Cálculo de fuerzas y pares de fuerza mediante el principio de los desplazamientos virtuales.

Transcripción

1 c Rafal R. Boix y Francisco Mdina 1 Cálculo d furzas y pars d furza mdiant l principio d los dsplazamintos virtuals. Considrmos un conjunto d N conductors cargados con cargas Q i (i = 1,...,N). San V i (i = 1,...,N) los potncials d los conductors, sa C = (C ij )(i, j = 1,...,N) la matriz d coficints d capacidad dl conjunto d conductors y sa P =(p ij )(i, j =1,...,N) la matriz d coficints d potncial (matriz invrsa d C). La nrgía léctrostática dl conjunto d conductors pud calculars n términos d Q i (i =1,...,N) y d V i (i =1,...,N) mdiant las cuacions: U = 1 Q i V i (1) 2 U = 1 2 U = 1 2 Q i p ij Q j (2) j=1 V i C ij V j (3) Aunqu cada conductor stá somtido a la furza léctrica qu jrcn sobr él los dmás conductors, vamos a suponr qu los N conductors stán n quilibrio stabl dbido a qu actúan sobr llos furzas mcánicas qu contrarrstan a las furzas léctricas (rcordmos qu, d acurdo con l torma d Earnshaw, los conductors cargados no pudn star n quilibrio stabl si stán somtidos únicamnt a furzas léctricas). Si rtiramos durant un lapso d timpo infinitsimal la ligadura mcánica qu mantin j=1

2 c Rafal R. Boix y Francisco Mdina 2 sujto a uno d los conductors, dicho conductor xprimntará un dsplazaminto infinitsimal dbido a la furza léctrica qu actúa sobr él, y sa furza léctrica ralizará un trabajo mcánico dw. Al mismo timpo, al producirs l dsplazaminto infinitsimal, la nrgía lctrostática almacnada n l conjunto d conductors xprimntará una variación infinitsimal du. Pus bin, si s obtin una rlación sncilla ntr dw y du, s pud llgar a una xprsión d la furza léctrica sobr l conductor n términos d U. Concrtamnt, sto s posibl n dos casos: cuando los conductors s mantinn aislados durant l dsplazaminto infinitsimal y su carga Q i (i =1,...,N) s mantin constant (d acurdo con l principio d consrvación d la carga), y cuando los conductors stán conctados a gnradors durant l dsplazaminto infinitsimal y su potncial V i (i =1,...,N) s mantin constant. Conductors con carga constant Supongamos qu, mantniéndos constant la carga d los conductors, l conductor qu stá somtido a la furza léctrica F = F x u x +F y u y +F z u z xprimnta un dsplazaminto virtual dr = dxu x + dyu y + dzu z. En s caso, l trabajo infinitsimal dw ralizado por la furza léctrica qu actúa sobr l conductor valdrá: dw = F dr = F x dx + F y dy + F z dz (4) dond dw > 0 ya qu l dsplazaminto s produc n l sntido n qu actúa la furza. Dado qu s ha supusto qu los conductors stán aislados (ya qu su carga s mantin constant), l trabajo mcánico dw qu aparc n (4) s ha ralizado xclusivamnt a xpnsas d un consumo d nrgía lctrostática (téngas n cunta qu al movrs

3 c Rafal R. Boix y Francisco Mdina 3 l conductor, ha variado la posición rlativa d los conductors y han variado los lmntos d las matrics C y P, y d acurdo con la cuación (2), aunqu las cargas Q i (i =1,...,N) s hayan mantnido constants, la nrgía lctrostática almacnada s ha modificado durant l dsplazaminto virtual). Esto quir dcir qu si s ha producido una variación infinitsimal d la nrgía lctrostática du (du < 0 ya qu ha tnido qu habr una disminución d nrgía lctrostática para qu s puda ralizar l trabajo mcánico), por l principio d consrvación d la nrgía s tin qu cumplir qu: dw = du (5) Si sustituimos la cuación (4) n (5) y opramos, s llga a qu: du = F x dx F y dy F z dz (6) y d acurdo con la cuación (6), la furza léctrica sobr l conductor qu s ha dsplazado s pud obtnr n términos d la nrgía lctrostática mdiant la xprsión: F = U x ] Q i =ct u x U y ] Q i =ct u y U z ] u z Q i =ct = U ] Qi =ct (7) Ha d tnrs n cunta qu para podr calcular la furza léctrica mdiant la cuación (7), s prciso conocr xplícitamnt la xprsión d la nrgía lctrostática n términos d los parámtros gométricos x, y y z qu s modifican cuando l conductor s dsplaza. Si n vz d xprimntar l conductor un dsplazaminto virtual, xprimnta una rotación virtual d ángulo dϕ z alrddor dl

