La descomposición de un problema complejo en un número de subproblemas más simples de resolver es una actividad usual en ingeniería.

Transcripción

1 Capítulo 8 Descomposcón La descomposcón de un problema complejo en un número de subproblemas más smples de resolver es una actvdad usual en ngenería. En síntess lógca es una actvdad fundamental, ya que separa un sstema lógco de un número elevado de entradas en un conjunto de subsstemas nterconectados con un número menor de varables de entrada. En la actualdad los dspostvos programables están basados en undades que pueden mplementar funcones con un número reducdo de entradas y saldas. Por ejemplo en FPGAs basadas en tablas de búsquedas de k entradas se pueden representar funcones boolenas con k varables de entrada y una salda. Entonces la tarea es descomponer los nodos de una red boolena que tengan más de k entradas en subredes funconalmente equvalentes que estén formadas solamente por nodos con k o menos entradas. Fgura 8.. Descomposcón paralela y seral. La Fgura 8., a la zquerda, muestra la descomposcón paralela, que separa la red en varas redes con menor número de entradas y saldas. La ubcada a la derecha lustra la descomposcón en sere. La descomposcón funconal de los crcutos combnaconales nfluye poderosamente en la dsmnucón de costos de mplementacón de los sstemas dgtales. Y tene su fundamento en que las tablas de verdad de funcones combnaconales, de un número elevado de varables, pueden contener redundancas, las que pueden ser elmnadas por la descomposcón de la funcón en varas funcones ndependentes con menos varables de entrada. Profesor Leopoldo Slva Bjt 92

2 2 Sstemas Dgtales Esta descomposcón no sólo reduce la complejdad sno que aumenta la escalabldad y la realzabldad de los sstemas. Desde un punto de vsta matemátco la descomposcón es el proceso de expresar una funcón de n varables como una funcón de funcones con varables menores que n. Se exponen los prncpales resultados de la teoría de descomposcón, lustrando los dferentes ejemplos medante mapas, lo cual es posble para un número reducdo de varables. Sn embargo en problemas reales con un número elevado de varables, para resolver cada uno de los subproblemas asocados a la descomposcón exsten heurístcas, que han permtdo desarrollar aplcacones computaconales que resuelven el problema. Su exposcón tene mayor relacón con cursos de estructuras de datos y algortmos. 8.. Descomposcón trval. Teorema de Shannon Extraccón de una varable. Una funcón de n varables puede ser descompuesta, aplcando el teorema de expansón de Shanonn, según: f ( x, x,.., x, x ) x ' f ( x, x,.., x,) x f ( x, x,.., x,) 2 n n n 2 n n 2 n X n f f(x n ) Fgura 8.2 Funcón de n varables. En la Fgura 8.. se ha defndo: X x, x2,.., x, x n n n S defnmos las funcones de (n) varables, según: Podremos expresar: Con: g ( x, x,.., x ) f ( x, x,.., x,) 2 n 2 n g ( x, x,.., x ) f ( x, x,.., x,) 2 n 2 n f ( x, x,.., x, x ) F( g, g, x ) 2 n n n F( g, g, x ) x ' g x g n n n Profesor Leopoldo Slva Bjt 92

3 Capítulo 8. Descomposcón 3 g X n g F(g, g, x n ) f(x n ) x n Fgura 8.3 Descomposcón trval. Donde: X n x, x2,.., x n La descomposcón consste en encontrar las funcones: g, g y F. Las funcones g se denomnan funcones predecesoras o auxlares; y la descomposcón se denomna seral o en red lógca de tpo árbol. La funcón F, puede ser mplementada usando un multplexor. X n g g f(x n ) x n Fgura 8.4 Implementacón con multplexor. S se escrbe la tabla de verdad de f como una matrz, smlar a un mapa de Karnaugh, donde los renglones representan los valores de x n, y las columnas asocadas a los valores de las combnacones del resto de las (n) varables, se tene la Fgura 8.5, la que representa una funcón de 4 varables: x 4 /x x 2 x 3 Fgura 8.5. Tabla de verdad de una funcón de 4 varables. Entonces el prmer renglón es la tabla de verdad de la funcón g ; el segundo corresponde al mapa de g. La funcón g, puede mnmzarse empleando el sguente mapa de tres varables: Profesor Leopoldo Slva Bjt 92

4 4 Sstemas Dgtales x 3 /x x 2 g =x 2 +x x 3 Fgura 8.6 Mapa de g. La funcón g, puede mnmzarse empleando el sguente mapa de tres varables: x 3 /x x 2 g =x x 2 +x 2 x 3 Fgura 8.7 Mapa de g. Resultando: F( g, g, x3) x3 ' g x3g x3 '( x2 ' x ' x3 ') x3( xx2 x2x 3 ') Extraccón de dos varables. Del msmo modo pueden dsmnurse las entradas a las funcones auxlares, generando funcones con un número menor de varables de entrada. La Fgura 8.8 muestra las funcones cofactores cuando se han extraído las varables x n y x n. g g X n2 g 2 F(g, g, g 2, g 3, x n, x n ) f(x n ) g 3 x n, x n Fgura 8.8. Descomposcón en 4 subfuncones. Las funcones de (n2) varables se obtenen a partr de la funcón f, según: g ( x, x,.., x ) f ( x, x,.., x,,) 2 n 2 2 n 2 g ( x, x,.., x ) f ( x, x,.., x,,) 2 n 2 2 n 2 g ( x, x,.., x ) f ( x, x,.., x,,) 2 2 n 2 2 n 2 g ( x, x,.., x ) f ( x, x,.., x,,) 3 2 n 2 2 n 2 Profesor Leopoldo Slva Bjt 92

5 Capítulo 8. Descomposcón 5 La funcón F, queda dada por: F( g, g, g, g, x, x ) x ' x ' g x ' x g x x ' g x x g 2 3 n n n n n n n n 2 n n 3 La cual puede ser mplementada medante un mux de 4 vías a una, según se muestra en la Fgura 8.9. g X n2 g g 2 2 f(x n ) g 3 3 x n, x n Fgura 8.9. Multplexor de 4 vías. La dentfcacón de las funcones auxlares o cofactores pueden vsualzarse como los renglones del mapa de Karnaugh, cuando en los renglones se ubcan los valores de las combnacones de las varables que controlan el multplexor, que podríamos llamar varables lbres. La Fgura 8., lustra el caso de una funcón de 5 varables. x 4 x 5 /x x 2 x 3 Fgura 8.. Tabla de verdad de una funcón de 5 varables. Donde las funcones g, se pueden mnmzar empleando mapas de tres varables Descomposcón de Ashenhurst. En 952 Ashenhurst demuestra las condcones en que una funcón f puede ser descompuesta en la forma: f ( x, x,.., x, x ) h( x, x,.. x, g( x, x,.., x )) 2 n n 2 k k k 2 n Se defne el conjunto de k varables lbres, según: X l x, x2,.., x k, y el conjunto de varables acotado según: X a xk, xk 2,.., x n. Debe notarse que el número de varables de entrada Profesor Leopoldo Slva Bjt 92

