UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO ESCUELA PROFESIONAL DE ECONOMÍA APUNTES DE CLASE

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1 UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO ESCUELA PROFESIONAL DE ECONOMÍA APUNTES DE CLASE CAPÍTULO 8: ANÁLISIS DE REGRESIÓN MÚLTIPLE: EL PROBLEMA DE LA INFERENCIA ECONOMETRÍA 2 WILHEM ROOSVELT GUARDIA VÁSQUEZ Econometría.weebly.com Wilhem.weebly.com

2 EJERCICIO APLICATIVO La siguiente tabla ofrece datos sobre la mortalidad infantil (MI), la tasa de analfabetismo femenina (TANF), el PBI percápita (PBIPC) y la tasa de la población con acceso sostenible a mejores fuentes de abastecimiento de agua potable y saneamiento para 32 países de América Latina y el Caribe. Mortalidad infantil, tasa de analfabetismo y datos relacionados de 32 países Obs Países MI TANF PBIPC PAS 1 Antillas Neerlandesas Argentina Bahamas Barbados Belice Bolivia Brasil Chile Colombia Costa Rica Cuba Ecuador El Salvador Granada Guatemala Guyana Haití Honduras Jamaica México Nicaragua Panamá Paraguay Perú Puerto Rico República Dominicana San Vicente y las Granadinas Santa Lucía Suriname Trinidad y Tabago Uruguay Venezuela Fuente: CEPAL MI: Tasa de mortalidad infantil por quinquenios ; número de defunciones de niños menores de 1 año de edad por cada mil nacidos vivos TANF: Tasa de analfabetismo femenino de 15 y más años de edad, 2005 PBIPC: PBI percápita en millones de dólares a 2006 PAS: Población con acceso sostenible a mejores fuentes de abastecimiento de agua potable y a mejores servicios de saneamiento, en % a 2006.

3 PREGUNTAS a) A priori, Cuál es la relación esperada entre la mortalidad infantil y cada una de las demás variables? Sustente su respuesta utilizando la matriz de correlación. 4 b) Haga la regresión de la mortalidad infantil sobre la tasa de analfabetismo femenina y el PBI percápita MI = b 1 + b 2 TANF + b 3 PBIPC + e y obtenga los resultados habituales de una regresión. Interprete los resultados. 6 c) Del apartado b) analice si los coeficientes parciales son estadísticamente significativos, individualmente, al 1%, 5% y 10% de significancia. Calcule el intervalo de confianza para los mismos al 99 % de confianza. 7 d) Del apartado b) establezca un intervalo de confianza para σ u 2 al 99 por ciento de confianza. Contraste H 0 : σ u 2 = 100 frente a H a : σ u 2 < 100 al 5 por ciento significancia. 8 e) Del apartado b) calcule la matriz de varianzas-covarianzas de los estimadores. Interprete los resultados. 9 f) Interprete el coeficiente de determinación ajustado. Construya la tabla ANOVA y a partir de ésta contrastar la significatividad conjunta del modelo H 0 : R 2 = 0 frente a H a : R 2 > 0 al 1%, 5% y 10 % de significancia. Interprete los resultados. 9 g) Realizar los siguientes contrastes de hipótesis: H 0 : β 2 = 1; H 0 : β 3 = H 0 : β 2 + β 3 = 0.60 al 1% de significancia (análisis: dos colas). Para cada caso muestre el F estadístico con su respectiva probabilidad. Pista: Utilice el contraste de Wald. 11 h) Haga la regresión de la mortalidad infantil sobre la tasa de analfabetización femenina, el PBI percápita y población con acceso sostenible a mejores fuentes de abastecimiento de agua, es decir, MI = b 1 + b 2 TANF + b 3 PBIPC + b 4 PAS + e y obtenga los resultados habituales. Construya la tabla ANOVA incremental y a partir de ésta decidir si merece la pena añadir la variable PAS al 1%, 5% y 10% de significancia. Cuáles son las consecuencias de añadir la variable PAS?. 23 Página 3

