MATRICES. Cómo deben ser las matrices rectangulares M y N para que puedan efectuarse las multiplicaciones M.N y N.M?. Razonarlo.

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1 MATRICES. Cómo deben ser las matrices rectangulares M y N para que puedan efectuarse las multiplicaciones M.N y N.M?. Razonarlo. Si el orden de la matriz M es (m,n) y el de la matriz N es (p,q). Para poder multiplicar M:N, el numero de columnas de M debe ser igual al número de filas de N, es decir n = p. De igual forma, para poder multiplicar N M, el numero de columnas de N debe ser igual al de filas de M, es decir q = m Por tanto, para poder multiplicar la M N y la N M a la vez, deberá verificarse que el orden de M sea (m,n) y el orden de N sea (n,m) respectivamente. Dada la matriz A, existe una matriz B, tal que el producto A.B, o bien el B.A, sea una matriz de una sola fila?. Siendo B de dimensiones (p,q) y A de dimensiones (3,4) Si multiplicamos A B será necesario que el nº de filas de B sea igual al nº de columnas de A, es decir que p = 4 Esto nos indica que no existe ninguna matriz B de una sola fila. Si multiplicamos B A será necesario que el nº de columnas de B sea igual al nº de filas de A, es decir que q = 3 y para que el resultado de B A tenga una sola fila, será necesario que la matriz B posea una sola fila, es decir p = En este caso la matriz B tendrá de dimensiones (,3) Si tomamos B = ( 0 0) y multiplicamos B A nos queda:

2 Obtén razonadamente la matriz A n para n > 5. A 4 A 5 = A 3 A = O A = O = A 4 A = O A = O Como consecuencia A n = O A = O

3 Dada una matriz P x, a) existe una matriz Q tal que el producto P Q, o bien el producto Q P sea una matriz de una sola fila?. b) Calcular la matriz M = P 3P I, siendo I la matriz identidad de orden y a) P x Q nxm = B xm Nunca ya que si el resultado tiene una fila, el multiplicando tambien y aquí P tiene filas Q n x m P x = B x m Si, siempre que m = y n = ya que asi, si m =, el nº de columnas de la multiplicando coincidira con el nº de filas de la multiplicadora y con el nº de columnas del resultado. Ademas, si n =, el nº de filas de la multiplicando coincide con el nº de filas del resultado. m a) b) + = + => 3

4 . => rag C = rag A < nº incognitas => sistema compatible indeterminado => y = 3 z x + (3 z) + 3z = 7 x + 6 4z + 3z = 7 x = + z La matriz resultante es

5 Si c = 0 ==> a = ==> a = ± y b = ± Si a + b = 0 ==> a = Con todas estas soluciones, las posibles matrices simétricas de segundo orden, serán de la forma: Estas dos últimas c 5

6 Si a = y b = 0 0 = + 0 No vale Si a = y b = 0 = + No vale Si a = - y b = 0 0 = No vale Si a = - y b = 0 = - + Si vale y la c = b = c = 0 La única matriz valida es

7 Obtén las matrices A y B que verifican el sistema: Se puede comprobar que A B B A 7

8

9 . 9

10 La solución es x = 3, y = y z = 3. (PAU JUNIO 007)

11 Se consideran las matrices

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13 Dada la matriz: a) Determinar el rango de M según los valores del parametro a b) Determinar para que valores de a existe la matriz inversa de M. Calcular dicha matriz inversa de a= +) = 0 ª = 0-3

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15 Planteamiento y resolución de sistemas. El empleo en el sector servicios en el 987 representaba aproximadamente el 53% del empleo total, en el sector industrial el 35% y en el sector agrícola el %. Si el empleo total del año fue de Calcular los empleos del sector. Llamamos x a los empleos del sector servicio. Llamamos y a los empleos del sector industrial. Llamamos z a los empleos del sector agrícola. Llamamos t a los empleos totales En una acería se fabrican tres tipos de productos: acero en láminas, en rollos o aceros especiales. Estos productos requieren chatarra, carbón y aleaciones en las cantidades que se indican en la tabla, por unidad de producto fabricado: A. en laminas A. en rollos A. especiales Chatarra Carbón Aleaciones 3 Si se disponen de 34 unidades de chatarra, 8 de carbón y 9 aleaciones, Cuántas unidades de cada tipo de acero se podrán fabricar con estos materiales? = Por Gauss = 3y () = 5 ; 3y = 6 ; 4x + 3 () + 3 () = 7 ; 4x = 8 ; y = unidades de acero en rollos x = unidades de acero en laminas 5