4 c Rafal R. Boix y Francisco Mdina 4 j z dbido a un par d furzas d orign léctrico N = N z u z,l trabajo mcánico ralizado durant la rotación virtual valdrá: dw = N z dϕ z (8) y si sustituimos la cuación (8) n (5) y opramos, s llga a qu: du = N z dϕ z (9) con lo cual, l par d furzas d orign léctrico podrá obtnrs n términos d la nrgía lctrostática mdiant la cuación: N = U ] u z (10) ϕ z Q i =ct Conductors con potncial constant Supongamos ahora qu los conductors stán conctados a gnradors qu los mantinn a un potncial constant V i (i = 1,...,N) (tal y como mustra la figura adjunta), y supongamos qu l conductor qu stá somtido a la furza léctrica F = F x u x + F y u y + F z u z xprimnta un dsplazaminto virtual dr = dxu x + dyu y + dzu z. En s caso, l trabajo mcánico infinitsimal dw ralizado por la furza léctrica vndrá dado d nuvo por la cuación (4). Sin mbargo, la situación s distinta a la comntada antriormnt ya qu, al dsplazars l conductor, varían los lmntos d la matriz d coficints d capacidad, y n conscuncia, las cargas d

5 c Rafal R. Boix y Francisco Mdina 5 los conductors Q i (i =1,...,N) también varían, con lo cual los gnradors tinn qu consumir una nrgía. Concrtamnt, si la carga dl conductor i-ésimo (i =1,...,N) pasa d valr Q i a valr Q i + dq i, l gnrador conctado a s conductor s v obligado a trasladar la carga infinitsimal dq i dsd potncial cro a potncial V i, y al trasladar sa carga l gnrador tin qu ralizar un trabajo infinitsimal qu vin dado por: dw gi = dq i (V i 0) = V i dq i (i =1,...,N) (11) con lo cual, l trabajo ralizado por los gnradors conctados a los N conductors (o lo qu s lo mismo, la nrgía consumida por dichos gnradors) vndrá dado por: dw g = dw gi = V i dq i (12) Por otro lado, como durant l dsplazaminto virtual cambian los lmntos d la matriz d capacidad mantniéndos constants los potncials, d acurdo con la cuación (3), la nrgía lctrostática también tndrá qu cambiar. Para obtnr la variación infinitsimal d nrgía lctrostática qu tin lugar al variar las cargas infinitsimalmnt n dq i (i = 1,...,N) mantniéndos constants los potncials V i (i =1,...,N), podmos hacr uso d la cuación (1) como s indica a continuación:

6 c Rafal R. Boix y Francisco Mdina 6 du = = 1 2 ] U dq i = Q i V i =ct Q i 1 2 Q j V j j=1 V j =ct dq i V i dq i = 1 2 dw g (13) D acurdo con la cuación (13), la nrgía lctrostática aumnta durant l dsplazaminto virtual una cantidad infinitsimal igual a la mitad d la nrgía consumida n los gnradors. Eso quir dcir qu la otra mitad d la nrgía consumida n los gnradors s invirt n l trabajo mcánico dw qu s pon n jugo durant l dsplazaminto virtual. D acurdo con l principio d consrvación d la nrgía, podmos afirmar qu: dw g = du + dw (14) y si sustituimos la cuación (13) n la cuación (14), s obtin qu: 2dU = du + dw = du = dw (15) Al introducir la cuación (4) n (15), s llga a qu: du = F x dx + F y dy + F z dz (16) con lo cual, la furza léctrica sobr l conductor qu s ha dsplazado s pud obtnr n términos d la nrgía lctrostática mdiant la xprsión: F = + U ] u x + U ] u y + U ] u z x V i =ct y V i =ct z V i =ct = + U ] Vi =ct (17)

7 c Rafal R. Boix y Francisco Mdina 7 Al igual qu ants, para podr calcular la furza léctrica mdiant la cuación (17), s prciso conocr xplícitamnt la xprsión d la nrgía lctrostática n términos d los parámtros gométricos x, y y z qu s modifican cuando l conductor s dsplaza. En caso d qu l conductor xprimntara una rotación virtual d ángulo dϕ z alrddor dl j z dbido a un par d furzas d orign léctrico N = N z u z, d acurdo con las cuacions (8) y (15), l par d furzas d orign léctrico podría obtnrs n términos d la nrgía lctrostática a potncial constant mdiant la xprsión: N =+ U ] u z (18) ϕ z V i =ct Como n los dsplazamintos virtuals s cumpl simpr qu dw > 0, la cuación (5) nos indica qu n los dsplazamintos virtuals a carga constant la nrgía lctrostática simpr disminuy. En cambio, la cuación (15) nos indica qu n los dsplazamintos virtuals a potncial constant la nrgía lctrostática simpr aumnta. No obstant, hay qu tnr n cunta qu n los dsplazamintos virtuals a potncial constant la nrgía total dl sistma conductors más gnradors disminuy ya qu l consumo d nrgía n los gnradors s l dobl d lo qu aumnta la nrgía lctrostática. Por tanto, podmos concluir dicindo qu tanto si tnmos conductors a carga constant como si tnmos conductors a potncial constant, l trabajo mcánico d orign léctrico ralizado n un dsplazaminto virtual da lugar simpr a una disminución d la nrgía total dl sistma.