4 Mortalidad Infantil (defunciones de niños menores de 1 año por cada mil nacidos) ECONOMETRÍA 2 RESPUESTAS a) A priori, Cuál es la relación esperada entre la mortalidad infantil y cada una de las demás variables? Sustente su respuesta utilizando la matriz de correlación. La relación entre la Mortalidad Infantil y la tasa de analfabetismo es positiva. Ceteris Paribus, si la tasa de analfabetismo (TANF) se reduce, la mortalidad infantil (MI) también se reduce. El coeficiente de correlación entre MI y TANF es Matriz de correlación entre la variable endógena (MI) y las variables exógenas MI TANF PBIPC PAS MI TANF PBIPC PAS Fuente: elaboración propia en base a los datos de la CEPAL MortaIidad Infantil vs. Tasa de analfabetismo femenino en América Latina y el Caribe. 60 Bolivia Haití 50 Guyana Perú Chile Elaboración propia Fuente: CEPAL Coeficiente de correlación = Tasa de analfabetismo femenino de 15 y más años de edad Página 4

5 MI (defunciones de niños menores de 1 añopor cada mil nacidos vivos) ECONOMETRÍA 2 La relación entre la MI y el PBI percápita es negativa. Ceteris Paribus, si el ingreso por habitante aumenta, la mortalidad infantil se reduce. El coeficiente de correlación de entre MI y PBIPC es Mortalidad Infantil vs PBI percápita en América Latina y el Caribe Haití Bolivia Coeficiente de correlación = Perú Chile Puerto Rico Elaboración propia Fuente: CEPAL PBI percápita (millones de US$) La relación entre la Mortalidad Infantil y la población con acceso sostenible a mejores fuentes de abastecimiento de agua potable (PAS) es negativa. Ceteris Paribus, si la población tiene mejor acceso a los servicios básicos como el agua dentro de la vivienda, tenderá a contraer menos enfermedades y por ende la mortalidad infantil se reducirá. El coeficiente de correlación entre MI y PAS en Página 5

6 Mortalidad infantil (defunciones de niños menores de 1 año por cada 1000 nacidos vivos) ECONOMETRÍA 2 Mortalidad Infantil versus población con m ejores fuentes de abastecim iento de agua en Am érica Latina y el Caribe Haití Bolivia Perú Coeficiente de correlación= Chile Cuba % de Población con acceso a mejores fuentes de abastecimiento de agua Elaboración propia Fuente: CEPAL b) Haga la regresión de la mortalidad infantil sobre la tasa de analfabetismo femenina y el PBI percápita MI = b 1 + b 2 TANF + b 3 PBIPC + e y obtenga los resultados habituales de una regresión. Interprete los resultados. Dependent Variable: MI Method: Least Squares Sample: 1 32 Included observations: 32 Variable Coefficient Std. Error t-statistic Prob. C TANF PBIPC R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic) Página 6

7 MI = *TANF *PBIPC+RESID Interpretación Si la tasa de analfabetismo femenino de 15 y más años de edad se incrementa en 1 por ciento (Ceteris paribus), la tasa de mortalidad infantil aumenta en 0.52 por ciento. Si el PBI percápita aumenta en 1 dólar (ceteris paribus), la tasa de mortalidad infantil disminuye en por ciento. c) Del apartado b) analice si los coeficientes parciales son estadísticamente significativos, individualmente, al 1%, 5% y 10% de significancia. Calcule el intervalo de confianza para los mismos al 99 % de confianza. El punto de corte es significativo al 1%, 5% y 10% de significancia. La pendiente de la tasa de analfabetismo es significativo al 5% y 10% pero no al 1% de significancia. La pendiente del PBI percápita es significativo al 5% y 10% pero no al 1% de significancia. Intervalo de confianza 1 (α = 1%) 99% Región de no rechazo t 29 RA RA Como el valor de la t student t para n-k=32-3=29 grados de libertad, tenemos que los intervalos de confianza al 99% para los parámetros estimados serán: 1 Análisis de dos colas. Scalar z1=@qtdist(0.995,29)= Scalar z2=@qtdist(0.005,29)= Página 7

