1. CÁLCULO DE PRIMITIVAS
|
|
|
- Nicolás Carrizo Cortés
- hace 6 años
- Vistas:
Transcripción
1 . CÁLCULO DE PRIMITIVAS. Calcular las siguientes integrales indefinidas:. ( + Es inmediata. ( = (ln ln + + C Descomponemos el integrando en fracciones parciales y obtenemos. + + = + arc tg + = ln C Integramos por partes (u = arc tg, dv = queda arc tg = arc tg ( + = = arc tg + + = arc tg ( arc tg +C =. 9 = ( + arc tg + C = 9 / = 9 ( = = arc sen( + C
2 CÁLCULO DE PRIMITIVAS = / 9 + = (/ + = 6. e arc sen Es inmediata, = 6 arc tg( + C e arc sen = earc sen + C e + e Es inmediata, ln(a + e + e = arc tg(e + C. Integrando por partes (u = ln(a +, dv = se tiene ln(a + = ln(a + a + = ln(a + + a a a + = ln(a + + a a + = = ln(a + + a arc tg a + C 9. sen(ln Integrando por partes (u = sen(ln, dv =, tenemos sen(ln = sen(ln cos(ln Integrando de nuevo por partes (u = cos(ln, dv =, Así tenemos cos(ln = cos(ln + sen(ln
3 ( sen(ln = sen(ln cos(ln + sen(ln De modo que sen(ln = ( sen(ln cos(ln + C 0... e e + e e + = = ln(e + e e + e + = e + e = ln(e + + ln(e + + C La penúltima igualdad se obtiene de multiplicar por e el numerador y el denominador del integrando de e +. Si no se ve este truco, se hace el cambio t = e y se resuelve aplicando fracciones parciales. + Es inmediata, + = ln + + C e ( + Integrando por partes (u = e, dv = (+, se tiene. e e = ( e sen ( e = e + + e + C = e + C + Integrando por partes (u = sen, dv = e se tiene e sen = e sen e cos Denotamos I = e sen y I = e cos. Integrando I por partes de nuevo (u = cos, dv = e, queda I = e cos + e sen = e cos + I
4 CÁLCULO DE PRIMITIVAS De modo que I = e sen ( e cos + I Despejando I de la ecuación, queda. 5. tg Es inmediata, sen I = 5 e sen 5 e cos + C tg = sen cos = ln cos + C Integrando por partes (u =, dv = sen se tiene I = sen = cos + cos Integrando de nuevo por partes (u =, dv = cos, queda I = cos = sen sen Integrando otra vez por partes (u =, dv = sen, I = sen = cos + cos = cos + sen + C De modo que I = cos + I = cos + ( sen I = = cos + ( sen ( cos + sen + C = 6. = cos + sen + 6 cos 6 sen + D tg Es inmediata. Basta escribir tg = sec = tg +C
5 tg 5 sec Es inmediata. ln tg 5 sec = 6 tg6 + C. Se resuelve por partes (u = ln, dv = ln = ln = ln + C sen + cos sen cos sen + cos Es inmediata. = ln sen cos + C sen cos + cos Como cos = cos ( ( = cos ( sen (, escribimos. + cos = e = cos ( + sen ( + cos ( sen ( cos ( = ( tg + C Se resuelve integrando por partes (u =, dv = e I = Denotamos I =, dv = e, obtenemos e = e + e e. Integrando de nuevo por partes (u = I = e + e La última integral también se resuelve por partes (u =, dv = e, quedando I = e = e e + C.
6 6 CÁLCULO DE PRIMITIVAS De este modo, resulta I = e + I = e + ( e + I = = e + ( ( e + e e + C =. arc tg ( = e + D 8. Se resuelve integrando por partes (u = arc tg, dv =, quedando arc tg = arc tg + = arc tg ln( + + C arc cos Se resuelve integrando por partes (u = arc cos, dv = arc cos = arc cos =. cos ( = arc cos ( / + C Es inmediata aplicando la identidad trigonométrica cos = De este modo, se tiene +cos. 5. e + cos cos = = ( + sen + C Se resuelve integrando por partes ( reiteradamente (véase ejercicio, resultando e = e 9 + C 7
7 7 6. arc sen( Se resuelve integrando por partes (u = arc sen(, dv =. arc sen( = arc sen( ( arc sen( + = = arc sen( = arc sen( arc sen( = arc sen( + ( / + C En consecuencia, arc sen( = ( arc sen( + ( / + C 7. ln Se integra por partes (u = ln, dv =. Obtenemos cos ln = ln = ln 6 + C Integrando por partes (u =, dv = cos = sec, se tiene cos = tg ( + 5e tg = tg + ln cos + C ( + 5e = e e + 5e Las dos integrales de la parte derecha de la igualdad se resuelven por partes (véase ejercicio, quedando ( + 5e = e e + 8e + C
8 8 CÁLCULO DE PRIMITIVAS 0. sen Se resuelve por partes (u =, dv = sen. Tendremos sen = cos + cos Por otro lado, esta última integral también se resuelve por partes, tomando u = y dv = cos. Resulta cos = sen sen = sen + cos + C 6 Entonces,. e cos sen = cos + sen + cos + C 8 Se integra por partes (u = cos, dv = e. I = e cos = e cos + e sen Integrando de nuevo por partes (u = sen, dv = e, queda de modo que I = e sen = e sen I I = e cos + Despejando I de la última ecuación, queda ( e sen I. + 9 I = e cos + e sen + C Dividimos los polinomios para obtener 6 =, de modo que = = 8 ln( C
