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Transcripción

1 Soluciones de las actividades Página 3. El menor de los conjuntos al que pertenecen estos números son: a) Entero b) Entero c) Racional d) Natural e) Racional. Cualquier fracción irreducible puede expresarse como un número decimal calculando el cociente entre el numerador y el denominador, por ejemplo / 3 =,6. En cambio, no todos los números decimales pueden expresarse como fracciones. De hecho, por definición, los números irracionales no pueden expresarse como fracciones. Por ejemplo el número. 3. Las siguientes afirmaciones son: a) Verdadera, Si sumamos un núm. racional no exacto, p / q, con un núm. entero m / : p q m p q q m Para comprobar si puede ser un núm. entero lo igualamos a n / : p p q qm q n m n p + q m = q n p = q (n m) Lo cuál no es posible, ya que la resta de dos números reales (n m) no puede ser un número racional no exacto, sino que será un número entero. b) Verdadera, dado que si son número racionales se pueden expresar en forma de fracción, es decir: a = = p / q y b = m / n con p, q, m y n números enteros, tales que q y n. Página 4 Entonces: a b p q m n p m q n Por lo tanto el producto de a b es un número racional, dado que se puede expresar como cociente de números enteros y q n dado que los dos números son distintos de cero. 4. Actividad personal, a modo de ejemplo:, ,345...,..., , Las respuestas y razonamientos son: a) No, pues un decimal puede tener un número limitado de cifras o ser periódico. Por ejemplo,, tiene un número limitado de cifras y 3, 3 es periódico y, por lo tanto, son números decimales no irracionales. b) Sí, cualquier número irracional es un número decimal no periódico con un número ilimitado de cifras. 6. Construimos una tabla: Por exceso Por defecto Décimas 3, 3, Centésimas 3,5 3,4 Milésimas 3,4 3,4 7. El producto de un número irracional por un entero no puede ser un número racional, será siempre irracional. Porque seguirá teniendo infinitas cifras decimales. 8. Las sucesiones de los números decimales son: a) Por exceso: >,5 >,4 >,45 >,443 >... Por defecto: <,4 <,4 <,44 <,44 <... b) Por exceso: 3 >,8 >,7 >,79 >,783 >... Por defecto: <,7 <,7 <,78 <,78 <... c) Por exceso: >,7 >,6 >,69 >,68 >... Por defecto: <,6 <,6 <,68 <,68 < Las siguientes afirmaciones son: a) Falso. El producto de dos número racionales no puede ser un número irracional, puesto que puede expresarse en forma de fracción: a y b son números racionales que expresamos como a = p / q y m / n, siendo todos ellos números enteros y q y n diferentes de cero. Por tanto: a b p q m n p m q n e f siendo e / f racional. b) Verdadero. Por ejemplo, que es un número racional, ya que podemos expresarlo como / 5, y su raíz cuadrada es un número irracional: Página 5,, El menor de los conjuntos al que pertenecen son: a) Racional b) Entero c) Racional d) Racional e) Irracional. Los resultados son: a) , Entero. -3

2 b) , natural. c) 5 4 5, natural. d), irracional.. Respuesta personal. A modo de ejemplo: a) Cualquier número negativo m que pueda expresarse como m /. Por ejemplo -. b) Una fracción irreducible con denominador diferente de y. Por ejemplo / 3. c) Debe tener un número ilimitado de cifras decimales y no ser periódico. d) Es un número irracional. Que no puede expresarse como fracción. Por ejemplo el número e. e) Cualquier decimal periódico o exacto, que se puedan expresar como fracciones. Por ejemplo,6 = 3 / 5. f) El (el único ejemplo posible). 