6 6 Sstemas Dgtales que tene la subfuncón g es (nk), y que el número de varables de entrada del bloque h es de (k+) varables, ambos menores que n. El módulo g debe poder ser mplementado en un dspostvo en el cual se pueda programar una funcón de (nk) varables de entrada y una salda. S la funcón h tene más de (nk) entradas puede ser descompuesta de manera smlar. Generando una red multnvel con estructura de árbol. S resultan en el proceso dos funcones guales, basta utlzar una nstanca, y generar múltples saldas de este bloque; en este caso la estructura deja de ser de tpo árbol para convertrse en un grafo drgdo acíclco. Se dce que la descomposcón es dsjunta ya que el conjunto de varables de entrada es partdo en dos subconjuntos con nterseccón vacía. Xa Xl g h(g, X l ) f(x n ) Compactando las columnas. Fgura 8.. Descomposcón de Ashenhurst. S se dbuja la tabla de verdad, colocando en los renglones las combnacones de los valores de las varables lbres, y en las columnas los valores de las combnacones del conjunto acotado, se tene una matrz denomnada de descomposcón. La condcón para que pueda aplcarse la descomposcón de Ashenhurst, es que las columnas de este arreglo tengan a lo más dos valores dferentes. Uno de los valores de las columnas estará asocado a g( xk, xk 2,.., x n) ; el otro a g( xk, xk 2,.., x n). Consderemos el sguente ejemplo de 5 varables. x x 2 /x 3 x 4 x 5 Fgura 8.2. Matrz de descomposcón con dos columnas con valores dferentes. Se tenen dos posbles eleccones para la funcón h, dependendo de la columna que se asoce al valor de g=. La Fgura 8.3 lustra una de las eleccones posbles. Profesor Leopoldo Slva Bjt 92

7 Capítulo 8. Descomposcón 7 Resulta, mnmzando: h x x2 ( x x2) g x x 2 /g(x 3,x 4,x 5 ) h Fgura 8.3. Tabla de verdad de h(g,xa). S se elge la otra columna asocada al valor de g=, resulta una funcón de gual costo, salvo que aparece g en la expresón. Nótese que se efectúa una mnmzacón o reduccón de columnas equvalentes. Las cuatro columnas asocadas a g=, permten determnar la funcón g( x3, x4, x 5). Corresponden a los valores equvalentes decmales del conjunto x3, x4, x 5 3,5,6,7. x 5 /x 3 x 4 g=x 3 x 4 +x 3 x 5 +x 4 x 5 Fgura 8.4. Tabla de verdad de g(xa). Debe notarse que tanto h como g pueden mplementarse con bloques que tengan un número de entradas acotado a 3. S se efectúa el dseño con compuertas tradconales, se obtene un dseño en cuatro nveles con 7 entradas. Un dseño mínmo en dos nveles permte obtener la expresón con 27 entradas: f xx 2 xx 3x4 x2x3x4 xx 3x5 x2x3x5 xx4 x5 x2x4x 5 La cual al ser factorzada, permte obtener: f xx 2 ( x x2)( x3x4 x3x5 x4x 5) Expresón en la cual pueden reconocerse las funcones g y h, obtendas medante descomposcón. Esta descomposcón dsjunta se basa en la mezcla de las columnas equvalentes con el objetvo de remover las redundancas de la tabla de verdad de n varables. Profesor Leopoldo Slva Bjt 92

8 8 Sstemas Dgtales Redundanca de renglones. Otra forma de encontrar las condcones sufcentes y necesaras para que exsta la descomposcón de Ashenhurst es observar los renglones de la matrz, que representan las combnacones de valores que puede tomar el conjunto lbre de varables de entrada. Observando las Fguras 8.3 y 8.8, se puede generalzar el resultado para la extraccón de k varables, notando que la funcón f puede descomponerse en 2 k funcones g ( X ), una por cada renglón. Con m 2 k el número de funcones auxlares, se tene: l g X a g f(x n ) g m 2 k X l Fgura 8.5. Multplexor de m entradas, controlado por varables lbres. Pero como la descomposcón de Ashenhurst sólo tene una funcón g, las dferentes funcones cofactores deben ser constantes (formadas por solamente ceros o unos), o poder ser expresadas en térmnos de una sola funcón o su complemento. Dcho de otro modo: no consderando los renglones formados por solamente ceros o unos, o aquellos que son complementos de otros renglones, sólo puede exstr un y solo un renglón dferente, el cual estará asocado a la funcón g de la Fgura 8.. La Fgura 8.6, muestra la estructura nterna de la funcón h: un bloque C, que solamente nterconecta sus cuatro posbles entradas con las 2 k entradas del mux; observando el dagrama en bloques la funcón combnaconal h depende de g y X, que es la forma deseada de descomposcón. l Profesor Leopoldo Slva Bjt 92

9 Capítulo 8. Descomposcón 9 X a g C X l 2 k f(x n ) h(g,x l ) Fgura 8.6. La funcón h es el multplexor más red combnaconal. En el caso del ejemplo de la Fgura 8.2, esto se cumple, ya que exste un solo renglón dferente en la matrz, además de las constantes. En este ejemplo no exste un renglón que sea complemento de otro. Observando la tabla de la Fgura 8.2, la funcón h puede escrbrse: h xx 2 ( x ' x2 xx 2 ') g La que mnmzada en el espaco de las varables lbres y g, tres varables en este caso, permte obtener: h x x2 ( x x2) g La funcón g, se determna obtenendo la tabla de verdad del segundo o tercer renglón, en térmnos de las varables acotadas, lo que se muestra en la Fgura 8.4. Esta descomposcón dsjunta se basa en la extraccón de los renglones equvalentes con el objetvo de remover las redundancas de la tabla de verdad de n varables Complejdad de la descomposcón. La dfcultad computaconal de la descomposcón está en la revsón de las dferentes partcones de la tabla de verdad que pueden realzarse. Como exsten C(n, a) combnacones de a varables de un conjunto de n, que es el número de formas de escoger a elementos de un total de n, donde C(n, a) es el coefcente bnomal; se tendrá ese número de partcones posbles. Además cada tabla tendrá 2 n valores. Esto mplca que el método descrto es no polnomal, debdo al crecmento exponencal. S lo que nteresa es obtener todas las partcones posbles, aceptando que tanto las varables acotadas como las lbres puedan ser cero, se tendrá un número total de partcones gual a 2 n, ya que se tene que: Profesor Leopoldo Slva Bjt 92

