Funciones de Variables Aleatorias. UCR ECCI CI-1352 Investigación de Operaciones I Prof. M.Sc. Kryscia Daviana Ramírez Benavides

Transcripción

1 Funciones de Variables Aleatorias UCR ECCI CI-135 Investigación de Operaciones I Prof. M.Sc. Kryscia Daviana Ramírez Benavides

2 Introducción En los métodos estadísticos estándar, el resultado de la prueba de hipótesis estadísticas, estimación o incluso las gráficas estadísticas no involucra a una sola variable aleatoria sino, más bien, a funciones de una o más variables aleatorias. Funciones de Variables Aleatorias

3 Transformaciones de Variables Suponga que X es una variable aleatoria discreta con distribución de probabilidad f(x). Se define con Y = u(x) una transformación uno a uno entre los valores de X y Y de modo que la ecuación y = u(x) se puede resolver unívocamente para x en términos de y, es decir x = w(y). Entonces la distribución de probabilidad de Y es g g ( y) = P( Y = y) = P[ X = w( y) ] ( y) = f [ w( y) ] Funciones de Variables Aleatorias 3

4 Transformaciones de Variables (cont.) Suponga que X 1 y X son variables aleatorias discretas con distribución de probabilidad conjunta f(x 1,x ). Se define con Y 1 = u 1 (X 1,X ) y Y = u (X 1,X ) una transformación uno a uno entre los puntos (x 1,x ) y (y 1,y ) de modo que las ecuaciones y 1 = u 1 (x 1,x ) y y = u (x 1,x ) se pueden resolver unívocamente para x 1 y x en términos de y 1 y y, es decir x 1 = w 1 (y 1,y ) y x = w (y 1,y ). Entonces la distribución de probabilidad conjunta de Y 1 y Y es g y, y = P Y = y, Y = y g ( 1 ) ( 1 1 ) = P[ X1 = w1 ( y1, y ), X = w ( y1, y )] ( y, y ) = f [ w ( y, y ), w ( y, y )] Funciones de Variables Aleatorias 4

5 Transformaciones de Variables (cont.) La distribución de probabilidad de Y 1 es precisamente la distribución marginal de g(y 1,y ), que se encuentra al sumar los valores y. Al denotar la distribución de probabilidad de Y 1 por h(y 1 ), se puede escribir h( y ) = 1 g( y1, y ) y Funciones de Variables Aleatorias 5

6 Transformaciones de Variables (cont.) La distribución de probabilidad de Y es precisamente la distribución marginal de g(y 1,y ), que se encuentra al sumar los valores y 1. Al denotar la distribución de probabilidad de Y por h(y ), se puede escribir h( y ) = g( y1, y ) y 1 Funciones de Variables Aleatorias 6

7 Transformaciones de Variables (cont.) Suponga que X es una variable aleatoria continua con distribución de probabilidad f(x). Se define con Y = u(x) una transformación uno a uno entre los valores de X y Y de modo que la ecuación y = u(x) se puede resolver unívocamente para x en términos de y, es decir x = w(y). Entonces la distribución de probabilidad de Y es g y = P Y = y g ( ) ( ) = P[ X = w( y) ] ( y) = f w( y) [ ]J Donde J = w (y) y se llama jacobiano de la transformación. Funciones de Variables Aleatorias 7

8 Transformaciones de Variables (cont.) Suponga que X 1 y X son variables aleatorias continuas con distribución de probabilidad conjunta f(x 1,x ). Se define con Y 1 = u 1 (X 1,X ) y Y = u (X 1,X ) una transformación uno a uno entre los puntos (x 1,x ) y (y 1,y ) de modo que las ecuaciones y 1 = u 1 (x 1,x ) y y = u (x 1,x ) se pueden resolver unívocamente para x 1 y x en términos de y 1 y y, es decir x 1 = w 1 (y 1,y ) y x = w (y 1,y ). Entonces la distribución de probabilidad conjunta de Y 1 y Y es g y, y = P Y = y, Y = y g ( 1 ) ( 1 1 ) = P[ X1 = w1 ( y1, y ), X = w ( y1, y )] ( y, y ) = f w ( y, y ), w ( y, y ) [ ]J Funciones de Variables Aleatorias 8

9 Transformaciones de Variables (cont.) Donde el jacobiano es el determinante x1 y1 x1 y J = x y x y Y cada celda de la matriz es una derivada parcial: 1 x 1 / y 1 es la derivada de x 1 = w 1 (y 1,y ) con respecto a y 1 y y permanece constante. x 1 / y es la derivada de x 1 = w 1 (y 1,y ) con respecto a y y y 1 permanece constante. x / y 1 es la derivada de x = w (y 1,y ) con respecto a y 1 y y permanece constante. x / y es la derivada de x = w (y 1,y ) con respecto a y y y 1 permanece constante. Funciones de Variables Aleatorias 9

10 Transformaciones de Variables (cont.) Suponga que X es una variable aleatoria continua con distribución de probabilidad f(x). Sea Y = u(x) una transformación entre los valores de X y Y que no es uno a uno. Si el intervalo sobre el que se define X se puede dividir en k conjuntos mutuamente disjuntos de modo que cada una de las funciones inversas x 1 = w 1 (y), x = w (y),, x k = w k (y) de y = u(x) defina una correspondencia uno a uno, entonces la distribución de probabilidad de Y es ( y) = f [ w ( y) ] i= 1 donde J i = w i (y), i = 1,,, k. g k i J i Funciones de Variables Aleatorias 10

