4. Sucesiones de números reales

Transcripción

1 4. Sucesioes de úmeros reales Aálisis de Variable Real Ídice 1. Sucesioes y límites. Coceptos básicos Defiició de sucesió Sucesioes covergetes Sucesioes acotadas Sucesioes moótoas Técicas de cálculo de límites Operacioes co sucesioes Desigualdades y límites Subsucesioes Sucesioes de Cauchy Límites ifiitos Sucesioes divergetes La recta ampliada Dos criterios importates Límites superior e iferior. Límites subsecueciales Límites superior e iferior Límites subsecueciales Propiedades de los límites superior e iferior Apédice: Límites de sucesioes y fucioes elemetales Fucioes que comuta co el límite Sucesioes equivaletes

2 1. Sucesioes y límites. Coceptos básicos 1.1. Defiició de sucesió Defiició de sucesió Defiició 4.1. (I) Ua sucesió de elemetos de u cojuto es ua aplicació co domiio N y codomiio dicho cojuto. (II) E particular, ua sucesió de úmeros reales es ua fució real co domiio N, o sea, ua aplicació s: N Ñ R. (III) El valor que ua sucesió s toma e cada P N se suele deotar s e lugar de spq y recibe el ombre de térmio -ésimo de la sucesió Sucesioes covergetes Sucesioes covergetes Defiició 4.2. (I) Ua sucesió ps q es covergete si existe u úmero real l tal que para todo " 0 se puede ecotrar u úmero atural 0 de modo que siempre que 0 se verifique s l ". (II) Se dice etoces que el úmero l es límite de la sucesió ps q, y se escribe l lím Ñ8 s o l lím s. (III) Tambié decimos que ps q coverge al úmero l, y lo deotaremos s Ñ Ñ8 l, s Ñ l, o, secillamete, s Ñ l. Caracterizació del límite Proposició 4.3. Sea l P R. Dada ua sucesió ps q, so equivaletes: (I) ps q es covergete co límite l. (II) Se cumple simultáeamete: Si a l, existe u a P N tal que para todo a es a s,y 2

3 si l b, existe u b P N tal que para todo b es s b. (III) Si a, b so úmeros reales tales que l Ppa, bq, existe u úmero atural 0 P N, tal que para todo 0 es s Ppa, bq. Corolario 4.4. Sea s ua sucesió covergete co límite l y sea c P R. Se tiee: (I) Si existe 0 P N tal que para todo 0 es c s, etoces c l. (II) Si existe 0 P N tal que para todo 0 es s c, etoces l c. Uicidad del límite Corolario 4.5. Sea ps q ua sucesió covergete y sea l y l 1 dos límites de la sucesió ps q. Etoces l l Sucesioes acotadas Qué es ua sucesió acotada? Defiició 4.6. (I) Ua sucesió ps q se dice que está acotada superiormete si existe algú úmero M P R tal que, para todo P N, es s M. (II) Se dice que está acotada iferiormete si existe algú úmero m P R tal que, para todo P N, es m s. (III) Se dice que está acotada si lo está tato superior como iferiormete. (Esto equivale a que exista u úmero K 0 tal que para todo P N es s K.) Sucesioes covergetes y sucesioes acotadas Proposició 4.7. Toda sucesió covergete está acotada Sucesioes moótoas Qué es ua sucesió moótoa? Defiició 4.8. (I) Ua sucesió ps q es creciete si para todo P N se verifica s s `1. (II) Ua sucesió ps q es decreciete si para todo P N se verifica s s `1. 3

