PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2010 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES

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1 PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 010 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES Junio, Ejercicio 1, Opción A Junio, Ejercicio 1, Opción B Reserva 1, Ejercicio 1, Opción A Reserva 1, Ejercicio 1, Opción B Reserva, Ejercicio 1, Opción A Reserva, Ejercicio 1, Opción B Reserva, Ejercicio 1, Opción A Reserva, Ejercicio 1, Opción B Reserva 4, Ejercicio 1, Opción A Reserva 4, Ejercicio 1, Opción B Septiembre, Ejercicio 1, Opción A Septiembre, Ejercicio 1, Opción B

2 a b Sea la unción deinida como ( ) = para a. a a) Calcula a y b para que la gráica de pase por el punto (,) y tenga una asíntota oblicua con pendiente 4. b) Para el caso de a =, b =, obtén la ecuación de la recta tangente a la gráica de en el punto de abscisa = 1 MATEMÁTICAS II JUNIO. EJERCICIO 1. OPCIÓN A. a) Como pasa por el punto (,) tenemos que 4a b () = = a b=6. a Como tiene una asíntota oblicua con pendiente 4, tenemos que: ( ) a b a a 4 lim =4 lim = = lim = = lim =4 a = 4 a a Sustituyendo en la ecuación anterior, tenemos que: Luego, los valores son: a= 4; b= 10 a b=6 4 b=6 b= 10 b) Si a= ; b=, la unción es: ( ) =. La ecuación de la recta tangente es: y (1) = ' (1) ( 1) (1) = = ( ) ( 1)( ) 8 8 ( ) ( ) 1 '( ) = = '(1) = = 9 Sustituyendo, tenemos que: y (1) = ' (1) ( 1) y 5 = 9( 1) y= 9 4

3 sen e e Calcula lim 0 MATEMÁTICAS II JUNIO. EJERCICIO 1. OPCIÓN B. e e Como lim 0 sen 0 =, le aplicamos la regla de L Hôpital 0 sen sen sen sen e e 0 e cos e 0 e sen e cos e 0 lim = = lim = = lim = =

4 La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 90 cm. Si se hace girar alrededor de uno de sus catetos, el triángulo engendra un cono. Qué medidas han de tener los catetos del triángulo para que el volumen del cono engendrado sea máimo?. (Recuerda que el volumen del cono es 1 V = π r h). MATEMÁTICAS II RESERVA 1. EJERCICIO 1. OPCIÓN A a) Función que queremos que sea máimo: V ma 1 = π r h. b) Relación entre las variables: r h = 8100 r = 8100 h c) Epresamos la unción que queremos que sea máimo con una sola variable Vma = π r h= π(8100 h ) h= π(8100 h h ) d) Derivamos e igualamos a cero V ' = π(8100 h ) = 0 h= = 700 = 0 cm e) Calculamos la segunda derivada para ver que valor corresponde al máimo. 1 1 V '' = π( 6 h) V ''( h= 0 ) = π( 180 ) < 0 Máimo Luego, las dimensiones de los catetos son : h= 0 cm ; r = 0 6 cm

5 Sea la unción deinida como ( ) = para ± 1. 1 a) Estudia y halla las asíntotas a la gráica de. b) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de. c) Esboza la gráica de. MATEMÁTICAS II RESERVA 1. EJERCICIO 1. OPCIÓN B a) Asíntota vertical: = 1 y = 1. Asíntota horizontal: lim = = lim = lim = 1 Asíntota oblicua: y = lim 1 m = = lim = 1 No tiene. 1 n= lim lim lim lim 0 = = = = = b) Calculamos la derivada de la unción e igualamos a cero. 4 ( 1) '( ) = = = 0 = 0 ; = ; = ( 1) ( 1) (, ) (, 1) ( 1,0) (0,1) (1, ) (, ) c) Signo y' Función C D D D D C M =, No eiste Nada No eiste =,

6 Entre todos los triángulos rectángulos de 5 metros de hipotenusa, determina los catetos del de área máima. MATEMÁTICAS II RESERVA. EJERCICIO 1. OPCIÓN A a) Función que queremos que sea máimo: Sma y =. b) Relación entre las variables: y = 5 y = 5 c) Epresamos la unción que queremos que sea máimo con una sola variable. S ma y 5 5 = = = 4 d) Derivamos e igualamos a cero: S' = = = 0 =± 5 Como es una longitud tomamos el valor positivo = 5 e) Calculamos la segunda derivada para ver que valor corresponde al máimo. 4 ( 5 ) (5 ) 5 ( 75) S '' = = 4 5 (5 ) 5 5 (5 75) 5 S'' = 0 Máimo = = < 5 5 (5 ) 5 Luego, las dimensiones de los catetos son: = m ; y = m

7 Sea : (0, ) la unción deinida por ( ) = ln( ), donde ln denota el logaritmo neperiano. a) Determina, si eisten, los puntos de la gráica de en los que la recta tangente a la gráica es paralela a la recta de ecuación y 1 = 0. b) Halla la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la gráica de en el punto de abscisa =. MATEMÁTICAS II RESERVA. EJERCICIO 1. OPCIÓN B a) Calculamos la derivada de la unción: '( ) =. La pendiente de la recta y 1= 0, es: 1 m =. Igualando, nos queda: 1 = = = = = = '( ) ; Como el dominio de la unción es (0, ), sólo vale el punto (,ln18). b) Calculamos () = ln18 y 9 1 '() = =. 18 La recta tangente es: 1 y () = '() ( ) y ln18 = ( ) La recta normal es: 1 y () = ( ) y ln18 = ( ) '()