10 Sstemas Dgtales n n n n... 2 n n Para el caso del ejemplo descrto en la tabla de la Fgura 8., se tenen partcones, consderando que el número de varables del conjunto acotado es 3. Se enumeran a contnuacón los conjuntos de los índces de las varables acotadas: {, 2, 3}, {, 2, 4}, {, 2, 5}, {, 3, 4}, {, 3, 5}, {, 4, 5}, {2, 3, 4}, {2, 3, 5}, {2, 4, 5}, {3, 4, 5}. En el ejemplo vsto antes sólo se analzó el últmo conjunto. Pero no todas las partcones permten obtener una descomposcón dsjunta de Ashenhurst. La partcón, en la cual las varables acotadas son x 2 x 3 x 4, se muestra en la Fgura 8.7, en la cual hay 5 columnas dferentes, lo cual mplca que no exste la descomposcón de Ashenhurst. Lo msmo puede conclurse al observar que exsten cuatro renglones dferentes. x x 5 / x 2 x 3 x 4 Fgura 8.7. Partcón {2, 3, 4}. La tabla se construyó con el mapa de la expresón mínma en dos nveles de f. f x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x Entonces la descomposcón es de complejdad no polnomal y para su mplementacón práctca, deben resolverse los subproblemas: la generacón de partcones, la determnacón de cuales columnas o renglones son equvalentes y los métodos para determnar las subfuncones. Exsten numerosas contrbucones para resolver estos problemas: Algunas basadas en grafos coloreados, otras en cálculo con cubos, otras en dagramas de decsón bnaros. Todas ellas escapan a un curso ntroductoro de sstemas dgtales Descomposcón de Curts. Lo prmero que debe explorarse es s exste la descomposcón de Ashenhurst, ya que ésta descompone de manera sgnfcatva el problema. Sn embargo en muchos casos esta descomposcón no exste, en esta stuacón puede contnuarse aplcando la descomposcón de Curts. S en la Fgura 8.3, consderamos un conjunto lmtado de (nk) varables de entrada, en las funcones auxlares, asumendo que las funcones g, se mplementarán con bloques que tenen tambén un número acotado de entradas y una salda, podemos consderar el resto de las varables como un conjunto de k varables que denomnaremos lbre. n Profesor Leopoldo Slva Bjt 92

11 Capítulo 8. Descomposcón Para el caso tratado antes de extraccón de una varable, que se muestra en la Fgura 8.3, se tene que k= y por lo tanto: (nk)=n, este caso se denomna descomposcón smple o trval Descomposcón de Curts, con dos funcones auxlares. Interesa la stuacón en que los bloques g tenen acotado el número de varables de entrada. El esquema general de las funcones, con la notacón ntroducda, se muestra en la Fgura 8.8, para el caso de dos funcones serales. g X a g F(g, g, X l ) f(x n ) X l Fgura 8.8. Descomposcón dsjunta de Curts. S los dos conjuntos de varables tenen nterseccón vacía, se denomna dsjunta a la descomposcón. Una vez encontradas las funcones g, g, y F, puede volver a aplcarse descomposcón a la funcón F, hasta que todos los bloques serales g tengan no más de (nk) entradas. Demostraremos las condcones necesaras y sufcentes para que pueda encontrarse la descomposcón anteror. S se dbuja la tabla de verdad, colocando en los renglones las combnacones de los valores de las varables lbres, y en las columnas los valores de las combnacones del conjunto acotado, la condcón para que pueda aplcarse la descomposcón de Curts, con dos funcones auxlares, es que las columnas de este arreglo tengan a lo más cuatro valores dferentes. Las cuatro columnas no redundantes quedarán asocadas a los sguentes valores: g, g,,, El mapa formado por 4 columnas y 2 k g. renglones, defne la funcón F, en térmnos de X l, g y Las mezclas de las columnas equvalentes, permten determnar las funcones auxlares en térmnos de las varables del conjunto acotado. Nótese que en este caso el número de columnas equvalentes debe ser mayor que 2; ya que s sólo fueran dos podría aplcarse la descomposcón de Ashenhurst. Puede decrse que la descomposcón smple de Curts, cuando sólo se tenen dos columnas dferentes, es la descomposcón de Ashenhurst. Profesor Leopoldo Slva Bjt 92

12 2 Sstemas Dgtales S las columnas equvalentes fueran solamente 3, la determnacón de la funcón F, se ve smplfcada por la ntroduccón de una columna con valores superfluos. El análss de los renglones permte establecer que exste la descomposcón de Curts, con dos funcones serales, s se tenen dos renglones dferentes, una vez elmnados los renglones constantes y los renglones que son el complemento de otros Descomposcón de Curts, con m funcones auxlares. El resultado anteror puede generalzarse cuando se tenen a lo más 2 m columnas dferentes. En este caso se tendrán m funcones auxlares. S a es el número de varables que forman el conjunto acotado, la descomposcón se aplca s m < a; notar que s m=a, el número de entradas a la funcón F, no dsmnuye. Alternatvamente se tene una descomposcón general de Curts: s se tenen m renglones dferentes, una vez elmnados los renglones constantes y los renglones que son el complemento de otros. g g X a F(g, g,, g m, X l ) f(x n ) g m X l Fgura 8.9. Descomposcón dsjunta de Curts. Entonces para n varables, con k varables lbres, y m columnas equvalentes en la tabla de k n verdad de 2 2 k se tene la descomposcón de Curts, s y solamente s: k 2 m n k Nótese que los bloques g, representan una codfcacón de las varables del conjunto acotado, y exste compactacón s: m < nk. Algunas funcones pueden descomponerse por compactacón de renglones y no por mezcla de columnas y tambén ocurre lo opuesto. Debdo a esto pueden consderarse métodos de descomposcón dferentes. Profesor Leopoldo Slva Bjt 92

13 Capítulo 8. Descomposcón Fundamentos. S se escrbe la tabla de verdad de la funcón f de n varables, pero en la cual se colocan en los renglones las combnacones de las k varables lbres y en las columnas las combnacones de las a varables acotadas; y se rotulan las columnas de acuerdo al valor decmal equvalente se obtene la matrz de descomposcón de r 2 k renglones y c 2 a columnas. Esta matrz es smlar a un mapa de Karnaugh, pero sn emplear codfcacón Gray para enumerar renglones y columnas. Por ejemplo para la funcón completamente especfcada, de cnco varables: f ( x, x2, x3, x4, x5 ) m (, 6, 7,8,3,5,7,9, 22, 23, 24, 25, 27, 28) Con el conjunto de varables acotado A x, x2, x 3 y el conjunto de varables lbres: L x4, x 5 La matrz de descomposcón resulta: A L x 4 x 5 \x x 2 x f(a, L)=f(x,x 2,x 3,x 4,x 5 ) Fgura 8.2. Matrz de descomposcón. S descomponemos las varables en térmnos de los subconjuntos A y L, podemos escrbr: f ( x, x2, x3, x4, x5 ) f ( A, L ) La cual puede escrbrse en térmnos de los renglones, en lugar de los mntérmnos: f ( A, L) f ( A,) x4 ' x5 ' f ( A,) x4 ' x5 f ( A,2) x4x5 ' f ( A,3) x4x 5 El prmer renglón de f, es una funcón de tres varables, que representa los mntérmnos de ese renglón, lo cual puede anotarse: f ( A,) f ( x, x2, x3,,) x ' x2 ' x3 ' x ' x2x3 ' xx 2x3 ' xx2 x 3 Exstendo defncones smlares para el resto de los renglones. Profesor Leopoldo Slva Bjt 92