5 Fácilmente podemos terminar el pentágono regular: Página 6 Piensa y contesta: Partiendo de que la diagonal del pentágono regular y su lado están en proporción áurea, el primer paso será: 3. La representación es la siguiente: - 5 Siendo a. Dibujamos un segmento que tenga la longitud de la diagonal de un pentágono regular: a / -,5, 3 7/8, 4,6 4. La representación de los números irracionales es: a) Por exceso: >,5 >,4 >,45 >,443 >... Por defecto: <,4 <,4 <,44 <,44 <... b) Por exceso: 3 >,8 >,7 >,79 >,783 >... Por defecto: <,7 <,7 <,78 <,78 <... c) Por exceso: >,7 >,6 >,69 >,68 >... Por defecto: <,6 <,6 <,68 <,68 <... e 3 5. Una aproximación a las centésimas es: 4,4, a las milésimas: 4,44. / En el Libro de Texto hemos representado y 3. Con ellos tendremos suficiente para representar los números dados: a) b)

3 c) Las representaciones mediante el teorema de Pitágoras son: a) 9 Página 7 b) 34. El redondeo hasta las centésimas de las cifras son: a),; b),74; c) 4,; d) 77,8.. El error absoluto sí que tiene unidades, puesto que es una resta, mientras que el error relativo es adimensional, al ser el cociente de una división de dos cifras con las mismas unidades, y el resultado se da en tanto por uno o tanto por ciento si lo multiplicamos por. Página 8 c) Dibujamos 53 y le sumamos 3.. La medida real estará situada entre los 4 mm y los 46 mm. 3. Si por experiencia sabemos que una plaza de estacionamiento suele ser de unos 4,5 m, la longitud estimada aproximada de la calle será: 5 4,5 m = 67,5 m Página 9 d) Dibujamos 6 y a 7 le restamos La representación en la recta real de los puntos es: 3 4 a b c 9. La representación de algunas raíces cuadradas mediante el caracol de Pitágoras es: 4. No podemos asegurar que x > y pues al ser todos los cuadrados positivos, el orden depende de los valores absolutos de x e y. Por ejemplo: 4 > 5 pero 4 = 6 < 5 = ( 5) La función f(x) = x 3 sí que es creciente y, por lo tanto, si x > y x 3 > y Los resultados son: a) 7 b) 7 c) 9 d) 7 e) - f) 6. Partiendo de d (x, z) d (x, y) + d (y, z) una consecuencia es: d (x, z) d (y, z) d (x, y) Puesto que d (x, z) d (x, z) d (y, z) d (x, y) d (x, y) + d (y, z) implica que: Intercambiando el papel de x por el de y: d (y, z) d (x, z) d (y, x) Con lo cual: -d (y, x) d (x, z) d (y,z) d (y, x) - y x x z y z y - x -5

4 Válido para cualesquiera números reales x, y, z. 7. Los resultados son: a) Para x = : = -3 + = 3 Para x = -5 (-5) 5 + (-5) + 6 = = 4 Para x = / / 5 + ( / ) + 6 = -9 / + 5 / / 4 = 43 / 4 b) Para x = : + = = 5 Para x = -5 (-5) + -5 (-5) = = = 54 Para x = / ( / ) + / ( / ) = 3 / 4 + / / 4 = c) Para x = : = = Para x = -5 3 (-5) (-5) = - + = - Para x = / 3 ( / ) ( / ) = - / + - = = 9 / d) Para x = : 3 = -4 = -4 Para x = -5 (-5) (-5) (-5) 3 = 7 5 = -43 Para x = / / ( / ) ( / ) 3 = 3 / / 8 = = / 8 8. Las siguientes igualdades son: a) x + y x + y Siendo x, y números reales se han de cumplir las desigualdades: - x x x - y y y Sumamos ambas desigualdades: -( x + y ) x + y x + y ) Por tanto la desigualdad es cierta. b) -5y = (-5) y Según las propiedades del valor absoluto se ha de cumplir: -5y = -5 y = 5 y Por tanto la desigualdad es falsa. Página 9. Las siguientes igualdades son: a) (3, 7) b) [-, 5] c) (-4, 8] d) (-, 5) e) [, + ) f) (-, + ) g) {x x 3} h) {x - < x} i) {x - x } 3. Las expresiones son: a) Verdadera, puesto que 4 < 5 < 7 b) Falsa, puesto que - < < 5 c) Falsa, puesto que no esta comprendido dentro del segundo intervalo. d) Verdadera, puesto que - < < + ; y + esta dentro del intervalo. e) Falso, puesto que en el primer intervalo se incluye al y en el segundo es hasta sin incluirlo. f) Falso, puesto que 3 < 3, < 8. Página 3. Las representaciones de los intervalos en la recta real son: a) (-3, ) (5, + )