8 e ( a) si 0 Sea la unción : dada por ( ) = b c. si > 0 1 Calcula las constantes a, b y c sabiendo que es derivable y que la recta tangente a la gráica de en el punto de abscisa = 1 tiene de pendiente. MATEMÁTICAS II RESERVA. EJERCICIO 1. OPCIÓN A. Como la unción es derivable en también tiene que ser continua en. Por lo tanto: lim e ( a) = 0 0 Continua en = 0 : b c lim ( ) lim ( ) c lim = = = c 0 1 Calculamos la unción derivada: e a e a si '( ) = b( 1) b si > 0 ( 1) ( ) ( ) 0 Derivable en = 0 : '(0 ) = a '(0 ) '(0 ) a 0 = = '(0 ) = 0 La recta tangente en = 1 tiene de pendiente : 1(1 1) 1 (1 1) 4 b b b '(1) = = = b= 4

9 Sea : la unción deinida como ( ) = ( 1). Halla las ecuaciones de la recta tangente y de la recta normal a la gráica de en el puno de abscisa = 5 y en el punto de abscisa =. MATEMÁTICAS II RESERVA. EJERCICIO 1. OPCIÓN B. Calculamos la primera derivada de. = 1 '( ) ( 1) ( ) Calculamos '( 5) y '() '( 5) = 5 ( 5 1) = = 1 ( 5) 1 ( ) '() = ( 1) = 1 = 0 Calculamos ( 5) y (). ( 5) = ( 5 1) 5 = 8 () = ( 1) = La recta tangente en = 5 es: La recta normal en = 5 es: 7 y ( 5) = '( 5) ( 5) y 8 = ( 5) 1 y ( 5) = ( 5) y 8 = ( 5) '( 5) 7 La recta tangente en = es: y () = '() ( ) y = 0( ) y = La recta tangente en = es: 1 1 y () = ( ) y = ( ) = '() 0

10 Dada la unción : deinida como ( ) = asen b c d, determina los valores de las constantes a, b, c y d sabiendo que la gráica de tiene tangente horizontal en el punto (0,4) y que la segunda derivada de es ''( ) = sen 10. MATEMÁTICAS II RESERVA 4. EJERCICIO 1. OPCIÓN A. Calculamos la primera y segunda derivada de. '( ) = acos b c ; ''( ) = a sen b Vamos aplicando los datos del problema para calcular las constantes. ''( ) = asen b= sen10 a= ; b= 5 Pasa por (0, 4) (0) = 4 d = 4 Tangente horizontal en (0,4) '(0) = 0 a c= 0 c= a=

11 e si 0 Considera la unción : deinida por ( ) = 1 si 0< < 1. si 1 1 Estudia su continuidad y derivabilidad. Determina la unción derivada de. MATEMÁTICAS II RESERVA 4. EJERCICIO 1. OPCIÓN B. La unción e, es continua y derivable en. La unción 1, es continua y derivable en. La unción es continua y derivable en { } 1 1. Por lo tanto, sólo estudiamos la continuidad y derivabilidad en = 0 y = 1. Estudiamos la continuidad en = 0 : lim e = 1 lim ( ) lim ( ) (0) 1 Continua = = = lim 1 = Estudiamos la continuidad en = 1: = lim ( ) lim ( ) No Continua y no derivable 1 1 lim = 1 1 lim Calculamos la unción derivada: 1 e si < 0 '( ) = si 0< < 1 si > 1 ( 1) Estudiamos la derivabilidad en = 0 : '(0 ) =1 '(0 ) '(0 ) No derivable '(0 ) = 0 Luego, la unción es continua en { 1} y derivable en { 0 y 1}

12 Una hoja de papel tiene que contener 18 cm de teto. Los márgenes superior e inerior han de tener cm cada uno y los laterales 1 cm. Calcula las dimensiones de la hoja para que el gasto de papel sea mínimo. MATEMÁTICAS II SEPTIEMBRE. EJERCICIO 1. OPCIÓN A y 1) Smin = y 10 4 ) 18 = ( ) ( y4) y = ) 4) Smin = y = = S ( ) ' = = = 0 = 1; = 5 Luego, las dimensiones de la hoja de papel son: = 5 cm ; y = 10 cm

13 a b si 0 Considera la unción :0,4 [ ] deinida por ( ) = c si < 4 a) Sabiendo que es derivable en todo el dominio y que veriica (0) = (4), determina los valores de a, b y c. b) Para a =, b= 4 y c = 1 halla los etremos absolutos de (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan). MATEMÁTICAS II SEPTIEMBRE. EJERCICIO 1. OPCIÓN B. a) Como es derivable, la unción es continua, luego: lim ( a b) = 4 a b 4 a b = c a b c = 4 lim ( c) = c a Calculamos la unción derivada: '( ) =. Como es derivable, se cumple: c '( ) = '( ) 4 a= c a c =4 Como además, (0) = (4) b= 4c Resolviendo el sistema ormado por las tres ecuaciones, tenemos: a b c=4 a c=4 a= ; b= 4 ; c= 1 b= 4c b) Los etremos absolutos de una unción se pueden alcanzar en: 1. Los puntos donde la unción no es continua ni derivable.. Los etremos del intervalo.. Las soluciones de '( ) = 0 Vamos a calcular '( ) = 0 = 0 = Luego, los etremos absolutos pueden estar en los puntos = 0; = ; = 4. Vamos a calcularlos. (0) = 4 ; (4) = 4 ; 7 = 4= 4 Por lo tanto, alcanza su máimo absoluto en = 0 y = 4 y vale 4. Su mínimo absoluto lo alcanza en = y vale 7 4.