8 ( ) ( ) ( ) 2 d) Del apartado b) establezca un intervalo de confianza para σ u al 99 por ciento de confianza. Contraste H 0 : σ u 2 = 100 frente a H a : σ u 2 < 100 al 5 por ciento significancia. σ u 2 = SRC n k = = u Prob ( n k) b 2 u 2 u ( n k) 1 a El valor de a y b lo obtendremos de la tabla estadística Se sabe que 2 2 Prob( a b) 1 n k 2 Pr ob ( ) 99% Por lo tanto Prob (32 3) u (32 3) 99% Prob σ u = 99% Es decir, en aplicaciones prácticas, 95 de cada 100 intervalos incluirán el auténtico σ u 2. 2 Análisis de dos colas. Scalar z3=@qchisq(0.995,29)= Scalar z4=@qchisq(0.005,29)= Página 8

9 e) Del apartado b) calcule la matriz de varianzas-covarianzas de los estimadores. Interprete los resultados. b 1 b 2 b 3 b 1 b 2 b E E E-07 La diagonal principal del Var-cov(β j ) es la varianza de los estimadores. Por ejemplo Var(b1)= , var(b2) , var(b3)= Por encima o por debajo de la diagonal principal son las covarianzas de los estimadores. Por ejemplo Cov(b1,b2)= f) Interprete el coeficiente de determinación ajustado. Construya la tabla ANOVA y a partir de ésta contrastar la significatividad conjunta del modelo H 0 : R 2 = 0 frente a H a : R 2 > 0 al 1%, 5% y 10 % de significancia. Interprete los resultados. El valor de R 2 ajustado es , es decir, el42.94% de la variación de la mortalidad infantil está explicada por las variables independientes (Tasa de analfabetismo femenina, PBI percápita). TABLA ANOVA Análisis de la varianza para contrastar la significatividad del conjunto de regresores del modelo (Excluido el término independiente) Fuente de variación Suma al cuadrado Grados de libertad Suma de cuadrados medios F * Explicado por la regresión, Q 1 = TANF, PBIPC 2 = F = Q 1 Q No explicada por la regresión Q 2 = = = Total Página 9

10 H 0 : R 2 = 0 H a : R 2 > 0 F(2,29) 10% 5% 1% Dado que F es mayor que los puntos críticos para cada nivel de significancia, se rechaza la hipótesis nula. TABLA ANOVA EN EVIEWS Página 10

11 Wald Test: Equation: EQ01 Test Statistic Value df Probability F-statistic (2, 29) Chi-square Null Hypothesis Summary: Normalized Restriction (= 0) Value Std. Err. C(2) C(3) Restrictions are linear in coefficients. g) Realizar los siguientes contrastes de hipótesis: H 0 : β 2 = 1; H 0 : β 3 = H 0 : β 2 + β 3 = al 1% de significancia (análisis: dos colas). Para cada caso muestre el F estadístico con su respectiva probabilidad. Pista: Utilice el contraste de Wald. ********************************************************************** Método de la prueba t 3 t = b 2 β 2 se(b 2 ) = = % Región de no rechazo t 29 RA RA El valor del estadístico t pertenece a la región de no rechazo. Por lo tanto, no se debe rechazar la hipótesis nula al 1% de significancia. 3 Para una descripción más detallada de esta prueba véase Damodar Gujarati. Econometría. Cuarta Edición. Págs Página 11

12 Observe: t 2 29 = F 1,29 = ( ) 2 = Método de la prueba F : Mínimos cuadrados restringidos 4 Mínimos cuadrados sin restringir Dependent Variable: MI Method: Least Squares Sample: 1 32 Included observations: 32 MI = b 1 + b 2 TANF + b 3 PBIPC + e Variable Coefficient Std. Error t-statistic Prob. C TANF PBIPC R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic) Mínimos cuadrados restringidos H 0 : β 2 = 1 H a : β 2 1 MI = b 1 + 1TANF + b 3 PBIPC + e MI TANF = b 1 + b 3 PBIPC + e 4 Véase Damodar Gujarati. Econometría. Cuarta Edición. Págs Página 12