16 En una granja se venden pollo, pavos y perdices a razón de,,50 y 4 euros/kg, respectivamente. En una semana, los ingresos totales de la granja ascendieron a Si se sabe que la cantidad de pollo vendida es superior en 00kg a la de pavo, y que se vendió de perdiz la mitad que de pavo: a) Plantea un sistema de ecuaciones para averiguar la cantidad vendida de cada tipo de carne. b) Expresa matricialmente el problema. c) Cuántos kilos se vendieron de cada tipo? x pollos y pavos z perdices a /kg a 5 /kg a 4 /kg y = z ; y = 000kg de pavos. x= 00 + y ; x = 00kg de pollos Fulano de Tal quiere hacer una gran fiesta e invitar a sus amigos a unas tortillas, así que va de tienda y compra una docena de huevos, una bolsa de patatas y una botella de aceite. Dado el éxito obtenido, decide repetir la fiesta y vuelve a comprar una docena de huevos y dos botellas de aceite. Cuando llega a casa, se acuerda que no tiene patatas. Vuelve a la tienda para comprar una bolsa de pata-tas y decide comprar también otra docena de huevos. En la primera ocasión gasto 6 euros; en la segunda ocasión gasto 6,5 euros y en la ultima 3,5 euros. Calcular si es posible, el precio de los huevos, las patatas y el aceite. x precio de los huevos ; y precio de las patatas ; z precio del aceite z =,5 => x = 6,5,5 =,5 => y = 3,5 -,5 =

17 Hace tres años la edad del padre era el triple de la de su hijo. Dentro de nueve años la edad del hijo será la mitad de la del padre. Hallar las edades actuales de ambos. Edad actual del padre: x Edad actual del hijo: y Hace tres años ==> x - 3 = 3 (y - 3) Dentro de nueve años ==> y + 9 = (x + 9) / Resolvamos el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas => y = 5 años x = ==> x = ==> x = 4 años Los alumnos de los tres cursos de un centro suman 60. La relación entre los de cuarto de ESO y primero es de 9/8, y la relación de primero y segundo es de 6/5. Cuántos alumnos hay en cada curso?. Cuántos grupos de cada curso hay, en el supuesto de que cada grupo tenga 35 alumnos como máximo?. x serán los alumnos de 4º ESO y serán los alumnos de º z serán los alumnos de º y lo sustituimos en la ª ecuación => ==> 5y = 4680 ==> y = 90 alumnos x = 9 (90 / 8) ==> x = 95 alumno; z = 5 (90 / 6) ==> z = 75 alumnos Para calcular los grupos por curso, dividiremos los alumnos de cada curso por 35 alumnos como máximo. De 4º serán: 95 / 35 =, ==> habrá 3 clases. De º serán: 90 / 35 =, ==> habrá 3 clases. De º serán: 7 / 35 =, ==> habrá 3 clases. 7

18 Mikel sale con un montón de cromos y vuelve a casa sin ninguno. Su madre le pregunta que ha hecho con los cromos, a lo que Mikel responde: A cada amigo que encontré le di la mitad de los cromos que tenía en ese momento mas uno. Su madre le pregunta que con cuantos amigos se ha encontrado, a lo que Mikel contesta que con cinco. Cuántos cromos tenia Mikel al salir de casa? Razona la respuesta. x cromos al salir de casa Al primer amigo le da x/ + = (x + ) / y le queda x (x + ) / = (x ) / Al segundo amigo le da [(x - ) / ] / + = (x ) / 4 + = (x + ) / 4 y le queda (x ) / - (x + ) / 4 = (x 4 x ) / 4 = (x 6) / 4 Al tercer amigo le da [(x 6) / 4] / + = (x 6) / 8 + = (x + ) / 8 y le queda (x 6) / 4 - (x + ) / 8 = (x x ) / 8 = (x 4) / 8 Al cuarto amigo le da [(x 4) / 8] / + = (x 4) / 6 + = (x + ) / 6 y le queda (x 4) / 8 (x + ) / 6 = (x 8 x ) / 6 = (x 30) / 6 Al quinto amigo le da [(x 30) / 6] / + = (x 30) / 3 + = (x + ) / 3 y le queda (x 30) / 6 (x + ) / 3 = (x 60 x ) / 3 = = (x 6) / 3 Como al final no le quedan cromos x 6 = 0 x = 6 cromos

