Recurrencias lineales

Transcripción

1 Recurrencias lineales Juan-Miguel Gracia 10 de febrero de 2008

2 Recurrencias lineales 68 Las recurrencias lineales son ecuaciones en las que la incógnita es una sucesión numérica (x k ) k=0 que aparece linealmente. Por ejemplo, la recurrencia x k+2 = x k+1 + x k, k = 0, 1, 2,..., es lineal. Si buscamos una solución concreta necesitamos prescribir unas condiciones iniciales: los valores de x 0 = c 0 y x 1 = c 1. Pues x 2 = x 1 + x 0 = c 0 + c 1, y de aquí, x 3 = x 2 + x 1 = (c 0 + c 1 ) + c 1, etc. Si x 0 = 1, x 1 = 1, la solución es la famosa sucesión de Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,...

3 Recurrencias lineales 68 Las recurrencias lineales son ecuaciones en las que la incógnita es una sucesión numérica (x k ) k=0 que aparece linealmente. Por ejemplo, la recurrencia x k+2 = x k+1 + x k, k = 0, 1, 2,..., es lineal. Si buscamos una solución concreta necesitamos prescribir unas condiciones iniciales: los valores de x 0 = c 0 y x 1 = c 1. Pues x 2 = x 1 + x 0 = c 0 + c 1, y de aquí, x 3 = x 2 + x 1 = (c 0 + c 1 ) + c 1, etc. Si x 0 = 1, x 1 = 1, la solución es la famosa sucesión de Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,...

4 Recurrencias lineales 68 Las recurrencias lineales son ecuaciones en las que la incógnita es una sucesión numérica (x k ) k=0 que aparece linealmente. Por ejemplo, la recurrencia x k+2 = x k+1 + x k, k = 0, 1, 2,..., es lineal. Si buscamos una solución concreta necesitamos prescribir unas condiciones iniciales: los valores de x 0 = c 0 y x 1 = c 1. Pues x 2 = x 1 + x 0 = c 0 + c 1, y de aquí, x 3 = x 2 + x 1 = (c 0 + c 1 ) + c 1, etc. Si x 0 = 1, x 1 = 1, la solución es la famosa sucesión de Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,...

5 Flores y Fibonacci 69 1,2,3,5,8,13,21,34,... Figura: Cala, o Lirio de agua

6 Flores y Fibonacci 70 1,2,3,5,8,13,21,34,... Figura: Flor de Pascua

7 Flores y Fibonacci 71 1,2,3,5,8,13,21,34,... Figura: trillium

8 Flores y Fibonacci 72 1,2,3,5,8,13,21,34,... Figura: columbine

9 Flores y Fibonacci 73 1,2,3,5,8,13,21,34,... Figura: sanguinaria

10 Flores y Fibonacci 74 1,2,3,5,8,13,21,34,... Figura: Margarita dorada

11 Flores y Fibonacci 75 1,2,3,5,8,13,21,34,... Figura: Margarita

12 Flores y Fibonacci 76 1,2,3,5,8,13,21,34,... Figura: Margaritas

13 Recurrencias lineales 77 Pero cuál la expresión del término general x k en función de k? Busquemos un número λ t.q. λ k sea una solución de x k+2 = x k+1 + x k, k = 0, 1, 2,... Se deberá cumplir que lo que equivale a sacando factor común λ k resulta λ k+2 = λ k+1 + λ k, λ k+2 λ k+1 λ k = 0; λ k (λ 2 λ 1) = 0;

14 Recurrencias lineales 77 Pero cuál la expresión del término general x k en función de k? Busquemos un número λ t.q. λ k sea una solución de x k+2 = x k+1 + x k, k = 0, 1, 2,... Se deberá cumplir que lo que equivale a sacando factor común λ k resulta λ k+2 = λ k+1 + λ k, λ k+2 λ k+1 λ k = 0; λ k (λ 2 λ 1) = 0;