14 4 Sstemas Dgtales S además defnmos el producto de las varables de L, con el subíndce decmal equvalente del mntérmno asocado a esas dos varables, como p ( L ). Se tenen: p( L) x4 ' x 5 ', p ( L) x4 ' x 5 y así sucesvamente. Empleando estas defncones, puede escrbrse: f ( A, L) f ( A,) p( L) f ( A,) p( L) f ( A,2) p2( L) f ( A,3) p3( L ) Y empleando notacón con sumatoras, resulta: 3 f ( A, L) f ( A, ) p ( L ) De manera smlar la expansón por columnas, puede anotarse: 7 f ( A, L) f (, L) p ( A ) En un caso general de n varables, la expansón por columnas, resulta con c gual al número de columnas de la matrz: c f ( x, x,..., x ) f ( A, L) f (, L) p ( A ) 2 n En la Fgura 8.2, se muestra una mplementacón con multplexor, controlado por las varables acotadas de la expansón. Notar que las entradas al mux son funcones de las varables lbres, que representan los unos presentes de la funcón en cada columna. Exste smplfcacón en la descomposcón s varas de estas funcones son guales entre sí, o ben s unas son el complemento de otras, o s son constantes. La generacón de una entrada lógca uno o cero, no requere electrónca para ser mplementada; s una funcón es el complemento de otra, basta un nversor para generarla. f(,l) L f(,l).. f(,l)... f(c,l). c f(a,l) A Fgura 8.2. Expansón por columnas. La expansón por renglones, para un caso general con r gual al número de renglones, resulta: Profesor Leopoldo Slva Bjt 92

15 Capítulo 8. Descomposcón 5 r f ( x, x,..., x ) f ( A, L) f ( A, ) p ( L ) 2 n En la Fgura 8.22, se muestra una mplementacón con multplexor, controlado por las varables lbres, de la expansón. Notar que las entradas al mux son funcones de las varables acotadas, que representan los unos presentes de la funcón en cada renglón. Exste smplfcacón en la descomposcón s varas de estas funcones son guales entre sí, o ben s unas son el complemento de otras, o s son constantes. f(a,) A f(a,).. f(a,)... f(a,r). r f(a,l) L Fgura Expansón por renglones. Estas representacones son úncas, ya que en ambos casos se están representando los mntérmnos de la funcón f. En un caso se expande por columnas, en el otro por renglones. c r f ( x, x,..., x ) f (, L) p ( A) f ( A, ) p ( L ) 2 n Una vez ntroducda la notacón, nos nteresa descomponer f en las funcones g y h, según: f ( A, L) h( g( A), L ) Lo cual representa analítcamente a la descomposcón seral, que se muestra en la Fgura En la cual nteresa determnar las funcones h y g. A g L h( g(a), L) f(a,l) Fgura Descomposcón seral dsjunta. S cg es el número de columnas de la matrz que representa a la funcón h, se tene la sguente representacón por columnas: Profesor Leopoldo Slva Bjt 92

16 6 Sstemas Dgtales cg h( g, L) h( g, L) p ( g ) El mínmo número de columnas es dos, es decr cg=2. Lo cual mplca que la salda del bloque g, está formado por una varable. Una de las columnas de la matrz de h está asocada a g=, la otra a g=. Corresponde a la descomposcón de Ashenhurst. El número de columnas debe ser una potenca de dos, s cg=4, entonces el bloque g tene dos saldas, que podemos denomnar g y g, las que serían las varables, cuyos mntérmnos dentfcarían a las columnas. S cg=2 m, entonces g tene m saldas. Que podemos denomnar: g, g,, gm. Este es el caso general de la descomposcón dsjunta de Curts. S c=cg, es decr s A y g tenen el msmo número de columnas, no se reduce el número de entradas a la funcón h, será el msmo número de entradas de la funcón f. Entonces para que la descomposcón sea de nterés debe tenerse: c > cg. Entonces la funcón f, puede descomponerse en las funcones g y h: f ( x, x,..., x ) f ( A, L) h( g( A), L ) 2 n s y solamente s se cumple la gualdad de: c cg f (, L) p ( A) h( g, L) p ( g ) Para el caso de cg=4, se tene que cumplr: c f (, L) p ( A) h(, L) g ' g ' h(, L) g ' g h(2, L) g g ' h(3, L) g g Donde el lado zquerdo es conocdo, y el objetvo es determnar las subfuncones: h, g y g. Debe notarse que h(,l) y f(,l) son solamente funcones de las varables lbres. S c es mayor que cg, por ejemplo 8, ya que tene que ser una potenca de dos, exstrán 8 columnas en f y 4 columnas en h. Esto mplca tres varables acotadas. Entonces se requere que a lo más f tenga 4 columnas dferentes, ncludas los valores de columnas con puros ceros o puros unos; los valores de esas columnas serán los valores de las columnas de h. Exsten 4! formas de escoger las columnas de h, a partr de las columnas dferentes de f. S f tene 3 columnas dferentes, una de las columnas de h puede escogerse con solamente valores superfluos. Profesor Leopoldo Slva Bjt 92

17 Capítulo 8. Descomposcón 7 S f tene sólo dos columnas dferentes, entonces debe escogerse una funcón h que tenga dos columnas, y sólo basta una funcón g, es el caso de la descomposcón Ashenhurst. S f tene 5 columnas dferentes, no es posble satsfacer la gualdad, en este caso es precso que h tenga tambén 8 columnas, de las cuales 3 pueden ser fjadas en condcones superfluas. Sn embargo en este caso se requeren 3 funcones g, lo cual mplca que h tendrá gual número de entradas que la funcón f. Razón por la cual este caso no es de nterés en descomposcón. Una vez selecconadas las columnas de f que representarán a las de h, esta funcón puede determnarse. Además la determnacón de las funcones g puede realzarse con las sguentes cuatro ecuacones: f (, L) h(, L) f (, L) h(, L) f (, L) h(2, L) f (, L) h(3, L) p ( A) p ( g) g ' g ' p ( A) p ( g) g ' g p ( A) p ( g) g g ' 2 p ( A) p ( g) g g 3 Las cuales permten escrbr las tablas de verdad de las funcones g y g, en térmnos de las varables acotadas, ya que los p ( A ) sólo dependen de las varables acotadas. En la tabla de la Fgura 8.2, se han agregado dos renglones que dentfcan la seleccón realzada de las columnas de h, y los valores bnaros correspondentes de las saldas g y g. gg h(,l) h(,l) h(,l) h(2,l) h(2,l) h(,l) h(3,l) h(,l) A L x 4 x 5 \x x 2 x f(a, L)=h(g(A),L) Fgura Descomposcón seral dsjunta. La seleccón realzada para las columnas de h puede anotarse: h(, L) f (, L) f (2, L) f (7, L) x ' x ' 4 5 h(, L) f (, L) f (5, L) x x ' x x x h(2, L) f (3, L) f (4, L) x ' x x x x Profesor Leopoldo Slva Bjt 92