9 e + e Es inmediata. cos e sen Es inmediata. e sen sen e + e = arc tg(e + C cos e sen = e sen + C. Como sen = sen cos, resulta inmediata y se tiene e sen sen = e sen + C. Calcular las siguientes integrales racionales:. + + Es fácil comprobar que el polinomio del denominador no tiene raices reales. Completando cuadrados, se tiene + + = ( + +. De modo que + + = ( + + = ( + +. = ( + + = ( arc tg + + C Factorizando el polinomio del denominador, tenemos = ( + 5( + Descomponiendo en fracciones parciales el integrando, queda ( + 5( + = / / +
10 0 CÁLCULO DE PRIMITIVAS De este modo, al integrar, obtenemos / = / + = ln +5 + ln + +C. + ( + ( + + Descomponiendo en fracciones parciales, queda + ( + ( + + = + + ( Integrando, resulta + ( + ( = ln ln C. ( + Descomponemos el integrando en fracciones parciales ( + = ( + Entonces 5 ( + = ( + = 5. = 5 ln + 5 ln( + + ( + ( + + ( + + C Las raices de + + son complejas conjugadas. Al descomponer el integrando en fracciones parciales, queda ( + ( + + = / / ( + + Integrando, obtenemos
11 ( + ( + + = + + ( + + Completando cuadrados, se tiene ( + + = + + = En consecuencia, ( ( + + I = + + = ( + + = arc tg( + + C Por otro lado, I = ( + + = ( ( + + = (( + + Haciendo el cambio de variable t = +, obtenemos I = t (t + dt = + t (t dt = arc tg t + t (t + dt Esta última integral se resuelve integrando por partes (u = t, dv = t (t + dt, resultando t (t + dt = t (t + + dt t + = t (t + + arc tg t+c Deshaciendo el cambio de variable, resulta ( + I = arc tg( + (( arc tg( + + C Entonces ( + ( + + = I I =
12 CÁLCULO DE PRIMITIVAS = arc tg(+ arc tg(+ + (( arc tg(++d = 6. + = (( D + Si factorizamos tanto el numerador como el denominador del integrando, se observa que ( + ( = + ( ( + = + + Entonces + + = + = ( + + = 7. = = ln( + + arc tg + C + Descomponiendo en fracciones parciales, queda Integrando, tenemos + = / + / + / ( 8. ( + Llamemos I n = + = ln / ln + C (. Entonces + n I = + ( + = ( + ( + =
13 = I ( + Para calcular esta última integral, hacemos u =, dv = quedando ( + = ( + + Volviendo a I, nos queda ( I = I = ( + + I ( + = ( + + I = I + ( + Sólo queda calcular I, que se hace de una manera análoga: ( + I = ( + = + ( + = + ( + = = arc tg ( ( = arc tg La última igualdad se obtiene al resolver por partes (u =, dv = la integral. ( + ( + De este modo, tenemos ( I = arc tg En consecuencia, + + I = I + ( + = arc tg = arc tg + ( + + C ( arc tg + ( + = 8 arc tg + 8( + + ( + + D + ( + +D = Otro modo de resolver este tipo de integrales es haciendo el cambio = tg θ, = sec θdθ.
14 CÁLCULO DE PRIMITIVAS.. Calcular las siguientes integrales trigonométricas: cos La función t = sen. Se tiene cos es impar en cos, de modo que se hace el cambio cos = dt = arg tgh t + C = arg tgh (sen + C t dt Otro modo de calcular es descomponiendo el integrando en t sumas parciales: dt / / t = + t dt + t dt = ln + t ln t + C = = ln + t t + C = ( + sen ln sen + C = ln ( + sen + C sen. Al multiplicar numerador y denominador por + sen se tiene ( ( + sen ( + sen ln + C = ln sen sen + C = = ln + sen cos + C = ln sec + tg + C Resulta entonces = ln sec + tg + C cos sen Es impar en sen y hacemos el cambio t = cos. Tenemos que sen = t, dt = sen y =, de modo que sen = dt t dt t = ln + t t + C = = ( ( + cos cos ln + C = ln + C = cos + cos
15 5 ( cos = ln ( + cos + C = = ln sen + cos + C = ln sen ( cos cos + C = ln cos sen + C = = ln cosec cotg + C Se resuelve más directamente si escribimos sen = dt = arg tgh t + C = arg tgh (cos + C t. cos sen Es inmediata si utilizamos el resultado anterior, cos sen sen = = sen sen sen =. 5. = ln cosec cotg + cos + C sen cos Es par en sen y cos. Se hace el cambio t = tg. Entonces + cos dt sen cos = = ln t + C = ln tg + C t Se hace el cambio t = tg ( ( cos = cos +. Entonces ( sec = dt. Además, = ( tg + tg ( = cos ( cos ( = t + t sen ( ( + sen = La penúltima igualdad se obtiene dividiendo numerador y denominador entre cos (.
