ANDALUCÍA / JUNIO 04. LOGSE / MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES / EXAMEN COMPLETO OPCIÓN A

Transcripción

1 EXAMEN COMPLETO Istruccioes: a) Duració: 1 hora y 30 miutos. b) Elija ua de las dos opcioes propuestas y coteste los ejercicios de la opció elegida. c) E cada ejercicio, parte o apartado se idica la putuació máxima que le correspode. d) Puede usar ua calculadora o programable y o gráfica. e) Si obtiee resultados directamete co la calculadora, explique co detalle los pasos ecesarios para su obteció si su ayuda. Justifique las respuestas. OPCIÓN A x + y 6 3x 13 Sea el siguiete sistema de iecuacioes. x + 3y 3 x 0 a) ( putos) Dibuje el recito cuyos putos so las solucioes del sistema y obtega sus vértices. b) (1 puto) Halle los putos del recito aterior e los que la fució F( x, y) = x toma los valores máximo y míimo, y determie estos. La temperatura T, e grados cetígrados, que adquiere ua pieza sometida a u proceso viee dada e fució del tiempo t, e horas, por la expresió: T ( t) = 40t 10t, co 0 t 4 a) (1,5 putos) Represete gráficamete la fució T y determie la temperatura máxima que alcaza la pieza. b) (1,5 putos) Qué temperatura tedrá la pieza trascurrida 1 hora? Volverá a teer esa misma temperatura e algú otro istate? Parte 1 María y Laura idea el siguiete juego: cada ua laza u dado, si e los dos dados sale el mismo úmero, gaa Laura; si la suma de ambos es 7, gaa María; y e cualquier otro caso hay empate. a) (1 puto) Calcule la probabilidad de que gae Laura. asociado al experimeto. b) (1 puto) Calcule la probabilidad de que gae María. Parte U fabricate de pilas alcalias sabe que el tiempo de duració, e horas, de las pilas que fabrica sigue ua distribució Normal de media descoocida y variaza 30. Co ua muestra de su producció, elegida al azar, y u ivel de cofiaza del 95 % ha obteido para la media el itervalo de cofiaza (37,6, 39,).

2 a) (1 puto) Calcule el valor que obtuvo para la media de la muestra y el tamaño muestral utilizado. b) (1 puto) Cuál sería el error de su estimació, si hubiese utilizado ua muestra de tamaño 5 y u ivel de cofiaza del 86,9 %? OPCIÓN B Sea las matrices A =, B = y C = a) ( putos) Calcule la matriz P que verifica B P A = C t (C t, idica la traspuesta de C). b) (0,5 putos) Determie la dimesió de la matriz M para que pueda efectuarse el producto A M C. c) (0,5 putos) Determie la dimesió de la matriz N para que C t N sea ua matriz cuadrada. a) (1,5 putos) Halle los valores de los parámetros a y b para que la fució 3 f ( x) = x + ax + b tega u extremo relativo e el puto (, 3). b) (1,5 putos) Halle la ecuació de la tagete a la curva y = x 4x + e su puto de iflexió. Parte 1 Dados los sucesos aleatorios A y B, se sabe que: c 3 1 a) P ( B ) = y P ( A) = P( A/ B) = (B c, idica el complemetario del suceso B) 4 3 b) (0,75 putos) Razoe si los sucesos A y B so idepedietes. c) (1,5 putos) Calcule P( A B). Parte El peso de los paquete eviados por ua determiada empresa de trasportes se distribuye segú ua ley Normal, co desviació típica de 0,9 kg. E u estudio realizado co ua muestra aleatoria de 9 paquetes, se obtuviero los siguietes pesos e kilos: 9,5 10 8,5 10,5 1,5 10,5 1, a) (1 puto) Halle u itervalo de cofiaza, al 99 %, para el peso medio de los paquetes eviados por esa empresa. b) (1 puto) Calcule el tamaño míimo que debería teer ua muestra, e el caso de admitir u error máximo de 0,3 kg, co u ivel de cofiaza del 90 %? 3

3 Solució de los ejercicios de la Opció A a) Represetado cada ua de las rectas asociadas a las iecuacioes se obtiee la regió sombreada e la siguiete figura. Dode: (1): x + y = 6; (): 3x = 13; (3): x + 3y = 3; (4): x = 0. Los vértices so las solucioes de los sistemas determiados por cada dos rectas. Estos vértices so: x + y = 6 P = (0, 6); Q: Q = (5, 1); 3x = 13 3x = 13 R: R = (3, ); S = (0, 1) x + 3y = 3 b) La fució F( x, y) = x toma los valores máximo y míimo e alguo de los vértices hallados. Evaluado dicha fució e esos vértices se obtiee: E P, F(0, 6) = 1 E Q, F(5, 1) = 3 E R, F(3, ) = 7 E S, F(0, 1) = Por tato, el máximo de F(x, y) vale 7 y se obtiee e el vértice R = (3, ). El míimo, que vale 1, se obtiee e el puto P = (0, 6). a) La fució es ua parábola co vértice hacía arriba, e el máximo. El vértice se obtiee e la solució de T (t) = 0. T ( t) = 40 0t = 0 t =.

4 La temperatura máxima será T() = = 40º C. Otros putos de la gráfica de esta fució so: (0, 0); (1, 30); (3, 30) y ( 4, 0). Uiedo esos putos, obteemos la gráfica adjuta. b) Para t = 1, como ya hemos dicho, T(1) = 30. Los istates e los que la temperatura vale 30 so las solucioes de la ecuació: = T ( t) = 40t 10t 30 10t 40t + 30 = 0 t 4t + 3 = 0 t = 1 t = 3 E los istates t = 1 y t = 3 la temperatura será de 30º C. a) El espacio muestral está formado por 36 sucesos elemetales: E = {(1, 1), (1, ), (1, 3), (1, 4), (1, 5), ( 1, 6), (, 1), (, ); (6, 5), (6, 6)} Los dos dados sale co el mismo úmero e 6 casos: (1, 1), (, ),, (6, 6). E estos casos gaa Laura La suma de ambos es 7 e otros 6 casos: (1, 6), (, 5), (3, 4), (4, 3), (5, ) y (6, 1). E estos casos gaa María. Por tato: a) P(gae Laura) = b) P(gae María) = 6 1 = = 36 6 NOTA: El juego es equitativo. Ejercicio 4 a) El itervalo de cofiaza, para las muestras de tamaño muestral de media x, es: x Z σ, x + Z α / α / σ

5 dode σ es la desviació típica poblacioal y Z α / el valor correspodiete e la tabla ormal para ua cofiaza de 1 α. Como este itervalo es simétrico respecto de la media, esta vedrá dada por su puto 37,6 + 39, medio: x = = 38, 4 m. Por tato, para x = 38,4, σ = = 30, Z α / = 1,96 y descoocida se tedrá: 38,4 1,96, 38,4 + 1,96 = (37,6, 39,) 1,96 = 9, 8. = 1 = 144. b) El error de estimació es E = Z σ α /. Para el 86,9 % se tiee: 1 α = 0,869 α = 0,131 α/ = 0, α/ = 0,9345 Z α / = 1,51. Como = 5 y σ =, etoces, el error pedido vale: E = 1,51 = 6, 04. 5