18 8 Sstemas Dgtales h(3, L) f (6, L) x4 ' x5 ' x4 ' x5 x4x5 x4 ' x 5 Las que reemplazadas en la sguente ecuacón, nos permten obtener h. cg h( g, L) h( g, L) p ( g ) h( g, L) x4 ' x5 ' g ' g ' x4g ' g x5gg ' ( x4 ' x5) gg Para determnar las funcones g y g, realzamos las sumatoras: g ' g ' p ( A) p ( A) p ( A) p ( A) x ' x ' x ' x ' x x ' x x x ,2,7 g ' g p ( A) p ( A) p ( A) x ' x ' x x x ' x ,5 g g ' p ( A) p ( A) p ( A) x ' x x x x ' x ' ,4 g g p ( A) p ( A) x x x ' S se suman las dos últmas ecuacones, se tene: g x ' x2x3 xx 2 ' x3 ' xx 2x3 ' x ' x2x3 xx 3 ' S se suman la segunda y la cuarta, se obtene: g x ' x2 ' x3 xx 2 ' x3 xx 2x3 ' x2 ' x3 xx2 x 3 ' La determnacón de las funcones tambén puede obtenerse empleando la nformacón de la matrz de descomposcón. Elmnando las columnas duplcadas de la Fgura y los renglones asocados a las varables acotadas, resulta la Fgura 8.25; donde se puede determnar la funcón sucesora h. h(,l) h(,l) h(2,l) h(3,l) L x 4 x 5 \ gg 2 3 h(g,l) Fgura Funcón h(g,l). Profesor Leopoldo Slva Bjt 92

19 Capítulo 8. Descomposcón 9 S en la Fgura 8.24, se elmnan los renglones asocados a las varables lbres, y sólo se dejan los renglones asocados a las tablas de verdad de las funcones g y g, se obtene la Fgura gg x x 2 x 3 Fgura Tablas de verdad de las funcones g y g. Funcones que pueden ser mnmzadas, redbujando las tablas de verdad como mapas de Karnaugh. x 4 x 5 \ gg h(g, x 4, x 5 ) Para las funcones antecesoras: Fgura Mapa de Karnaugh de h. h( g, g, x4, x5 ) gx5 ggx4 ' g ' gx4 g ' g ' x4 ' x 5 ' x 3 \ x x 2 gg Fgura Mapa de Karnaugh de g y g. Resultan: g( x, x2, x3) x x3 ' x ' x2x 3 g ( x, x, x ) x ' x x x x ' Descomposcón de funcones ncompletamente especfcadas. Cuando la tabla de verdad tene condcones superfluas se dce que dos columnas, j son compatbles s cada elemento en la columna es gual al correspondente elemento de j, o s el elemento en o en j no está especfcado. Dcho de otra forma: Dos columnas, Cr y Cs, son compatbles, s no exste un renglón, para el cual los correspondentes elementos Cr y Cs sean dferentes, cuando ambos están especfcados. Profesor Leopoldo Slva Bjt 92

20 2 Sstemas Dgtales La descomposcón de estas funcones está gobernada por las msmas reglas anterores, excepto que exsten varas combnacones alternatvas para mezclar las columnas compatbles. En estos casos la solucón puede no ser únca. Un conjunto de columnas para el cual cada par de columnas son compatbles se denomna clase compatble. Las clases compatbles que no son subconjuntos de otras clases compatbles se denomnan clases de compatbldad máxma. Fnalmente se seleccona un subconjunto de mínma cardnaldad de las clases máxmas, tal que cada columna esté al menos en una de clases de compatbldad máxma que se empleen Ejemplo. Veremos a través de un ejemplo la forma de compactar las columnas de la tabla de la funcón f ncompletamente especfcada. Varables lbres: (a,b), varables acotadas: (c,d,e). ab/ cde C C C2 C3 C4 C5 C6 C7 f(a,b,c,d,e) Fgura Descomposcón de funcón con condcones superfluas. Como ejemplo, los sguentes pares son ncompatbles: (C, C), (C, C2), (C, C5), (C, C7). Para formar las clases, es precso dsponer de los pares de columnas compatbles. En la sguente tabla de la Fgura 8.3, en la prmera columna se anotan los pares ndcando los índces de las columnas. Para formar la segunda columna, se recorren los pares para detectar los tríos de columnas compatbles entre sí. Por ejemplo se tenen los pares: (,3), (,4) y (3,4), entonces se forma el trío de columnas compatbles entre sí: (, 3, 4). En la Fgura 8.3, no se muestran todos los vínculos que permten construr la segunda columna. Como se usan todos los pares al formar la columna de tríos, no se tene una clase máxma formada por dos columnas. Luego de la columna de tríos se forma una clase compatble de cuatro columnas entre sí. De este modo puede formarse la clase (,3,4,6) ya que se tenen: (,3,4), (,3,6), (,4,6) y (3,4,6). Se procede de gual forma hasta que no se puedan generar clases con un número mayor de columnas compatbles entre sí. Nótese que en la tercera columna quedan dos clases con cuatro columnas compatbles entre sí, y en la segunda quedan dos con tres columnas compatbles entre sí. Éstas son las clases de compatbldad máxma. Profesor Leopoldo Slva Bjt 92

21 Capítulo 8. Descomposcón 2,3,4,6,3,4,5,6 2,5 2,7 3,4 3,6 4,5 4,6 5,7,3,4,3,6,4,6,3,4,3,6,4,5,4,6 2,5,7 3,4,6,3,4,6,3,4,6 Fgura 8.3. Formacón de clases de compatbldad máxma. Ahora debe efectuarse una seleccón de las clases, de tal modo que cada una de las columnas esté ncluda en alguna de las clases selecconadas. Por ejemplo, pueden escogerse las clases: (,3,4,6), (,4,5), (2,5,7). Fnalmente los elementos múltples deben elmnarse, resultando las sguentes clases: (,3,4,6), (,5), (2,7). La mezcla de las columnas de cada clase, que en el caso del ejemplo son tres, se asocan a los valores de las funcones serales g y g. Nótese que se agrega una columna con valores superfluos, lo que permte un nvel adconal de mnmzacón de la funcón: h(g, g, (a,b)) La codfcacón de las columnas nfluye en la mnmzacón. ab/ gg C,C3,C4,C6 C,C5 C2,C7 h Fgura 8.3. Mezcla de columnas de clases compatbles. Para la determnacón de las funcones g, en térmnos de las varables acotadas, se tenen: Profesor Leopoldo Slva Bjt 92

