Tema 12. Derivabilidad de funciones.

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1 Tema. Derivabilidad de funciones.. Tasa de Variación media. Derivada en un punto. Interpretación.... Tasa de variación Media.... Definición de derivada de una función en un punto.... Interpretación geométrica de la derivada.... Continuidad y derivabilidad Función derivada. Derivadas sucevas Función derivada Derivadas de orden superior Derivada de funciones elementales. Operaciones con derivadas Derivadas de las funciones elementales Operaciones con derivadas... 9

2 Tema. Derivabilidad de funciones. Tasa de Variación media. Derivada en un punto. Interpretación. Tasa de variación Media Definición: se llama tasa de variación media de una función f() entre los valores y al cociente entre el incremento que eperimenta la variable dependiente y, y la variable independiente : f T vm (,,f()) f ( ), Interpretemos gráficamente su gnificado: Ejemplo: f() - f ( ) f( ) f( ) f f (4) f () 5 ( ) Veamos la tasa de variación media entre y 4: 4 4 Para interpretar f,,4 fijémonos en el triángulo rectángulo rojo de la imagen, donde los catetos son (f( )-f( )) y ( - ). De esta forma catetos, y así f, (,f( )) y (,f( )) con el eje, y por tanto f, es el cociente de los dos es la tangente del ángulo que forma la recta que une los puntos f, es la pendiente de dica recta Página de 9

3 Tema. Derivabilidad de funciones. Definición de derivada de una función en un punto Definición: la derivada de una función f() en el punto, se denota como f ( ), es la tasa de variación instantánea, es decir: f '( f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) ) lim lim Generalmente suele ser más fácil calcular esta derivada a partir de la segunda igualdad de la definición. Una función es derivable en un punto cuando el límite eiste, aunque este sea o -. Ejemplos: a) f() en f '() f ( ) lim f () lim La función f() es derivable en y f ()4 > b) f() - en (( ) ) lim f ( f ( ) f () ( ) ) lim lim lim f ( - f ( ) f () ( ) ) lim lim lim No eiste el límite por tanto la función f() no es derivable en. lim Nota: las funciones valor absoluto no son derivables en los puntos de donde se anulan. En estos puntos las derivadas laterales son de distinto gno.. Interpretación geométrica de la derivada En el apartado. vimos que la tasa de variación media se interpretaba como la pendiente de la recta que unía los dos puntos. La derivada es el límite de la variación media cuando los puntos se acercan infinitamente, veamos esto de forma gráfica en derivada Página de 9

4 Tema. Derivabilidad de funciones Como vemos en la gráfica anterior nos acercamos infinitamente al punto la recta que une los dos puntos tiende a ser la recta tangente a la función. Por tanto la derivada en de f(), es decir f (, ) es la pendiente de la recta tangente a la función en el punto (, f( )). α mtg(α)f ( ) Concluón: f ( )tg(α)m recta tangente en o Conociendo la pendiente de la recta y el punto por el que pasa (,f( )) es fácil calcular la ecuación de la recta tangente y normal (la pendiente es -/m-/f ( ): Ecuación de la recta tangente a la función f() en : y-f( )f ( )(- ) Ecuación de la recta normal a la función f() en : y-f( ) (- ) f '( ) Ejemplo: calcular la recta tangente y normal a la curva yf() en el punto de abscisa f '() f ( ) lim f () ( ) lim m recta tang f ()5 y el punto es P (,f() P(,4) recta tangente y-f()f ()(-) ( ) 4 lim y-45(-) y5- recta normal y-f() (-) y-4 (-) y f '() lim 5 Página 4 de 9

5 Tema. Derivabilidad de funciones. Continuidad y derivabilidad Teorema: toda función f() derivable en un punto, es continua en este punto. El contrario no empre es cierto para toda función. Ejemplo: como vimos la función f() era derivable en (eiste el límite f ( ) f () lim ) luego es continua en Nota: Todas las funciones polinómicas, son continuas y derivables en todos los puntos. Veamos otros dos ejemplos donde el recíproco al teorema no es cierto, son continuas y no derivables: > a) f() - en es continua lim f ( ) f () en no es derivable (ver página ) b) g() en es continua pero no es derivable : f ( ) f () lim lim lim lim lim lim / lim / lim Veamos la representación gráfica de estas dos funciones no derivables, y veremos su interpretación gráfica: a) f() - Página 5 de 9

6 Tema. Derivabilidad de funciones b) g() Gráficamente vemos que en los puntos donde la función no es derivable eiste un pico o punto anguloso que nos indica el cambio de pendiente de la recta tangente en dicos puntos (límites laterales son diferentes). Ejercicio : Sea la función f() sea continua y derivable. n calcular a y b para que f() La función está definida a trozos pero tanto sen() como ab son continuas y derivables en todos los puntos, luego punto donde ay que estudiar la continuidad y derivabilidad es donde la función cambia de epreón algebraica a) Continuidad: lim f ( ) b continua lim ( ) () b f sen Luego b independientemente del valor de a la función es continua b) Derivabilidad f ( ) f () a lim lim a derivable ( ) () ( ) a f f sen lim lim ( L' Hopital) Página 6 de 9