19 Se desea confeccionar una dieta de tres clases de alimentos: A, B, C. El alimento del tipo A tiene 0cal. por cada 00gr., el de tipo B tiene 30cal. por cada 00gr., y el C tiene 40cal. por cada 00gr. Si la dieta consta de 400gr. de alimento por cada día, si ducha dieta esta restringida a 840cal., y si la cantidad de alimento del tipo A ingerido debe ser el doble en peso que la cantidad de alimento C. Hallar las cantidades que debe ingerir de cada uno de los alimentos. A= X B=Y C=Z => => => => X = 400gr. de alimento de tipo A Z= 00gr. de alimento de tipo C Y + 00 = 4000 ; Y = 400gr. de alimento de tipo B 9

20 Se tienen tres tipos de café: el de clase A, que cuesta 980 pts/kg; el de clase B, que cuesta 875 pts/kg, y el de clase C, que cuesta 950 pts/kg. Se desea hacer una mezcla para vender 050 kg a 940 pts/kg. Cuántos kg de cada clase se deben de poner si del tercer tipo debe entrar el doble de los otros dos juntos?. x kg de café A a 980 pts/kg y kg de café B a 875 pts/kg z kg de café C a 950 pts/kg 050 kg de mezcla a 940 pts/kg Resolviendo por Gauss => z = 700 kg de café C - y = ; - y = y = 0 kg de café B x = 050 x = 40 kg de café A

21 Según RENFE, el nº de viajeros que utilizaron el tren en Enero ascendió a 75700, en Febrero descendió en 500 viajeros. Las dos categorías que existen son de ª y ª. Si la relación para el mes de Enero ha sido de un 30% de ª mas en Enero que en Febrero y la ª clase en Enero representa el 60% del total. Cuantos pasajeros de ª y de ª han utilizado el servicio?. Llamamos x a los pasajeros de ª Llamamos y a los pasajeros de ª Llamamos x a los de ª en Enero y x a los de ª en Febrero Llamamos y a los de ª en Enero y y a los de ª en Febrero x + y = y =,3x y = 0,6 ( y ) + 0,6y ==> y = 6540 viajeros =,3 x ==> x = 080 /,3 ==> x = 8483 viajeros y = x = = viajeros x = = 080 viajeros Los pasajeros de ª seran x = x + x = ; x = 95 viajeros. Los pasajeros de ª seran y = y + y = ; y = viajeros.

22 Sumando los años de antigüedad de tres empleados A, B y C, se obtienen 50 años. Además, el doble de las antigüedades de B y de C es igual al triple de la antigüedad de A, y la diferencia xde antigüedad entre B y C es igual al 30 % de la antigüedad de A. Determina los años de antigüedad de cada empleado. x años el A, y años el B, z años el C => => z = 40 / 0 z = y + = 30 y = 8 x = 50 x = 0 0 años de antigüedad el empleado A, 8 años de antigüedad el empleado B y años de antigüedad el empleado C.

23 Tres amigos, Marcos, Luisa y Miguel, son aficionados a la música. Entre los tres poseen un total de CD comprendido entre 6 y unidades. Marcos presta 4 CD a Miguel, Luisa presta CD a Marcos y Miguel presta CD a Luisa, con lo cual los tres amigos tienen al final el mismo número de CD. Cuántos CD pueden tener en total?. Marcos tiene x CD, Luisa tiene y CD y Miguel tiene z CD 6 x + y + z Marcos se queda con x 4 + = x 3 CD Luisa se queda con y + = y + CD Miguel se queda con z + 4 = z + CD Como los tres deben de acabar con el mismo numero de CD x 3 = y + x y = 4 y = x - 4 x 3 = z + x z = 6 z = x 5 Llamando x y 4 z 5 Para que x, y,z sean positivos λ 6 λ = 6 x = 6; y = ; z = x + y + z = 9 no vale λ = 7 x = 7; y = 3; z = x + y + z = no vale λ = 8 x = 8; y = 4; z = 3 x + y + z = 5 no vale λ = 9 x = 9; y = 5; z = 4 x + y + z = 8 si vale λ = 0 x = 0; y = 6; z = 5 x + y + z = si vale λ = x = ; y = 7; z = 6 x + y + z = 4 no vale Las soluciones son dos Marcos 9 CD, Luisa 5 CD y Miguel 4 CD Marcos 0 CD, Luisa 6 CD y Miguel 5 CD 3