15 Recurrencias lineales 77 Pero cuál la expresión del término general x k en función de k? Busquemos un número λ t.q. λ k sea una solución de x k+2 = x k+1 + x k, k = 0, 1, 2,... Se deberá cumplir que lo que equivale a sacando factor común λ k resulta λ k+2 = λ k+1 + λ k, λ k+2 λ k+1 λ k = 0; λ k (λ 2 λ 1) = 0;

16 Recurrencias lineales 77 Pero cuál la expresión del término general x k en función de k? Busquemos un número λ t.q. λ k sea una solución de x k+2 = x k+1 + x k, k = 0, 1, 2,... Se deberá cumplir que lo que equivale a sacando factor común λ k resulta λ k+2 = λ k+1 + λ k, λ k+2 λ k+1 λ k = 0; λ k (λ 2 λ 1) = 0;

17 Recurrencias lineales 77 Pero cuál la expresión del término general x k en función de k? Busquemos un número λ t.q. λ k sea una solución de x k+2 = x k+1 + x k, k = 0, 1, 2,... Se deberá cumplir que lo que equivale a sacando factor común λ k resulta λ k+2 = λ k+1 + λ k, λ k+2 λ k+1 λ k = 0; λ k (λ 2 λ 1) = 0;

18 Recurrencias lineales 78 por tanto, si resolvemos la ecuación λ 2 λ 1 = 0 obtenemos dos valores λ 1, λ 2 que valdrían para nuestro propósito. Así pues, λ = 1 ± λ 1 = = 1 ± 5. 2, λ 2 =

19 Recurrencias lineales 78 por tanto, si resolvemos la ecuación λ 2 λ 1 = 0 obtenemos dos valores λ 1, λ 2 que valdrían para nuestro propósito. Así pues, λ = 1 ± λ 1 = = 1 ± 5. 2, λ 2 =

20 Recurrencias lineales 79 Hemos conseguido dos soluciones (λ k 1 ) k=0, (λk 2 ) k=0 de la recurrencia x k+2 = x k+1 + x k, k = 0, 1, 2,... Se puede demostrar que la solución general de esta recurrencia viene dada por una combinación lineal de estas dos sucesiones: x k = α 1 λ k 1 + α 2 λ k 2 = α 1 ( para k = 0, 1, 2, ) k ( 5 1 ) k 5 + α 2 2 2

21 Recurrencias lineales 79 Hemos conseguido dos soluciones (λ k 1 ) k=0, (λk 2 ) k=0 de la recurrencia x k+2 = x k+1 + x k, k = 0, 1, 2,... Se puede demostrar que la solución general de esta recurrencia viene dada por una combinación lineal de estas dos sucesiones: x k = α 1 λ k 1 + α 2 λ k 2 = α 1 ( para k = 0, 1, 2, ) k ( 5 1 ) k 5 + α 2 2 2

22 Recurrencias lineales 80 Con ayuda de las condiciones iniciales podemos determinar los escalares α 1 y α 2 que corresponden a una solución particular. Así pues, en el ejemplo de la sucesión de Fibonacci: x 0 = 1, x 1 = 1 implica que { x0 = α 1 + α 2, sistema cuya solución es x 1 = α α 2 2 { 1 = α1 + α 2, = α α 2 2 α 1 = , α 2 = ;

23 Recurrencias lineales 80 Con ayuda de las condiciones iniciales podemos determinar los escalares α 1 y α 2 que corresponden a una solución particular. Así pues, en el ejemplo de la sucesión de Fibonacci: x 0 = 1, x 1 = 1 implica que { x0 = α 1 + α 2, sistema cuya solución es x 1 = α α 2 2 { 1 = α1 + α 2, = α α 2 2 α 1 = , α 2 = ;

