UNIDAD 8.- LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD (tema 11 del libro) tiene por límite L cuando la variable independiente x tiende a x.

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1 UNIDAD 8.- ÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD (tema del libro). ÍMITE. ÍMITES ATERAES Diremos que una función y f () tiene por ite cuando la variable independiente tiende a, y se nota por f ( ), cuando al acercarnos todo lo que queramos a, las f () se aproiman todo lo que queramos a. Esta definición es de andar por casa, pero nos rve para su comprenón. as definiciones correctas las tenéis en el libro, pero no son necesarias saberlas. El que quiera que las estudie. Vamos a calcular de una manera un poco cutre ( ) haciendo una tabla de valores: a epreón, nos indica que puede tomar valores infinitamente cercanos a. Nos podemos acercar con valores próimos a pero menores que (ite lateral izquierdo) o bien con valores próimos a pero mayores a (ite lateral derecho) Hacemos la tabla por la izquierda: f ( ) Gráficamente nos queda así: y 9 8 f('99) 7'9 7 f('8) f('5) as imágenes se aproiman a 8 f() - Nos acercamos a por la izquierda O '5 '8 ' ( ) 8 Según esta tabla podemos concluir que el ite lateral izquierdo, vale 8. gno menos como superíndice del nos indica que es por la izquierda) (el Análogamente, hacemos la tabla por la derecha 5 f ( )

2 Gráficamente nos queda así: f('5) 5 y as imágenes se aproiman a 8 9 f(') 8'6 f(') 8' f() - 5 O Nos acercamos a por la derecha ' ' '5 5 6 ( ) 8 Según esta tabla podemos concluir que el ite lateral derecho, vale 8. como superíndice del nos indica que es por la derecha) (el gno Si hacemos una tabla con valores próimos a tanto por la izquierda como por la derecha multáneamente, ( ) 8 también tendríamos que la función tiende a 8. Es decir, que tenemos que uego concluimos, que para que una función tenga ite ha de tener los ites laterales y estos han de ser iguales. Matemáticamente se epresa de la guiente forma: (esto es importante) f ( ) f ( ) f ( ) os ites laterales se usan sobre todo cuando la función viene definida de manera diferente por la izquierda o por la derecha. También se usan cuando el denominador de una fracción tiende a, NOTA: También nos fijamos, para calcular los ites no hay que hacer aburridas tablas, bastaría con sustituir el valor al que tiende en la epreón de la función. En nuestro ejemplo, ( ) 8 Ejemplo.- Calcular los guientes ites: a) (5 ) 5 9 b) 5 5

3 En estos dos mples ejemplos, se pueden hacer también los ites laterales y sus resultados son los mismos.. OPERACIONES CON ÍMITES Sean f () y g () dos funciones convergentes en, es decir, que tienen ite cuando tiende a, y valen: f ( ) y g( ) M, entones se cumple que: a) ( f ± g) ( ) f ( ) g( ) M Ejemplo : ( ln( ) ) ln() b) ( f g) ( ) f ( ) g( ) M Ejemplo : ( cos() ) π cos( π ) π c) π f f ( ) ( ) g g( ) Ejemplo: ( ) 5 d) n f ) n f ( ) ( M Ejemplo 5: 5 g ( ) g ( ) e) ( ) ( ) f ( ) f ( ) log( ) log() Ejemplo 6: ( ) ( ) VER: Ejercicios resueltos del libro página 5. ÍMITES INFINITOS CUANDO TIENDE A UN Nº REA Supongamos una función cuya gráfica es como gue: Tenemos que al acercarnos a por la izquierda la función va a, o sea, f ( ) Tenemos que al acercarnos a por la derecha la función va a o sea, f ( ), Aquí los ites laterales no coinciden, uno va a y el otro va a. En estos casos diremos que el ite global (acercándonos por los dos lados) es: f ( ) No le ponemos gno al infinito

