Curso Introductorio a las Matemáticas Universitarias

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1 Curso Introductorio a las Matemáticas Universitarias Tema 9: Integración Víctor M. Almeida Lozano Rosa M. Gómez Reñasco Licencia Creative Commons 03

2 9. INTEGRACIÓN Este tema es una introducción al cálculo integral. En él introduciremos el concepto de primitiva de una función y analizaremos algunos métodos básicos de cálculo de primitivas. 9.. Integrales indefinidas. Primitiva de una función Dada una función f definida sobre un intervalo J R, unaprimitiva o antiderivada de f en J es una función F continua en J, queverifica: F () =f() para todo en el interior de J Ejemplo: una primitiva de f() =cos es F () =sen. Si F () es una primitiva de f(), entonces F ()+C es también una primitiva de f(), siendo C un número real cualquiera. De hecho, cualquier otra primitiva de f() esdeestaforma. Ejemplo: una primitiva de f() = es F () =ln, luegof () =ln también es una primitiva de f() paracualquierc R. El conjunto formado por todas las primitivas de f() sedenominaintegral indefinida de f(), y se designa por f() d. Ejemplo: d =arctg. + Tabla de integrales inmediatas En la siguiente tabla la letra C representa una constante arbitraria.

3 Curso Introductorio a las Matemáticas Universitarias Tema 9. Página. d =. n d = n+ (n ) n + d 3. = ln 4. e d = e 5. a d = a ln a (a ), (a >0) 6. cos d = sen 7. sen d = cos 8. sec d d= cos = ( + tg ) d = tg 9. cosec d d= sen = ( + cotg ) d = cotg d 0. a = arcsen a d. a + = a arctg a Reglas operacionales. Integrales inmediatas Si f() yg() sonfuncionesparalasqueeistenprimitivas,entoncesseverifica que:. [f() ± g()]d = f() d ± g() d. kf() d = k f() d Estas reglas, la tabla de integrales inmediatas y la operatoria básica, permiten calcular integrales que a priori paracen más complicadas. Ejemplos: (a) (b) ( )d =3 + d = d+ 9.. Métodos de integración 4 d 5 d = 9... Integración por cambio de variable d + d+ d = d = C = 3 (+3)+C A veces unaintegral puede transformarse en otra más sencilla haciendo un cambio de variable. Ello puede hacerse de dos maneras:

4 Curso Introductorio a las Matemáticas Universitarias Tema 9. Página 3. Hacer = g(t) siendog una función derivable con inversa derivable. Al hacer el cambio debe sustituirse d por g (t)dt, conloquenosquedará Ejemplo: f()d = f(g(t))g (t)dt = F (t)+c = F (g ()) sustituir d por cos t dt, conloqueobtenemos d. Siefectuamoselcambiodevariable = sen t, hemosde sen t sen t cos t dt = sen t cos t cos t dt = = cos t = cos(arcsen )+C sen t dt =. Hacer t = h() siendoh una función derivable con inversa derivable. Normalmente se elige una función h() queapareceenelintegrando,oquelaepresiónh ()d aparece en el integrando. Ejemplo: d. Siefectuamoselcambiodevariablet = obtenemos que dt = d; debemossustituird por dt,conloqueobtenemos ( dt t )= t dt = t = Es evidente que el segundo cambio de variable es más intuitivo, pero no deja de ser curioso el haber obtenido dos resultados, aparentemente, tan diferentes. Se propone al alumno que compruebe que en realidad es el mismo resultado en los dos casos Integración por partes Este método tiene por objeto transformar la integral dada en otramássencilla,utilizando una sencilla fórmula: Sean u = u() yv = v() dosfuncionesderivables.entonces,du = u ()d y dv = v ()d. Apartirdelaregladederivacióndeunproducto,seobtieneque: udv= uv vdu La elección de qué parte del integrando debe ser u ycuáldv depende de múltiples factores, lo que impide dar una regla genaral. No obstante los casos más frecuentessonlossiguientes: lnd. Para la elección de u debemos pensar en la parte del integrando que sea más fácil de derivar (en este caso tanto como ln son sencillos de derivar), para dv hemos de buscar la parte sencilla de integrar, que sin lugar a dudas es d.porlotantolaelecciónqueda cerrada u = ln y dv = d.enconsecuenciadu = d y v = d=. lnd= ln d = ln d= ln 4