16 6 CÁLCULO DE PRIMITIVAS Se tiene, tras el cambio de variable, 6. cos + cos = dt = t + C = ( tg + C Es impar en cos, de modo que hacemos el cambio t = sen para obtener cos = dt ( t = dt ( + t ( t Descomponiendo en fracciones parciales el integrando, se tiene y, por tanto, ( + t ( t = / t + + / (t + + / t + / (t ( dt / ( + t ( t = t + + / (t + + / t + / (t dt = 7. = / ln(sen + sen + / ln sen sen + C = sen cos = ln sen + sen / sen + / sen + C Como sen cos = (sen 6 + sen(, se tiene que sen cos = ( sen 6 + sen( = = cos 6 + cos + C
17 7 8. sen + cos Como sen = sen cos, resulta que I = sen sen cos + cos = + cos es impar en sen. Hacemos el cambio t = cos y tenemos I = sen cos + cos = dt t + + t = dt = t + 9. = (t ln + t + C = cos + ln( + cos + C cos Como cos = ( sen cos, tenemos cos = ( sen cos = cos sen cos = = sen sen + C 0. sen cos sen cos = sen cos sen = ( cos cos sen = = (cos cos 6 sen = cos sen cos 6 sen =. sen = cos5 5 + cos7 7 + C ( cos Tenemos sen = (sen =, de modo que ( cos sen = = ( cos +cos =
18 8 CÁLCULO DE PRIMITIVAS = ( cos + ( + cos =. sen cos = ( sen + sen + C 8 ( ( cos + cos sen cos = = = ( cos = = cos = 8 sen = ( sen + C. Calcular las siguientes integrales irracionales: Completando cuadrados se tiene = ( 8 0 = (( 6 = ( + 6. De modo que = ( + 6 = 6 = 6 ( +. = ( ( = arc sen + C El integrando es del tipo R(, ( + /. Se tiene m =, + = t, con lo que = t y = tdt. + + = ( t + t dt = dt = (t ln t+ +C t +
19 9. La penúltima igualdad se obtiene al dividir los polinomios. Deshaciendo el cambio de variable, queda + + = + 6 ln( C Se hace el cambio = sen t, = cos tdt. Entonces = dt sen t = cotg t + C =. + 9 cos(arc sen = sen(arc sen + C = + C Hacemos el cambio = sen t, = cos tdt, de modo que + = 9 sen t + cos t dt = 9 9 sen t = ( sen t+ dt = cos t+t+c = cos(arc sen + arc sen +C = 5. = 9 + arc sen + C = 9 + arc sen + C + + ( + / El integrando es del tipo R(, ( + /, ( + /. Entonces m = m.c.m.{, } = y el cambio a realizar es t = +, con lo que = t y = t dt. Por tanto, ( = = + + ( + / (t dt + t t + dt = dt = t t + ln t + + C t +
20 0 CÁLCULO DE PRIMITIVAS La penúltima igualdad se obtiene al hacer el cociente de los polinomios. Deshaciendo el cambio de variable, tenemos + + ( + / = ln C Se tiene que es del tipo R(, (+/, de modo que m =, obteniéndose el cambio t = +. Esto implica que = t y = t dt, de manera que = t t + t dt = t t + t dt = = ( t + t + dt = ( t + t ln t + + C = = ln C La primera igualdad de la segunda línea proviene de efectuar la división de los polinomios Efectuamos el cambio = 5 sen t, = 5 cos tdt. Se tiene 5 5 = 5 sen t cos t 5 cos t dt = 5 5 sen t sen t dt = ( = 5 sen t dt sen t dt = 5 ln cosec t cotg t + 5 cos t + C = = 5 ln cosec(arc sen 5 cotg(arc sen cos(arc sen 5 + C = 5 5 = 5 ln C
1. PRIMITIVA DE UNA FUNCIÓN 2. PROPIEDADES DE LA INTEGRAL INDEFINIDA 3. INTEGRALES INMEDIATAS Ejemplos de integrales inmediatas tipo potencia
Cálculo de primitivas MATEMÁTICAS II. PRIMITIVA DE UNA FUNCIÓN. PROPIEDADES DE LA INTEGRAL INDEFINIDA. INTEGRALES INMEDIATAS.. Ejemplos de integrales inmediatas tipo potencia.. Ejemplos de integrales inmediatas
Ejercicios de Integrales resueltos
Ejercicios de Integrales resueltos. Resuelve la integral: Ln Ln Llamemos I Ln u du Aplicamos partes: dv v I Ln t t 4 t t t 4 t t 4 t 4 4 4t 4 t t t A t B t A( t) B( t) A ; B 4 t t Ln t Ln t t C Deshaciendo
CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICAS PARA ESTUDIANTES DE ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES. Unidad didáctica 8. Introducción a la integración INTEGRAL INDEFINIDA
INTEGRAL INDEFINIDA CONCEPTOS BÁSICOS: PRIMITIVA E INTEGRAL INDEFINIDA El cálculo de integrales indefinidas de una función es un proceso inverso del cálculo de derivadas ya que se trata de encontrar una
1. CÁLCULO DE PRIMITIVAS
1 1. CÁLCULO DE PRIMITIVAS Definición 1.1. Primitiva. Una función F (x) es primitiva de f(x) si F (x) = f(x) para todo x del dominio de f. Obsérvese que si F (x) es primitiva de f(x), entonces F (x) +
Funciones racionales. Tema 5: Integración. Integrales reducibles a racionales. Primera reducción. Primeros ejemplos. Definición
Funciones racionales Funciones racionales Tema 5: Integración. Integrales racionales y reducibles a racionales Análisis Matemático Grado en Física Definición Una función f se dice que es racional si f
La integral indefinida
Apuntes Matemáticas º de bachillerato Leibniz Tema 7 La integral indefinida Matemáticas º de bachillerato 7. Introducción Def.: Dadas dos funciones, F() y f(), si se verifica que: F () f(), para un cierto
Guía de Ejercicios: Métodos de Integración
Guía de Ejercicios: Métodos de Integración Área Matemática Resultados de aprendizaje Resolver integrales usando diferentes métodos de integración Contenidos 1. Método de sustitución simple 2. Método de
1 Repaso. Cálculo I. 1 o Matemáticas. Curso 2002/2003. Cálculo de Primitivas. (5x 6) f(x) 1 2 f (x) dx, que es inmediata: + 1 x 1
Cálculo I. o Matemáticas. Curso /. Cálculo de Primitivas Repaso (5 6) d = 5 (5 6) 5 d = 5 (5 6) + C. Nota: Si f() = 5 6 su derivada es 5. En la primera igualdad multiplicamos y dividimos por 5. Así tenemos
Integración por fracciones parciales
Integración por fracciones parciales El cociente de dos polinomios se denomina función racional. La derivación de una función racional conduce a una nueva función racional que puede obtenerse por la regla
Repaso de integración
TABLA DE INTEGRALES INMEDIATAS Repaso de integración. Tabla de integrales inmediatas n d = n+ + C, si n n + f() n f () d = f()n+ n + + C, si n d = ln + C f() f () d = ln f() + C e d = e + C e f() f ()
TEMA. 29 Cálculo de primitivas * ( ) = ( ) ( ) + ( ) ( ) Primitivas de las funciones racionales. P x Q x C x R x
TEMA 9 álculo de primitivas * Primitivas de las funciones racionales. omo ya sabemos ver tema ) una función racional es una función de la forma P f =, Q 0 Q donde P y Qson funciones polinómicas. omo ya
Integral. F es primitiva de f F (x) = f(x)
o Bachillerato, Matemáticas II. Integración. Integrales indefinidas. Métodos de integración. Primitiva de una función. Integral indefinida. Sean f y F dos funciones reales definidas en un mismo dominio.