24 Un agricultor tiene repartido sus 0 Ha de terreno en barbecho y cultivos de trigo y cebada. La superficie dedicada al trigo ocupa Ha más que la dedicada a la cebada, mientras que en barbecho tiene 6 Ha menos que la superficie total dedicada al cultivo de trigo y de cebada. Cuántas Ha hay dedicadas a cada uno de los cultivos y cuantas están en barbecho? Sea x el nº de Ha de barbecho y el nº de Ha de trigo z el nº de Ha de cebada

25 Un autobús universitario transporta en hora punta 80 viajeros de tres tipos: viajeros que pagan el billete entero, que vale 75 céntimos, viajeros con bono de descuento del 0% y estudiantes con bono de descuento del 40%. Si la recaudación del autobús en ese viaje fue de 39,75 euros, calcula el número de viajeros de cada clase sabiendo que el numero de estudiantes era el triple que el del resto de viajeros. (PAU). x es el nº de viajeros sin descuento. y es el nº de viajeros con el 0% de descuento. z es el nº de viajeros con el 40% de descuento. x y z 80 z 3 x y 75x 0,8 75y 0,6 75z 3975 x y z 80 3x 3y z 0 x 0,8 y 0,6z 53 rg 3 3 0,8 0, f f 3 3 f f 80 rg , 0,4 7 x y z 80 0,y 0,4z 7 4z 40 z = 60-0, y 0,4 60 = - 7-0, y = - 3 y = 3 / 0, y = 5 x = 80 x = 5 5 viajeros sin descuento, 5 viajeros con el 0% de descuento y 60 estudiantes. 5

26 Un número capicúa tiene cinco cifras. La suma de las cifras es 9. La cifra de las centenas es la suma de las cifras de las unidades y las decenas. Si se intercambian las cifras de las unidades y decenas, el número que resulta disminuye en 9. Hallar el número. El numero es xyzyx Al cambiar el numero xyzxy disminuye en 9 unidades 3z = 9 ; z = 3 -y+z = - ; -y+3 = - ; -y = -4 ; y = x+y+z = 9 ; x+4+3 = 9 ; x = ; x = El número es 3 Una compañía de transportes tiene tres camiones diferentes, P, Q y R, en los que caben exactamente un cierto número de contenedores de tres tipos A, B y Si se han de transportar 45 contenedores de tipo A, 44 de tipo B y 58 de tipo C, cuántos viajes ha de hacer cada camión si todos los viajes lo hacen totalmente llenos?. (PAU). x nº de viajes el P ; y nº de viajes el Q ; z nº de viajes el R z = 3 3 viajes realizo el camión R 9y = 85 9y = 76 y = 4 4 viajes realizo el camión Q 5x = 45 5x = 5 x = 5 5 viajes realizo el camión P

27 Una compañía fabrica tres tipos de muebles: sillas, mecedoras y sofás. Para la fabricación de cada uno de estos muebles se necesitaron unidades de madera, plástico y aluminio tal y como se indica en la tabla. Si la compañía tenía en existencia 400 unidades de madera, 600 unidades de plástico y 500 unidades de aluminio, y utilizo todas sus existencias, cuántas sillas, mecedoras y sofás (PAU). x sillas y mecedoras z sofás ==> y = 700 y = 00 ; x = 400 x = 00 Hay 00 sillas, 00 mecedoras y 00 sofás. Una empresa produce un bien, cuya función de oferta es Q o = p y su función de demanda viene dada por Q d = 00-0p. Cuales son el precio y la cantidad en el punto de equilibrio Q o = Q d?. Si Q o = Q d ; p = 00-0p es decir una ecuación con una sola incógnita. 30p + 0p = ==> 50p = 50 ==> p = 3 En el equilibrio Q o = = ==> Q o = 40 pts sera el precio Q d = = ==> Q d = 40 bienes demandados 7

28 Una multinacional de seguros tiene delegaciones en Madrid, Barcelona y Valencia. El número total de ejecutivos de las tres delegaciones asciende a 3. Para que el número de ejecutivos de la delegación de Barcelona fuese igual al de Madrid, tendrían que trasladarse tres de ellos de Madrid a Barcelona. Además, el número de los ejecutivos de Madrid excede en uno a la suma de los destinados en las otras dos ciudades. Cuántos ejecutivos están destinados en cada ciudad? (PAU). x ejecutivos en Madrid y ejecutivos en Barcelona z ejecutivos en Valencia x = 6 ejecutivos en Madrid. 6 y = 6; y = 0 ejecutivos en Barcelona. ; z = 5 ejecutivos en Valencia.