22 22 Sstemas Dgtales cde gg C C C2 C3 C4 C5 C6 C7 Fgura Tablas de las funcones predecesoras. Resultan, luego de la mnmzacón: h a ' g ' g ' bg ag g c ' de' cde g d ' e c d e a b g h f 8.5. Descomposcones no dsjuntas. Fgura Resultado de la descomposcón. Cuando no se cumplen las condcones para descomposcones dsjuntas, puede encontrarse descomposcones no dsjuntas, agregando al conjunto acotado una de las varables lbres. S A C son las varables acotadas y L C son las varables lbres y C es no vacío se tene una descomposcón no dsjunta. A C g F f L Fgura Descomposcón no dsjunta. El uso de mapas con varables repetdas, permte generalzar el caso de las descomposcones dsjuntas al tratamento de las no dsjuntas. El mapa con varables repetdas es ncompletamente especfcado aunque la funcón orgnal sea completamente especfcada. Cada varable repetda crea un mapa de una dmensón mayor en el cual las nuevas celdas ntroducdas son condcones superfluas Ejemplo. La funcón f, de la Fgura 8.35, no tene descomposcón dsjunta de Curts, no hay 4 columnas dferentes; n Ashenhurst, ya que no hay sólo 2. Puede verfcarse que no exste Profesor Leopoldo Slva Bjt 92

23 Capítulo 8. Descomposcón 23 descomposcones elgendo los ses conjuntos lbres posbles en este caso: ab, cd, ac, bd, ad, bc. Dseño en dos nveles: f = bcd+acd+a c d +b c d +a b d con 2 entradas. AB CD f(a, B, C, D) Fgura Descomposcón no dsjunta. S se ntroducen las varables C = C2 = C, aparecen numerosas condcones superfluas, ya que s C es la msma varable, no se pueden producr los casos en que C y C2 sean dferentes. CAB C2D f(a, B, C, D) a) Dseño mezclando columnas. Fgura Mapa con varable C repetda. Elgendo valores para las casllas superfluas, pueden tenerse los sguentes conjuntos de columnas compatbles: (,,2,4) (3,5,6,7), se ha empleado el decmal equvalente para dentfcar la columna. Puede notarse que las columnas y 2 no son compatbles, ya que para el renglón, una tene valor uno y la otra valor cero. Exsten otras eleccones posbles de las condcones superfluas, que permten selecconar otros conjuntos de columnas compatbles. Entonces mezclando las columnas compatbles, puede verse que exste la descomposcón de Ashenhurst no dsjunta. Profesor Leopoldo Slva Bjt 92

24 24 Sstemas Dgtales cd\g h=d g +cdg Fgura Ashenhurst no dsjunta. La determnacón de la funcón g, puede obtenerse consderando que g será uno cuando las varables acotadas CAB toman las combnacones:,,,, con el mapa: c\ab g=ab + ac+ bc Fgura Funcón predecesora g. Evaluando el costo con compuertas elementales, resulta de 7 entradas y 5 nveles. Sn embargo este cálculo no es relevante s las funcones g y h pueden mplementarse en un bloque básco. b) Dseño compactando renglones. Elgendo valores para las condcones superfluas, pueden formarse dos renglones complementaros CAB C2D f(a, B, C, D) Fgura Formacón de renglones compatbles. La ecuacón para la funcón sucesora, se obtene con la ecuacón del multplexor gobernado por las varables lbres. h= gc d +c d+ g cd + gcd La cual puede ser mnmzada: h= cdg +d g Profesor Leopoldo Slva Bjt 92

25 Capítulo 8. Descomposcón 25 La funcón antecesora, resulta del mapa del prmer renglón: c\ab g=a b + a c + b c Fgura 8.4. Mapa para obtener funcón g. Que para fnes de comparacón, mplementada con compuertas tradconales, resulta de 7 entradas y 5 nveles Factorzando con SIS, que emplea cálculo con cubos, se obtene la red booleana: g = ab, g2=a +b h= d g +cdg+c d g2 con 6 entradas, 4 nveles 8.6. Descomposcón paralela. En caso de tener sstemas con múltples saldas debe aplcarse la descomposcón en paralelo. En la descomposcón paralela el conjunto de varables de salda f, es partconado en dos subconjuntos f G y f H, y la funcón f en las funcones G y H correspondentes. De tal modo que los conjuntos X G y X H, de varables de entrada a los bloques G y H respectvamente, contengan menos varables que el conjunto X de varables de entrada a la funcón f. X X G X H f f G f H Fgura 8.4. Descomposcón paralela. S los conjuntos X G y X H son dsjuntos, se dce que la descomposcón paralela es dsjunta; s la nterseccón es no vacía se dce que es no dsjunta. Se denomna descomposcón balanceada al proceso de partr una funcón medante descomposcón paralela o seral en cada fase del proceso de síntess Síntess multnvel Redes lógcas booleanas. La mnmzacón como suma de productos es un proceso de síntess lógca realzada en dos nveles de compuertas. Estos dseños tenen mínmo retardo para la propagacón de los cambos entre las entradas y las saldas, pero a costa de compuertas con gran número de entradas. Profesor Leopoldo Slva Bjt 92

26 26 Sstemas Dgtales Compuertas con muchas entradas requeren mayor superfce para ubcar los transstores dentro del proceso de ntegracón; por lo cual debdo al compromso área versus tempo de retardo, los dseños de sstemas complejos suelen tener más de dos nveles. La estructura de dspostvos CPLD permte naturalmente la mplementacón de lógca en dos nveles. La estructura nterna de los dspostvos FPGA, basada en la nterconexón de pequeñas celdas estándares, está más orentada a la mplementacón de lógca multnvel. Los sstemas computaconales de ayuda al dseño (CAD) que permten la optmzacón de lógca multnvel, modelan las ecuacones medante una red lógca booleana, que es una generalzacón de un netlst o un esquemátco basado en compuertas. La Fgura 8.42 muestra un esquemátco smple, basado en compuertas. A D B C x x2 Fgura Esquemátco basado en compuertas. La Fgura 8.43 representa una red lógca booleana, en la cual las saldas de los bloques, denomnados vértces nternos o nodos, son funcones booleanas. Es decr un netlst de componentes conectadas, pero éstas pueden ser ahora funcones booleanas arbtraras. La estructura resultante es un grafo drgdo acíclco. En un caso general puede suponerse que las entradas a la red, provenen de saldas de latchs o flpflops, que almacenan los valores de las varables; y que las saldas de la red son almacenadas en regstros. A B C D x x2 Fgura Red lógca booleana. Los métodos de mnmzacón están basados en transformacones locales o globales de la red. Las transformacones locales apuntan a reducr el área y el tempo de propagacón asocados al nodo o ben a mapear la funcón del nodo a determnada nterconexón de celdas báscas. Las Profesor Leopoldo Slva Bjt 92