ECUACIONES NO POLINÓMICAS CON UNA INCÓGNITA
Unidad didáctica. Ecuaciones, inecuaciones y sistemas de ecuaciones e inecuaciones ECUACIONES NO POLINÓMICAS CON UNA INCÓGNITA Una ecuación no polinómica es, en general, más difícil de resolver que una
2 Unidad II: Ecuaciones Diferenciales de Orden Superior
ITESM, Campus Monterrey Departamento de Matemáticas MA-41: Ecuaciones Diferenciales Lectura # Profesor: Victor Segura Flores Unidad II: Ecuaciones Diferenciales de Orden Superior.1 Ecuaciones Diferenciales
Tema 2 Polinomios y fracciones algebraicas 1
Tema Polinomios y fracciones algebraicas 1 TEMA POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS EJERCICIO 1 : Desarrolla y simplifica: b) 4 1 a) 1 5 5 4 c) 1 4 1 d) 1 6 1 1 5 4 4 5 4 a) 1 5 1 5 5 6 5 4 4 5 4 4 b)
MÉTODOS DE INTEGRACION
MÉTODOS DE INTEGRACION En este tema se continúa con los métodos de integración iniciados en el capítulo anterior, en el que a partir del concepto de primitiva y de las derivadas de las funciones elementales
Curso Introductorio a las Matemáticas Universitarias
Curso Introductorio a las Matemáticas Universitarias Tema 9: Integración Víctor M. Almeida Lozano Rosa M. Gómez Reñasco Licencia Creative Commons 03 9. INTEGRACIÓN Este tema es una introducción al cálculo
TEMA 12.- CÁLCULO DE PRIMITIVAS
TEMA.- CÁLCULO DE PRIMITIVAS.-.- PRIMITIVA DE UNA FUNCIÓN Definición de Función Primitiva Una función F() se dice que es primitiva de otra función f() cuando F'() f() Ejemplos: F() es primitiva de f()
B. Cálculo de primitivas.
50CAPÍTULO 5. INTEGRAL DEFINIDA. CÁLCULO DE PRIMITIVAS y y f(x) x y y F (x) x F (x) 8 >< >: x si x [0, ] x + six (, ] x si x (, ] Figura 5.5: B. Cálculo de primitivas. 5.. Integración inmediata. Definición
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2011 MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio,
INTEGRACIÓN POR PARTES Y POR DESCOMPOSICIÓN EN FRACCIONES SIMPLES
INTEGRACIÓN POR PARTES Y POR DESCOMPOSICIÓN EN FRACCIONES SIMPLES INTEGRACIÓN POR PARTES Este método permite resolver un gran número de integrales no inmediatas. 1. Sean u y v dos funciones dependientes
Solución: a) Suprimiendo los factores comunes en numerador y denominador, resulta:
Simplifica las siguientes epresiones: 0y 8 y z 8( z + )( ) + Suprimiendo los factores comunes en numerador y denominador resulta: 5y z Sacando factor común en el denominador resulta: 8( + )( ) ( ) ( +
UNIVERSIDAD ARTURO PRAT IQUIQUE CHILE DEPARTAMENTO DE CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICAS INTEGRALES
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICAS INTEGRALES MARIA ELISA VODNIZZA LIRA e-mail : mvodnizz@cec.unap.cl url : www.unap.cl/~mvodnizz SEPTIEMBRE - 00 INTEGRALES Uno de los problemas importantes
Unidad 10 Integrales definidas. Aplicaciones
Unidad Integrales definidas. Aplicaciones PÁGINA 5 SOLUCIONES. Las áreas quedan: A u A u A 5 u. El área del recinto viene dada por : ( ) ( ) Área d,5 u PÁGINA 9 SOLUCIONES. La solución queda: Directo:
2. La fórmula de la derivada de un producto de dos funciones, aplicada a f(x) g(x), permite escribir,
INTRO. MÉTODOS DE INTEGR. ( II ) En este tema se continúa con los métodos de integración iniciados en el capítulo anterior, en el que a partir del concepto de primitiva y de las derivadas de las funciones
Ejercicios Departamental de marzo del 2016
Ejercicios Departamental 06 Ciro Fabián Bermúez Márquez 7 de marzo del 06 El siguiente documento tiene la finalidad de revisar los ejercicios del eamen departamental de cálculo integral que se llevo acabo
Matemáticas CCSS LÍMITES DE FUNCIONES 1. INTRODUCCIÓN BÁSICA: A) LÍMITES SOBRE GRÁFICAS. Ejercicio nº 1.- Ejercicio nº 2.