29 Una tienda vende una clase de calcetines a el par. Al llegar las rebajas, realiza durante el primer mes un 30% de descuento sobre el precio inicial y en el segundo mes hace un 40% también sobre el precio inicial. Sabiendo que vende un total de 600 pares de calcetines por 5976 y que durante las rebajas ha vendido la mitad de dicho total, a cuántos pares de calcetines se les ha aplicado el descuento del 40%?. X calcetines a. Y calcetines al 30% de ; 30/00 = 3 6 ; = 8 4. Z calcetines al 40% de ; 40/00 = 4 8 ; 4 8 = 7. ==> Por Gauss ==> Z = 0 pares al 40% Y = = 80 pares al 30% X = ==> X = 300 pares sin rebaja. 9

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31 3 SISTEMAS DE ECUACIONES Dado el sistema ecuaciones, dependiente del parámetro real a: a) Discutir el sistema para los distintos valores de a. b) Resolver el sistema para 3 a, c) resolver el sistema para el valor de a que lo haga compatible indeterminado, por el método de Gauss. (PAU Septiembre 007) a) Llamamos C a la matriz de los coeficientes y A a la matriz ampliada a a a a a a C 0 Si 0 a a C 0 a a 0 a y a Rango (C) = Rango (A) = 3 = nº de incognitas El sistema es compatible determinado. Solución única. Si 0 a z y x y z x rg f 3 f rg f f rg 0 z y z x Sistema incompatible, no existe solución. b) Si 3 a, resolvemos el sistema por el método de Gauss: rg f 3 f rg f 3 f rg x ay z y az x y z

32 El sistema es: z z y z y x z = /3 y = - = 0 y = 0 x + /3 = x = /3 c) Si a, el sistema es: z y z y x

33 Se considera el sistema lineal de ecuaciones, dependiente del parámetro real a: los distintos valores de a. b) Resolver el sistema para a = 4. (PAU Junio 007) a) Estudiamos el rango de la matriz de los coeficientes y la matriz ampliada: 33

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35 PROGRAMACIÓN LINEAL. Con 6 kg de un fármaco se desea elaborar pastillas grandes (40 g cada una) y pequeñas (0 g de cada una) siendo un total de 6000; de manera que el número de pastillas grandes no sea inferior a 30 pero tampoco superior al doble del número de las pequeñas. Si el beneficio que se obtiene en la venta es de 0,5 por pastilla grande, y 0,5 por cada pequeña, Cuántas pastillas hay que vender de cada clase si se busca el máximo beneficio posibles? Planteamos un sistema de inecuaciones con las condiciones del problema: x = pastillas grandes y = pastillas pequeñas Función objetivo es: f (x,y)= 0,5x + 0,5y 40x 0y 6000 x 30 x y simplificamos x y 300 x 30 x y Dibujamos la región factible: y 300 x x 30 x y x 0 y 300 x 50 y 0 x 0 y 0 x 300 y 50 X=30 35

36 Hallamos sus vértices: A y 300 x y x 30 (30, 40) B x y 300 x 300 x x 600 4x 5x 600 x 0 x 0 x y y y 60 (0, 60) x 30 C x y y x 30 y 5 (30, 5) Con la función objetivo: f (x,y)= 0,5x+0,5y el máximo lo alcanzará en alguno de los vértices de la región factible: F(30,40) = 0, = 43,5 F(0,60) = = 39 F(30,5) = 0, = 9,75 Para que el beneficio sea maximo habrá que vender 30 pastillas grandes y 40 pastillas pequeñas, y el beneficio es de 43.5

37 Consideramos el recinto del plano limitado por las siguientes inecuaciones: y x 4 ; y + x 7 ; x y ; x 0 ; y 0 a) Represente el recinto y calcule sus vértices b) Halle en qué puntos de ese recinto alcanza los valores máximo y mínimo la función F(x, y)= 4x + y a) Planteamos las inecuaciones y dibujamos la región factible Dibujamos las rectas Vértices de la región: A, B (, 5), 37

38 C (3,7) D b) Calculamos el valor de la función objetivo en cada uno de los vértices F = 3 F (, 5) = 3 F(3, 7) = 5 F = 5 El máximo se alcanza en cualquier punto del segmento CD y el mínimo en cualquier punto del segmento AB.