4 Estos ites son de la forma k, que dan un infinito, y tenemos que estudiar sale un cero negativo o potivo para conocer el gno del infinito o no lleva. Ejemplo 7: Calcular: a) 5 ) Si sustituimos nos queda puesto que el al estar al cuadrado da igual ( 5 que sea ó -, pues empre saldrá. No hemos tenido que utilizar los ites laterales. Por tanto, concluimos que 5 ) ( 5 b) para conocer su gno Si sustituimos nos queda, que dará un infinito. Estudiemos los ites laterales ( ) ( ) ( ) ( ) Por tanto concluimos que, c) Si sustituimos nos queda, que dará un infinito. Estudiemos los ites laterales para conocer su gno. Para ello hemos de descomponer en factores el polinomio denominador: ( )( ) Hacemos los laterales: ATERA IZQUIERDO ATERA DERECHO ( )( ) ( )( ) Y por tanto concluimos que,. ÍMITES FINITOS EN E INFINITO Se trata de ites donde la variable independiente tiende a ó a, y la función tiende a un nº finito. Veamos con un ejemplo gráfico a que nos referimos. Sea la gráfica guiente:

5 Tenemos que: a) f ( ) b) f ( ) Y por recordar un poco del punto 9 (ites laterales), qué pasa en? Calculamos los laterales y tenemos que f ( ) f ( ) y, que como son distintos nos indican que no eiste el f ( ) ite global en, es decir, (NOTA : gnifica no eiste) Ejemplos de este tipo veremos más adelante. VER: Ejercicios resueltos del libro página 5 5. ÍMITES INFINITOS EN E INFINITO Es milar al caso anterior, sólo que el valor del ite también es infinito. Veamos un ejemplo gráfico: Tenemos que f () y que Ejemplo 8: Calcula: a) ( ). Veamos por qué. f () Si la es que se hace todo lo grande que queramos, y así ( ) también se hace todo lo grande que quiera. De otra forma, podemos sustituir por y nos resulta ( ) ( ). Es más, el es despreciable en comparación con el. 5

6 Otra manera (un poco cutre), es usando la calculadora y sustituir por un nº elevado, por ejemplo. y ver que su resultado es también muy elevado, en este caso, (..)... Este método nos puede ayudar, pero puede llevar a errores. b) ( ) ( ) ( ) 6. TABAS OPERACIONES BÁSICAS CON INFINITOS Sea un nº real SUMAS Y RESTAS ( ±) ± ( ±) ( ) ( ) No se sabe, es una ( ) ( ) No se sabe, es una ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) No se sabe, es una ( ) ( ) No se sabe, es una > ( ) ( ) ( )( ± ) < > < PRODUCTOS Y COCIENTES > ( ± ) No se sabe, es una < > < ( )( ± ) ± ± No se sabe, ± es una No se sabe, es una POTENCIAES Y EXPONENCIAES ± > (dependiendo de la paridad de ) < > ( ) ( ) ( ) Ejemplo 9: Calcular: < > < a) ( 5 ) 5 ( ) b) ( ln( )) ) 6 > < ± No se sabe, es una ± No se sabe, es una (el 5 es despreciable en una suma o resta con ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) c) ( 5 ) ln (5 ) ( ) 5 ( )

7 d) ( ) ( ) 7 e) ( ) ( ) ( ) ( ) f) 5 7. RESOUCIÓN DE INDETERMINACIONES En el cálculo de ites hay una serie de tuaciones que se llaman indeterminaciones y que se han de resolver de una manera un poco más complicada, pues el valor del ite no se puede conocer de manera inmediata. Es fundamental hacer ejercicios en abundancia para aprender los métodos. as indeterminaciones son: En el libro también aparece como k, pero nosotros no la tratamos como tal, y además ya ha do estudiada con ejemplos y normalmente habrá que hacer ites laterales.. Indeterminación Normalmente se resuelven tomando el término o términos dominantes del numerador y del denominador. os términos dominantes son los de mayor eponente o grado. Veamos ejemplos. Ejemplo.- Calcular a) (tomamos el término de grado en el numerador y el de grado en el denominador, que son los dominantes) (mplificamos) NOTA: Si el numerador tiene mayor grado que el denominador el ite es infinito y el gno habrá que estudiarlo b) (tomamos los dominantes) 8 NOTA: Si el numerador tiene igual grado que el denominador el ite es finito y es el cociente de los coeficientes c) (operamos) eponente negativo, lo llevamos al denominador) NOTA: Si el numerador tiene menor grado que el denominador el ite es 7 (como tiene 7

