qu como no hay variabl no s pud rmplazar nada. LIMITE DE UNA FUNCION LINEAL: Si f = m+b, dond m y b son constants, ntoncs m b m.a b a Ejmplo: Calcular 8. LIMITE DE UNA SUMA O DIFERENCIA DE FUNCIONES: El límit d una suma o difrncia d funcions s igual a la suma o difrncia d los límits d las funcions. Matrial compilado: Rosmiro Funts Rocha, Licnciado n Matmáticas y Física, Ingniro d Antos Pág
4 Simbólicamnt: si f y g son funcions tals qu Lim f y Lim g, istn, ntoncs: f g f g a a a Ejmplo: Calcular S obsrva qu s trata d it d una suma, aplicando dicha propidad s tin LIMITE DE UN PRODUCTO: El límit d un producto d funcions s igual al producto d los límits d cada una d llas. Simbólicamnt si f y g son funcions tals qu f y g istn, ntoncs: a a f g f g a a a Ejmplo: calcular. LIMITE DE UN COCIENTE: El límit d un cocint d funcions s igual al cocint d los límits d cada una d llas. Simbólicamnt si f y g son funcions tals qu f y g istn, ntoncs: a a Ejmplo: Calcular f f a, a g g a Con g a 6. LIMITE DE UN RADICAL: El límit dl radical d una función s igual a la raíz dl límit d lla. Simbólicamnt: si f s una función y f ist, ntoncs: a n f a n f a Ejmplo: Calcular 9. LIMITE DE LA POTENCIA DE UNA FUNCION: El límit d la potncia d una función s igual a la k k potncia d su límit f f a a Ejmplo: calcula Matrial compilado: Rosmiro Funts Rocha, Licnciado n Matmáticas y Física, Ingniro d Antos Pág
5 8. LIMITE DE UNA FUNCION CUYO EXPONENTE ES OTRA FUNCIÓN: El límit d una función d g g st tipo s calcula aplicando l límit a cada función f f a a a Ejmplo: calcular l im 9 9. LIMITE DE UN LOGARITMO: El límit dl logaritmo d una función s igual al logaritmo d su límit. Simbólicamnt: log a f loga f, si a > y f> a a TALLER DE ESTUDIO INDEPENDIENTE N Calcular los siguints límits utilizando las propidads LIMITES AL INFINITO En la toría d límits s important conocr como s comportan algunas funcions, cuando la variabl toma valors cada vz mayors. Por jmplo analicmos la función f, construyamos la tabla: f,,,,,,,,, En la mdida n qu toma valors cada vz mayors, f s aproima a cro, con lo antrior s pud dducir qu: d igual forma, si a> a EVALUACION DE LÍMITES AL INFINITO En st caso s tinn n cunta funcions racionals Ejmplo : calcular Al valuar dirctamnt Matrial compilado: Rosmiro Funts Rocha, Licnciado n Matmáticas y Física, Ingniro d Antos Pág
6 Matrial compilado: Rosmiro Funts Rocha, Licnciado n Matmáticas y Física, Ingniro d Antos Pág 6 s obtin una indtrminación. Para vitar sto s divid tanto al numrador como al dnominador por la variabl d mayor ponnt, n st caso por. Ejmplo : Calcular Si s valúa dirctamnt s obtin una indtrminación, para vitar sto s factoriza dntro dl radical con l fin d inar la dl dnominador. S saca factor común y lugo s divid ntr st,lugo: inando la 6. LIMITES TRIGONOMETRICOS a. Limits d la forma sn Rcuérds qu por sr funcions trigonométricas, rprsnta un ángulo por lo gnral mdido n radians, al valuar sta función sn f -, -, -, -, -,,,,,, f,9,99,998,999,9999,9999,999,99,9,98 S obsrva qu n la mdida n qu s aproima a, f s aproima a, Lugo sn b. Limits d la forma cos Al darl valors a crcanos a cro, s obsrva qu f s aproima a cro, lugo cos. LIMITES EXPONENCIALES Algunos d los límits ponncials más utilizados son:.
