Cálculo Diferencial e Integral II 31 de octubre de Aplicaciones de la Integral. Mommentos y Centros de Masa

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1 Cálculo Diferencil e Integrl II 3 de octubre de 23 Aplicciones de l Integrl Mommentos y Centros de Ms Supong que tiene un vrill de ms pequeñ y en ell se fijn dos mss m y m 2 en ldos opuestos de un punto de poyo y distncis d y d 2 Tenemos que l vrill est en equilibrio si m d = m 2 d 2 Al punto x donde l vrill est en equilibrio se le llm Centro de Ms Supong hor que l vrill se coloc lo lrgo del eje X con m en x y m 2 en x 2 y el centro de ms en x Tenemos que l vrill est en equilibrio si m (x x ) = m 2 (x 2 x) m 2 x 2 m 2 m x m x m 2 x 2 + m x = x(m + m 2 ) por lo tnto m 2x 2 + m x m 2 + m En generl si se tiene un sistem de n prticuls con mss m, m 2,..., m n loclizdos en x, x 2,..., x n se tendr que m ix n m i A l expresión A l expresión m i x i se le conoce como Momento del sistem respecto l origen m i se le conoce como Ms del sistem Considere hor un vrill de ms m y longitud L Prof. Estebn Rubén Hurtdo Cruz of 5

2 Cálculo Diferencil e Integrl II 3 de octubre de 23 l cntidd de ms de un vrill que hy por unidd de longitud define un número llmdo Densidd de Vrill y que se denot por ρ. L densidd se mide en kg m ó g cm El coeficiente de densidd ρ puede ser constnte ρ = k en cuyo cso se tiene que l ms es homogene, por otro ldo si el coeficiente de densidd es vrible ρρ(x) entonces l ms no es homogene. L relción ms, densidd y longitud est dd por m = ρl Si lo lrgo de l longitud de l vrill se consider un prtición P = {x =, x,..., x n = L} y en cd subintervlo [x i, x i ] se tom un λ i si m es l cntidd proximd de ms en [x i, x i ], entonces mi = ρ(λ i ) xi donde ρ(λ i ) es l densidd de ms en [x i, x i ] y xi = x i x i se tiene entonces m mi = ρ(λ i ) xi m = lím ρ(λ i ) xi = mientrs que ddo el sistem de puntos λ, λ 2,..., λ n el i-ésimo momento será ρ(x)dx M i mi λ i = ρ(λ i ) xi λ i M = lím ρ(λ i ) xi λ i = xρ(x)dx si l ms totl m se ubic en un punto x, entonces M = xm y por lo tnto xρ(x)dx ρ(x)dx Prof. Estebn Rubén Hurtdo Cruz 2 of 5

3 Cálculo Diferencil e Integrl II 3 de octubre de 23 si ρ(x) es un función continu en [, L], entonces el punto x es el centro de ms de ms de l brr de longitud L y densidd ρ Éjemplo.-Clculr el centro de ms de l vrill de longitud 6 m cuy densidd en kg m es ρ(x) = x + Pr esto se tiene que: 6 2 m = x + d 3 (x + ) = 2 3 (7 7 ) El momento de ms M M = 6 x x + d }{{} u=x+ du=dx u =x por lo tnto el centro de ms de l vrill es ( ) 2 3 (7 = 2 7 ) 5 (u ) u du = 2 5 u u ( ) ( 56 ) Considérese un sistem de n prtículs coplnres islds de mss m, m 2,..., m n ubicds respectivmente en los puntos (x, y ), (x 2, y 2 ), (x 3, y 3 ),..., (x n, y n ) sobre el plno coordendo XY El producto m i x i define el momento de ms M i de l i-ésim prtícul respecto l eje Y M yi = m i x i El producto m i y i define el momento de ms M i de l i-ésim prtícul respecto l eje X M xi = m i y i Pr el cso bidimensionl se define el momento de un sistem de prtículs respecto l eje Y M y = m i x i con respecto l eje X M m i y i y l sum de ls mss define l ms totl del sistem m = Si l ms totl del sistem se ubic en el punto (x, y), entonces M y = m x y M m y m i por lo tnto m ix i m i y y = m iy i m i El punto (x, y) se llm Centro de ms del sistem Prof. Estebn Rubén Hurtdo Cruz 3 of 5

4 Cálculo Diferencil e Integrl II 3 de octubre de 23 Centros de Ms de un Región Pln Considérese un plc delgd de ms distribuid homogénemente, por ejemplo, un hoj de ppel o un hojlt pln; lo cul se llmrá lámin o región pln. L cntidd de ms que hy por unidd de áre en un lámin define l densidd de l lámin y se denot ρ; por lo que, l densidd de un lámin se mide en kg si: m = ρa m ó g cm y se relcion con l ms y el áre Si l densidd es constnte (ρ = k) l ms es homogéne; si no (ρ = ρ(x, y)) l ms es no homogéne. Considére hor un lámin homogéne de ms m y áre A que coincide con un región R del plno limitd por un curv y = f(x), el eje x y por ls rects, b; en donde f es un función continu en el intervlo cerrdo [, b] Considerése demás un prtición P = { = x, x,..., x n = b} del intervlo [, b] y un punto muestr λ i en el i-ésimo subintervlo [x i, x i ] de l prtición, determinndo el i-ésimo rectángulo R i de bse xi = x i x i hy ltur f(λ i ) El centro de ms de un rectángulo es el punto donde se cortn sus digonles. ( Por tnto l ms m i del rectángulo R i se concentr en el centro de R i, cuys coordends son λ i, ) 2 f(λ i). Por lo que El momento de ms de R i respecto l eje y, es: M yi El momento de ms de R i respecto l eje x, es: L ms m i del rectángulo R i es: M xi = m i = m i λ i ( ) 2 f(λ i) m i = ρ A i = ρ f(λ i ) xi Prof. Estebn Rubén Hurtdo Cruz 4 of 5

5 Cálculo Diferencil e Integrl II 3 de octubre de 23 donde A i es el áre de R i, entonces M xi = 2 ρ (f(λ i)) 2 xi y M yi = ρ λ i f(λ i ) xi por lo tnto el momento de ms M y respecto l eje y es: M y ρ λ i f(λ i ) xi M y = lím ρ λ i f(λ i ) xi = ρ xf(x)dx el momento de ms M x respecto l eje x es: M x 2 ρ f(λ i) 2 xi M lím Por otro ldo, l ms de l lámin es: 2 ρ f(λ i) 2 xi = 2 ρ (f(x)) 2 dx m m i m ρ f(λ i ) xi m = lím ρ f(λ i ) xi m = ρ Si l ms totl m de l lámin se ubic en el punto (x, y), entonces por lo tnto M mx y M y = my ρ xf(x)dx ρ y y = b 2 ρ (f(x))2 dx ρ El punto (x, y) es el centro de ms de l lámin. Si se cncel l densidd ρ en ls fórmuls nteriores, los números x y y resultn independientes de l ms y dependientes del áre de l región R que represent l lámin, en cuyo cso (x, y) se le llm Centroide de l Región R Prof. Estebn Rubén Hurtdo Cruz 5 of 5

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