5 Curso Introductorio a las Matemáticas Universitarias Tema 9. Página 4 e d En este caso tanto como e son sencillas de derivar y de integrar. Luego la elección debe basarse en otras estrategias. Si refleionamos un poco podremos darnos cuenta de que la mejor elección es u = y dv = e d, elmotivoesclarosiescribimoselrestodeelementos necesarios v = e, du = d. e d = e e d = e e sen e d Este último ejemplo corresponde a las llamadas integrales cíclicas. No hay lugar a dudas que en este caso la elección de u y dv es aleatoria, ya que en cualquier caso el método nos llevará a una integral esencialmente igual, en cuanto a dificultad, a la de partida. Tomemos, por ejemplo u = sen y dv = e d, loquenosllevaaquedu = cos d y v = e sen e d = sen e e cos d En principio parece que no hemos ganado nada con la aplicación del método. Sin embargo, si pensamos un poco antes de desecharlo, podremos darnos cuenta de que una nueva aplicación del método nos llevaría a la integral de partida. Es decir, si en la última integral tomamos u = cos y dv = e d, entonces,du = sen d y v = e,ytenemosque Å ã sen e e cos d = sen e cos e sen e d = =(sen cos )e I de donde obtendríamos (sen cos )e (sen cos )e El procedimiento seguido justifica el nombre asignado a estas integrales Integración de funciones racionales Se trata de encontrar primitivas de funciones que son un cociente de polinomios, es decir: P () Q() d P (), Q() polinomios. Cuando tenemos este tipo de integrando, lo primero que hay que haceresmirarsielgrado del polinomio del numerador, P (), es mayor o igual que el grado del polinomio del denominador, Q(). Si es así, dividimos P () entreq() paraobtenerelpolinomiocociente,c(), y el polinomio resto, R(). Es decir: P () Q() = C()+R() Q(), siendo el grado de R() < grado de Q()

6 Curso Introductorio a las Matemáticas Universitarias Tema 9. Página 5 Entonces, tenemos que: ñ P () Q() d = C()+ R() ô Q() La d = C() d + R() Q() d C() d es inmediata (C() esunpolinomio). Veamoscomoresolver R() d, sa- Q() biendo ya que el grado de R() esmenorqueelgradodeq(). Veamos diferentes casos. Denominador de grado : es inmediata: R() a + b d = A R() d. EnestecasoR() =A =constante.ylaintegral a + b d a + b = A a ad a + b = A ln a + b) a Ejemplo: d. Aldividirelpolinomio entre seobtiene como cociente C() = ycomorestor() = 6, por lo tanto, d = ( d + +)d 6 = = ln. Denominador de grado, y con raíces complejas: El grado de R() puedeser0ó. R() a + b + c d. a) Si el grado de R() escero,esdeciresunaconstante,seajustaparaobtenerun arcotangente. Ejemplo: d =3 ( +) d =3arctg( +)+C + b) SielgradodeR() esseseparaendosintegrales,unadaráunlogaritmoneperiano ylaotraunarcotangente. Ejemplo: d = + + d = =3 = d d d = ( +) + d = = 3 ln ( + +)+arctg( +)+C

7 Curso Introductorio a las Matemáticas Universitarias Tema 9. Página 6 3. Denominador de grado mayor o igual que y, a lo sumo, raíces complejassimples.loprimero que debe hacerse es factorizar Q(), para luego efectuar una descomposición de R() Q() en fracciones simples, cada una de las cuales generará integrales que sabremos resolver, en función de que trabajemos con raíces reales o complejas de Q(). 4 8 Ejemplo: ( ) d. Enprimerlugarhemosdedescomponerenfracciones simples el ( +) integrando: 4 8 ( ) ( +) = A + B ( ) + D + Efectuando los cálculos apropiados, se obtiene A =, B =, C = y D =4. Por tanto d +4 ( ) d + + d = = ln Integrales trigonométricas ln ( +)+4 arctg A la hora de calcular primitivas que involucran funciones trigonométricas, se suelen usar cambios de variables que usan las propiedades de estas funciones. Veremos dos tipos de estas integrales.. Integrales del tipo R(sen, cos )d, donde R es una función racional a) R es impar en sen. Esdecir,R( sen, cos ) = R(sen, cos ). Se efectúa el cambio de variable t = cos, conloqueseobtiene sen = t y d = t dt Ejemplo = sen t cos + d = t + dt = t dt = arc tg t = arctg(cos )+C +t b) R es impar en cos.esdecir,r(sen, cos ) = R(sen, cos ). Se efectúa el cambio de variable t = sen, conloqueseobtiene cos = t y d = t dt