5 b) (-, -) (-, + ) c) (-, ) (-5, 6] d) [-3, 8] (-4, ) e) (-, 3] (-4, + ) f) (-, ) (, + ) Conjunto vacío,. 3. Para a = 3 y r =,3 el intervalo es: (a r, a + r) (,7, 3,3) La representación del entorno en la recta real es:,7 3 3,3 33. El centro y el radio del intervalo (-3,99, 4,) son: Se tiene que cumplir: a r = -3,99 a + r = 4, De a r = -3,99 r = 3,99 + a Lo introducimos en a + r = 4,: a + 3,99 + a = 4, Por tanto el centro es: a = (4, 3,99) / =, Y el radio es: r = 3,99 +, = 4 Página 4 P. Reales ( ), racionales ( ), enteros ( ) y naturales ( ). Un número puede pertenecer a más de un conjunto, así un número natural es también entero, racional y real. P. Utilizando el teorema de Pitágoras 3 es: 3 3 P3. Redondeamos un número hasta un determinado orden de aproximación, suprimimos las cifras a partir de ese orden, procediendo del siguiente modo con el ejemplo,47: Si la primera cifra que suprimimos es menor que 5, dejamos igual la última cifra anterior. Si redondeamos el ejemplo hasta las décimas:, - Si es mayor o igual a 5, aumentamos en una unidad la última cifra anterior. Si redondeamos el ejemplo hasta las centésimas: Al aproximar un número real se cometen errores: - El error absoluto es el valor absoluto de la diferencia entre el número real y la aproximación. Por ejemplo al aproximar,47 por,: E a =,47, =,47 - El error relativo es el cociente entre el error absoluto y el número real. Para el ejemplo anterior: E r =,47 /,47,3 3 % P4. Las cifras significativas de una medida son las que se conocen con certeza más una última sujeta al error. Por ejemplo si medimos una pieza con un instrumento que mide hasta la décima de centímetro y la lectura dada es 5,5. Las cifras conocidas con certeza serán 5, la cifra sujeta a error de medida,5 y las tres cifras significativas 5,5. P5. El valor absoluto de un número real x, x, se define como su valor numérico sin tener en cuenta su signo, es decir: - x x x o como La distancia entre dos puntos x e y de la recta real se definen como: d (x, y) = x y P6. Respuesta personal. A modo de ejemplo: a) Intervalo abierto: (3, 8) b) Intervalo cerrado: [3, 8] c) Intervalo semiabierto por la izquierda: (3, 8] d) Intervalo semiabierto por la derecha: [3, 8) e) Semirrecta cerrada por la izquierda: [3, + ) f) Semirrecta abierta por la derecha: (-, 8) 34. El menor conjunto al que pertenecen los siguientes números son: a) d) g) j) b) e) h) k) c) f) i) l) 35. No podemos escribir ningún número entero que no sea racional, puesto que todos los números enteros son racionales. Y tampoco podemos escribir ningún número racional que no sea real, porque todos los número racionales son reales. x x x si si si x x x -7

6 36. Los dos términos siguientes de cada sucesión son: a),9999;, b) -,9999; -, c) 3 +,5 +,5 +,5 +,5; 3 +,5 +,5 + +,5 +,5 +,5. e) Los números expresados en forma de fracción son:,3 3 /,35555 (35 3) / 9 = 96 / 45,3 3 /, / 6, (67 6) / 9 = 5 / La sucesión para aproximar el número por defecto (a izquierda de la igualdad) y por exceso (a la derecha) son: 3 4 3, 3, 3,4 3,5 3,4 3,4 3,45 3, La representación de los números en la recta real es: -,3 5/ Utilizando el teorema de Pitágoras representamos en la recta real: a) b) c) 3 3, La suma de dos números racionales puede ser un número entero, por ejemplo:,5 +,5 = 4. El producto de dos números racionales puede ser un número entero, por ejemplo:,5,6 = 4 4. La suma de un número racional y otro irracional será un número irracional, por ejemplo:,5 + = 4,645 La resta de un número racional y otro irracional será un número irracional:,5 = -, Respuesta personal. A modo de ejemplo: Los tres números irracionales famosos: =,68; e =,78 = 3,45; Y los otros dos que faltan pueden ser el resultado