LÍMITES DE FUNCIONES. INTRODUCCIÓN BÁSICA: A) LÍMITES SOBRE GRÁFICAS Ejercicio nº.- Ejercicio nº.- Página B) LÍMITES APOYÁNDONOS EN LAS GRÁFICAS B.) FUNCIONES POLINÓMICAS De grado : a ) 3 + b ) 3 + c )
1. Algunas primitivas inmediatas (o casi inmediatas).
Cálculo I. o Matemáticas. Curso 00/0. Cálculo de Primitivas. Algunas primitivas inmediatas (o casi inmediatas). (5x 6) = 5 (5x 6) 5 = 5 (5x 6) + C. Nota: Si f(x) = 5x 6 su derivada es 5. En la primera
K = número ; 0 = número muy pequeño ; = número muy grande ; 1 = número próximo a 1
OPERACIONES ÁSICAS TEORÍA DE CÁLCULO DE LÍMITES CCNN K número ; 0 número muy pequeño ; número muy grande ; número próimo a ) ) k ) - k 4) k - - ) - ind. 6) 0k 0 ) 0 ind. 8) k 9) 0) k 0 0 ) 0 0 ind. ) 0
UNIDAD 2.- Polinomios (tema 2 del libro)
UNIDAD.- Polinomios tema del libro). OPERACIONES CON POLINOMIOS n Un monomio en la indeterminada es toda epresión de la forma a donde a se llama coeficiente y n grado del monomio. Dos monomios se dicen
INTEGRAL INDEFINIDA. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN
INTEGRAL INDEFINIDA. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN EJERCICIOS RESUELTOS Calcula una función real f : que cumple las condiciones siguientes: f (0) = 5, f (0) =, f (0) = 0 y f () = + Como f () = +, integremos esta
LÍMITES. REGLA DE L HOPITAL
LÍMITES. REGLA DE L HOPITAL EJERCICIOS RESUELTOS Calcula los valores de k de modo que sean ciertas las siguientes igualdades: k 7 5 k k a) b) 4 7 3 3 a) El límite de una función racional, cuando tiende
1. Para la función f(x) = x sen x, halle su polinomio de Taylor de orden 2 en a = 0. x x3 3!, x x3
Cálculo I (Grado en Ingeniería Informática) Problemas resueltos, - y -4 (tercera parte) Preparado por los profesores de la asignatura: Pablo Fernández, Dragan Vukotić (coordinadores), Luis Guijarro, Kazaros
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2015 MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 05 MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva,
5. Métodos de integración y aplicaciones de la integral denida 5.5 Fracciones parciales. Métodos de Integración. Integración por fracciones parciales
Métodos de Integración Integración por fracciones parciales P x) Consideremos la función racional donde P, Q son polinomios. Si derivamos una función racional Qx) obtenemos una funciòn racional. Si integramos
El polinomio. es divisible por x + 1, y. Comprobar utilizando el valor numérico, que el polinomio calcula con una división otro factor del polinomio.
1 P() 8 El polinomio es el producto de tres factores, siendo dos de ellos los correspondientes a las raíces =1 = - Halla mediante dos divisiones consecutivas por el método de Ruffini el tercer factor Comprobar
sobre un intervalo si para todo de se tiene que. Teorema 1 Sean y dos primitivas de la función en. Entonces,
Integral indefinida Primitiva e integral indefinida. Cálculo de primitivas: métodos de integración. Integración por cambio de variable e integración por partes. Integración de funciones racionales e irracionales.
Unidad 2: Ecuaciones, inecuaciones y sistemas.
Unidad 2: Ecuaciones, inecuaciones y sistemas 1 Unidad 2: Ecuaciones, inecuaciones y sistemas. 1.- Factorización de polinomios. M. C. D y m.c.m de polinomios. Un número a es raíz de un polinomio es 0.
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 5 MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio,
CAPITULO 5. Integral Indefinida. Licda. Elsie Hernández Saborío. Instituto Tecnológico de Costa Rica Escuela de Matemática
CAPITULO 5 Integral Indefinida 1 Licda. Elsie Hernández Saborío Instituto Tecnológico de Costa Rica Escuela de Matemática Revista digital Matemática, educación e internet (www.cidse.itcr.ac.cr) Créditos
Cálculo de límites. Continuidad
Chapter 8 Cálculo de límites. Continuidad 8. Definición Una función f () tiene límite l en a, siparatodasucesióndevalores n a las imágines correspondientes f ( n ) l. Sediceentoncesque f () f (a) a 8.2
DERIVADAS (1) LA DERIVADA DE UNA CONSTANTE es cero. Sol: Sol: Sol: Sol: Derivada de una función potencial: Forma simple
DERIVADAS ( Derivada de una constante K K R F ( 0 LA DERIVADA DE UNA CONSTANTE es cero. nº nº nº nº 4 nº 5 nº 6 Derivada de una función potencial: Forma simple r r R r. r LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN POTENCIAL
EJERCICIOS RESUELTOS DE INTEGRAL DEFINIDA
EJERCICIOS RESUELTOS DE INTEGRAL DEFINIDA. Calcular las siguientes integrales definidas: b) d e d c) + d d) d e) sen d f) + d d ( ) En primer lugar se ha calculado una primitiva de f() Barrow. y después
TEMA 5: INTEGRAL INDEFINIDA.