7 Tema. Derivabilidad de funciones Otro método más sencillo: cuando la función es continua podemos derivarla (veremos cómo se deriva en el apartado 4) : cos( ) f '( ) a > La función será derivable en el punto eiste el límite lim f '( ), aunque este sea infinito. lim f '( ) a derivable lim '( ) cos() a f. Función derivada. Derivadas sucevas. Función derivada Cuando la función f() es continua podemos obtener su función derivada f (). La función derivada, f (), para cada valor de nos da el valor de la derivada en ese punto, es decir la pendiente de la recta tangente en dico punto. f : R R f ( ) f ': R R f '( ) A la función f () se le llama función derivada de f(), tal que somos capaces de calcular esta función la derivada de f() en un punto es f ( ), es decir la imagen de f () en el punto. A partir de definición de derivada la función f() se obtiene aplicando la definición de derivada para una genérica: f '( ) lim f ( ) f ( ) Calculo de alguna función derivada: ) f() - f ( ) f ( ) ( ) f '( ) lim lim ( ) lim ) f()k (cte) f ( ) f ( ) k k f '( ) lim lim lim Si bien para el cálculo de la función derivada veremos en el guiente apartado la tabla de derivadas y las reglas necesarias para realizar cualquier tipo de derivada. Página 7 de 9

8 Tema. Derivabilidad de funciones. Derivadas de orden superior En todos los puntos del dominio de f () (donde f() es derivable) podemos conderar otra función f (), que agna a cada punto de el valor de la derivada de f () en este punto. f '': R R f ''( ) f ''( ) lim f '( ) f '( ) La función así definida recibe el nombre de segunda derivada de f(), f (). De forma análoga podemos definir la tercera derivada f (), cuarta f (IV (), etc. 4. Derivada de funciones elementales. Operaciones con derivadas 4. Derivadas de las funciones elementales Se puede calcular a partir de la definición vista en el apartado anterior la función derivada de las funciones elementales. Veamos en la guiente tabla la derivada de algunas funciones elementales. Derivada elementales Función Función derivada Ejemplo f()k f () f()-e f () f() n f ()n n- f() f () f()e f ()e f()a f ()a ln(a) f()5 f ()5 ln(5) f()ln() f ()/ f()log a () f () ln( a ) f()log () f () ln() f()sen() f ()cos() f()cos() f ()-sen() f()tg() f ()tg () cos ( ) f()arc sen() f () f()arc cos() f () f()arc tg() f () Página 8 de 9

9 Tema. Derivabilidad de funciones 4. Operaciones con derivadas Aplicamos la definición de la derivada y las propiedades de los límites se obtienen las reglas que permiten derivar funciones que son resultado de operar con otras funciones derivables. Para ver las propiedades de las derivadas veamos otra tabla: Propiedades de las derivadas Propiedad Suma: (fg) ()f ()g () Ejemplo ( -cos()e ) --sen()e Constante por una función: (kf) ()kf () (5arc sen()) 5 Producto: (f g) ()f () g()f() g () (5 sen()) 5sen()5 cos() Cociente: f g ' f '( ) g( ) f ( ) g' ( ) ( ) g ( ) 7 ln( ) ' 7 ln( ) 7 ln ( ) 7ln( ) 7 ln ( ) Función e cos ( ) cos ( ) compuesta(g º ( ) f) ()(g(f()) g (f() f () ' e cos( ) ( sen( )) A partir de las derivadas elementales y de las propiedades de las derivadas es sencillo calcular la derivada de toda función, sólo ay que aplicar las propiedades con orden. Ejercicio : calcular las derivadas guientes a) D[( -) 5 ]5( -) 4 ( -) 4 b) D[() / ] () / c) D[ 4 ]4 4 ln(4) ( ) d) D[(e ) 4 ]4 (e ) ( e )8 (e ) (e ) e) D[ln(- ) 4 4 ] 4( ) ( 6) 4 ( ) f) D g) D ( ) ( (4 5 5 ) ( 6) ( ( ) ( ) 7 ) / 4 5 ( ) 5 (4 5 ) 4 5 6) 5 (4 5 ) Página 9 de 9