24 Recurrencias lineales 80 Con ayuda de las condiciones iniciales podemos determinar los escalares α 1 y α 2 que corresponden a una solución particular. Así pues, en el ejemplo de la sucesión de Fibonacci: x 0 = 1, x 1 = 1 implica que { x0 = α 1 + α 2, sistema cuya solución es x 1 = α α 2 2 { 1 = α1 + α 2, = α α 2 2 α 1 = , α 2 = ;

25 Recurrencias lineales 80 Con ayuda de las condiciones iniciales podemos determinar los escalares α 1 y α 2 que corresponden a una solución particular. Así pues, en el ejemplo de la sucesión de Fibonacci: x 0 = 1, x 1 = 1 implica que { x0 = α 1 + α 2, sistema cuya solución es x 1 = α α 2 2 { 1 = α1 + α 2, = α α 2 2 α 1 = , α 2 = ;

26 Recurrencias lineales 81 Por consiguiente, la solución del problema de condiciones iniciales { x k+2 = x k+1 + x k, k = 0, 1, 2,..., viene dada por x k = ( ) ( x 0 = 1, x 1 = 1, 1 + ) k ) ( 5 5 +( ) k 5, k = 0, 1,... 2

27 Recurrencias lineales 81 Por consiguiente, la solución del problema de condiciones iniciales { x k+2 = x k+1 + x k, k = 0, 1, 2,..., viene dada por x k = ( ) ( x 0 = 1, x 1 = 1, 1 + ) k ) ( 5 5 +( ) k 5, k = 0, 1,... 2

28 Recurrencias no lineales 82 Hay recurrencias no lineales, por ejemplo x k+1 = x k + (2k 1)x 2 k + sen k, k = 0, 1, 2,... Otra terminología.- Las recurrencias son llamadas también ecuaciones en diferencias finitas, por su analogía con las ecuaciones diferenciales ordinarias.

29 Recurrencias no lineales 82 Hay recurrencias no lineales, por ejemplo x k+1 = x k + (2k 1)x 2 k + sen k, k = 0, 1, 2,... Otra terminología.- Las recurrencias son llamadas también ecuaciones en diferencias finitas, por su analogía con las ecuaciones diferenciales ordinarias.

30 Sistemas de recurrencias lineales 83 Sea A una matriz n n y consideremos la recurrencia y k+1 = Ay k, k = 0, 1, 2,... (25) donde cada y k es un vector columna n 1. Las soluciones de (25) son sucesiones de vectores (y k ) k=0. En función del vector inicial y 0, tenemos que y 1 = Ay 0, y 2 = Ay 1 = A 2 y 0,... y en general y k = A k y 0, k = 1, 2,...

31 Sistemas de recurrencias lineales 83 Sea A una matriz n n y consideremos la recurrencia y k+1 = Ay k, k = 0, 1, 2,... (25) donde cada y k es un vector columna n 1. Las soluciones de (25) son sucesiones de vectores (y k ) k=0. En función del vector inicial y 0, tenemos que y 1 = Ay 0, y 2 = Ay 1 = A 2 y 0,... y en general y k = A k y 0, k = 1, 2,...

32 Sistemas de recurrencias lineales 83 Sea A una matriz n n y consideremos la recurrencia y k+1 = Ay k, k = 0, 1, 2,... (25) donde cada y k es un vector columna n 1. Las soluciones de (25) son sucesiones de vectores (y k ) k=0. En función del vector inicial y 0, tenemos que y 1 = Ay 0, y 2 = Ay 1 = A 2 y 0,... y en general y k = A k y 0, k = 1, 2,...

33 Sistemas de recurrencias lineales 83 Sea A una matriz n n y consideremos la recurrencia y k+1 = Ay k, k = 0, 1, 2,... (25) donde cada y k es un vector columna n 1. Las soluciones de (25) son sucesiones de vectores (y k ) k=0. En función del vector inicial y 0, tenemos que y 1 = Ay 0, y 2 = Ay 1 = A 2 y 0,... y en general y k = A k y 0, k = 1, 2,...