4 (III) Ua sucesió ps q es moótoa si es creciete o decreciete. (IV) Ua sucesió ps q es estrictamete creciete si para todo P N se verifica s s `1. (V) Ua sucesió ps q es estrictamete decreciete si para todo P N se verifica s s `1. (VI) Ua sucesió ps q es estrictamete moótoa si es estrictamete creciete o estrictamete decreciete. Sucesioes moótoas y covergecia Teorema 4.9 (de la Covergecia Moótoa, de Weierstrass). (I) Sea ps q ua sucesió creciete. Etoces ps q es covergete si, y solo si, está acotada superiormete, e cuyo caso lím s supt s P N u. (II) Sea ps q ua sucesió decreciete. Etoces ps q es covergete si, y solo si, está acotada iferiormete, e cuyo caso lím s íft s P N u. El úmero e Defiició Llamamos costate de Euler o úmero e al límite e lím 1 ` Técicas de cálculo de límites 2.1. Operacioes co sucesioes Límites de la suma y el producto Proposició Sea ps q, pt q dos sucesioes covergetes co límites l lím s, l 1 lím t, y sea c P R. Etoces (I) ps ` t q es covergete y tiee límite l ` l 1 ; (II) pc s q es covergete y tiee límite c l; (III) ps t q es covergete y tiee límite l l 1. 4

5 Sucesió covergetes a cero por acotadas Proposició Si ps q es ua sucesió acotada y pt q ua sucesió covergete a 0, la sucesió ps t q coverge a 0. Límite del cociete Proposició Sea ps q ua sucesió covergete co límite l y pt q ua sucesió covergete co límite l 1 0. Si pu q es ua sucesió tal que u s t siempre que t 0, etoces pu q es covergete co límite l{l 1. Corolario Sea ps q ua sucesió covergete co límite l y pt q ua sucesió covergete si térmios ulos y co límite l 1 0. Etoces la sucesió s {t es covergete y s lím l t l Desigualdades y límites Relació etre límites y desigualdades Proposició Si ps q y pt q so dos sucesioes covergetes y existe u 0 P N tal que s t, para todo 0, etoces lím s lím t. El Teorema del Bocadillo Teorema 4.16 (del Bocadillo, o de Compresió). Sea ps q, pt q y pu q sucesioes tales que existe u 0 P N tal que s t u para todo 0. Si ps q y pu q so sucesioes covergetes y co el mismo límite l, es decir, lím s lím u l, etoces pt q es tambié covergete y tiee el mismo límite l, es decir, lím t l. 5

6 2.3. Subsucesioes Defiició formal Defiició Dada ua sucesió ps q, se dice que otra sucesió pt q es ua subsucesió de ps q si existe ua sucesió estrictamete creciete de úmeros aturales pi q tal que para todo P N es t s i. Límites de las subsucesioes Proposició Toda subsucesió de ua sucesió covergete es tambié covergete y tiee el mismo límite. Covergecia de térmios pares e impares Proposició Ua sucesió ps q es covergete si, y solo si, la subsucesió de térmios de lugar par ps 2 q y la subsucesió de térmios de lugar impar ps 2 1 q so ambas covergetes y tiee el mismo límite. Se debe observar que este último resultado se puede aplicar de forma más geeral. Por ejemplo, si ua sucesió ps q cumple que las tres subsucesioes ps 3 q, ps 3 1 q y ps 3 2 q coverge al mismo límite l, ua demostració muy similar a la empleada hace u mometo os dice que la sucesió ps q coverge tambié a l. E geeral, si ua sucesió se puede descompoer e uió de ua catidad fiita de subsucesioes que coverge todas al mismo límite l, etoces la sucesió origial tambié debe coverger a l. El Teorema de Bolzao-Weierstrass Teorema 4.20 (de Bolzao-Weierstrass, para sucesioes). Toda sucesió acotada tiee ua subsucesió covergete. El Lema de la Subsucesió Moótoa Lema 4.21 (de la Subsucesió Moótoa). Toda sucesió posee ua subsucesió moótoa Sucesioes de Cauchy Sucesioes de Cauchy Defiició Ua sucesió ps q se dice que es de Cauchy si para todo " 0 existe algú 0 P N (que puede depeder de ") de modo que si m, P N so tales que m, 0, etoces s m s ". 6