7 Matrial compilado: Rosmiro Funts Rocha, Licnciado n Matmáticas y Física, Ingniro d Antos Pág... a. Ejmplo: Calcula los siguints límits. TALLER DE ESTUDIO INDEPENDIENTE N Calcula los siguints límits sn. sn. sn. sn. cos. cos. cos /
8 PROBLEMAS DE APLICACIÓN CON LIMITES Son divrsas las aplicacions d los límits n problmas d difrnts áras. Vamos un jmplo Ejmplo: Hnry Schultz 9 99, un rconocido agricultor y conomista stadounidns, calculó la función dmanda para l maíz: q, Dond: p - p s l prcio n dólars por bulto - q s la cantidad d bultos d maíz qu s pudn vndr al prcio p n un año. a. Estim q, pliqu la rspusta p b. Estim q, pliqu la rspusta p a. Por tratars d un límit infinito, s valúa como tal q, s dcir p..,,. p p q p p,, p p p p, p Esto significa qu a mdida qu s lva cada vz más l prcio por bulto, la dmanda baja hacia cro, qu s lo qu s spra razonablmnt d una cuación d dmanda. b. Al tratar d valuar st límit q p... q p p,, p S obsrva qu n la mdida n qu l prcio baja a cro, la dmanda s dispara sin límit. RESUELVE LOS SIGUIENTES PROBLEMAS CON LIMITES.. Si C s l costo total n dólars para producir q unidads d un producto, ntoncs l costo promdio por C unidad C para una producción d q unidads stá dado por C, así la cuación d costo total s q C 6q, ntoncs C 6 q. Por jmplo l costo total para una producción d unidads s $ y l costo promdio por unidad n st nivl d producción s d $6. Encontrando C, q dmustr qu l costo promdio s aproima a un nivl d stabilidad. Si l productor aumntara continuamnt la producción Cuál s l valor dl costo promdio?.. Rpita l problma antrior cuando l costo fijo s $. y l costo variabl stá dado por C v q. La población P d una ciudad pquña n t años a partir d ahora s prdic srá d. P. t Encuntr la población a largo plazo, sto s ncuntr P t Matrial compilado: Rosmiro Funts Rocha, Licnciado n Matmáticas y Física, Ingniro d Antos Pág 8
9 . DEFINICION FORMAL DE LÍMITE El significado d la prsión f L, s pud a intrprtar así: a mdida qu nos acrcamos al valor a por la izquirda, la gráfica s acrca al valor L y cuando nos acrcamos por la drcha, la gráfica también s acrca a L, s dcir, para un intrvalo d ancho δ, suficintmnt strcho, ist un intrvalo d anchura ε, suficintmnt strcho, d tal manra qu part dl gráfico qu stá n l intrvalo vrtical, stá también n l intrvalo horizontal, cpto quizás para =. Dada la función y = F y los númros a y L, s dic qu f L, a si para todo númro positivo ε, ist un númro positivo δ, tal qu f L < ε, simpr qu a < δ 8. FUNCIONES CONTINUAS La ida intuitiva qu hay tras la continuidad s qu una función s continua, si su gráfica s una lína d un solo trazo, sin saltos. Para garantizar qu las cosas ocurrn d dicho modo, s mpiza igindo qu n cada punto, la función tnga límit y qu ést sa l valor qu toma la función n s punto Una función f s dic qu s continua n =a, si s vrifica qu:. f ista a. fa ista. f f a a Una función y=f s continua n un intrvalo, si s continua n todos los puntos d dicho intrvalo DISCONTINUIDADES Una función y=f, s dic qu s discontinua n a, si f no s continua n =a. Cuando una función s discontinua, intrsa distinguir dos posibilidads: Ejmplos. Probar qu la función dfinida por, si f s discontinua n l punto =, si Para probar la discontinuidad n =, hay qu vr cuál d las trs condicions d continuidad no s cumpl. En st caso s la primra, ya qu no ist l límit d la función cuando tind a ; los límits latrals no coincidn: Matrial compilado: Rosmiro Funts Rocha, Licnciado n Matmáticas y Física, Ingniro d Antos Pág 9
10 , si. Probar qu la función dfinida por f s discontinua n l punto =, si : En st caso ist l límit d la función cuando tind a, y s ; los dos límits latrals coincidn: Sin mbargo, la función no stá dfinida n = ; no ist f. Por tanto, la función s discontinua n =.. Es la función dfinida por si f discontinua n l punto =?, si : Eist l límit d la función cuando tind a, ya qu los dos límits latrals coincidn: La función stá dfinida para = y val : f =. Sin mbargo, l valor dl límit d la función cuando = no coincid con f : CLASIFICACIÓN DE PUNTOS DE DISCONTINUIDAD Para qu una función f sa discontinua o no continua n un punto dbrá dars una, al mnos, d stas condicions: Dpndindo d qué condición s vrifiqu, los puntos n los qu una función no s continua s clasifican n puntos d discontinuidad vitabl y n puntos d discontinuidad no vitabl o invitabl. Discontinuidad vitabl Una función prsnta una discontinuidad vitabl n un punto cuando, istindo l límit d la función n ést, no coincid con l valor qu toma la función n l punto caso c: La discontinuidad s pud vitar asignando a la función, n l punto, l valor d su límit. función sa continua n s punto. l qu hac la Discontinuidad invitabl Matrial compilado: Rosmiro Funts Rocha, Licnciado n Matmáticas y Física, Ingniro d Antos Pág
11 Una función prsnta una discontinuidad invitabl n un punto cuando o bin no ist algún límit latral caso a o bin los límits latrals istn pro son distintos caso b, n cuyo caso no ist l límit. Ejmplos: f s continua n todos los puntos salvo n =. La discontinuidad s invitabl. La función s continua n todos los puntos salvo n los qu s anul l dnominador: = función n = s. to la discontinuidad n = s vitabl. El vrdadro valor d la Asignando a f l valor, la función s continua n todos los puntos. Matrial compilado: Rosmiro Funts Rocha, Licnciado n Matmáticas y Física, Ingniro d Antos Pág
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