27 Capítulo 8. Descomposcón 27 transformacones globales reestructuran la red, por ejemplo: unendo nodos, o separando un nodo en dos, o cambando las conexones entre nodos. S las funcones de cada nodo se representan en forma suma de productos, el costo de la red puede calcularse como la suma de los lterales de cada nodo. No se dspone, por el momento, de herramentas que logren la optmzacón de sstemas complejos multnvel; a cambo se dspone de operacones que se realzan sobre la red, ntentando un cambo; en caso de dsmnur el costo de la red, se acepta el cambo, en caso contraro se ntenta otra modfcacón, esto puede repetrse hasta que no se logren nuevas reduccones del costo. Se entende por optmzacón multnvel al proceso de encontrar factores lógcos que sean comunes, lo cual reduce el fan n pero aumenta el número de nveles. Luego debe mapearse estas formas factorzadas en alguna de las formas que estén dsponbles en una bbloteca Operacones. Elmnacón de un nodo. Se elmna un nodo nterno medante el reemplazo de la funcón que lo descrbe en todos los nodos que éste almenta. Se elmna un nodo de pequeño costo, el cual es absorbdo por el resto. Tambén se denomna colapsamento del nodo x. Esta operacón dsmnuye el tempo de propagacón de la red pero aumenta los costos de los nodos. La Fgura 8.44 muestra la elmnacón del nodo con salda x. A B C D x=a +B S=x+C T=xD C A B A B D S=A +B+C T=(A +B)D Creacón de un nodo. Fgura Elmnacón nodo x. Se agrega un nuevo vértce que contene una subexpresón que es común a dos o más nodos; luego la salda del nuevo nodo substtuye el térmno común en los nodos. Se dsmnuye el tamaño de algunos nodos, agregando un nodo factor; de este modo los nodos resultantes son de costos menores. Profesor Leopoldo Slva Bjt 92

28 28 Sstemas Dgtales C A B A B D S=(A+B)C T=(A+B)D A B C D x=a+b S=xC T=xD Fgura Creacón nodo x. Esta operacón tambén se denomna extraccón, ya que obtene un factor que es común a varas funcones. Esta operacón aumenta el tempo de propagacón de la red pero dsmnuye los costos de los nodos. Las sguentes son operacones que se realzan sobre un nodo. Descomposcón. Una funcón puede descomponerse en partes. Por ejemplo la funcón que tene asocado el nodo: f = abc+abd Puede descomponerse en tres nodos: f, x e y, con las sguentes funcones para cada nodo: f = xy x = ab y = c+d Factorzacón. Una funcón puede descomponerse en sus factores. Por ejemplo la funcón que tene asocado el nodo: f = ac + ad + bc + bd Puede factorzarse según: f = (a+b)(c+d) Encontrar métodos para obtener factores adecuados ha sdo posble gracas al desarrollo de nuevos conceptos teórcos: Para lograr dsponer del operador dvsón no se defnen algunos postulados del algebra de Boole, de este modo una expresón booleana se comporta como un polnomo de números reales. Específcamente no se defnen: a+a =, aa =, aa=a, a+a=a, a+=, a+(b+c) =(a+b)(a+c). Con esto podemos usar para expresones las reglas algebracas empleadas con reales. Nótese que en este ambente una varable y su complemento no tenen nnguna relacón. Smplfcacón. Puede aplcarse un método de smplfcacón, del tpo mnmzacón en forma de suma de productos, a la funcón asocada a un nodo. S no se elmnan varables se tene una mnmzacón local; sn embargo s se elmna una o más varables, se dce que la smplfcacón es global ya que camba la red. SIS La forma de efectuar mnmzacones multnvel es a través de herramentas CAD de ayuda al dseño. Éstas suelen venr ncorporadas en el software provsto por los fabrcantes de dspostvos programables, o ben se producen en forma comercal. Por otra parte se puede usar software lbre como ss, que fue desarrollado por la Unversdad de Berkeley. Ver Apéndce 6, Profesor Leopoldo Slva Bjt 92

29 Capítulo 8. Descomposcón 29 sobre uso de ss. Más recentemente está en desarrollo el sstema abc, tambén en la Unversdad de Berkeley, éste últmo acepta entradas en verlog estructural Formas factorzadas. Una expresón booleana puede representarse medante una forma factorzada. Estas formas podían descrbrse según: Es un producto de sumas de productos o una suma de producto de sumas. Las sguentes son formas factorzadas: x, y, abc, a+b c, ((a +b)cd+e)(a+b )+e Pero: (a+b) c no es una forma factorzada ya que la complementacón de una expresón no está permtda, salvo sobre lterales. Puede defnrse recursvamente según: Una forma factorzada es un producto o una suma, donde: El producto es un lteral smple o un producto de formas factorzadas. La suma es un lteral smple o una suma de formas factorzadas. Las formas factorzadas no son úncas. La sguentes tres formas son equvalentes: ab+c(a+b) bc+a(b+c) ac+b(a+c) Una forma suma de productos es una forma factorzada pero seguramente no es una buena factorzacón consderando el costo espacal. La expresón en forma de suma de productos: f = ae+af+bce+bcf+bde+bdf tene un costo de 6 lterales. La forma factorzada equvalente f = (a+b(c+d))(e+f), tene un costo de 6 lterales. Esto mplca que una forma ben factorzada es bastante más compacta que la cobertura mínma formada por la suma de mplcantes prmos. La forma suma de productos de la funcón de varables, func tene 42 lterales, con 54 entradas en total, en dos nveles. El or fnal de esta mplementacón tene 2 entradas. func=ac+ade+adfg+adfh+adf+adfj+bc+bde+bdfg+ bdfh+bdf+bdfj Esto consderando que func está mnmzada. La forma factorzada equvalente func2, tene lterales y 6 nveles. Con 6 entradas en total. En este dseño todas las compuertas son de dos entradas, salvo una que es de 4. func2=(a+b)(c+d(e+f(g+h++j))) A través de los ejemplos anterores se comprueba que las formas factorzadas son útles en la reduccón del costo de una red multnvel. En dseños de funcones ntegradas CMOS, las redes de pullup y pull down corresponden a la forma factorzada de la funcón. Profesor Leopoldo Slva Bjt 92

30 3 Sstemas Dgtales Problemas resueltos. P8.. Descomposcón. Se tene la sguente funcón de cuatro varables. a b c d f Fgura P8.. Funcón de cuatro varables. Se efectúa la descomposcón, empleando como varables lbres: a, b. LO prmero que se realza es determnar la matrz de descomposcón. ab\cd Fgura P8.2. Matrz de descomposcón. Luego se buscan columnas equvalentes. Se encuentran dos columnas dferentes, lo que mplca que la red tene descomposcón de Ashenhurst. Luego se escogen las columnas de h. Profesor Leopoldo Slva Bjt 92