39 En un taller se fabrican jerseys de lana de dos tipos. El primer tipo consume, por jersey, 4 madejas de 350 pesetas y madejas de 300 pesetas. El segundo tipo, 3 madejas de 350 pesetas y 3 de 30 pesetas. Los gastos de fabricación son de 650 pesetas para el primer tipo y de 900 pesetas para el segundo, siendo sus precios respectivos de venta 5000 y 6600 pesetas. Sabiendo que a la semana no se pueden fabricar más de 00 jerseys y que por limitaciones de tecnología, por cada jersey del segundo tipo hay que confeccionar por lo menos tres del primero, se pide obtener cual debe ser el número de jerseys de cada tipo, fabricados a la semana, para obtener el máximo beneficio. La función z es la del beneficio, que luego haremos máximo. El beneficio por la venta de jersey de cada tipo será: precio venta (gastos fabricación + nº madejas. precio + nº madejas. precio) er tipo: ( ) = = 350 do tipo: 6600 ( ) = = 690 Si se fabrican x jerseys del er tipo e y jerseys del do tipo Z = 350 x y función objetivo Las restricciones serán: No se pueden fabricar mas de 00 jerseys es decir x + y 00 Por cada jersey del do tipo hay que confeccionar al menos 3 del er tipo es decir 3y x x 0 Por último como el nº de jerseys no puede ser negativo y 0 El problema por tanto será maximizar la función la función Z = 350x + 690y Cumpliendo las restricciones x + y 00 3y x x 0 y 0 x + y 00 ; x + y = 00 x y 0 00 El punto (0,0) 0 00 Es valido

40 3y x ; 3y x = 0 x y 0 0 El punto (00,0) 0 00 Es valido Z = 350 x y ; A (00,0) ; C(0,0) B 3 y = x y + x = 00 y + 3y = 00 4y = 00 y = 5 ; x = 75 B( 75, 5) La región factible es el triangulo ABC incluidos sus lados. Z(A) = = Z(B) = = = Z(C) = 0 B (75,5) es el punto máximo (optimo), luego se fabricaran 75 jerseys del primer tipo y 5 jerseys del segundo tipo.

41 En una encuesta realizada por TV, se detecta que un programa A con 0 minutos de variedades y minuto de publicidad, capta espectadores, mientras que otro programa B con 0 minutos de variedades y minuto de publicidad capta 0000 espectadores. En un determinado periodo de tiempo, TV decide dedicar 80 minutos de variedades y los anunciantes 6 minutos de publicidad. Cuántas veces deberá de aparecer cada programa con objeto de captar el máximo número de espectadores?. Si x es el numero de veces que se emite el programa A. Si y es el numero de veces que se emite el programa B. La funcion objetivo a maximizar sera Z = x y y las restricciones: En variedades 0 x + 0 y 80 x 0 En publicidad x + y 6 y 0 0x + 0y 80 x + y = 8 x y Tomo (0,0) 0 80 si vale x + y 6 x + y = 6 x y Tomo (0,0) 0 6 si vale

42 A(6,0) C(0,8) x + y = 6 B: - x = - x = e y = 4 B(,4) x + y = 8 Evaluemos la funcion objetivo z = x y Z(A) = = Z(B) = = Z(C) = = Para captar el numero de espectadores maximo que seria de 80000, se necesita que aparezca 6 veces el programa A y ninguna el programa B. Sea Z = ½ x + 3y con las restricciones x + 6y 8 ; 8x + 3y 4 ; x 0 ; y 0 Hallar los valores de x e y para que la Z sea maximo. La region factible es la misma que antes C(0,8) B(8,0) A(,8/3) son los vértices que sustituiremos en Z Z(A) = ½ + 3 8/3 = + 8 = 9 Hay puntos con la misma Z, en este caso las so- Z(B) = ½ = 9 luciones seran todos los puntos de la recta x + 6y = 8 Z(C) = ½ = 4