de alguna operación con estos número: 3 = 9,447; e =, Las siguientes afirmaciones son: a) Verdadera. Puesto que los número racionales están incluidos en los reales. b) Verdadera. Cualquier número que este entre dos número racionales será real, sea irracional, racional, entero o natural. c) Verdadera. Puesto que entre los números enteros hay números racionales y entre números racionales hay infinitos números racionales. d) Falsa. Por ejemplo entre -,5 y,5 solo hay tres números enteros: -, y. e) Falsa. Los números irracionales son reales y no pueden expresarse en forma de fracción. f) Falsa. Por ejemplo es un número positivo par y su raíz cuadrada es un número irracional. 45. Las demostraciones y contraejemplos son: a) Falsa. Un contraejemplo sería,5 = 4,73 b) Verdadera. Por ejemplo,5 + = 4,645 c) Falsa. Un contra ejemplo sería: / e =, Los valores son: A = B = 3 C = 3 4 d) 4 D = 5-8

7 47. Los redondeos y errores absolutos y relativos son: a) 67,478 Hasta las décimas: 67,5 E a = 67,478 67,5 =,9 E r =,9 / 67,478,3 Hasta las centésimas: 67,48 E a = 67,478 67,48 =,9 E r =,9 / 67,478,3 Hasta las milésimas: 67,478 E a = 67,478 67,478 =, E r =, / 67,478, b) 6,8734 Hasta las décimas: 6,9 E a = 6,8734 6,9 =,66 E r =,66 / 6,8734, Hasta las centésimas: 6,87 E a = 6,8734 6,87 =,34 E r =,34 / 6,8734, Hasta las milésimas: 6,873 E a = 6,8734 6,873 =,4 E r =,4 / 6,8734, c) 84,565 Página 5 Hasta las décimas: 84,5 E a = 84,565 84,5 =,65 E r =,65 / 84,565,8 Hasta las centésimas: 84,5 E a = 84,565 84,5 =,35 E r =,35 / 84,565,4 Hasta las milésimas: 84,57 E a = 84,565 84,57 =,5 E r =,5 / 84,565,6 48. Calculando el error absoluto y el relativo como en el ejercicio anterior, la parte que falta de completar de la tabla es. Es importante recordar que el valor del error relativo es aproximado y todos los datos del error relativo están dados en tanto por uno: número aprox. E a E r /5,39,,5 3/,7,77,, ,7,577,83,75...,75,,4, ,37,694,7,...,,89,8,...,,9 9 3 : 49. Si 5, La aproximación hasta las centésimas:,7. Para calcular el E r necesitamos calcular el E a : E a =, ,7 =,453 E r =,453 /, , 5. Si redondeamos hasta el numerador, aprox. = : E a =,3387 =,3387 E r =,3387 /,3387,3 3 % > %. Redondeamos hasta las décimas, aprox. =,3 E a =,3387,3 =,387 E r =,387 /,3387,3,3 % < % Por tanto la aproximación ha sido hasta las centésimas. 5. Porque podemos asegurar que es menor que el valor absoluto de la diferencia entre las aproximaciones por exceso y por defecto. Debido a esto el error absoluto cometido es menor que la unidad del orden de aproximación. 5. Depende del valor de la medida. Si por ejemplo tenemos una medida de 3,5 km. Primero calculamos el valor absoluto como si redondeáramos por exceso: E a = 3,5 4 =,5 Si redondeáramos por defecto: E a = 3,5 3 =,5 Por tanto el error absoluto se acota entre: E a =,5 Pero si la medida fuera de 3,4: Por defecto: E a = 3,4 3 =,4 Por exceso: E a = 3,4 4 =,6 Y el error absoluto quedaría acotado entre:,4 E a,6 53. Si la medida del lápiz es de,7 cm, la longitud real del lápiz se encuentra entre:,6 y,8 cm. 54. Si el instrumento mide hasta l mm y el valor de la medida es de 35,4 cm: a) La longitud real esta comprendida entre 35,3 y 35,5 cm. b) Se expresa con 3 cifras significativas. 55. El error absoluto por defecto será: E a = 5,3 4 =,3 El errror absoluto cometido al redondear por exceso: E a = 5,3 7 =,7 Por tanto el erro absoluto estara acotado entre:,3 E a,7 El error relativo cometido al aproximarse por defecto: E r =,3 / 5,3,5 5 % -9