34 Sistemas de recurrencias lineales 84 Para que esta solución sea satisfactoria debemos conocer la potencia k-ésima de la matriz A, A k := AA A (k factores); en función de k, tarea nada fácil. Se podría hallar A k mediante la diagonalización de la matriz A, o mediante su forma canónica de Jordan. Mas visto como es resuelto el sistema (25) en alguna asignatura de Ciencias Ambientales, preferimos usar el método que sigue.

35 Sistemas de recurrencias lineales 84 Para que esta solución sea satisfactoria debemos conocer la potencia k-ésima de la matriz A, A k := AA A (k factores); en función de k, tarea nada fácil. Se podría hallar A k mediante la diagonalización de la matriz A, o mediante su forma canónica de Jordan. Mas visto como es resuelto el sistema (25) en alguna asignatura de Ciencias Ambientales, preferimos usar el método que sigue.

36 Sistemas de recurrencias lineales 84 Para que esta solución sea satisfactoria debemos conocer la potencia k-ésima de la matriz A, A k := AA A (k factores); en función de k, tarea nada fácil. Se podría hallar A k mediante la diagonalización de la matriz A, o mediante su forma canónica de Jordan. Mas visto como es resuelto el sistema (25) en alguna asignatura de Ciencias Ambientales, preferimos usar el método que sigue.

37 Sistemas de recurrencias lineales 85 Supongamos que la matriz A tiene n valores propios distintos. Esto es, la matriz A tiene simples sus valores propios λ 1, λ 2,..., λ n y sean c 1, c 2,..., c n sus vectores propios asociados, respectivamente. Empezaremos expresando el vector inicial y 0 como combinación lineal de los vectores propios: A continuación, vemos que y 0 = α 1 c 1 + α 2 c α n c n. y 1 = Ay 0 = α 1 Ac 1 + α 2 Ac α n Ac n = α 1 λ 1 c 1 + α 2 λ 2 c α n λ n c n. y 2 = Ay 1 = α 1 λ 1 Ac 1 + α 2 λ 2 Ac α n λ n Ac n = α 1 λ 2 1c 1 + α 2 λ 2 2c α n λ 2 nc n.

38 Sistemas de recurrencias lineales 85 Supongamos que la matriz A tiene n valores propios distintos. Esto es, la matriz A tiene simples sus valores propios λ 1, λ 2,..., λ n y sean c 1, c 2,..., c n sus vectores propios asociados, respectivamente. Empezaremos expresando el vector inicial y 0 como combinación lineal de los vectores propios: A continuación, vemos que y 0 = α 1 c 1 + α 2 c α n c n. y 1 = Ay 0 = α 1 Ac 1 + α 2 Ac α n Ac n = α 1 λ 1 c 1 + α 2 λ 2 c α n λ n c n. y 2 = Ay 1 = α 1 λ 1 Ac 1 + α 2 λ 2 Ac α n λ n Ac n = α 1 λ 2 1c 1 + α 2 λ 2 2c α n λ 2 nc n.

39 Sistemas de recurrencias lineales 85 Supongamos que la matriz A tiene n valores propios distintos. Esto es, la matriz A tiene simples sus valores propios λ 1, λ 2,..., λ n y sean c 1, c 2,..., c n sus vectores propios asociados, respectivamente. Empezaremos expresando el vector inicial y 0 como combinación lineal de los vectores propios: A continuación, vemos que y 0 = α 1 c 1 + α 2 c α n c n. y 1 = Ay 0 = α 1 Ac 1 + α 2 Ac α n Ac n = α 1 λ 1 c 1 + α 2 λ 2 c α n λ n c n. y 2 = Ay 1 = α 1 λ 1 Ac 1 + α 2 λ 2 Ac α n λ n Ac n = α 1 λ 2 1c 1 + α 2 λ 2 2c α n λ 2 nc n.