43 Un distribuidor de aceite de oliva compra la materia prima a dos almazaras, A y B. Las almazaras A y B venden el aceite a.000 y euros por tonelada, respectivamente. Cada almazara le vende un mínimo de toneladas y un máximo de 7 y para atender a su demanda, el distribuidor debe comprar en total un mínimo de 6 toneladas. El distribuidor debe comprar como máximo a la almazara A el doble de aceite que a la almazara B. Qué cantidad de aceite debe comprar el distribuidor a cada una de las almazaras para obtener el mínimo coste? Determínese dicho coste mínimo. X Tn de aceite al almacen A Y Tn de aceite al almacen B Z = 000 x y x 7 y 7 x y x y x + y 6 x + y = x y x = y x y 0 0 A (4, ) Z (A) = 4000 B (7, 7/) Z (B) = 4500 C (7, 7) Z (C) = D (, 7) Z (D) = 5000 E (, 4) Z (E) = El coste mínimo es en A, es de Debe comprar 4 Tn a A y Tn a B. 43

44 Un frutero necesita 6 cajas de naranjas, 5 de plátanos y 0 de manzanas. Dos mayoristas que pueden suministrarle, solo le venden la fruta en contenedores completos. El mayorista A envía en cada contenedor 8 cajas de naranjas, de plátanos y de manzanas. El B envía en cada contenedor cajas de manzanas, de plátanos y 7 de manzanas. Sabiendo que el mayorista A se encuentra a 50 Km. de distancia y el B se encuentra a 300 Km., calcula cuantos contenedores habrá que comprar a cada mayorista, con objeto de ahorrar tiempo y dinero, reduciendo al mínimo la distancia de lo solicitado. Si tomamos x contenedores de A e y contenedores de B. La función objetivo a minimizar será la distancia a recorrer: z =50x + 300y Restricciones: Naranjas: 8 cajas x contenedores + cajas y contenedores 6 cajas necesarias. Plátanos: caja x contenedores + caja Y contenedores 5 cajas necesarias. Manzanas: cajas x contenedores + 7 cajas y contenedores 0 cajas necesarias. El problema es: Minimizar la función z = 50x + 300y con las restricciones 8x + y 6 x 0 x + y 5 y 0 x + 7y 0 8x + y 6; Represento 4x + y = 8 x + y 5; Represento x + y = 5 x y x y x + 7y 0; Represento x + 7y = 0 x y 0 0 3

45 La región factible es el plano abierto con los puntos A, B, C, D, E incluidos sus lados. B (0,8) E (0,0) C = x + y = 5 x = 5 - y 8x + y =6 8 (5 - y) + y = 6; 40 8y + y = 6-6y = -4; y = 4 x = 5 4; x = C (,4) D = x + y = 5 x = 5 - y x + 7y = 0 (5 - y) + 7y = 0; 0 - y + 7y = 0; 5y = 0; y = x = 5 ; x = 3 D (3,) Evaluemos la función objetivo z = 50x + 300y Z (B) = = 400 Z (C) = = 350 El mínimo se alcanza en D (3,). Z (D) = = 050 Z (E) = = 500 Por tanto, el frutero compra 3 contenedores al mayorista A y contenedores al mayorista B. 45

46 Una aerolínea quiere optimizar el número de filas de clase preferente y de clase turista en un avión. La longitud útil del avión para instalar las filas de asientos es de 04 m, necesitándose m para instalar una fila de clase preferente y,5 para las de clase turista. La aerolínea precisa instalar al menos 3 filas de clase preferente y que las filas de clase turista sean como mínimo el triple de las de clase preferente. Los beneficios por fila de clase turista son de 5 y de 06 para la clase preferente. Cuántas filas de clase preferente y cuántas de clase turista se deben instalar para obtener el beneficio máximo? Indicar dicho beneficio. (PAU Junio común ). Sean x= Número de filas de clase preferente e y = Número de filas de clase turista. Planteamos el sistema de inecuaciones, dibujamos la región factible y calculamos sus vértices: => 4x + 3y = 08 => y el punto (0,0) => 0 Se dibuja la recta, luego vale la región por debajo de la recta y = 3x => Se dibuja la recta y el punto (0,0) => 0, No vale la región por debajo de la recta, luego valdrá por encima