8 c Rafal R. Boix y Francisco Mdina 8 Ejmplo Considrmos un condnsador compusto por dos placas conductoras parallas rctangulars d dimnsions w l, qustán sparadas una distancia d. Supongamos qu las placas no stán situadas una sobr la otra sino qu stán dsplazadas latralmnt una con rspcto a la otra una distancia l x (va la figura adjunta). Asimismo, supongamos qu una d las placas stá mantnida a un potncial V mdiant un gnrador, y qu la otra placa stá conctada a tirra (con lo cual, l condnsador constituy un conjunto d dos conductors a potncial constant). Si la sparación ntr las placas d s mantin constant mdiant alguna ligadura mcánica, l campo léctrico d bord jrcrá sobr las cargas positivas y ngativas d las placas una furza horizontal qu intntará qu las placas s muvan hasta qudar compltamnt una ncima d la otra (va la figura). Vamos a calcular sta furza horizontal. La nrgía lctrostática U (x) almacnada n l condnsador s pud scribir como: U (x) =U sb (x)+u cb (19) dond U sb (x) s la nrgía lctrostática almacnada n l campo léctrico xistnt ntr las placas dl condnsador cuando s dsprcian los fctos d bord, y U cb s la nrgía lctrostática almacnada n l campo léctrico d bord dl condnsador. Db

9 c Rafal R. Boix y Francisco Mdina 9 tnrs n cunta qu sta última nrgía va a sr aproximadamnt indpndint d x (longitud d solapaminto ntr placas) a mnos qu l x <<< x. En ausncia d fctos d bord, la nrgía lctrostática almacnada n l condnsador valdrá: U sb (x) = 1 2 C(x)V 2 = ɛ 0wxV 2 (20) 2d dond C(x) = ɛ 0wx d s la capacidad dl condnsador cuando s dsprcian los fctos d bord. Por tanto, d acurdo con las cuacions (19) y (20), U (x) s pud scribir como: U (x) = ɛ 0wxV 2 + U cb (21) 2d Si la placa suprior dl condnsador xprimnta un dsplazaminto virtual horizontal dbido a una furza léctrica F = F x u x d manra qu x (longitud d solapaminto ntr placas) pas a valr x+dx, d acurdo con la cuación (17), F x vndrá dado por: F x =+ U x ] V =ct = ɛ 0wV 2 2d (22) Como F x > 0 y l trabajo mcánico pusto n jugo n l dsplazaminto virtual dw = F x dx > 0, s va a cumplir qu dx > 0, con lo cual la furza léctrica va dirigida n la dircción n la qu aumnta x (sto s, n la dircción n la qu tind a aumntar la longitud d solapaminto ntr placas), tal y como habíamos prvisto. Supongamos ahora qu las dos placas dl condnsador original stán cargadas con cargas +Q y Q y s ncuntran aisladas (conductors a carga constant). En s caso, la nrgía lctrostática U (x) dl condnsador formado por las dos placas s pud scribir

10 c Rafal R. Boix y Francisco Mdina 10 n términos d las cargas d las placas como s indica: U (x) =U sb (x)+u cb = Q2 2C(x) + U cb = Q2 d 2ɛ 0 wx + U cb (23) Y si s produc un dsplazaminto virtual horizontal d la placa suprior dbido a una furza léctrica F = F x u x, como las cargas d las placas s mantinn constants, F x vndrá dada por (va la cuación (7)): F x = U ] x Q=ct = Q2 d 2ɛ 0 wx 2 (24) D nuvo, s cumpl qu F x > 0, lo cual nos indica qu la furza léctrica vulv a star dirigida n l sntido n l qu aumnta l solapaminto ntr las placas. Por tanto, podmos afirmar qu, tanto si las placas dl condnsador stán a carga constant como si stán a potncial constant, la furza léctrica va dirigida n l sntido qu hac aumntar l solapaminto ntr las placas, o lo qu s lo mismo, la capacidad dl condnsador (disminuyndo la nrgía lctrostática n l caso a carga constant y disminuyndo la nrgía dl sistma gnrador+condnsador n l caso a potncial constant).