8 El error relativo cometido al aproximarse por exceso: E r =,7 / 5,3,3 3 % Por tanto el error relativo estará acotado entre: 5 % E r 3 % 56. Primero calculamos el error absoluto: E a = E r,3= (,5 / ),3=,6, Por tanto la distancia real se encuentra entre,3 y,3 km. 57. Al medir una casa supondremos que toman las medidas en metros. El láser de Andrea mide hasta las décimas de milímetros, por ejemplo su medida seria de,34 m (3,4 mm). Por tanto Andrea cometerá un absoluto de, m y un error relativo de,5 %. Mientras que el de Sandra mide hasta los centímetros, y su medida por ejemplo sería de,3 m (3 cm). Por tanto Sandra cometerá un error absoluto de, m y un error relativo del,5 %. Comparando los errores relativos:,5 /,5 =. Luego el láser de Andrea será veces más preciso que el láser de Sandra. 58. Actividad personal. El número a parte de ser irracional tiene que ser mayor que =,44 y = = 3,45 A modo de ejemplo: ( + ) / =, El número e = 7,389 se encuentra entre los número enteros 7 y 8, y 3 = -4,795 entre -4 y Los conjuntos ordenados de menor a mayor son: a) -,98873 <, < 3,459 < < 3,97 b) -,8 < -,8 < -,8 <,8 < / 8 < / 3 6 Los resultados son: a) 9 = -7 = 7 b) 36 = 36 c) (-) (-3) = 6 = 6 d) -4 = 4 = -3 = 3 e) = - - = - f) = - + = Si x > y podemos afirmar que x > y si los dos son de signo positivo, por ejemplo x = 3, y =, se cumple 3 >. Pero no se cumple si x e y son de signo negativo, por ejemplo x = - e y = -3, cumple x > y, pero no cumple (-) > (-3). 63. Si d (x, y) = x y = 7. Y también ha de cumplir que x = -y: Despejamos de la definición de distancia: x = 7 + y Lo igualamos a la segunda condición x = -y: -y = 7 + y y = -7 / x = 7 / Por tanto es válido para: x = 7 /, y = -7 / y x = -7 /, y = 7 / 64. El intervalo en el que trabajamos es: (,,5,, +,5) = (-,4,,6) Por ejemplo, dos números racionales que disten lo mismo del centro (,) son:,3 y -,, con un radio de,. Dos número racionales que los cumplan son: 3e / y e /, con un radio de e / Los valores de x que verifican x < 4 son: Cualquier valor comprendido en el intervalo (-4, 4). Y los valores de x que cumplen x > 3 son: Los comprendidos en [-, -) (4, + ) 66. Las desigualdades son: a) Falsa. Puesto que -3x = 3x. b) Falsa. Puesto que -5 (-x) = 5x = 5x. c) Falsa. Puesto que si x = la igualdad no se cumple: 4 < 4. d) Falsa. Puesto que si x = la igualdad no se cumple: <. 67. Las expresiones en forma de conjunto y su representación en la recta real son: a) x < x < 5 El intervalo abierto de extremos y 5. b) x < x 4 El intervalo semiabierto por la izquierda de extremos y 4. c) x x < 4 La semirrecta abierta a la izquierda de 4. d) x x -3 La semirrecta cerrada la izquierda de -3. e) x -3 < x La semirrecta abierta a la derecha de -3. f) x x R Toda la recta. g) x 5 x La semirrecta cerrada la derecha de 5. h) x -5 x El intervalo cerrado de extremos -5 y. i) x -7 x < 3 El intervalo semiabierto por la derecha de extremos -7 y Actividad personal. A modo de ejemplo: Para el intervalo (-,34, -,344): Número racional: -, 34 -

9 Número irracional: -,35 Para el intervalo (, 4): Número racional: 3,5 Número irracional: 5 =,366 Para el intervalo (,,,): Número racional:,3 3 = -,346 Número irracional: / =, La expresión mediante intervalos es: a) [, + ); semirrecta cerrada a la derecha de. b) (3, 7); intervalo abierto de extremos 3 y 7. c) (-5, + ); semirrecta abierta a la derecha de -5. d) [-, ); intervalo semiabierto por la derecha de extremos - y. e) (-, 3); semirrecta abierta a la izquierda de 3. f) (-5, 5]; intervalo semiabierto por la izquierda de extremos -5 y Los intervalos son: a) [-3, -) [, 4) b) (-, ) (, ] [4, + ) c) (-, -7) (-7, -3) (-3, ] [5, + ) 7. Las representaciones son: a) b) (-, 3) [5, 7) (7, + ) c) (-, ) 75. El intervalo (-3, ) expresado en forma de entorno es: El centro