47 Tomando los valores de Queda como región factible el triangulo de vértices A, B y C de la figura en azul Los vértices de la región factible son: => A(3, 96/3) => B(6, 48) => C(3, 9) La función beneficio es: f(x,y) = 06 x + 5 y Estudiamos cómo se comportan los vértices de la región factible: Z(A) = /3 = 0548,67 Z(B) = = 059 Z(C) = = 986 Para obtener el beneficio máximo se deben instalar: 6 filas de clase preferente y 48 filas de clase turista. El beneficio será de

48 Una empresa farmacéutica fabrica una vitamina en ampollas, que debe contener, al menos, 0 unidades de vitamina p y 4 unidades de vitamina q en cada ampolla. Dichas vitaminas se pueden obtener de dos compuestos A y B. A contiene unidad de vitamina p y 8 unidades de vitamina q por cada gramo y B contiene 6 unidades de la p y 3 de la q, también por cada gramo. Si el producto A cuesta 5 céntimos por gramo y el B cuesta 30 céntimos por gramo, determinar las cantidades de cada producto que se deben de tomar para cada ampolla, a fin de que el coste sea mínimo. Sea x la cantidad tomada de A e y la cantidad tomada de B. La funcion objetivo sera Z = 5 x + 30 y Las restricciones seran: Para la vitamina p x + 6 y 8 al menos Para la vitamina q 8 x + 3 y 4 al menos Ademas x 0 e y 0 como minimo. x + 6 y 8 x + 6y = 8 x y Tomo (0,0) 0 8 no vale x + 3 y 4 8x + 3y = 4 x y Tomo (0,0) 0 4 no vale C(0,8) B(8,0)

49 x + 6y = 8 x + 6y = 8 A: - 5 x = - 30 x = ; + 6y = 8 8x + 3y = 4-6x 6y = y = 6 y = 8 / 3 A (, 8/3) Z(A) = /3 = = 0 centimos Z(B) = = 70 centimos Z(C) = = 40 centimos El coste minimo sera de 0 centimos y para ello tomaremos gramos de producto A y 8/3 gr de producto B 49

50 Una empresa de instalaciones disponible de 95 kg de cobre, 0 kg de titanio y 4 kg de aluminio. Para fabricar 00 metros de cable de tipo A se necesitan 0 kg de cobre, de titanio y de aluminio, mientras que para fabricar 00 metros de cable de tipo B se necesitan 5 kg de cobre, de titanio y de aluminio. El beneficio que se obtiene por 00 metros de cable de tipo A es de 500 euros, y por 00 metros de cable de tipo B, 000 euros. Calcular los metros de cable de cada tipo que hay que fabricar para maximizar el beneficio de la empresa. Obtener dicho beneficio máximo. (PAU modelo 009-0). a) escribimos la función objetivo, las restricciones y dibujamos la región factible Max f(x,y) = 500 x y => ; 0 0; 4 0; 3 Cobre Titanio Aluminio 95=0x+5y 4=x+y 0=x+y 0 0; 0 4; 0 9,5; b) A(0,0) B(0,0) E(0,3) C: D:

51 c) Z(A) = 0 Z(B) = = 5000 Z(C) = = = 7000 Z(D) = = = 5500 Z(E) = = 000 El beneficio máximo es de 7000 por cada 00 metros cuando se usan 600 metros de cable de tipo A ( x = 6 00) y 800 metros de cable de tipo B ( y = 8 00) 5

52 Una papelería quiere liquidar hasta 78kg de papel reciclado y hasta 38 kg de papel normal. Para ello hace dos tipos de lotes, A y B. Los lotes A están formados por kg del papel reciclado y 3 kg de papel normal y los lotes B por kg de papel de cada clase. El precio de venta de cada lote A es de 0,9 euros y el de cada lote B es de euro. Cuántos lotes A y B debe vender para maximizar sus ingresos? A cuánto ascienden estos ingresos máximos? (PAU modelo ) Papel reciclado hasta 78 kg Papel normal hasta 38 kg x lotes de A y lotes de B para maximizar ingresos z = 0,9 x + y x + y = 78 3x + y = 38 x y x y

53 Los vértices son: A (0,0) B (46,0) D (0,39) C C (30,4) z (A) = = 0 z (B) = 0, = 4,4 z(c) = 0, = = 5 4 = = 5 z (D) = 0, = 39 Para que los ingresos sean máximos se deben vender 30 lotes A y 4 lotes B. Los ingresos ascienden a 5. 53

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