13 Dependent Variable: MI-TANF Method: Least Squares Date: 09/12/08 Time: 17:40 Sample: 1 32 Included observations: 32 Variable Coefficient Std. Error t-statistic Prob. C PBIPC R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic) Bajo el supuesto de normalidad y la hipótesis nula y alternativa planteado líneas arriba, F = SRC r SRC c SRC n k = F c, n k Constituirá el estadístico prueba particularizado bajo la hipótesis nula, a comparar con el valor crítico de una distribución F-Snedecor con c y n-k grados de libertad, respectivamente. Nota: SRC r : Suma de residuos al cuadrado restringido SRC: Suma de residuos al cuadrado sin restringir c: denota el número de restricciones (1 en nuestro ejemplo) n: número de observaciones k: número de variables explicativas incluyendo el punto de corte en la regresión no restringida Para nuestro ejemplo, F = = F 1,29 En Eviews elegir la opción View/Coefficient Tests/Wald-Coefficient Restrictions... y escribir c(2)=1. El resultado se presenta en la siguiente ventana. Observe el resultado coincide con los Página 13

14 cálculos anteriores. La hipótesis nula no se debe rechazar al 1% de significancia 5 aunque sí al 5% y 10% de significancia. Wald Test: Equation: EQ01 Test Statistic Value df Probability F-statistic (1, 29) Chi-square Null Hypothesis Summary: Normalized Restriction (= 0) Value Std. Err C(2) Restrictions are linear in coefficients. Método estadístico del Multiplicador de Lagrange (LM) 6 para q restricciones de exclusión. PASOS 1. Haga la regresión de Y sobre el conjunto restringido de variables independientes y conserve los residuos. 2. Haga la regresión de Residuos sobre todas las variables independientes y obtenga la R cuadrada (R 2 u ). 5 Obsérvese el p-value es apenas 1.55%. Dado que este último es menor que 5% y 10% de significancia se debe rechazar la hipótesis nula. 6 Para una descripción más detallada de esta prueba véase Jeffrey M. Wooldridge. Introducción a la Econometría. Págs Página 14

15 2 3. Calcule el ML=nR u (el tamaño de la muestra multiplicado por la R cuadrada obtenida en el paso Compare el ML con el valor crítico apropiado, c, de una distribución χ 2 q. Si ML>c, se rechaza la hipótesis nula. Mejor aun obtenga el valor p como probabilidad de 2 que una variable aleatoria χ q exceda el valor estadístico de la prueba. Si el valor p (p-value) es menor que el nivel de significancia deseado, entonces se rechaza la hipótesis nula. En caso contrario no rechazamos la hipótesis nula. La regla de rechazo es esencialmente la misma que la de la prueba F. En nuestro ejemplo, el modelo original está dada por: MI = b 1 + b 2 TANF + b 3 PBIPC + e (Sin restringir) Bajo la hipótesis nula y alternativa H 0 : β 2 = 1 H a : β 2 1 El modelo restringido estará dada por Ordenando: MI = b 1 + 1TANF + b 3 PBIPC + e MI TANF = b 1 + b 3 PBIPC + e (Modelo restringido 7 ) Y corriendo el modelo, obtenemos: MI-TANF = *PBIPC 7 El número de restricciones es q=1. Página 15

16 Haciendo la regresión de los residuos sobre todas las variables independientes, obtenemos el R cuadrado que se presenta en la siguiente tabla. Dependent Variable: RESID RESTRINGO Method: Least Squares Date: 09/19/08 Time: 12:48 Sample: 1 32 Included observations: 32 Variable Coefficient Std. Error t-statistic Prob. PBIPC TANF C R-squared Mean dependent var 5.07E-16 Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic) A continuación calculamos el estadístico LM ML=nR u 2 ML=32( )= ~ χ 1 2 Prob χ = (NOTA 8 ) Dado que el p-value es menor que 5% y 10% de significancia, se rechaza la hipótesis nula. No obstante no se debe rechazar al 1% de significancia. 8 Para calcular la probabilidad, en la zona de comandos, escribir scalar z1=2*@chisq( ,1) Página 16

17 ************************************************************************** Método de la prueba t H 0 : β 3 = H a : β t = b 3 β 3 se(b 3 ) = ( 0.005) = α = 2 prob t = % Región de no rechazo t 29 RA RA El valor del estadístico t pertenece a la región de rechazo. Por lo tanto, se debe rechazar la hipótesis nula al 1% de significancia. El p-value es casi cero, por lo tanto se rechaza la hipótesis nula al 1%, 5% y 10% de significancia. Método de la prueba F : Mínimos cuadrados restringidos H 0 : β 3 = H a : β Mínimos cuadrados sin restringir MI = b 1 + b 2 TANF + b 3 PBIPC + e Página 17