7 Sucesioes covergetes y de Cauchy Lema Toda sucesió de Cauchy está acotada. Teorema 4.24 (Criterio de Cauchy). Ua sucesió es covergete si, y solo si, es de Cauchy. e es irracioal Teorema e es irracioal. Sucesioes cotractivas Defiició Se dice que ua sucesió ps q es cotractiva si existe ua costate C, co 0 C 1, tal que s `2 s `1 C s `1 s para todo P N. El úmero C se llama costate de cotracció de ps q. Teorema Toda sucesió cotractiva es de Cauchy, y, e cosecuecia, es covergete. 3. Límites ifiitos 3.1. Sucesioes divergetes Qué es ua sucesió divergete? Defiició (I) Decimos que ua sucesió ps q diverge a 8, y escribimos lím s 8, si para todo M P R existe algú 0 P N tal que si 0 etoces s M. (II) Decimos que ua sucesió ps q diverge a 8, y escribimos lím s 8, si para todo M P R existe algú 0 P N tal que si 0 etoces s M. (III) Ua sucesió divergete es ua sucesió que diverge a 8 oa 8. (IV) Las sucesioes que o so covergetes i divergetes se deomia sucesioes oscilates. 7

8 Sucesioes moótoas o acotadas Proposició (I) Sea ps q ua sucesió creciete. Si o está acotada superiormete, ps q diverge a 8. (II) Sea ps q ua sucesió decreciete. Si o está acotada iferiormete, ps q diverge a 8. Corolario Toda sucesió moótoa tiee límite (fiito si está acotada, ifiito e caso cotrario). Subsucesioes de sucesioes divergetes Proposició (I) Toda subsucesió de ua sucesió divergete a 8 diverge a 8. (II) Toda subsucesió de ua sucesió divergete a 8 diverge a 8. Proposició (I) Ua sucesió posee ua subsucesió divergete a 8 si, y solo si, o está acotada superiormete. (II) Ua sucesió posee ua subsucesió divergete a 8 si, y solo si, o está acotada iferiormete. (III) Ua sucesió posee ua subsucesió divergete si, y solo si, o está acotada. Corolario Toda sucesió cotiee ua subsucesió co límite. Suma co ua sucesió divergete Proposició (I) Si ps q es ua sucesió divergete a 8 y pt q es ua sucesió acotada iferiormete, la sucesió ps ` t q diverge a 8. (II) Si ps q es ua sucesió divergete a 8 y pt q es ua sucesió acotada superiormete, la sucesió ps ` t q diverge a 8. Corolario

9 (I) Si ps q es ua sucesió divergete a 8 y pt q es ua sucesió covergete o divergete a 8, la sucesió ps ` t q diverge a 8. (Esto se expresa simbólicamete diciedo que 8`a 8, si a P R, y que 8`8 8.) (II) Si ps q es ua sucesió divergete a 8 y pt q es ua sucesió covergete o divergete a 8, la sucesió ps ` t q diverge a 8. (Esto se expresa simbólicamete diciedo que 8 ` a 8, si a P R, y que ) Producto por ua sucesió divergete Proposició (I) Si ps q es ua sucesió divergete a 8 y pt q es ua sucesió para la que existe r 0 y 0 P N tales que t r siempre que 0, etoces la sucesió ps t q diverge a 8. (II) Si ps q es ua sucesió divergete a 8 y pt q es ua sucesió para la que existe r 0 y 0 P N tales que t r siempre que 0, etoces la sucesió ps t q diverge a 8. (III) Si ps q es ua sucesió divergete a 8 y pt q es ua sucesió para la que existe r 0 y 0 P N tales que t r siempre que 0, etoces la sucesió ps t q diverge a 8. (IV) Si ps q es ua sucesió divergete a 8 y pt q es ua sucesió para la que existe r 0 y 0 P N tales que t r siempre que 0, etoces la sucesió ps t q diverge a 8. Corolario (I) Si ps q es ua sucesió divergete a 8 y pt q es ua sucesió covergete co límite positivo o divergete a 8, la sucesió ps t q diverge a 8. (Simbólicamete, esto se expresa diciedo que 8 a 8si a 0.) (II) Si ps q es ua sucesió divergete a 8 y pt q es ua sucesió covergete co límite positivo o divergete a 8, la sucesió ps t q diverge a 8. (Simbólicamete, esto se expresa diciedo que 8 a 8si a 0.) (III) Si ps q es ua sucesió divergete a 8 y pt q es ua sucesió covergete co límite egativo o divergete a 8, la sucesió ps t q diverge a 8. (Simbólicamete, esto se expresa diciedo que 8 a 8si a 0.) (IV) Si ps q es ua sucesió divergete a 8 y pt q es ua sucesió covergete co límite egativo o divergete a 8, la sucesió ps t q diverge a 8. (Simbólicamete, esto se expresa diciedo que 8 a 8si a 0.) 9