TEMA : INTEGRAL INDEFINIDA.. Primitivas: propiedades. Integral indefinida.. Integración por partes.. Integración de funciones racionales (denominador con raíces reales simples y múltiples, denominador
Métodos de integración
Integración por partes Métodos de integración De la derivada del producto de dos funciones obtenemos la fórmula de la derivación por partes. (uu. vv) = uu vv + uu vv que se puede escribir dd(uu. vv) =
Cálculo I (Grado en Ingeniería Informática) Problemas adicionales resueltos
Cálculo I (Grado en Ingeniería Informática) - Problemas adicionales resueltos Calcula el ĺımite lím ( n + n + n + ) n Racionalizando el numerador, obtenemos L lím ( n + n + n (n + n + ) (n + ) + ) lím
Cálculo de Primitivas
. Primitivas de una función Sea I un intervalo y f : I IR. Se dice que f tiene tiene una primitiva en I si existe una función G : I IR, continua en I, derivable en el interior de I y verificando que G
INTEGRACIÓN DE RACIONALES. Siendo p(x) y q(x) dos polinomios. Nos podemos encontrar dos casos:
INTEGRACIÓN DE RACIONALES Nos hallamos ante una racional cuando estamos atacando un problema y nos encontramos con un cociente de polinomios que tenemos que integrar. Hemos de resolver: f(x) = p(x) q(x)
1. INTEGRALES DEFINIDAS E IMPROPIAS
. INTEGRALES DEFINIDAS E IMPROPIAS. Hallar el área de la región limitada por la parábola y = y el eje OX. Los cortes de la gráfica de y = con el eje OX son los valores de tales que =, esto es, = y =. El
13 Integral. indefinida. 1. Reglas de integración. Piensa y calcula. Aplica la teoría
Integral indefinida. Reglas de integración Piensa y calcula Calcula: a y =, y' = b y' =, y = c y = cos, y' = d y' = cos, y = a y' = b y = c y' = sen d y = sen Aplica la teoría. 7 Se aplica la integral
Integral indefinida (CCSS)
ntegral indeinida SS achillerato SS ntegral indeinida (SS). Primitiva de una unción Deinición: Sea () una unción deinida en el intervalo (a,b), llamaremos primitiva de la unción () a toda unción real de
EJERCICIOS RESUELTOS DE NÚMEROS REALES
EJERCICIOS RESUELTOS DE NÚMEROS REALES 1. Expresar mediante intervalos los siguientes subconjuntos de R: a) A = x œ R 5-x 4+x < 0 b) B = x œ R x+ d) D = x œ R x -4 x-9 0 e) E = { x œ R x + 4x x - } x-
TEMA 2. Números racionales. Teoría. Matemáticas
1 1.- Números racionales Se llama número racional a todo número que puede representarse como el cociente de dos enteros, con denominador distinto de cero. Se representa por Las fracciones también pueden
Unidad II. Si una función f(x) tiene primitiva, tiene infinitas primitivas, diferenciándose todas ellas en unaconstante.
Unidad II Integral indefinida y métodos de integración. 2.1 Definición de integral indefinida. Integrar es el proceso recíproco del de derivar, es decir, dada una función f(x), busca aquellas funciones
Funciones Hiperbólicas. Who? Verónica Briceño V. When? noviembre 2013
Funciones Hiperbólicas Funciones Hiperbólicas Who? Verónica Briceño V. When? noviembre 2013 En esta Presentación... En esta Presentación veremos: Definición de Funciones Hiperbólicas En esta Presentación...
Integral indefinida. Integral indefinida es el conjunto de las infinitas primitivas que puede tener una función.
Integral indefinida 1. Integración Integrar es el proceso recíproco del de derivar, es decir, dada una función f(x), busca aquellas funciones F(x) que al ser derivadas conducen a f(x). Se dice, entonces,
Unidad Temática Cálculo de primitivas
Unidad Temática 5 5.1 Análisis Matemático (Ingeniería Informática) Departamento de Matemática Aplicada Facultad de Informática Universidad Politécnica de Valencia Contenidos 1 Integración Primitiva Integración
Tema 2: Polinomios, ecuaciones y sistemas de ecuaciones.
Tema 2: Polinomios, ecuaciones y sistemas de ecuaciones. Polinomios Ecuaciones Ecuaciones de primer grado Ecuaciones de segundo grado Ecuaciones polinómicas de grado superior Ecuaciones racionales Ecuaciones
Tema 3 Algebra. Ecuaciones. Sistemas de ecuaciones: Inecuaciones Índice
Tema 3 Algebra. Ecuaciones. Sistemas de ecuaciones: Inecuaciones Índice 1. ECUACIONES... 2 1.1. Ecuaciones de primer grado... 2 1.2. Ecuaciones de segundo grado... 3 1.2.1. Ecuación de segundo grado completa...
