1. ÁREA BAJO UNA CURVA. INTEGRAL DEFINIDA. PROPIEDADES. Sea f continua en [ ] = K con. : Conjunto finito de puntos P { x x,, x, x }
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- Alicia Rivero Castro
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1 IES P Pov (Gui Mtmátis II UNIDD INTEGRL DEFINID.. ÁRE BJO UN CURV. INTEGRL DEFINID. PROPIEDDES., o (,. S otiu [ (Positiv [ Ptiió [, : Cojuto iito putos P {,,, } < < < K < K o, Diámto l ptiió P : Myo los vlos,, K, Tmos os poimios l á jo l uv, u po to y ot po so: otiu [, otiu [, i i Tom Wistss M i Máimo Eist mi Míimo [ i, i [, i i Á po to : S m ( + m( + K + m ( Á po so : S M ( + M ( + K + M ( Sio: S Sum iio. S Sum supio. S Á( S C ls sums iios Si ñimos más putos l ptiió Más tágulos D ls sums supios Es lo, po tto, qu: S S S+ S lím S lím S st límit s l llm itgl ii t y : ( Itgl ii t y sio y so los límits itgió iio y supio sptivmt. Dptmto Mtmátis Bloqu I: álisis Fuios Poso: Rmó Lot Nvo. Ui : Itgl Dii
2 IES P Pov (Gui Mtmátis II Osv: L itgl ii oii o l á jo l uv. Ás gtivs : Si s gtiv [, ( (. Hio l mismo poso tio s llg : ( Si mi sigo [, : ( + Popis: ( Si < <, ( ( ( + k ( k ( [ ( ± g( ( g( ± Si ( g( [,, ( g( ( (. TEOREMS DE INTEGRCIÓN... TEOREM DEL VLOR MEDIO DEL CÁLCULO INTEGRL (DE L MEDI. Si s otiu [, tos ist [, ( ( ( Itptió gométi: tl qu: Eist [, y ltu ( t [,. moo qu l á l tágulo s, oii o l á jo l uv Dptmto Mtmátis Poso: Rmó Lot Nvo. Bloqu I: álisis Fuios Ui : Itgl Dii
3 IES P Pov (Gui Mtmátis II.. TEOREM FUNDMENTL DEL CÁLCULO., y iimos: Si s otiu [ ( ( t t o [ F, (Fuió á Etos F s ivl [, y F ( (. ( F s u pimitiv Osvió: S pouio u l t l álulo ás y l itgl iii y, osutmt, o l ivió. Ejmplo : Hll l iv F( Soluió: t Como ( t Ejmplo : Hll l iv ( Soluió: S G( t t s otiu ( t t. T. Fumtl l Cálulo F t t. El itgo s u uió otiu F y ( F( ( G o ( T. Fumtl G s ivl y G ( l Cálulo Po tto, F G o s ivl l s omposiió uios ivls y F G o G G ( ( ( ( ( ( ( (.. REGL DE BRROW., y G s u pimitiv tos: Si s otiu [ ( G( G( Tmié s ps: ( [ G( E l siguit puto s v v múltipls pliios l Rgl Bow.. CÁLCULO DE ÁRES... Si (, [ ( Ejmplo: Clul l á po l uv ( s, [, siss. y l j [ os s os ( os + u Dptmto Mtmátis Poso: Rmó Lot Nvo. Bloqu I: álisis Fuios Ui : Itgl Dii
4 IES P Pov (Gui.. Si ( [, Mtmátis II ( Ejmplo: Clul l á po l uv ( s, [, siss. y l j [ os [ os ( os [ s u.. Si tom vlos positivos y gtivos [, ( ( + ( ( O i: ( + ( + ( ( + Muy útil si No ispomos l gái, po SÍ sus putos ot o OX. Ejmplo: Clul l á limit po ( s y l j siss [,. s s [ os [ os [ os + [ os +.. Á limit po l gái os uios o g( ( [,. u [ ( g( Váli iluso si ó g o so simt positivs (V jmplo. Dptmto Mtmátis Poso: Rmó Lot Nvo. Bloqu I: álisis Fuios Ui : Itgl Dii
5 IES P Pov (Gui Mtmátis II Ejmplo : Clul l á limit po ls gáis ( y g (. Putos ot ls gáis y g: g ( ( P (, ( ; P (, 6 Como ( g(, tos: ( u Ejmplo : Clul l á limit po ls gáis ( y g (. Putos ot ls gáis y g: g ( ( P (, ; P (, g tos: Como ( (,.5. Á limit po os uios qu s ot. ( ( u 6 ( ( g( + ( g( ( + ( ( g( + ( g( ( Dptmto Mtmátis Poso: Rmó Lot Nvo. 5 O i: ( ( g( + ( ( g( + ( ( g( + ( ( g( Muy útil si No ispomos ls gáis y g, po SÍ sus putos ot. Ejmplo: Clul l á limit po ls gáis ls uios ( y g (. Putos ot ls gáis y g: g ; ; P, ; P, ; P ( ( ( ( ( (, ( ( g( + ( g( ( ( + ( u Bloqu I: álisis Fuios Ui : Itgl Dii
6 IES P Pov (Gui Mtmátis II. OTRS PLICCIONES DE L INTEGRL DEFINID... VOLUMEN Y ÁRE DE UN CUERPO DE REVOLUCIÓN. El volum y l á ltl u upo voluió go l gi l uv, too l j OX vi os, sptivmt, po: y ( otiu [ V [ ( ( + [ ( Ejmplo: Hll l volum u s io y l á su supii séi. Ciui io : + y V [ ( ( ( u u ( + [ ( + [ Ejmplo: Hll l volum l upo voluió qu s oti l gi too l j OX l o gái ( t y. 5 ( u V Ejiio: Hll l volum y l á ltl l upo voluió qu s oti l gi too l j OX l o gái ( t y. Soluió: V u ; ( 7 7 u 6 E l póimo pto s vá omo s lul l volum st upo po oto poimito... VOLUMEN DE UN CUERPO DE SECCIÓN CONOCID. El volum u upo sió ooi vi o po: V S ( Sio S ( l supii l sió oti l ot l upo po u plo P ppiul l j siss u isti [,. Dptmto Mtmátis Poso: Rmó Lot Nvo. 6 Bloqu I: álisis Fuios Ui : Itgl Dii
7 IES P Pov (Gui Mtmátis II Ejmplo: Oté l ómul l volum u oo io l s y ltu tvés l álulo l á u sió iti. Po smjz tiágulos: S( V S Ejiio: Hll, po sios, l volum l upo voluió qu s oti l gi too l j OX l o gái ( t y. Soluió: V u ; ( u.. LONGITUD DEL RCO DE UN CURV. L logitu l o u uv ( L + u itvlo [ [ ( simp qu tto ( omo ( s otius [ Ejmplo: Hll l logitu l o uv, vi po:.. y l itvlo [, L u 7 l Osvió: Si ( vi po sus uios pmétis (t; y y(t logitu l o l uv ( [, vi po: t L ( t + y ( t t o ( t, ( t. t Ejmplo: Hll l logitu l o uv ii po sus uios pmétis t st, y ost t t y t. t + y t ost + st + os t ost + s t ost ( ( ( ( ( L ( ost t t t s t os ost t u s t t Dptmto Mtmátis Poso: Rmó Lot Nvo. 7 Bloqu I: álisis Fuios Ui : Itgl Dii
8 IES P Pov (Gui Mtmátis II 5. NEXOS. 5.. DEMOSTRCIÓN DEL TEOREM DEL VLOR MEDIO DEL CÁLCULO INTEGRL. Tom m Míimo ([, s otiu [, tl qu m ( M [,. Wistss M Máimo ([, más: m( ( M ( m ( M ( ([, Po tto, po l Tom los vlos itmios (Dou: [, tl qu ( ( ( ( (. 5.. DEMOSTRCIÓN DEL TEOREM FUNDMENTL DEL CÁLCULO INTEGRL. + + ( + F( ( t t ( t t ( t t + ( t t ( t F lím lím + ( t t ( ( / lím lím lím T. Mi / Es i, F s u pimitiv [,. lím ( s otiu [, + ( Si. Tom l Mi t ( ( ( F s ivl y F ( ( [, + tl qu ( t t ( ( / / ( t t ( DEMOSTRCIÓN DE L REGL DE BRROW. Po l Tom Fumtl l Cálulo ( ( t F t s u pimitiv. S G ot pimitiv ulqui G ( F( + K, s i: G( ( t t + K ( ( t t + K + K K K G( G( ( t t + G( G ( ( t t + G( ( t t G( G( G... Dptmto Mtmátis Poso: Rmó Lot Nvo. Bloqu I: álisis Fuios Ui : Itgl Dii
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