10 Iversas de sucesioes divergetes Proposició (I) Ua sucesió ps q diverge a 8 si, y solo si, tiee como mucho u úmero fiito de térmios o positivos y su iversa coverge a 0. (Esto se expresa simbólicamete diciedo que 1{8 0` y que 1{0` 8.) (II) Ua sucesió ps q diverge a 8 si, y solo si, tiee como mucho u úmero fiito de térmios o egativos y su iversa coverge a 0. (Esto se expresa simbólicamete diciedo que 1{p 8q 0 y que 1{0 8.) (III) La sucesió de valores absolutos de ua sucesió ps q diverge a 8 si, y solo si, tiee como mucho u úmero fiito de térmios ulos y su iversa coverge a 0. Corolario Ua sucesió ps q si térmios ulos coverge a 0 si, y solo si, la sucesió 1{ s de los valores absolutos de los iversos diverge a 8. El Criterio de Comparació Proposició 4.40 (Criterio de Comparació). Dadas dos sucesioes ps q y pt q para las que existe u 0 P N tal que s t si 0, se verifica: (I) Si ps q diverge a 8, tambié pt q diverge a 8. (II) Si pt q diverge a 8, tambié ps q diverge a La recta ampliada Propiedades algebraicas de la recta ampliada Defiimos R R Yt8, 8u, y añadimos a uestros dieciséis axiomas de los reales las siguietes propiedades: (I) Para todo x P R, se tiee 8 x 8. Si x P R, se tiee 8 x 8. (II) Para todo x P R distito de 8, es 8`x x `8 8. (III) Para todo x P R distito de 8, es p 8q ` x x `p 8q 8. (Queda así si defiir 8`p 8qy p 8q ` 8.) (IV) Para todo x P R, co x 0, es 8 x x 8 8. (V) Para todo x P R, co x 0, es 8 x x

11 (VI) Para todo x P R, co x 0, es p 8q x x p 8q 8. (VII) Para todo x P R, co x 0, es p 8q x x p 8q 8. (Queda por tato si defiir 8 0, 0 8, p 8q 0 y 0 p 8q.) (VIII) Si x, y P R, se defie x y x`p 1qy siempre que la suma tega setido. (Queda así si defiir 8 8y p 8q p 8q.) (IX) (X) Si x, y P R, se defie x{y x p1{yq siempre que el producto tega setido. (Queda si defiir 1 y por tato x cualquiera que sea x P R, así como 8, y 8.) 8 8 (XI) Co la estructura resultate, R suele deomiarse el sistema ampliado o la recta ampliada de los reales. 8, Propiedades algebraicas del límite (e la recta ampliada) Teorema Dada ua sucesió ps q co limites l (fiito o ifiito) y ua sucesió pt q co límite l 1 (fiito o ifiito), se tiee: (I) Si l ` l 1 está defiido e R, ps ` t q tiee límite l ` l 1. (II) Si l l 1 está defiido e R, ps t q tiee límite l l 1. (III) Si l l 1 está defiido e R, ps t q tiee límite l l 1. (IV) Si l{l 1 está defiido e R, ps {t q tiee límite l{l Dos criterios importates El Criterio del Cociete Teorema 4.42 (Criterio del Cociete). Sea ps q ua sucesió de térmios positivos. Supógase que existe l lím ps `1 {s q. Si l 1 la sucesió ps q coverge a 0. Si l 1, la sucesió ps q diverge a 8. 11