8 Ejemplo.- Calcular t t t t t t 6 t t 6 t t t t t t t t (tomamos los dominantes) t Ejemplo : Calcular 8 (tomamos los de mayor grado, dominantes) VER: ibro de teto página 58, ejemplos Indeterminación o habitual en este tipo de indeterminaciones es descomponer numerador y denominador en factores (sacando factor común, por Ruffini, etc.) para poder mplificar el factor que vale en el ite. Otras veces aparecen funciones irracionales (con raíces cuadradas) se multiplica por el conjugado Veamos ejemplos: 6 Ejemplo.- Calcular (al sustituir por resulta, aplicamos Ruffini al numerador con el y en el denominador o Ruffini o nos damos cuenta que es una diferencia de cuadrados) ( )( ) ( ) (ahora sólo queda sustituir) ( )( ) ( ) Ejemplo.- Calcular (al sustituir por resulta, multiplicamos y dividimos por el conjugado ( ) ( ) ( ) ( ) del denominador) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) del numerador) ( ) ( ) ( ) ( ) (mplificamos y sustituimos) ( ) (sacamos factor común en el primer factor (nos damos cuenta que - -(-) para poder mplificar) 6 Ejemplo 5.- Calcular (al sustituir nos queda, multiplicamos y dividimos por el conjugado ( 6) 6 9 del numerador) 9 6 ( 9) ( 6 ) ( 9) ( 6 ) (descomponemos el factor del denominador al ser una diferencia de cuadrados) ( ) ( ) ( 6 ) ( ) ( 6 ) 6 VER: ibro de teto página 58, ejemplos 8

9 Indeterminación Estas indeterminaciones se transforman en las del tipo ó Ejemplo 6.- Calcular (5 9) (tenemos ( ) (con sólo hacer la multiplicación se convierte en dominantes y operando) VER: ibro de teto página 58, ejemplos ( ), que es una ) ) (tomando términos 6 Indeterminación Ojo! Hay algunos infinitos infinitos que no son indeterminaciones, como: ( ) ( ) ( ) ( ) Suelen aparecer en ites de funciones racionales o irracionales. a forma de resolverlos es multiplicando numerador y denominador por el conjugado y operando convenientemente. Ejemplo 7.- Calcular ( ) conjugado) ( ) ( ( ) ), y tomamos términos dominantes) (tenemos ( ) ( ), multiplicamos por el (ahora es una [ ] Ejemplo 8.- Calcular ( ) ( ) (sale ( ) ( ), usamos el conjugado) ( ) ( ) ( ) ( ) 6 9 ( ( ) ) ( ( )) ( ) (ahora es una, y tomamos términos dominantes) ( ) 6 VER: ibro de teto página 59, ejemplos ( ) Indeterminación Son llamadas de tipo e, pues al resolverlas aparece el nº e