sería: a = ( + ( 3)) / = 4 El radio: r = 4 = 7 Y por tanto expresaríamos el entorno como: E 7 (4) 76. El entorno de a = y r =,5, expresado en forma de intervalo es: (,5, +,5) = (,5,,5) Y su representación en la recta real:,5,5 77. Los entornos en forma de intervalos son: a) (5 3, 5 + 3) = (, 8) 5 8 b) (- 4, - + 4) = (-6, ) -6 - c) (-,6,5, -,6 +,5) = (-,, -,) b) c) , -,6 -, -, -,6 -, d) (,,,, +,) = (,,) d) Página 6 7. Las representaciones son: a) b) Los centros y radios de los entornos son: a) a = -, r = 3 b) a =, r = 4 c) a = -3,5, r =,5 d) a =, r = 74. Los intervalos son: a) (, 5) (5, 7),, 78. Para el intervalo (-,36, -,45) el centro y el radio del entorno correspondiente son: a = (-,45 + (-,36)) / = -,95 r = -,45 (-,95) =, Teniendo en cuenta la definición de valor absoluto: a) -5 x x [-8, ] b) -4 < 3 x < 4-7 < x < 7 > x > - (-, 7) c) Hay dos posibilidades, o mejor dicho es una unión de intervalos. 7x 5 7x 7 x [, + ) 7x 5 - -

10 7x 3 x 3 / 7 (-, 3 / 7] El intervalo es: (-, 3 / 7] [, + ) d) Unión de intervalos 3x > 3 x > 4 / 3 (4 / 3, + ) 3x < -3 x < - / 3 (-, - / 3) (-, - / 3) (4 / 3, + ) e) -9 7x / 7 x [-4 / 7, ] f) -8 < 4x < 8 - < x < [-, ] 8. Los entornos que corresponden son: a) a = (7 + 3) / = 5, r = 5 3= E (5) b) Interpretación: x <,5 a =, r =,5 E,5 () c) - < x + 7 < -9 < x < -5 a = (-9 + (-5)) / = -7, r = -7 (-9) = E (-7) 8. Actividad personal. A modo de ejemplo: a) Cualquiera. b) Todos los números tienen que poder expresarse como fracciones, sin que el denominador sea la unidad. Por ejemplo: (, ). c) (-, ] d) (-, ) (, + ) 8. Empezando por [-3, ] de amplitud 5: [-,5, ] de amplitud,5 [,75, ] de amplitud,5 [ / 8, ] de amplitud 5 / 8 [7 / 6] de amplitud 5 / Dado (-4, 3): a) Sería el entorno de a = y r = definido por el intervalo (, 3). b) r = 3,5 84. Los intervalos correspondientes son, teniendo en cuenta que el intervalo correspondiente a A es (-, ] son: a) (-, ] (,) [-, 3) (-, 3) b) (-, ] (,) (, ] c) (-, ] [-, 3) [-, ] d) (-, ] (,) [-, 3) (, ] 85. Siendo los intervalos: A = (-, ] B = (-4, 3] D = (,3,,7) Las expresiones en forma de intervalos son: a) (-, ] (-4, 3] (, ) (-, ) (, 3] b) (-, ] (-4, 3] (-4, ] c) (-, ] (, ) (, ] d) (-, ] (-4, 3] (, ) (, ] e) (, ) (,3,,7) (,3, ) f) (, ) (,3,,7) (, ) (,,7) 86. Primero lo calculamos: 3 4 Por tanto es cierta, puesto que se trata de un número natural que están incluidos dentro de los racionales. 87. Si la medida es de,4 m y el E a =,6 m el intervalo en el que se encuentra la medida es (3,,,8). 88. Las respuestas son: a) ( ) / % respecto a la población de 9. b) E a = = habts. Er = / , % 89. Primero calculamos lo que le queda a Juan: 3.7. / 5 = 74. euros =.96. euros le quedan E a = = 6. euros E r = 6. /.96., % 9. Primero calculamos lo que se ha destinado a investigación:,5 / = euros E a = = 375 euros E r = 375 / ,4,4 % 9. Primero calculamos el sueldo mensual de cada empleado, teniendo en cuenta que un año tiene meses: 5 / / / 7 = 888,4 / mes / empleado E a = 888,4 8 = 88,4 euros E r = 88,4 / 888,4,5 5 % 9. Tomando como medida real 9,7 / 7 cm: E a = E r núm. real =, 9,7 / 7,4 cm = =,4 mm. Por tanto la precisión ha de ser hasta las centésimas de milimetro. 93. Primero calculamos el área del rectángulo: A rectángulo = 4 4 = 96 cm Y el área de los cuadrados será el resultado de dividir el área del rectángulo entre el núm. de cuadrados. -