11 Momentos El propósito de la función generadora de momentos es la determinación de los momentos de las distribuciones. Sin embargo, la contribución más importante es establecer distribuciones de funciones de variables aleatorias. Funciones de Variables Aleatorias 11

12 Momentos (cont.) El r-ésimo momento alrededor del origen de la variable aleatoria X está dado por ' µ r = E ( X ') = x + x x r r f f ( x) ( x) dx es continua Como el primer y segundo momentos alrededor del origen están dados por μ 1 = E(X) y μ = E(X ), se puede escribir la media y la varianza de una variable aleatoria como ' ' µ = µ σ = µ Funciones de Variables Aleatorias 1 si si X X 1 µ es discreta

13 Momentos (cont.) Aunque los momentos de una variable aleatoria se pueden determinar directamente de la definición anterior, existe un procedimiento alternativo. La función generadora de momentos de la variable aleatoria X está dado por E(e tx ) y se denota con M x (t). De aquí M X ( ) ( tx t = E e ) = x + e e tx tx f f ( x) ( x) dx si si X X es discreta es continua Funciones de Variables Aleatorias 13

14 Momentos (cont.) Las funciones generadoras de momentos existirán sólo si la suma o integral de la definición anterior converge. Si existe una función generadora de momentos de una variable aleatoria X, se puede utilizar para generar todos los momentos de dicha variable. El método se describe en el siguiente teorema. Teorema. Sea X una variable aleatoria con función generadora de momentos M X (t). Entonces d r M dt X r ( t) ' t= 0 = µ Funciones de Variables Aleatorias 14 r

15 Momentos (cont.) Distribución b(x;n,p) b*(x;k,p) g*(x;p) p(x;λ) M X (t) t ( pe q) n t pe t qe 1 t pe t 1 qe e λ ( e t 1) k Funciones de Variables Aleatorias 15

16 Momentos (cont.) Distribución u(x;a,b) n(x;μ,σ) g(x;α,λ=1/β) e(x;λ=1/β) ji(x;v) M X (t) e t ( B A) e tb σ t α e ta + µ t 1 β λ β = 1 t λ t 1 β λ = 1 β t λ t ( 1 t) v α Funciones de Variables Aleatorias 16

17 Momentos (cont.) Aunque el método de transformación de variables proporciona una forma efectiva de encontrar la distribución de una función de diversas variables, hay un procedimiento alternativo y que a menudo se prefiere cuando la función en cuestión es una combinación lineal de variables aleatorias independientes. Este procedimiento utiliza las propiedades de las funciones generadoras de momentos que se presentan en los siguientes cuatro teoremas. Funciones de Variables Aleatorias 17

18 Momentos (cont.) Teorema de Unicidad. Sean X y Y dos variables aleatorias con funciones generadoras de momentos M X (t) y M Y (t), respectivamente. Si M X (t) = M Y (t) para todos los valores de t, entonces X y Y tienen la misma distribución de probabilidad. Teorema. M X+a (t) = e at M X (t). Teorema. M ax (t) = M X (at). Teorema. Si X 1, X,, X n son variables aleatorias independientes con funciones generadoras de momentos M X1 (t), M X (t),, M Xn (t), respectivamente, y Y = X 1 + X + + X n, entonces ( t) = M ( t) M ( t) M ( t) M Y... X1 X X n Funciones de Variables Aleatorias 18

19 Momentos (cont.) Combinaciones lineales de variables aleatorias Teorema. Si X 1, X,, X n son variables aleatorias independientes que tienen distribuciones normales con medias μ 1, μ, μ n y varianzas σ 1, σ, σ n respectivamente, entonces la variable aleatoria tiene una distribución normal con media y varianza Y = a X + a X a X 1 1 n n µ = a µ + a µ µ Y 1 1 a n σ + Y = a1 σ1 + aσ +... a n σ n n Funciones de Variables Aleatorias 19

20 Momentos (cont.) Combinaciones lineales de variables aleatorias Teorema. Si X 1, X,, X n son variables aleatorias mutuamente independientes que tienen, respectivamente, distribuciones ji cuadradas con v 1, v, v n grados de libertad, entonces la variable aleatoria tiene una distribución ji cuadrada con grados de libertad Y = X + X v = v + v v n X n Funciones de Variables Aleatorias 0

21 Momentos (cont.) Combinaciones lineales de variables aleatorias Corolario. Si X 1, X,, X n son variables aleatorias independientes que tienen distribuciones normales idénticas con media μ y varianza σ, entonces la variable aleatoria Y = n i= 1 X i µ σ tiene una distribución ji cuadrada con v = n grados de libertad Funciones de Variables Aleatorias 1

22 Momentos (cont.) Combinaciones lineales de variables aleatorias Corolario. Si Z 1, Z,, Z n son variables aleatorias independientes que tienen distribuciones normales estándar, entonces la variable aleatoria Y = n i= 1 Z i tiene una distribución ji cuadrada con v = n grados de libertad Funciones de Variables Aleatorias

23 Referencias Bibliográficas Walpole, R.E.; Myers, R.H.; Myers, S.L. & Ye, K. Probabilidad y estadística para ingeniería y ciencias. Octava Edición. Pearson Prentice-Hall. México, 007. Funciones de Variables Aleatorias 3