18 Dependent Variable: MI Method: Least Squares Sample: 1 32 Included observations: 32 Variable Coefficient Std. Error t-statistic Prob. C TANF PBIPC R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic) Mínimos cuadrados restringidos MI = b 1 + b 2 TANF 0.005PBIPC + e MI PBIPC = b 1 + b 2 TANF + e Dependent Variable: MI+0.005*PBIPC Method: Least Squares Date: 09/12/08 Time: 18:13 Sample: 1 32 Included observations: 32 Variable Coefficient Std. Error t-statistic Prob. C TANF R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic) Bajo el supuesto de normalidad y la hipótesis nula y alternativa planteado líneas arriba, F = SRC r SRC c SRC n k = F c, n k Página 18

19 Constituirá el estadístico prueba particularizado bajo la hipótesis nula, a comparar con el valor crítico de una distribución F-Snedecor con c y n-k grados de libertad, respectivamente. Nota: SRC r : Suma de residuos al cuadrado restringido SRC: Suma de residuos al cuadrado sin restringir c: denota el número de restricciones (1 en nuestro ejemplo) n: número de observaciones k: número de variables explicativas incluyendo el punto de corte en la regresión no restringida Para nuestro ejemplo, F = = F 1,29 En Eviews, elegir la opción View/Coefficient Tests/Wald-Coefficient Restrictions... y escribir c(3)= El resultado se presenta en la siguiente ventana. Observe el resultado coincide con los cálculos anteriores. La hipótesis nula se debe rechazar al 1%, 5% y 10% de significancia Wald Test: Equation: EQ01 Test Statistic Value df Probability F-statistic (1, 29) Chi-square Null Hypothesis Summary: Normalized Restriction (= 0) Value Std. Err C(3) Restrictions are linear in coefficients. ************************************************************************ Método de la prueba t H 0 : β 2 + β 3 = 0.60 H a : β 2 + β Página 19

20 t = b 2 + b 3 β 2 + β 3 se b 2 + b 3 t = b 2 + b var(b 2 ) + var(b 3 ) + 2cov(b 2 b 3 ) Matriz de varianzas-covarianzas b 1 b 2 b 3 b 1 b 2 b E E E-07 t = = ~t 29 Obsérvese t 2 29 = ( ) 2 = ~F(1,29) 99% Región de no rechazo t 29 RA RA Dado que el estadístico t pertenece a la región de no rechazo, se acepta la hipótesis nula. Método de la prueba F : Mínimos cuadrados restringidos H 0 : β 2 + β 3 = 0.60 β 2 = 0.60 β 3 MI = β 1 + β 2 TANF + β 3 PBIPC + e MI = β 1 + (0.60 β 3) TANF + β 3 PBIPC + e MI = β TANF β 3 TANF + β 3 PBIPC + e MI = β TANF + β 3 (PBIPC TANF) + e Página 20

21 Mínimos cuadrados restringidos MI 0.60TANF = β 1 + β 3 (PBIPC TANF) + e Dependent Variable: MI-0.60*TANF Method: Least Squares Date: 09/12/08 Time: 19:14 Sample: 1 32 Included observations: 32 Variable Coefficient Std. Error t-statistic Prob. C PBIPC-TANF R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic) Dependent Variable: MI Method: Least Squares Sample: 1 32 Included observations: 32 Mínimos cuadrados sin restringir MI = b 1 + b 2 TANF + b 3 PBIPC + e Variable Coefficient Std. Error t-statistic Prob. C TANF PBIPC R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic) Bajo el supuesto de normalidad y la hipótesis nula y alternativa planteado líneas arriba, F = SRC r SRC c SRC n k = F c, n k Página 21