11 A cuadrados = 96 / 8 cm =, Entonces calcularemos el error absoluto si E r = -5 E a =, cm Por tanto la precisión con que se tomó el valor del área de los cuadrados fue hasta las diezmilésimas de cm. Por tanto se tomó como valor del área de un cuadrado,858 cm = 85,8 mm Por lo que el lado de los cuadrados mide: L = Página 7 área 85,8 34,43 mm 94. Suponemos que 7 es un número racional. Luego podemos escribir: a a 7, siendo la fracción irreducible. b b Si elevamos al cuadrado los dos miembros de la igualdad resulta: a 7 a = 7b b Luego a es múltiplo de 7, ya que tiene el factor 7. Por lo tanto, a es divisible entre 7. Pero a es cuadrado perfecto, luego si a tiene 7 como factor, a lo debe tener veces. Por tanto b debe tener también factor 7. Luego b es múltiplo de 7, y como consecuencia, b es múltiplo de 7. Por tanto si a y b son múltiplos de 7, la fracción a / b no es irreducible, contradiciendo la hipótesis inicial. Por consiguiente 7 no es racional. 95. Los resultados hasta las milésimas y los errores relativos cometidos son: a) 3,35 + 3,45, = 6,378 6,37 E a = 6,378 6,37 =, Er =, / 6,378,3 b),99 +,799,36,6458 = -,59 -,59 E a = -,59 (-,59) =, Er =, / -,59,8 c) +,44,36 =,78,78 E a =,78,78 =, Er =, /,78,8 d) 3,45,36 = 7,47 7,5 E a = 7,47 7,5 =,3 Er =,3 / 7,47,4 96. Es falsa. Puesto que por ejemplo para a = -7 y b = -, no se cumple la condición de a > y b >, pero sí que se cumple con las igualdades: a b = -7 (-) = 4 > a b = -7 (-) = -5 < Por lo tanto que a y b sean positivos no es una condición. 97. Si a y b son número reales y a > y b < : a) Verdadero, puesto que independientemente del signo de a y b, el resultado será un número natural. b) Falso. Por ejemplo no se cumple para a = 5 y b = -, que cumplen la primera condición (a > y b <): (-5 (-)) = 9 > c) Verdadero, puesto que sean cuales sean los valores de a y b, si cumplen la primera condición, cumplirán con la igualdad, puesto que el signo siempre será negativo. d) Verdadero, puesto que si se cumple la primera condición, la fracción / a siempre será positiva, y la fracción / b negativa, y el resultado de multiplicarlos siempre será negativo. 98. Siendo a y b número reales y a < b, a > y b > : a) Falsa, ya que por ejemplo, para a =,5 y b =,5, que cumplen las condiciones iniciales, no se cumple la igualdad: /,5 = 4; /,5 = 4 > b) Falsa, por ejemplo, para a = y b = 3 que cumplen con las condiciones iniciales, pero no cumplen con la igualdad: / > - / 3 c) Verdadera, puesto que si se cumplen las condiciones iniciales, la fracción - / b siempre será más grande (un número negativo más pequeño) que la fracción - / a. 99. Siendo a, b y c números reales que cumplen a >, b < y c < : a) Verdadera, puesto que si se cumplen las condiciones iniciales, la fracción a / b siempre resultará negativa, ya que el conciente entre un número positivo (a) y otro negativo (b) resultará negativo, mientras que a / b siempre resultará positiva, porque el numerador (-a) siempre será negativo y el denominador (b) siempre será negativo, resultando el cociente de la división siempre positivo. b) Falsa, por ejemplo para a = 4 y b = -, que cumplen las condiciones iniciales, no se cumple la condición de la igualdad: 4 / -(-) = ; -4 / - = = c) Falsa, puesto que si se cumplen las condiciones iniciales, la fracción b / c siempre resultará positiva, mientras que b / c siempre resultará negativa, y por tanto la igualdad sería: b / c > -b / c -3