10 Tema. Derivabilidad de funciones ) D [(4 ) 4 ] 4 4 (4 ) (4 ) i) D[sen 4 ()]4 sen () cos() j) D[sen( 4 )]cos( 4 ) 4 k) D ( ) ( ) ( ) l) D[sen ( )]sen( ) cos( ) 4 sen( ) cos( ) m) D [ arc sen( ) ] ( ) 7 7 ( 7) ( 7) ( 7) n) D 7 ( 7 ) ( 7 ) 7 7 ( 7)( 7) 7 o) D [ arc tg( ) ] ( ) ( ) ( ) ( ) p) D ln ( ) ( ) ( ) ( )( ) q) D [ sen () cos ()] sen () cos() cos () sen () cos() sen() 6 sen () cos() cos () 6 sen () cos() sen() r) D [ arc sen( tg( )) ] tg tg ( ) ( ) Página de 9

11 Tema. Derivabilidad de funciones Ejercicios del tema Ejercicio : Estudiar la derivabilidad de. La función es continua en R, pues es una raíz cúbica que eiste para números negativos. Veamos la derivabilidad: f () ( ) / (6 ) ( ) Se anula el denominador en y, estudiemos la derivabilidad en estos puntos f () lim 9 6 f '( ) lim f '( ) lim ( ) ( ) f '( ) lim f () ( ) lim 9 6 f '( ) lim ( ) es decir la tangente es una recta paralela al eje OY. No derivable derivable m-, Nota: una función derivable en un punto eiste la derivada, aunque esta sea infinito. Veamos la gráfica para interpretar los resultados en y Página de 9

12 Tema. Derivabilidad de funciones Ejercicio 4: estudiar la derivabilidad de Veamos primero la continuidad: lim / lim g ( ) lim / e Continua e lim / e Veamos aora la derivabilidad por la definición: g () g( ) g() / lim lim e No es derivable en Veamos la gráfica: lim ( e / en. / lim ( e ) lim ( e / / ) ) Ejercicio 5: Deriva la función f() ln(cos()) e sen( ) f () e e tg( ) e ( ) cos( ) Ejercicio 6: Calcula un punto de la función f() 5 en la que la recta tangente sea paralela a la recta y- Si la rectas son paralelas misma pendiente, luego la recta tangente tiene pendiente m, por tanto buscamos el punto donde f () f () P(,f())(,7) Página de 9

13 Tema. Derivabilidad de funciones Ejercicio 7: Hallar b y c para que f() sea continua y derivable en (,) f ) b c ( <. Continuidad: las funciones definidas en los dos trozos son polinomios y por tanto el único punto ay que estudiar la continuidad es en. lim f ( ) lim f ( ) b c lim f ( ) b c. Derivabilidad: b y c cumplen la anterior ecuación f() continua y podemos calcular la derivada en todos los puntos del dominio f '( ) 4 b < Volvemos a tener dos polinomios, así que el único punto donde tenemos que estudiar la continuidad es en : lim f '( lim f '( ) 9 ) lim f ( ) 4 b Resolviendo el stema b-49 y c9 9 4 b Ejercicio 8: Dada la función f() a) allar a, b para que f() sea continua. b) Calcular los puntos donde es derivable) f() a b < > a) Las funciones y son continuas en R. La función a b será continua en (,] dependiendo de a y b. Veamos los valores de a y b para que sea continua en y lim f ( ) b b 4 lim f ( ) lim f ( ) a lim f ( ) a 4 Página de 9

14 Tema. Derivabilidad de funciones Para estos valores de a y b 4 es continua en (,] ya que 4 en este intervalo es mayor de cero. Luego a- b4 la función f() continua en R, y podemos calcular f () b) f () 4 < > Derivabilidad en f '( ) lim f '( ) f '() f '( ) lim f '( ) 4 No derivable Derivabilidad en f '() f '( f '( ) lim ) lim f '( ) f '( ) derivable en Luego f() derivable en R-{} Ejercicio 9: Calcular los puntos donde la recta tangente a y --6 paralela a la recta y6-5 Si es paralela tienen misma pendiente, es decir m6. Como la pendiente de la recta tangente es f () se tiene que cumplir que f ()6 f ()6 6-6, -. P (,f())(,-8) P (-,f(-))(-,57) Ejercicio : Dada la función f() -4 encontrar los puntos donde la recta tangente a esta función sea paralela a la recta que corta la curva en, 4 Si son paralelas tienen la misma pendiente, calculemos las dos pendientes f (4) f () Pendiente recta secante en, 4 m 4 Pendiente rectas tangentes f ()-4 Luego -4 5/ P(5/,-/4) Página 4 de 9