22 Constituirá el estadístico prueba particularizado bajo la hipótesis nula, a comparar con el valor crítico de una distribución F-Snedecor con c y n-k grados de libertad, respectivamente. Nota: SRC r : Suma de residuos al cuadrado restringido SRC: Suma de residuos al cuadrado sin restringir c: denota el número de restricciones (1 en nuestro ejemplo) n: número de observaciones k: número de variables explicativas incluyendo el punto de corte en la regresión no restringida Para nuestro ejemplo, F = = F 1,29 En Eviews elegir la opción View/Coefficient Tests/Wald-Coefficient Restrictions... y escribir c(2)+c(3)=0.60. El resultado se presenta en la siguiente ventana. Observe el resultado coincide con los cálculos anteriores. La hipótesis nula no se debe rechazar dado que el p-value es mayor que el 1% de significancia. Página 22

23 Wald Test: Equation: EQ01 Test Statistic Value df Probability F-statistic (1, 29) Chi-square Null Hypothesis Summary: Normalized Restriction (= 0) Value Std. Err C(2) + C(3) Restrictions are linear in coefficients. h) Haga la regresión de la mortalidad infantil sobre la tasa de analfabetización femenina, el PBI percápita y población con acceso sostenible a mejores fuentes de abastecimiento de agua, es decir, MI = b 1 + b 2 TANF + b 3 PBIPC + b 4 PAS + e y obtenga los resultados habituales. Construya la tabla ANOVA incremental y a partir de ésta decidir si merece la pena añadir la variable PAS al 1%, 5% y 10% de significancia. Cuáles son las consecuencias de añadir la variable PAS?. Dependent Variable: MI Method: Least Squares Sample: 1 32 Included observations: 32 MODELO SIN LA VARIABLE PAS Variable Coefficient Std. Error t-statistic Prob. C TANF PBIPC R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic) MI = *TANF *PBIPC+RESID Página 23

24 MODELO CON LA VARIABLE PAS Dependent Variable: MI Method: Least Squares Sample: 1 32 Included observations: 32 Variable Coefficient Std. Error t-statistic Prob. C TANF PBIPC PAS R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic) MI = *TANF *PBIPC *PAS ANÁLISIS MARGINAL DE UNA VARIABLES: PAS H 0 : β 4 = 0 H a : β 4 0 TABLA ANOVA INCREMENTAL Fuente de variación Explicada por la regresión TANF & PBIPC Explicada por la regresión TANF & PBIPC & PAS Suma al cuadrado Grados de libertad 2 R m 1 = R k 1 = Incremento debido a PAS R k 1 R m 1 = Q 3 = = No explicada por la regresión 1 R k 1 = Q 4 = = TOTAL SCM F* F = = Prob(F*)= Dado que el p-value es mayor que α = 1%, 5%y10%, no se rechaza la Hipótesis nula. Por lo tanto la variable PAS es irrelevante en el modelo. Obsérvese además t 2 25 = ( ) 2 = = F(1,28) Es decir, se demuestra estadísticamente que el cuadrado del valor crítico de una distribución t-student con n-k grados de libertad equivale al valor crítico de una Página 24

25 distribución F-Snedecor con 1 y n-k grados de libertad, en el numerador y denominador, respectivamente. Ojo, n es el número de observaciones y k el número de variables explicativas incluyendo el punto de corte. Para realizar el análisis incremental en Eviews seleccionar la opción View/Coefficient Tests/Omitted Variables-Likelihood Ratio y escribir PAS. Omitted Variables: PAS F-statistic Probability Log likelihood ratio Probability Test Equation: Dependent Variable: MI Method: Least Squares Date: 09/12/08 Time: 19:43 Sample: 1 32 Included observations: 32 Variable Coefficient Std. Error t-statistic Prob. C TANF PBIPC PAS R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic) Página 25

26 Alternativamente, podemos utilizar el contraste de Wald eligiendo la opción View/Coefficient Tests/Wald-Coefficient Restrictions y escribir la hipótesis nula c(4)=0. Wald Test: Equation: EQ05 Test Statistic Value df Probability F-statistic (1, 28) Chi-square Null Hypothesis Summary: Normalized Restriction (= 0) Value Std. Err. C(4) Restrictions are linear in coefficients. Las dos tablas anteriores nos muestran el mismo resultado calculado en la tabla Anova incremental. Página 26

27 REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS - Gujarati Damodar. Econometría. Cuarta Edición. Capítulo 8. Págs Jeffrey M. Wooldrige. Introducción a la Econometría. Capítulo 5. Págs Capítulo 8. Págs Página 27