40 Sistemas de recurrencias lineales 85 Supongamos que la matriz A tiene n valores propios distintos. Esto es, la matriz A tiene simples sus valores propios λ 1, λ 2,..., λ n y sean c 1, c 2,..., c n sus vectores propios asociados, respectivamente. Empezaremos expresando el vector inicial y 0 como combinación lineal de los vectores propios: A continuación, vemos que y 0 = α 1 c 1 + α 2 c α n c n. y 1 = Ay 0 = α 1 Ac 1 + α 2 Ac α n Ac n = α 1 λ 1 c 1 + α 2 λ 2 c α n λ n c n. y 2 = Ay 1 = α 1 λ 1 Ac 1 + α 2 λ 2 Ac α n λ n Ac n = α 1 λ 2 1c 1 + α 2 λ 2 2c α n λ 2 nc n.

41 Sistemas de recurrencias lineales 85 Supongamos que la matriz A tiene n valores propios distintos. Esto es, la matriz A tiene simples sus valores propios λ 1, λ 2,..., λ n y sean c 1, c 2,..., c n sus vectores propios asociados, respectivamente. Empezaremos expresando el vector inicial y 0 como combinación lineal de los vectores propios: A continuación, vemos que y 0 = α 1 c 1 + α 2 c α n c n. y 1 = Ay 0 = α 1 Ac 1 + α 2 Ac α n Ac n = α 1 λ 1 c 1 + α 2 λ 2 c α n λ n c n. y 2 = Ay 1 = α 1 λ 1 Ac 1 + α 2 λ 2 Ac α n λ n Ac n = α 1 λ 2 1c 1 + α 2 λ 2 2c α n λ 2 nc n.

42 Sistemas de recurrencias lineales 85 Supongamos que la matriz A tiene n valores propios distintos. Esto es, la matriz A tiene simples sus valores propios λ 1, λ 2,..., λ n y sean c 1, c 2,..., c n sus vectores propios asociados, respectivamente. Empezaremos expresando el vector inicial y 0 como combinación lineal de los vectores propios: A continuación, vemos que y 0 = α 1 c 1 + α 2 c α n c n. y 1 = Ay 0 = α 1 Ac 1 + α 2 Ac α n Ac n = α 1 λ 1 c 1 + α 2 λ 2 c α n λ n c n. y 2 = Ay 1 = α 1 λ 1 Ac 1 + α 2 λ 2 Ac α n λ n Ac n = α 1 λ 2 1c 1 + α 2 λ 2 2c α n λ 2 nc n.

43 Sistemas de recurrencias lineales 86 Es fácil ver que continuando este proceso se obtiene la solución y k = α 1 λ k 1c 1 + α 2 λ k 2c α n λ k nc n, k = 0, 1, 2,... (26)

44 Potencias convergentes a 0 87 Lema 1 Si z 0 es un número complejo t.q. z 0 < 1, entonces ĺım k zk 0 = 0. En este lema z k 0 es una potencia zk 0 := z 0 z 0 z 0, (k factores).

45 Potencias convergentes a 0 88 Ejemplo 1: si z 0 = 0,99 k z k

46 Potencias convergentes a 0 88 Ejemplo 1: si z 0 = 0,99 k z k

47 Potencias convergentes a 0 89 Ejemplo 2: si z 0 = 0,45 0,60i, z 0 = 0,75 k z k i i i i i i i i i i i i i i i

48 Potencias convergentes a 0 89 Ejemplo 2: si z 0 = 0,45 0,60i, z 0 = 0,75 k z k i i i i i i i i i i i i i i i

49 Comportamiento asintótico de las soluciones 90 Supongamos que los valores propios de A, además de ser simples, satisfacen que λ 1 > 0 y la condición de dominación: Por (26), λ 2 < λ 1, λ 3 < λ 1,..., λ n < λ 1. (27) y k λ k 1 ( ) k ( ) k λ2 λn = α 1 c 1 + α 2 c α n c n. (28) λ 1 λ 1