8 Curso Introductorio a las Matemáticas Universitarias Tema 9. Página 7 Ejemplo sen cos 3 d= t ( t ) 3 t dt = (t t 4 ) dt = = t3 3 t5 5 = sen3 3 sen5 5 c) R es par en sen y cos.esdecir,r( sen, cos ) =R(sen, cos ). Se efectúa el cambio de variable t = tg, conloqueobtenemos, Ejemplo cos = sen sen + cos d = +t, sen = t +t t +t t + +t +t y d = +t dt. +t dt = t (t +)(+t ) dt = ( + t = ln ) 4 (t +) + 4 ( + tg arctg t = ln ) (tg +) Un caso particular lo constituyen las integrales del tipo + m pares. La resolución de éstas se simplifica si se aplican las fórmulas: sen = cos Ejemplo cos sen cos d=, cos = +cos +cos sen n cos m d,conn y cos d = d = 4 = 4 4 +cos 4 d = 4 8 sen 4 = 3 = 8 sen 4 3 d) El cambio de variable que siempre puede aplicarse, aunque sólo se aconseja cuando no estemos en alguno de los casos anteriores, es: Ejemplo t = tg ; sen = sen + cos d = = t ( ) ln t ( + ) = t t ; cos = +t +t ; d = +t dt t +t + t +t dt = +t tg ln ( ) tg ( + ) t t dt =

9 Curso Introductorio a las Matemáticas Universitarias Tema 9. Página 8. sen(a + b)sen(c + d)d, sen(a + b)cos(c + d)d, cos(a + b)cos(c + d)d. Se emplean las fórmulas: Ejemplos sen A cos B = [sen(a + B)+sen(A B)] cos A cos B = [cos(a + B)+cos(A B)] sen A sen B = [cos(a + B) cos(a B)] sen( )sen(3 +)d = [cos(5 +) cos( 3)] d = = ñ ô sen(5 +) sen( +3) 5 sen( )cos(5 +3)d = [sen(6 +)+sen( 4 5)] d = = ñ cos(6 +) + 6 ô cos(4 +5) 4 cos(3 +3)cos( +)d = [cos(4 +5)+cos( +)]d = = = ñ sen(4 +5) + 4 ô sen( +)

10 Curso Introductorio a las Matemáticas Universitarias Tema 9. Página Ejercicios. Resolver las siguientes integrales 3 a 3 a) a d d) g) j) m) p) ( + sec tg )d e) b) y ( + y ) 4 dy h) tg θ ln(cos θ)dθ k) + + d cos 3 sen 3 d q) n) d c) d +6 ( +) d f) 4 d d e + e i) e + e d d +8 l) o) cos sen d r) ln 3 ( + 3 ) + 3 d d d tag 3 θsec 4 θdθ s) cos sen 3 d t) cos 5 cos 7 d u) sen 5 sen7 d. Aplicar integración por partes para resolver las siguientes integrales: a) sen d b) arctag d c) ln d d) ln d e) sen d f) 3 e d g) sen θ ln(cos θ)dθ 3. Resolver las siguientes integrales racionales a) d b) + 4 d c) + ( ) 3 d 4. Resolver las siguientes integrales cos a) cos d b) d) g) +d e) e + e d + d c) d f) h) d i) tg d d cos 3 +sen d

11 Curso Introductorio a las Matemáticas Universitarias Tema 9. Página Soluciones. a) a + a b) 3 c) 4 4 +arctg d) e) ln + cos + f) arctg g) 6( + y ) 3 h) arctg(e )+C i) ln4 ( + 3 )+C j) ln (cos θ)+c k) ln ñ (e ) m) ln + + ñ arctg 3 ( + ô 3 ) n) arcsen e ô l) arcsen Å 43 ã Å + 3 ã o) ln Å ã arctg p) sen4 sen q) 8 3 sen4 r) s) Å cos 5 5 u) Å sen a) cos ã + cos t) ã sen + sen + cos 4 6cos 6 θ 4cos 4 θ Å sen + ã sen b) arctg ln( + )+C c) ln d) ln ln sen cos e) +(ln ) f) e g) cos θ ln(cos θ)+cos θ 4 e 3. a) +3 ln + ln( +) arctg( ) b) ln + + arctg c) ln ( )

12 Curso Introductorio a las Matemáticas Universitarias Tema 9. Página 4. a) tag b) arctg c) tag» ( +) 7 4» ( +) 5 5 +» ( +) 3 3 e) ln arctg 4 d) 7 Ã f) ln 6 ++ g) ln 6 (e ) (e +) e 3 h) 5 ln 4 ln( + 6 )+ ln 4 arctg(4 )+C i) sen +arctg(sen )+C