31 Capítulo 8. Descomposcón 3 ab\g h=ab +b g+a bg Fgura P8.3. Funcón sucesora. Fnalmente se determna la funcón g. a\b g=b Fgura P8.4. Funcón predecesora. La solucón alternatva es compactando los renglones. El prmer y segundo renglón son complementaros, los otros dos renglones son constantes, lo cual mplca que exste descomposcón de Ashenhurst: P8.2. Factorzacón. f ga ' b' g ' a ' b ab' ab g c ' d cd ' La funcón de 5 varables: f AC AD BE BF es de la forma suma de productos, y no puede ser reducda por smplfcacón. Su mplementacón tene un costo total de: = 2 entradas, y 8 lterales. Se desea obtener una forma factorzada mplementada medante NANDs, Sn embargo, medante factorzacón puede escrbrse: f A( C D) B( E F ), la cual requere = entradas, y 6 lterales según puede aprecarse en la Fgura P8.5. Esta expresón no es suma de productos pura; pero su mplementacón es drecta, empleando AND y OR e mplca tres nveles. C D A f E F B Fgura P8.5. Forma factorzada en tres nveles. Profesor Leopoldo Slva Bjt 92

32 32 Sstemas Dgtales Las formas factorzadas tambén pueden mapearse con compuertas nand. El teorema de De Morgan ndca que la sguente compuerta es equvalente a un NAND. Fgura P8.6. Nand según De Morgan. Se complementan las varables de entrada y se nsertan burbujas nversoras en las entradas de las compuertas or de prmer nvel. Luego se nsertan dobles burbujas nversoras a la salda de los ands del segundo nvel, formando un nand y desplazando la burbuja haca las entradas de los or del tercer nvel. Resulta la red de la Fgura P8.7. C D E F A B f Fgura P8.7. Dseño en base a NANDs Luego se representan todas las compuertas, usando el símbolo de los NAND. El dseño se logra empleando 5 compuertas nand y con entradas. Debe notarse que este método asume que se dspone de las entradas y sus complementos. Ejerccos propuestos. E8.. Efectuar la descomposcón, s es posble, del problema P8., para los sguentes juegos de varables lbres: (a,c), (a,d), (b,c), (b,d) y (c,d). Comparando los resultados, y selecconando la mejor descomposcón. E8.2. Dada la forma factorzada: (a + b + c)(d + e) f+g expandrla a suma de productos. Comparar las formas respecto del: número de nveles, de entradas y de lterales. Efectuar el dseño empleando solamente compuertas nand. Profesor Leopoldo Slva Bjt 92

33 Capítulo 8. Descomposcón 33 Referencas. R. L. Ashenhurst, The decomposton of swtchng functons, Bell Laboratores, Tech. Rep. BL(), 952. H. Allen Curts, Generalzed Tree Crcut, Lews Research Center. NASA. 96. Marek A. Perkowsk, Tadeusz Luba, et al, Unfed approach to functonal decompostons of swtchng functons, Portland State Unversty, 995. Profesor Leopoldo Slva Bjt 92

34 34 Sstemas Dgtales Índce general. CAPÍTULO 8... DESCOMPOSICIÓN DESCOMPOSICIÓN TRIVIAL. TEOREMA DE SHANNON Extraccón de una varable Extraccón de dos varables DESCOMPOSICIÓN DE ASHENHURST Compactando las columnas Redundanca de renglones Complejdad de la descomposcón DESCOMPOSICIÓN DE CURTIS Descomposcón de Curts, con dos funcones auxlares Descomposcón de Curts, con m funcones auxlares Fundamentos DESCOMPOSICIÓN DE FUNCIONES INCOMPLETAMENTE ESPECIFICADAS Ejemplo DESCOMPOSICIONES NO DISJUNTAS Ejemplo a) Dseño mezclando columnas b) Dseño compactando renglones DESCOMPOSICIÓN PARALELA SÍNTESIS MULTINIVEL Redes lógcas booleanas Operacones Elmnacón de un nodo Creacón de un nodo Descomposcón Factorzacón Smplfcacón SIS Formas factorzadas PROBLEMAS RESUELTOS P8.. Descomposcón P8.2. Factorzacón EJERCICIOS PROPUESTOS E E REFERENCIAS ÍNDICE GENERAL ÍNDICE DE FIGURAS Profesor Leopoldo Slva Bjt 92

35 Capítulo 8. Descomposcón 35 Índce de fguras Fgura 8.. Descomposcón paralela y seral.... Fgura 8.2 Funcón de n varables Fgura 8.3 Descomposcón trval Fgura 8.4 Implementacón con multplexor Fgura 8.5. Tabla de verdad de una funcón de 4 varables Fgura 8.6 Mapa de g Fgura 8.7 Mapa de g Fgura 8.8. Descomposcón en 4 subfuncones Fgura 8.9. Multplexor de 4 vías Fgura 8.. Tabla de verdad de una funcón de 5 varables Fgura 8.. Descomposcón de Ashenhurst Fgura 8.2. Matrz de descomposcón con dos columnas con valores dferentes Fgura 8.3. Tabla de verdad de h(g,xa) Fgura 8.4. Tabla de verdad de g(xa) Fgura 8.5. Multplexor de m entradas, controlado por varables lbres Fgura 8.6. La funcón h es el multplexor más red combnaconal Fgura 8.7. Partcón {2, 3, 4}.... Fgura 8.8. Descomposcón dsjunta de Curts.... Fgura 8.9. Descomposcón dsjunta de Curts Fgura 8.2. Matrz de descomposcón Fgura 8.2. Expansón por columnas Fgura Expansón por renglones Fgura Descomposcón seral dsjunta Fgura Descomposcón seral dsjunta Fgura Funcón h(g,l)... 8 Fgura Tablas de verdad de las funcones g y g Fgura Mapa de Karnaugh de h Fgura Mapa de Karnaugh de g y g Fgura Descomposcón de funcón con condcones superfluas Fgura 8.3. Formacón de clases de compatbldad máxma Fgura 8.3. Mezcla de columnas de clases compatbles Fgura Tablas de las funcones predecesoras Fgura Resultado de la descomposcón Fgura Descomposcón no dsjunta Fgura Descomposcón no dsjunta Fgura Mapa con varable C repetda Fgura Ashenhurst no dsjunta Fgura Funcón predecesora g Fgura Formacón de renglones compatbles Fgura 8.4. Mapa para obtener funcón g Fgura 8.4. Descomposcón paralela Fgura Esquemátco basado en compuertas Fgura Red lógca booleana Profesor Leopoldo Slva Bjt 92

36 36 Sstemas Dgtales Fgura Elmnacón nodo x Fgura Creacón nodo x Fgura P8.. Funcón de cuatro varables Fgura P8.2. Matrz de descomposcón Fgura P8.3. Funcón sucesora Fgura P8.4. Funcón predecesora Fgura P8.5. Forma factorzada en tres nveles... 3 Fgura P8.6. Nand según De Morgan Fgura P8.7. Dseño en base a NANDs Profesor Leopoldo Slva Bjt 92