50 Comportamiento asintótico de las soluciones 90 Supongamos que los valores propios de A, además de ser simples, satisfacen que λ 1 > 0 y la condición de dominación: Por (26), λ 2 < λ 1, λ 3 < λ 1,..., λ n < λ 1. (27) y k λ k 1 ( ) k ( ) k λ2 λn = α 1 c 1 + α 2 c α n c n. (28) λ 1 λ 1

51 Comportamiento asintótico de las soluciones 91 Por la hipótesis de dominación y el Lema 1, se tiene que i = 2,..., n, ( ) k λi ĺım = 0. k λ 1 En consecuencia, existe el ĺımite y ĺım k k λ k 1 = α 1 c 1. (29)

52 Comportamiento asintótico de las soluciones 92 Detallemos las componentes del vector propio c 1 y del vector y k : c 11 y 1k y 2k c 21 c 1 =., y k =. c n1 y nk

53 Comportamiento asintótico de las soluciones 92 Detallemos las componentes del vector propio c 1 y del vector y k : c 11 y 1k y 2k c 21 c 1 =., y k =. c n1 y nk

54 Comportamiento asintótico de las soluciones 93 Si λ 1 < 1 y para algún i = 1,..., n se tiene que c i1 = 0, entonces ĺım y ik = 0. k En efecto, llamando N := {1, 2, 3,...} al conjunto de números naturales mayores que 1, como y ik ĺım k λ k 1 = 0 para todo ε > 0, k 0 N t.q. k k 0, y ik < ε; y ik < λ k 1 ε (30) λ k 1

55 Comportamiento asintótico de las soluciones 93 Si λ 1 < 1 y para algún i = 1,..., n se tiene que c i1 = 0, entonces ĺım y ik = 0. k En efecto, llamando N := {1, 2, 3,...} al conjunto de números naturales mayores que 1, como y ik ĺım k λ k 1 = 0 para todo ε > 0, k 0 N t.q. k k 0, y ik < ε; y ik < λ k 1 ε (30) λ k 1

56 Comportamiento asintótico de las soluciones 93 Si λ 1 < 1 y para algún i = 1,..., n se tiene que c i1 = 0, entonces ĺım y ik = 0. k En efecto, llamando N := {1, 2, 3,...} al conjunto de números naturales mayores que 1, como y ik ĺım k λ k 1 = 0 para todo ε > 0, k 0 N t.q. k k 0, y ik < ε; y ik < λ k 1 ε (30) λ k 1

57 Comportamiento asintótico de las soluciones 93 Si λ 1 < 1 y para algún i = 1,..., n se tiene que c i1 = 0, entonces ĺım y ik = 0. k En efecto, llamando N := {1, 2, 3,...} al conjunto de números naturales mayores que 1, como y ik ĺım k λ k 1 = 0 para todo ε > 0, k 0 N t.q. k k 0, y ik < ε; y ik < λ k 1 ε (30) λ k 1

58 Comportamiento asintótico de las soluciones 94 Teniendo en cuenta que ĺım k λk 1 = 0, k 1 N t.q. k k 1, λ k 1 < ε. Por tanto, llamando k 2 := máx(k 0, k 1 ), por (30) se sigue que k k 2, y ik < λ k 1 ε < ε ε = ε.

59 Comportamiento asintótico de las soluciones 94 Teniendo en cuenta que ĺım k λk 1 = 0, k 1 N t.q. k k 1, λ k 1 < ε. Por tanto, llamando k 2 := máx(k 0, k 1 ), por (30) se sigue que k k 2, y ik < λ k 1 ε < ε ε = ε.

60 Comportamiento asintótico de las soluciones 94 Teniendo en cuenta que ĺım k λk 1 = 0, k 1 N t.q. k k 1, λ k 1 < ε. Por tanto, llamando k 2 := máx(k 0, k 1 ), por (30) se sigue que k k 2, y ik < λ k 1 ε < ε ε = ε.