12 . Siendo a <, b > y a < b : a) Verdadera, puesto que al ser b positivo y a negativo y tener un signo menos delante, pasa a tener signo positivo, y el resultado de la igualdad siempre será positivo. Y tampoco será cero puesto que el valor absoluto de a es menor que el de b. b) Verdadera, puesto que al ser a negativo y b positivo, pero tener un signo menos delante, pasa a tener signo negativo, el resultado de la igualdad siempre será positivo. Tampoco será igual a cero. c) Verdadera, puesto que el valor absoluto de a es menor que el valor absoluto de b y nunca resultará cero la igualdad. d) Verdadera, puesto que al ser b positivo y a negativo y b > a, el valor resultante de b a será mayor que a b.. Algunos de los contraejemplos que demuestran la falsedad de estas desigualdades, siendo a y b números reales: a) Por ejemplo no es válida para a = 3 y b = -3 3 (-3) < < 6 > b) Por ejemplo no es válido para a = y b = > > =. Los intervalos son: a) -4 < x + x + < 4-4 < x + < 4-3 < x < (-3, ) -3 b) -, <,5x,6 + x <, -, <,5x,6 <, -,5<,5x<,7 -, < x < (-,;,8) -,,8 3. Los intervalos cuya unión es (, 3) y la intersección (,5,,55) son: (,,55) y (,5, 3) 4. Siendo A B es un entorno de a = y r =,7: A B = (a r, a + r) = (,3,,7) Puesto que el entorno A tiene su centro en,5, el radio será la diferencia el extremo mayor del intervalo A B y el centro de A: r A =,7,5 =, Y el entorno B con centro 5, y cuyo radio será la diferencia entre el centro de B y el extremo menor del intervalo A B: r B = 5,3 = 3,7. 5. Los resultados de las intersecciones son: a) Todos los números reales excepto los enteros: R { } b) cero. c) El conjunto vacío. Evaluación de estándares. Las siguientes afirmaciones son: a) Falsa, puesto que por ejemplo para x = e y = - se cumple la condición x > y, pero el valor absoluto de y será mayor que el de x y no se cumplirá la segunda afirmación. b) Falsa, ya que si y es positiva y su valor absoluto es mayor que el valor absoluto de x, siendo x negativa, la desigualdad x < -y es errónea, puesto que y < x.. Las aproximaciones y los errores son: a) Hasta las décimas:, E a =,3, =,3 E r =,3 /,3,3 Hasta las centésimas:, E a =,3, =,3 E r =,3 /,3,3 Hasta las milésimas:,3 E a =,3,3 =, E r =, /,3, b) Hasta las décimas: 3,5 E a = 3,45 3,5,49 E r =,49 / 3,45, Hasta las centésimas: 3,45 E a = 3,45 3,45 =, E r =, / 3,45,48 Hasta las milésimas: 3,45 E a = 3,45 3,45 =, E r =, / 3,45,5 c) Hasta las décimas: 5, E a = 5, 5, =, E r =, / 5,, Hasta las centésimas: 5, E a = 5, 5, =, E r =, / 5,, Hasta las milésimas: 5, No hay error puesto que la aproximación es exactamente igual al número real. -4

13 3. El peso real de Andrea se encontrará entre 57,3 y 57,5 kg. 4. Las mediciones con menor error relativo son: a) Para la medida del ordenador de 4,5 kg su valor real se encuentra entre 4,4 y 4,6 kg, por tanto su E a = =, kg y su E r será menor de,. El valor real de la medida del peso del ratón, de 4 g, se encuentra entre 3 y 5 g, así su E a = g y su E r será menor de,9 Por lo tanto se ha efectuado menor error relativo al medir el ratón. b) El valor real de la medida de la anchura, 75 mm, se encuentra situado entre 74 y 76 mm, por tanto su E a = mm y su E r será menor a, 3. Y el valor real de la medida del grosor,,5 cm, se encuentra situada entre,4 y,6 cm, por tanto su E a =, cm y su E r será menor a,5. Por consiguiente se ha cometido menor error relativo al medir la anchura del móvil. 5. Los cálculos son: a) -6 7 = -3 = 3 b) 3-5 = 3-7 = 3 7 = -4 c) = = = - = d) (-3 9) = - + (-) = + + (-4) = Sus intervalos y representaciones son: a) (-5, -3) b) (5, 5 + ) = (-5, 5) Los entornos en forma de intervalo y sus representaciones en la recta real son: a) (3 6, 3 + 6) = (-3, 9) b) (,4, +,4) = (-,4,,4) c) (-7 3,, ,) = (-,, -3,8) 8. Los intervalos correspondientes son: a) [-5, -3) [, 3) b) (-, -) (-, ) () (4, + ) 9. Las expresiones en forma de intervalos y sus representación en la recta real son: a) (-, 6] b) (-, + ) Los intervalos correspondientes y sus representaciones en la recta real son: a) -5 < 3 x < 5 4 > x > - (-, 4) - 4 b) - 3x 9 8 / 3 x / 3 [8 / 3, / 3] /3 /3-5

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