Ecuaciones de 2º grado
Ecuaciones de 2º grado Una ecuación de segundo grado es toda expresión de la forma: ax 2 + bx +c = 0 con a 0. Resolución de ecuaciones de segundo grado Para resolver ecuaciones de segundo grado utilizamos
( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )
de Laplace. (secc..) 5 Apéndice DI_UIV Más ejercicios de Solución de una ecuación diferencial lineal con condiciones iniciales por medio de la trasformada de Laplace (Secc..).[] Ejemplo DI. Teniendo encontrar
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2014 MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 0 MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio,
Prácticas para Resolver PROBLEMAS MATEMÁTICOS
Prácticas para Resolver PROBLEMAS MATEMÁTICOS 1 Prólogo El presente manual está dirigido a los estudiantes de las facultades de físico matemáticas de las Escuelas Normales Superiores que estudian la especialidad
Matemáticas B 4º E.S.O. Polinomios y fracciones algebraicas. 1. x 5x 2 6 5
Matemáticas B 4º E.S.O. Polinomios y fracciones algebraicas. 1 POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS.1 COCIENTE DE POLINOMIOS COCIENTE DE MONOMIOS El cociente de un monomio entre otro monomio de grado igual
1. Halla el dominio, el recorrido, las asíntotas y los límites e imágenes que se indican para cada gráfica. y asíntota vertical de:
Identificación gráfica de funciones, límites asíntotas Al observar la gráfica de una función es posible determinar gran cantidad de parámetros características de dicha función aunque no conozcamos su epresión,
ANÁLISIS DE FUNCIONES
ANÁLISIS DE FUNCIONES.- Calcula f() de manera que f () = Ln( + ) y que f(0) = 0. (nota: Ln significa logaritmo neperiano). Universidad de Andalucía Se trata de resolver la integral que hemos de hacerlo
Expresiones algebraicas
Epresiones algebraicas Matemáticas I 1 Epresiones algebraicas Epresiones algebraicas. Monomios y polinomios. Monomios y polinomios. Una epresión algebraica es una combinación de letras, números y signos
GUÍA: INTEGRALES. Página 1 de 27
GUÍA: INTEGRALES Área de EET Página de 7 Derechos Reservados Titular del Derecho: INACAP N de inscripción en el Registro de Propiedad Intelectual #. de fecha - -. INACAP 00. Página de 7 . INTEGRALES. La
2. Calcula cociente y resto en la siguiente división de polinomios: (x 5 32) : (x 1)
. Un polinomio con raíces únicas, 0, 2, 2, 3 es: a) 4 +4 3 + 2 6 b) 4 +6 3 +9 2 42 c) 5 6 4 +9 3 +4 2 2 d) 5 +6 4 +9 3 4 2 2 e) 4 4 3 + 2 +6 2. Calcula cociente y resto en la siguiente división de polinomios:
Cálculo Integral: Guía II
00 Cálculo Integral: Guía II Profr. Luis Alfonso Rondero García INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica /0/00 Integración de Potencias de Funciones Trigonométricas.
ECUACIONES DE 2º GRADO. Se resuelve mediante la siguiente fórmula:
ECUACIONES DE 2º GRADO Una ecuación de segundo grado es toda expresión de la forma: ax 2 + bx +c = 0 con a 0. Se resuelve mediante la siguiente fórmula: ( 1). Si es a
División de polinomios
División de polinomios. Realiza las siguientes divisiones de monomios. 7 6 6 7 7 7. Dados los polinomios P 6, Q 0 y R 6 P P Q R P Q R R 6 calcula. Calcula el cociente y el resto de las siguientes divisiones.
Cuadro de derivadas. Cuadro de Derivadas. y = k La derivada de una cte es igual a cero. Es decir: y = 0
Cuadro de derivadas y = k La derivada de una cte es igual a cero. Es decir: 0 y = x y = + g(x) y = g(x) y = k y = g(x) La derivada de la función identidad es igual a. Es decir: La derivada de una suma
La ecuación de segundo grado.
La ecuación de segundo grado. Sean números reales Se denomina ecuación de segundo grado (o ecuación cuadrática) en la variable a la ecuación cuya forma canónica es Ejemplos. Son ecuaciones cuadráticas:
Herramientas digitales de auto-aprendizaje para Matemáticas
ir Herramientas digitales de auto-aprendizaje para Matemáticas, Grupo de Innovación Didáctica Departamento de Matemáticas Universidad de Extremadura ir ir Índice. Definiciones y propiedades Método de por
Determinación de la trasformada inversa mediante el uso de las fracciones parciales
3.6. Determinación de la trasformada inversa mediante el uso de las fracciones parciales 95 3.6. Determinación de la trasformada inversa mediante el uso de las fracciones parciales Transformadas de Ecuaciones
CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICAS PARA ESTUDIANTES DE ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES
Unidad didáctica. Ecuaciones, inecuaciones y sistemas de ecuaciones e inecuaciones CONCEPTOS ECUACIONES Una ecuación es una igualdad entre dos epresiones en las que aparece una o varias incógnitas. En
MATEMÁTICAS VI. CÁLCULO INTEGRAL UNIDAD II MÉTODOS DE INTEGRACIÓN
MÉTODOS DE INTEGRACIÓN UNIDAD II MÉTODOS DE INTEGRACIÓN No todas las funciones en un integrando se pueden resolver mediante reglas inmediatas de integración, y requieren ser tratadas con técnicas especiales.
COL LECCIÓ DE PROBLEMES RESOLTS
DEPARTAMENT DE MATEMÀTICA ECONOMICOEMPRESARIAL DEPARTAMENT D ECONOMIA FINANCERA UNIVERSITAT DE VALÈNCIA LLICENCIATURA EN ECONOMIA LLICENCIATURA EN ADMINISTRACIÓ I DIRECCIÓ D EMPRESES DIPLOMATURA EN CIÈNCIES
UNIDAD 1. NÚMEROS. (Página 223 del libro) Nivel II. Distancia. Ámbito Científico Tecnológico.