15 Tema. Derivabilidad de funciones Ejercicio : Hallar los valores de a y b para que la recta tangente a la curva con función y bc en el punto P(,) sea perpendicular a y-.5 Primera condición la curva pasa por P, es decir f() 9bc Segunda condición al ser perpendicular la pendiente de la recta tangente será la inversa con gno menos m-/(-.5) para la recta tangente en f () 6b b4,c- Ejercicio : Estudiar la derivabilidad de f()/( ), y calcular f () a) f() es continua en todo R pues el denominador no se anula y la función valor absoluta es continua en R. Calculemos la derivada, para esto primero ponemos la función definida a trozos conforme a los valores del que cambian el gno de : f() > ( ) f () ( ) > El único punto donde ay que estudiar la derivabilidad es en, donde cambia de epreón analítica, ya que los denominadores no se anulan en ningún punto donde estén definidas. lim f '( ) o lim f '( ) lim f '( ). o lim f '( ) o o Función derivable en R, pues ( ) f (). continua <, ( ) Como es derivable en R podemos definir la segunda derivada: continua > y ( ) b) f () en la función f() no es dos veces derivable pues > ( ) lim f ''( ) lim f ''( ) o o Página 5 de 9

16 Tema. Derivabilidad de funciones Ejercicio Sea f() a) estudiar los valores de a que acen continua f(), b) ver para estos valores la función es derivable: f() a a a > a a) Los dos trozos de definición de f() son polinomios luego continuos en todo R y en por tanto en su dominio de definición. Sólo nos falta por estudiar la continuidad en a: lim f ( ) a a lim f ( ) a lim f ( ) a a a a a -a a -a a,a b) a f() f ( )f ( - ) > f () Luego es derivable en. Veamos la gráfica > a f() 4 > f () 4 > f ( - )f ( )4, luego es derivable en. Veamos la gráfica: Página 6 de 9

17 Tema. Derivabilidad de funciones Ejercicios de la P.A.U. Septiembre 4. Prueba A. PR- a) Sea f la función dada por f() -, estúdiese la derivabilidad de f en mediante la definición de derivada a) f ( ), R. < f ( ) f () lim lim f ( ) f () lim No derivable. f ( ) f () lim lim Septiembre 5. Prueba A PR-. a) Estúdiese la derivabilidad de ln Primero tenemos que estudiar la continuidad de f(): los dos trozos de la función son continuos, pues el argumento del logaritmo es empre potivo. De esta forma sólo tenemos que ver la continuidad en lim f ( ) ln() lim f ( ) lim f ( ) f(), luego es continua en R y podemos calcular la función derivada en todos los puntos:, > f '( ), Los dos trozos son continuos pues uno es un polinomio y el otro es un denominador que nunca se anula. Sólo tenemos que calcular la derivabilidad en : f ( )f ( - ) luego es derivable en y por tanto en R Junio 6. Prueba B. C-. Sea f()a b cd. Determínense a, b, c y d para que la recta y sea tangente a la gráfica de f en el punto (,-), y la recta -y- sea tangente a la gráfica de f en el punto (,-). a) Recta y- m y Pasa por (,-) f()d- f ()c Página 7 de 9

18 Tema. Derivabilidad de funciones b) Recta y- m y Pasa por (,-) f()ab-- f ()ab a, b- Septiembre 6. Prueba B. C- Calcúlense las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la gráfica de la función f() en el punto. ( ) f () la pendiente de la recta paralela es mf (), es ( ) ( ) decir paralela al eje, y la de la recta normal es m, paralela al eje y. Las dos pasan por el punto P(,f()) P(,) a) Tangente en (y-) y (eje X) b) Normal (eje Y) Veamos la gráfica de f(): Septiembre 7. Prueba A C-.- Determinar en qué puntos de la gráfica de la función y -, la recta tangente a la misma es paralela a la recta y7. Si las rectas son tangentes misma pendiente. La pendiente de la recta y7 es m. La pendiente de la recta tangente es igual a f () -6. Obliguemos a que la pendiente sea y calculemos el valor de la coordenada de los puntos buscados: -6 (-6), P (,f()) P (,) P (,f()) P (,-) Junio 8. Prueba A C-.- Determinar el valor de a para que la recta tangente a la función f() a en el punto sea perpendicular a la recta y. Si la recta tangente es perpendicular a y--, entonces la pendiente es m-/-. La pendiente de las rectas tangente en es f () aa. Igualando la derivada al valor de m obtenemos que a. Página 8 de 9

19 Tema. Derivabilidad de funciones Prueba B PR- Dada la función f(), se pide a) Estudiar la continuidad y derivabilidad de la función f() Continuidad: sólo ay que estudiar la continuidad en que es donde la función cambia de epreón analítica y donde se anula en denominador de la primera. sen( ) lim f ( ) lim ( L Hopital tema guiente) lim f ( ) lim f ( ) f() es por tanto continua en R Derivabilidad: como es continua en R podemos definir la función derivada en todos los puntos: sen( ) f () cos( ) > Sólo ay que estudiar la derivabilidad en f ( sen( ) sen( ) ) lim cos( ) lim ( L Hopital tema 4) f ( - )- Luego no es derivable en La función f() es derivable en R-{} Página 9 de 9