12 El Criterio de Stolz Teorema Sea ps q y pt q dos sucesioes tales que pt q es estrictamete moótoa y se da ua de las dos siguietes situacioes: (I) lím s lím t 0, o (II) pt q diverge. Si la sucesió ` s `1 s t `1 t tiee límite l P R, etoces la sucesió s t límite l. tambié tiee Ates de abordar la demostració, probamos u resultado auxiliar. Lema Sea ps q y pt q dos sucesioes tales que pt q es estrictamete moótoa y además existe 0 P N y k, K P R tales que k s `1 s t `1 t K si 0. Etoces k s m s t m t K si m 0. Demostració. Las fraccioes s m s m 1 t m t m 1, s m 1 s m 2 t m 1 t m 2,..., s `2 s `1 t `2 t `1, s `1 s t `1 t está compredidas etre k y K si m 0. Como pt q es estrictamete moótoa, se puede observar que es t i`1 t i t m t 0, si m i. Por tato, teemos m 1 s m s ÿ s i`1 s i t m t t i m t m 1 ÿ K i m 1 ÿ i t i`1 t i t m t K. De la misma forma, se prueba que sm s t m t k s m s t m t K. 12 s i`1 s i t i`1 t i ti`1 t i t m t k. E cosecuecia, teemos

13 4. Límites superior e iferior. Límites subsecueciales 4.1. Límites superior e iferior Límites superior e iferior Defiició Sea ps q ua sucesió. Si ps q está acotada superiormete llamamos límite superior de ps q al úmero (fiito o ifiito) lím sup s lím s dode s supt s k k u. Si ps q o está acotada superiormete, defiimos lím sup s 8. Defiició Sea ps q ua sucesió. Si ps q está acotada iferiormete, llamamos límite iferior de ps q al úmero (fiito o ifiito) lím if s lím s dode s íft s k k u. Si ps q o está acotada iferiormete, defiimos lím if s 8. Límites superior e iferior y límite Proposició (I) ps q es covergete co límite l P R si, y solo si, lím if (II) ps q es divergete a 8 si, y solo si, s lím sup s l. lím if s 8, y e tal caso tambié es lím sup s 8. (III) ps q es divergete a 8 si, y solo si, lím sup s 8, y e tal caso tambié es lím if s 8. Corolario Ua sucesió ps q tiee límite (e R) si, y solo si, lím if s lím sup s. E este caso, el límite es igual al límite superior y al límite iferior. La sucesió ps q es oscilate si, y solo si, lím if s lím sup s. 13

14 4.2. Límites subsecueciales Qué es u límite subsecuecial? Defiició Se dice que u úmero x P R es u límite subsecuecial de ua sucesió ps q si es límite de algua subsucesió de ps q. Proposició Toda sucesió tiee al meos u límite subsecuecial. Límite superior e iferior y límites subsecueciales Teorema (I) El límite superior de ua sucesió es el máximo (e R) de sus límites subsecueciales. (II) El límite iferior de ua sucesió es el míimo (e R) de sus límites subsecueciales Propiedades de los límites superior e iferior Límites superiores o iferiores comparadas co ua costate Proposició Sea ps q ua sucesió. (I) Si lím sup s c, existe u 0 P N tal que s c para todo 0. (II) Si lím sup s c, existe ifiitos para los que s c. (III) Si lím if s c, existe u 0 P N tal que s c para todo 0. (IV) Si lím if s c, existe ifiitos para los que s c. Límites superior e iferior y desigualdad Proposició Sea ps q y pt q dos sucesioes. Si para algú 0 s t si 0, etoces P N es lím if s lím if t y lím sup 14 s lím sup t

15 Límites superior e iferior de la suma Proposició Sea ps q y pt q dos sucesioes. Etoces lím if s ` lím if t lím ifps ` t q lím if s ` lím sup t lím supps ` t q lím sup siempre que las sumas implicadas esté defiidas. s ` lím sup t, Corolario Sea ps q y pt q dos sucesioes y supogamos que pt q tiee límite. Etoces y lím ifps ` t q lím if s ` lím lím supps ` t q lím sup s ` lím t, t siempre que las sumas de los miembros derechos esté defiidas. Ejemplo. lím sup p 1q ` 5 ` 1 Límites superior e iferior de u múltiplo lím supp 1q 5 ` 1 ` lím 1 ` 5 6. Proposició Sea ps q ua sucesió y c u úmero real. Etoces (I) Si c 0, lím if pcs q c lím if s y lím suppcs q clím sup si los productos de la derecha de cada igualdad está defiidos. (II) Si c 0, lím if pcs q c lím sup s y lím suppcs q clím if si los productos de la derecha de cada igualdad está defiidos. 15 s s

16 Límites superior e iferior del producto Proposició Sea ps q y pt q dos sucesioes o egativas. Etoces lím if s lím if t lím ifps t q lím if s lím sup t lím supps t q lím sup siempre que los productos implicados esté defiidos. s lím sup t, Corolario Sea ps q y pt q dos sucesioes o egativas y supogamos que pt q tiee límite. Etoces y lím ifps t q lím if s lím t lím supps t q lím sup s lím t, siempre que los productos de los miembros derechos esté defiidos. Corolario Sea ps q ua sucesió de térmios positivos. Etoces, y lím sup lím if 1 s 1 s 1 lím if s 1 lím sup s (tomado los coveios 1{8 0, 1{0 8). Ua relació etre límites superiores e iferiores Proposició Si ps q es ua sucesió positiva, se tiee lím if s `1 s lím if? s lím sup? s `1 s lím sup. s Ua cosecuecia imediata de la proposició aterior es que si existe el límite s `1 {s, etoces tambié existe el límite de? s y coicide co el aterior. Corolario Sea ps q ua sucesió de térmios positivos. Supogamos que lím ps `1 {s q l P R Yt8u. Etoces tambié es lím? s l. 16

17 Demostració. E efecto, utilizado la cadea de desigualdades vistas e el resultado aterior, l lím if s `1 s lím if? s lím sup E cosecuecia, lím if? s lím sup? s l.? s `1 s lím sup l. s 5. Apédice: Límites de sucesioes y fucioes elemetales 5.1. Fucioes que comuta co el límite El límite de la fució y la fució del límite Si fpxq represeta ua cualquiera de las fucioes e x, log x, se x, cos x, ta x, arc se x, arc cos x, arc ta x, x r, x, se cumple lo siguiete: Si lím s l, etoces lím fps q fplq para cualquier puto l del domiio de la fució y cualquier sucesió ps q coteida e el domiio de la fució. Otros límites Otros límites, que se podrá justificar cuado veamos límites de fucioes, so los siguietes: Si lím s 8etoces lím e s 0. Si lím s 8etoces lím e s 8. Si lím s 0 y s 0 para todo, etoces lím log s 8. Si lím s 8y s 0 para todo, etoces lím log s 8. si lím s 8etoces lím arc ta s 2. Si lím s 8etoces lím arc ta s. 2 # Si lím s 0 y s 0 para todo, etoces lím s r 0, si r 0, 8, si r 0. # Si lím s 8ys 0 para todo, etoces lím s r 8, si r 0, 0, si r 0. 17

18 5.2. Sucesioes equivaletes Qué so sucesioes equivaletes? Defiició Decimos que dos sucesioes ps q y pt q so equivaletes y escribimos s t si se verifica que lím s {t 1. Para qué sirve? Proposició Sea ps q, pt q y pu q tres sucesioes, y supogamos que se tiee s t. Etoces, lím s u lím t u. 18