UNIDAD 1. NÚMEROS. (Página 22 del libro) Nivel II. Distancia. Ámbito Científico Tecnológico. Clasificación de los números Números naturales son aquellos que utilizamos para contar. N = 0,1,2,,,5,6, Números
TEMA 3. POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS. Ficha 0
Ficha 0 Un monomio es una expresión algebraica formada por el producto de un número, llamado coeficiente, por una o más variables con exponente natural o cero, llamadas parte literal. El grado es la suma
2. Calcula cociente y resto en la siguiente división de polinomios: (x 5 32) : (x 1)
1. Un polinomio con raíces únicas 1, 0, 2, 2, 3 es: a) x 4 + 4x 3 + x 2 6x b) x 4 + 6x 3 + 9x 2 4x 12 c) x 5 6x 4 + 9x 3 + 4x 2 12x d) x 5 + 6x 4 + 9x 3 4x 2 12x e) x 4 4x 3 + x 2 + 6x 2. Calcula cociente
Polinomios y Fracciones Algebraicas
Polinomios y Fracciones Algebraicas UNIDAD DIDÁCTICA 2 1 o de Bachillerato CCSS Diana Barredo Blanco 1 1 Profesora de Matemáticas 1 o Bachiller (CCSS) 1. POLINOMIOS 1. POLINOMIOS Polinomio: Un polinomio
Técnicas de Integración, preparado por: Gil Sandro Gómez
Tema II. Técnicas de Integración. Integración por partes. La integración por partes surge del producto de una función trascendente y una algebraica, una inversa trigonométrica y una algébrica, una trigonométrica
TEMA 1.- LÍMITES DE FUNCIONES Y CONTINUIDAD.
TEMA 1.- LÍMITES DE FUNCIONES Y CONTINUIDAD. 1.LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO El límite de la función f(x) en el punto x 0, es el valor al que se acercan las imágenes por f de puntos x, cuando los originales
EJERCICIOS. 7.3 Valor de un polinomio para x = a. Por lo tanto: para determinar expresiones
or lo tanto: para determinar epresiones a que sean divisores de un polinomio con coeficientes enteros, se deben asignar valores al número a que dividan al término independiente. Apliquemos este resultado
INTRO. LA INTEGRAL INDEFINIDA
INTRO. LA INTEGRAL INDEFINIDA Se inicia en este tema el estudio de la integral, concepto fundamental de lo que se conoce como cálculo infinitesimal, que alcanzó su auge y desarrollo durante el siglo XVII.
Matemáticas CÁLCULO DE DERIVADAS
Matemáticas Derivada de un cociente de funciones CÁLCULO DE DERIVADAS Considérense, como en los casos precedentes, dos funciones f y g definidas y derivables en un punto x. Además, en este caso, se tiene
OPERACIONES CON MONOMIOS Y POLINOMIOS. Suma de monomios
OPERACIONES CON MONOMIOS Y POLINOMIOS Suma de monomios Sólo podemos sumar monomios semejantes. La suma de los monomios es otro monomio que tiene la misma parte literal y cuyo coeficiente es la suma de
Contenidos de los preliminares
Preliminares del tema Contenidos de los preliminares Propiedades de los logaritmos Un par de primitivas elementales Algunas ideas sobre la función arcotangente Funciones hiperbólicas Descomposición en
EJERCICIOS RESUELTOS DE INECUACIONES
EJERCICIOS RESUELTOS DE INECUACIONES 1. Resolver las inecuaciones: a) 3-8 - 7 b) 6-5 > 1-10 a) Para resolver la inecuación, se pasan los términos con al primer miembro y los independientes al segundo quedando
Escuela Pública Experimental Desconcentrada Nº3 Dr. Carlos Juan Rodríguez Matemática 1º Año Ciclo Básico de Secundaria Teoría Nº 2 Segundo Trimestre
CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS Los números enteros están formados por: los números naturales (o enteros positivos y el cero) y los números negativos. El cero no tiene signo, no es ni positivo ni negativo.
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2010 MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio,
x a que sean divisores de un polinomio con coeficientes enteros, se deben asignar valores al número a que dividan al término independiente.
or lo tanto: para determinar epresiones a que sean divisores de un polinomio con coeficientes enteros, se deben asignar valores al número a que dividan al término independiente. Apliquemos este resultado
LA DERIVADA DE UNA CONSTANTE
DERIVADAS ( Derivada de una constante K K R F ( 0 LA DERIVADA DE UNA CONSTANTE es cero. nº nº nº nº 4 nº 5 nº 6 Derivada de una función potencial: Forma simple r r R r. r LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN POTENCIAL
Funciones: Límites y continuidad.
Límites finitos de sucesiones. Funciones: límites y continuidad Matemáticas I Funciones: Límites y continuidad. + Decimos que una sucesión numérica ( ) n= tiene por límite r R y se escribe =r o de forma
TEMA 3. POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS. Ficha 1. P x
Ficha. Dados los siguientes polinomios, ordenarlos en orden decreciente, indicar cuál es su grado, decir cuántos términos tiene, señalar cuál es el término independiente, calcular su valor numérico para
2. Ecuaciones de primer grado: (sencillas, con paréntesis, con denominadores).
Bloque 3. ECUACIONES Y SISTEMAS (En el libro Temas 4 y 5, páginas 63 y 81) 1. Ecuaciones: Definiciones. Reglas de equivalencia. 2. Ecuaciones de primer grado: (sencillas, con paréntesis, con denominadores).
1. dejar a una lado de la igualdad la expresión que contenga una raíz.
1. Resuelve las siguientes ecuaciones reales: Solución x 1 + x = 0 ; 3 x = 3 ; ln(x 1) + 4 = ln 3 Ecuaciones con raíces: No todas las ecuaciones de este tipo son sencillas de resolver, pero podemos intentar