61 Comportamiento asintótico de las soluciones 94 Teniendo en cuenta que ĺım k λk 1 = 0, k 1 N t.q. k k 1, λ k 1 < ε. Por tanto, llamando k 2 := máx(k 0, k 1 ), por (30) se sigue que k k 2, y ik < λ k 1 ε < ε ε = ε.

62 Comportamiento asintótico de las soluciones 95 Llamando y k+1 = y 1,k+1 y 2,k+1. y n,k+1, supongamos que α 1 0; quitemos la restricción de que λ 1 < 1; para todo j {1,..., n} t.q. c j1 0, se tiene que y j,k+1 ĺım = λ 1. k y jk

63 Comportamiento asintótico de las soluciones 95 Llamando y k+1 = y 1,k+1 y 2,k+1. y n,k+1, supongamos que α 1 0; quitemos la restricción de que λ 1 < 1; para todo j {1,..., n} t.q. c j1 0, se tiene que y j,k+1 ĺım = λ 1. k y jk

64 Comportamiento asintótico de las soluciones 96 En efecto, por (29) y jk ĺım k λ k 1 = α 1 c j1. y j,k+1 ĺım k λ k+1 1 = α 1 c j1. ĺım k y j,k+1 λ k+1 1 y jk λ k 1 = ĺım k y j,k+1 λ k+1 1 ĺım k y jk λ k 1 = α 1c j1 α 1 c j1 = 1.

65 Comportamiento asintótico de las soluciones 96 En efecto, por (29) y jk ĺım k λ k 1 = α 1 c j1. y j,k+1 ĺım k λ k+1 1 = α 1 c j1. ĺım k y j,k+1 λ k+1 1 y jk λ k 1 = ĺım k y j,k+1 λ k+1 1 ĺım k y jk λ k 1 = α 1c j1 α 1 c j1 = 1.

66 Comportamiento asintótico de las soluciones 96 En efecto, por (29) y jk ĺım k λ k 1 = α 1 c j1. y j,k+1 ĺım k λ k+1 1 = α 1 c j1. ĺım k y j,k+1 λ k+1 1 y jk λ k 1 = ĺım k y j,k+1 λ k+1 1 ĺım k y jk λ k 1 = α 1c j1 α 1 c j1 = 1.

67 Comportamiento asintótico de las soluciones 97 Por tanto, y j,k+1 λ k 1 ĺım k y jk λ k 1 λ 1 1 λ 1 y j,k+1 ĺım k y jk = 1 = 1 y j,k+1 ĺım = λ 1. k y jk

68 Comportamiento asintótico de las soluciones 97 Por tanto, y j,k+1 λ k 1 ĺım k y jk λ k 1 λ 1 1 λ 1 y j,k+1 ĺım k y jk = 1 = 1 y j,k+1 ĺım = λ 1. k y jk

69 Comportamiento asintótico de las soluciones 97 Por tanto, y j,k+1 λ k 1 ĺım k y jk λ k 1 λ 1 1 λ 1 y j,k+1 ĺım k y jk = 1 = 1 y j,k+1 ĺım = λ 1. k y jk

70 Otra terminología 98 Los sistemas de recurrencias lineales son llamados también sistemas de ecuaciones en diferencias finitas por analogía con los sistemas de ecuaciones diferenciales lineales ordinarias: en vez de x (t) = Ax(t) se considera y k+1 = Ay k, y la función vectorial incógnita x(t) que depende de la variable continua t, es reemplazada en esta analogía por la sucesión vectorial incógnita (y k ) k=0 que depende de la variable discreta k.

71 Otra terminología 98 Los sistemas de recurrencias lineales son llamados también sistemas de ecuaciones en diferencias finitas por analogía con los sistemas de ecuaciones diferenciales lineales ordinarias: en vez de x (t) = Ax(t) se considera y k+1 = Ay k, y la función vectorial incógnita x(t) que depende de la variable continua t, es reemplazada en esta analogía por la sucesión vectorial incógnita (y k ) k=0 que depende de la variable discreta k.