(Soluc: a) ; b)- ; c)± ; d)± ; e)± ; f) 0; g)± ; h) ; i)± ; x 1. 3 f) x e. lim x 2 x 1. lim x. lim. lim log x. lim. lim. x 1 (x 1)(x 4) lim x 1.

Transcripción

1 + ln 4 + f + 5 EJERCICIOS de LÍMITES DE FUNCIONES y CONTINUIDAD. Calcular los siguientes límites no indeterminados : f) e log 0, + 4 i) Dada la gráfica de la figura, indicar si eiste f() en los siguientes casos: Cuando Cuando Cuando 4 Cuando 5. Representar la función si < 4 si < si = Obtener a continuación analíticamente f() cuando,, 5,, -, y comprobar en la gráfica. 4. Dados los siguientes límites, se pide: i) Calcularlos. ii) En caso de deducirse de ellos la eistencia de A.V., indicar su ecuación. iii) Eplicar gráficamente el comportamiento a ambos lados de la hipotética asíntota: 4 4 ( )( 4) ( )( 5) + f) ( )( ) k) l) m) i) + (Soluc: ; -; ±; ±; ±; f) 0; ±; ; i)±; ±; k)±; l) 0; m)±) b 5. Si la gráfica de una función f() es la de la figura, averiguar f() cuando 0,,, 0, Qué rectas son asíntotas? 0 Es decir, se pueden hacer por sustitución directa, ya que límite e imagen coinciden. Teto bajo licencia Crative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital

2 ALFONSO GONZÁLEZ 6. Dados los siguientes límites, se pide: i) Calcularlos. ii) En caso de deducirse de ellos la eistencia de A.H., indicar su ecuación. iii) Eplicar gráficamente el comportamiento de la función en las proimidades de la hipotética asíntota: + + y - + y y - + y - + y - 7. f() g() Dadas las funciones cuyas gráficas aparecen en las figuras, calcular sus límites cuando 0,,, 4,, - h() Cuáles son las asíntotas en cada gráfica? Calcular los siguientes límites de funciones polinómicas: f) 5 i) k) (Soluc: 7; ; 0; ; ; f) -; ; -; i) 0; ; k) ) Calcular los siguientes límites por sustitución directa y, en algunos casos, operando: + ) ) ) 5 4) 5 5) ) 7) 8) 9) 0) Teto bajo licencia Crative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital

3 + ALFONSO GONZÁLEZ 9 + ) ) 0 ) 4) 0,5 0,5 5) + e 6) ( + e log ) 7) ( ) 8) e 9) e 0) ln ln ) 0+ ) ) + ln 4) + log 5) log + 6) log + 7) + + e 8) ln + 9) log 0) + + ) ln 0+ ) 0 + log + ) 4) 5) ( ) 6) ( ) 7) + 8) 9) + 4 (Soluc: ) ; ) 0; ) 4; 4) 5; 5) 0; 6) ; 7) 0; 8) 0; 9) 0; 0) 5; ) ; ) ; ) 0; 4) 0; 5) ; 6) ; 7) ; 8) 0; 9) ; 0) ; ) -; ) ; ) 0; 4) 0; 5) -; 6) ; 7) ; 8) ; 9) 0; 0) -; ) -; ) -; ) ; 4) 0; 5) -; 6) ; 7) ; 8) -; 9) ) Resolución de indeterminaciones: 0. Calcular los siguientes límites de funciones racionales (nótese que en el º miembro de la igualdad se indica la solución): 8 = 4 + = = 4 + = = 4 + f) = ± a a = a a a + 4 = ± i) = ± / = 0 k) b b b b + 5b b = 0b l) m) n) o) p) q) r) s) + = ± + 5 = a = ± a a + = = = = ± = + NOTA: Cuando señalamos que el resultado de un límite es ±, no estamos indicando que haya dos límites (recordar que el límite, caso de eistir, es único), sino que, a ambos lados de un valor finito, la función diverge a o -. Calcular los siguientes límites infinitos (en algunos casos figura la solución): Teto bajo licencia Crative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital

4 ALFONSO GONZÁLEZ a a f) = a a i) a = a k) b b = 0 b + 5b b l) m) n) o) + p) = + q) + r) s) t) En una empresa se ha comprobado que el número de unidades diarias producidas depende de los días trabajados, de acuerdo con la siguiente función: N(t) 0t = t + 4 (donde t viene epresado en días) Cuántas unidades se producen el primer día? Y el décimo? Representar la función N(t). Qué ocurre si el período de producción se hace muy grande? +. Siendo f() =, g() = y h() =, hallar: + + g() = ± h() 0 [ f() g() ] 0 = ± f) 0 g() = [ f() g() ] = 0 = [ ] f() g() = 0 h() = 4. Hallar una función f() que cumpla a la vez f() = y f() = 4 5. Calcular los siguientes límites, aplicando el procedimiento apropiado en cada caso (en el º miembro de la igualdad se indica la solución): = = + = = + + = f) i) + = = + Teto bajo licencia Crative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital

5 ALFONSO GONZÁLEZ = + 4 k) = + Continuidad: RECORDAR: f() continua en = a f() = f( a Es decir: Una función es continua en un punto si el límite coincide con la imagen en dicho punto. A efectos prácticos, para estudiar si una función es continua en un punto, hay que comprobar: ) que eista imagen ) que eista límite ) y que coincidan 6. Indicar en qué puntos son discontinuas las funciones cuyas gráficas se muestran en los ejercicios gráficos, 5 y 7, razonando el porqué. 7. Estudiar la continuidad de las siguientes funciones. En los dos primeros apartados, y con la información obtenida, esbozar la gráfica: + f() = f() = f() = f() = sen f() = f) f() = 6 i) f()=log (+) f()=ln( -4) k) f()=ln( +4) f() = + 4 f()=tg (Sol: discontinua. en =; discontinua. en = y =; continua R; discontinua. en =n π rad donde n Z; continua en [,); f) continua en (-,-] [, ); continua R; discontinua. en =(n+) π/; i) continua en (-,) ; continua en (-,-)U(, ); k) continua R) 8. Estudiar la continuidad de las siguientes funciones y representarlas gráficamente: + si 0 f() = si < 0 si < 0 f() = si = 0 si > 0 + si (,) f() = si (, ) si f() = 6 si > f() = si (,) + si [, ) + si < f) f() = si < 4 0 si 4 si f()= si < si > si (,) f() = Ln si [, ) i) f() = e si 0 + si > 0 e si < 0 si 5 f() = + + si 0 < Teto bajo licencia Crative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital

6 ALFONSO GONZÁLEZ (Soluc: discontinua en =0; discontinua en =0; discontinua en =; continua R; discontinua en =0 y =; f) discontinua. en = y =4; discontinua en =; continua R; i) discontinua. en =0; discontinua. en =; discontinua en =5) 9. TEORÍA: Se puede calcular el límite de una función en un punto en el que la función no está definida? Puede ser la función continua en ese punto? Razonar la respuesta con ejemplos. Puede tener una función dos asíntotas verticales? En caso afirmativo, poner algún ejemplo. El denominador de una determinada función se anula en =a Presenta necesariamente una asíntota vertical en =a? Poner ejemplos. Puede tener una función más de dos asíntotas horizontales? Por qué? Si f() = 5, podemos afirmar que f() es continua en =? 0. Probar que la función f()= +7 8 no es continua en = (Soluc: no es continua pues / f()). Considerar la siguiente función: f()= Es discontinua en algún punto? Por qué? En = la función no está definida. Ampliar esta función de modo que sea continua R. (Soluc: discontinua en = pues / f(); basta hacer f()=) + ++a. La función f()= no está definida en =. Hallar el valor de a para que sea posible definir el valor de f(), resultando así una función continua. (Soluc: a=-; f()=6). Hallar el valor de k para que la función sea continua R. (Soluc: k=6) 9 si f()= k si = 4. Estudiar la continuidad de la siguiente función: (Soluc: discontinua en =) f + si / 5 / si = / = 5 + Teto bajo licencia Crative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital

7 f f ALFONSO GONZÁLEZ 5. Calcular cuánto debe valer a para que la siguiente función sea continua R: (Soluc: a=0) f + si a = si > 6. Se considera la función = Ln si 0 < < a + b si < Determinar los valores de a y b para que f() sea continua y f()= (Soluc: a= y b=-) 7. Dada la función + si < 0 si = a + b si0 < hallar a y b para que la función sea continua y dibujar la gráfica de la función. (Soluc: a= y b=-) 8. Dada la función + si f() = m + n si < + 0 si > hallar los valores de m y n para que f() sea continua (puede ser útil dibujar la gráfic. (Soluc: m=, n=) 9. Ídem: (Soluc: a=-/, b=-) + si f() = a + si + b si 0. Ídem: (Soluc: a=-, b=) + < ln( si a si f() = 4 si <. Ídem: (Soluc: a=-5, b=54, c=) a + si < f() = c si < 5 0 si 5 b si < Teto bajo licencia Crative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital