Universidad de Antioquia - Depto. de Matematicas

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1 Álgebra Trigonometría (CNM08) Clase 8 Geometría analítica: parábolas, elipses e hipérbolas Índice Departamento de Matemáticas Facultad de Ciencias Eactas Naturales Universidad de Antioquia Copleft c 008. Reproducción permitida bajo los términos de la licencia de documentación libre GNU.. Parábolas 3.. Secciones cónicas Definición Parábolas con vértice V (0, 0) Determinación del foco la directriz de una parábola Determinación de la ecuación de una parábola Parábolas con vértice V (h, k) Parábolas con vértice V (h, k) Trazado de una parábola con eje horizontal Determinación de una parábola dados su vértice directriz Ejemplo de aplicación Elipses 8.. Secciones cónicas Definición Ecuación de la elipse Elipses con centro (0, 0) Ecuación estándar Trazado de una elipse con centro en el origen Trazado de una elipse con centro en el origen Elipses con centro (h, k) Trazado de una elipse con centro (h, k) Ecentricidad Aplicaciones

2 3. Hipérbolas Secciones cónicas Definición Hipérbolas con centro (0, 0) Ecuación estándar Trazado de una hipérbola con centro en el origen Trazado de una hipérbola con centro en el origen Determinación de una hipérbola con condiciones dadas Hipérbola con centro (h, k)

3 . Parábolas.. Secciones cónicas Surgen al intersecar la superficie de un cono con un plano Dependiendo de la posición del plano obtenemos: Círculo Elipse Parábola Hipérbola.. Definición Definición. (Parábola). Una parábola es el conjunto de todos los puntos en un plano que equidistan de un punto fijo F (el foco) una recta fija l (la directriz) que están en el plano. l F(0, p) V P(, ) P (, p) 3 d(p, F) = d(p, P ) ( 0) + ( p) = ( ) + ( + p) + p + p = + p + p = 4p = 4p ó = 4p

4 .3. Parábolas con vértice V (0, 0) = 4p = 4p = p F(0, p) = p F(p,0) = 4p F(p,0) F(0, p).4. Determinación del foco la directriz de una parábola Ejemplo.. Encuentre el foco la directriz de la parábola trace su gráfica. Ecuación: Foco: a = 4p 4p = a p = 4a 8 = = = {z} 8 4 a 8 = 8 = = 4 F(0, ) = p = 4p = p 3 =

5 .5. Determinación de la ecuación de una parábola Ejemplo.. Determine la ecuación de una parábola que tiene vértice en el origen, abre a la izquierda pasa por el punto P( 7, 3). Foco: Ecuación = a 7 = a ( 3) = 9a = a = 7 9 p = 4a = 4 ( 7 9) = Parábolas con vértice V (h, k) ( h) = 4p( k) F(h, k + p) p > 0 V (h, k) = k p P( 7, 3) -5 3 = 9 8 = 0,34857 ( h) = 4p( k) V (h, k) F(h, k + p) p < 0 F = k p

6 .7. Parábolas con vértice V (h, k) ( k) = 4p( h) V (h, k) = h p F(h + p, k) p > 0.8. Trazado de una parábola con eje horizontal Ejemplo.3. Trace la gráfica de Ecuación = 4 + = 4 + = 4 + (?) = 4 + (?) + ` 4 ( h) = 4p( k) = 4 + ` = = ( ) h =, k = 4p = p = /4 V (h, k) = V (, ) F(h, k + p) = F ( ( ), + 4) = F, ( k) = 4p( h) F(h + p, k) p < 0 = h p V (h, k) 3 F =,5

7 .9. Determinación de una parábola dados su vértice directriz Ejemplo.4. Determine la ecuación de la parábola que tiene como vértice a V (3, 5) directriz = =.0. Ejemplo de aplicación V h = 3 k = 5 = h p = 3 p p = ( k) = 4p( h) ( ( 5)) = 4( 3) ( + 5) = 4( 3) Ejemplo.5. El radiotelescopio mostrado en la figura en forma de paraboloide tiene un diametro de 0 metros una profundidad de 0 metros. Éste concentra los haces de las señales que inciden de manera paralela al eje de la parábola en un receptor situado en el foco. Encuentre la distancia desde el centro del disco hasta el receptor. 7 = 4p 60 = 4p = 80p p = = 45 metros

8 . Elipses.. Secciones cónicas Posibilidades: Círculo Elipse Parábola Hipérbola Las elipses se pueden generar..... Definición Definición. (Elipse). Una elipse es el conjunto de todos los puntos en un plano tales que la suma de las distancias a dos puntos fijos llamados focos es una constante positiva F ( c, 0) 8 P(, ) F (c,0)

9 .3. Ecuación de la elipse d(f, P) + d(f, P) = a p ( + c) + ( 0) + p ( c) + ( 0) = a p ( c) + = a p ( + c) + ( c) + = a p ( + c) + c + c + = 4a 4a p ( + c) + + ( + c) + c + c + = 4a 4a p ( + c) c + c + 4a p ( + c) + = 4a + 4c a p ( + c) + = a + c a `( + c) + = `a + c a ` + c + c + = a 4 + a c + c a + a c + a c + a = a 4 + a c + c `a c + a = a 4 a c `a c + a = a `a c a + a c =, dividimos por a `a c.4. Elipses con centro (0, 0) a + b = b (0, b) a a + =, b = a c b V ( a, 0) F ( c, 0) c F (c,0) V (a, 0) ( b, 0) b (b, 0) (0, b) F (0, c) V (0, a) 9 a + b = c V (0, a) a F (0, c)

10 .5. Ecuación estándar Definición. (Elipse). La gráfica de una elipse con centro en el origen está dada por a + b = ó b + a =, a > b > 0 Longitud del eje maor: a Longitud del eje menor: b c = a b Los focos están a una distancia c del origen.6. Trazado de una elipse con centro en el origen Ejemplo.. Trace la gráfica de = 00 halle sus focos. Intersecciones en : = 0 = 4 = 00 = = ±5 Interseciones en : = 0 = 5 = 00 = = ± Ejes: < 3 = eje maor sobre el eje Focos: a = 5 b = = c = a b = 5 4 = = c = 0-5 F F

11 .7. Trazado de una elipse con centro en el origen Ejemplo.. Trace la gráfica de = 36 halle sus focos. Intersecciones en = 0 = 9 = 36 Interseciones en Ejes = = ± = 0 = 4 = 36 = = ±3 < 3 = eje maor sobre el eje Focos a = 3, b = = c = a b = c = 3 = 5 = c = 5.8. Elipses con centro (h, k) (h a, k) F (h c, k) ( h) ( k) a + b = (h, k + b) (h, k) (h + a, k) (h, k b) F (h + c, k) F F ( k) ( h) a + b = (h, k + a) (h b, k) (h + b, k) F (h, k c) (h, k) (h, k a) F (h, k + c)

12 .9. Trazado de una elipse con centro (h, k) Ejemplo.3. Trace la gráfica de = = 0 (6 3) + (9 36) = 9 6( ) + 9( 4) = 9 6( +?) + 9( 4 +?) = 9 6( + ) + 9( 4 + 4) = ( ) + 9( ) = 44 6( ) 44 ( ) +.0. Ecentricidad 9 + 9( ) 44 ( ) 6 = = Definición.3 (Ecentricidad). La ecentricidad e de una elipse está dada por donde a: semieje maor b: semieje menor e = c a = a b a c: distancia del centro de la elipse a cualquiera de los focos (0, b) ( a, 0) F ( c, 0) F (c,0) (a, 0) (0, b) Observaciones 0 e < : F (h, k + c) F (h, k c) 0 c < a 0 c a < 0 e < e 0 = elipse circular e = elipse mu plana

13 .. Aplicaciones Proposición. (Primera le de Kepler). Todos los planetas se desplazan alrededor del Sol describiendo órbitas elípticas con el Sol en uno de sus focos.. Afelio: punto más distante al Sol sobre la traectoria. Perihelio: punto más cercano al Sol sobre la traectoria 3. Distancia media: longitud del semieje maor de la órbita elíptica descrita por el planeta. 3

14 3. Hipérbolas 3.. Secciones cónicas Posibilidades: Círculo Elipse Parábola Hipérbola 3.. Definición Definición 3. (Hipérbola). Una hipérbola es el conjunto de todos los puntos en un plano tales que la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos llamados focos es una constante positiva F ( c,0) P(, ) F (c,0) 4 d(f, P) d(f, P) = a a c a = a b =.

15 3.3. Hipérbolas con centro (0, 0) a b = = b = b a a (0, b) F ( c, 0) F (c, 0) V ( a, 0) V (a, 0) (0, b) = a b ( b, 0) a b = V (0, a) V (0, a) F (0, c) F (0, c) 3.4. Ecuación estándar Proposición 3.. La gráfica de una hipérbola con centro en el origen está dada por Longitud del eje transverso: a a b = ó a b = Longitud del eje conjugado: b c = a + b Los focos están a una distancia c del origen 5 (b, 0) = a b

16 3.5. Trazado de una hipérbola con centro en el origen Ejemplo 3.. Trace la gráfica de 4 9 = 36 halle sus focos. Ecuación estándar: 4 9 = = = a = 9 a = 3 b = 4 b = ( 3, 0) c = a +b = 9+4 = 3 c = = 3 V V ( 3, 0) 3.6. Trazado de una hipérbola con centro en el origen Ejemplo 3.. Trace la gráfica de Ecuación estándar: 4 5 = a = 4 a = b = 5 b = 5 c = a +b = 4+5 = 9 c = = = ( 5, 0) V V = 3 F F ( 5, 0) = 5

17 3.7. Determinación de una hipérbola con condiciones dadas Ejemplo 3.3. Una hipérbola tiene como vértices (±5, 0) pasa por P ( 5 5, 4 ). Determine su ecuación, focos asíntotas. Ecuación estándar: 5 b = P ( 5 5, 4 ) está en la hiperbola: (5 5) (4) 5 b = 5 96 b = 4 = 96 b b = 96 = 49 4 c = a +b = 5+49 = 74 c = Hipérbola con centro (h, k) k = b a ( h) F (h c, k) ( h) ( k) a b = V (h a, k) 7 (h, k + b) (h, k) (h, k b) ( 74, 0) = k = b a ( h) = 7 5 V V ( 74, 0) F (h + c, k) V (h + a, k) 5