10 f ( ) Si tenemos que: g( ) ±, entonces aplicamos que ( f ( )) g( ) e g ( ) [ f ( ) ] Ejemplo 9.- Calcular 5 tomar términos dominantes y el eponente 5 dada) e (hacemos la operación del corchete) e 5 e (vemos que la base tiene por ite al, luego es de tipo. Aplicamos la fórmula e e 5 Ejemplo.- Calcular ( ). Vemos que al sustituir sale. uego es de tipo e pero en lugar de aplicar la fórmula directamente, como la base es una raíz la ponemos con eponente fraccionario para operar más fácilmente. ( ) ( ) ( ) ( ) e e ( (ahora aplicamos la fórmula) [ ] ( ) ( ) ) (fijaos que no he hecho los productos pues queda ahora, y podemos mplificar. Si hubiera multiplicado, ahora tendría que descomponer) e e ( queremos podemos ponerlo en forma radical y racionalizar) VER: ibro de teto página 59, ejemplos e e e 8. CONTINUIDAD En la Pág. 6 del libro eplica muy detalladamente el concepto de continuidad en un punto con ejemplos gráficos. Aquí sólo ponemos la definición matemática que aparece también al final de dicha página. Definición.- Una función f es continua en un punto de abscisa y sólo cumple las tres condiciones guientes: a) Eiste el ite de f cuando tiende a (recuerdo que a veces aquí tendremos que calcular los ites laterales en, pues la función puede venir definida de forma diferente por la izquierda de

11 f ( ) cómo está definida por la derecha). Matemáticamente, ( o hay que hacer los laterales, éstos eisten y son iguales) b) a función esta definida en (o sea, Dom( f ) ). Matemáticamente, f ( ) f ( ) c) os dos valores anteriores coinciden, es decir, f ( ) NOTA: Todas las funciones más normales (polinómicas, racionales, irracionales, logarítmicas, eponenciales, trigonométricas) son continuas en todo los puntos de su dominio. Si el punto es un etremo del dominio se podrá decir que es continua por la derecha o por la izquierda según sea el caso) Veamos mediante ejemplos cómo se estudia la continuidad. Ejemplo.- Sea la función f ( ) Vamos a estudiar la continuidad en > Vemos primero que a la izquierda del (nº menores que ) la función viene definida de una forma diferente (polinomio cuadrático) a como está definida por la derecha (nº mayores que ), que es una afín. Vamos dicho esto con los apartados: a) Por lo dicho anteriormente, hemos de calcular los ites laterales, pues el global no lo podemos hacer directamente. f ( ) f ( ) ( ) ( ) Como vemos no coinciden, por tanto concluimos que no eiste f ( ), por tanto la función no puede ser continua. Diremos en este caso que la función en presenta una discontinuidad de salto finito y amplitud 5 (el 5 se obtiene de restar los ites laterales y calcularle el valor absoluto). Con la gráfica lo veréis mejor b) a función esta definida en, pues f (), aunque esto ya no es necesario, pues por el apartado a) sabemos que es discontinua c) Este apartado no es necesario ya a gráfica de la función era la guiente y podéis observar la discontinuidad

12 Ejemplo.- Sea ahora la función ( ) f. o primero es ver su dominio, que sale Dom ( f ) [,) Qué pasa en? En este caso sólo se puede calcular el ite lateral derecho pues por la izquierda del la función no esta definida. Aquí diremos que la función es continua por la derecha en, como se ve en la gráfica. Además en todos los demás puntos del dominio la función es continua. Ejemplo.- Estudiar la continuidad de la función guiente:.9 f ( ) 6 SOUCIÓN: Si de anula en puntos tales que Si, vemos que la función viene dada por una epreón racional y no se anula el denominador (sólo, y éste no lo estamos conderando aún), luego podemos afirmar que f es continua en los (o lo que es lo mismo en ) R. En este caso veamos cumple o no las condiciones de continuidad: a) Calculamos ahora el ite (no hacen falta calcular los laterales, pues por la izquierda y la derecha la función viene definida igual ) 9 ( )( ) ) ( ) 6 Indeterminación. Descomponemos en factores el numerador b) f ( ) 6

13 9 Como vemos f ( ) 6, luego también es continua en Ejemplo.- Calcular los valores que deben tomar m y n para que la guiente función sea continua en R SOUCIÓN: < < f ( ) (NOTA: gnifica la disyunción ó) m n Si <, la función viene dada por f ( ) m n, que al ser un polinomio de º grado, sabemos que es continua. Si < <, la función viene dada por f ( ), que igualmente es continua al ser un polinomio de primer grado. Si >, la función viene dada por f ( ) m n, que al ser un polinomio de º grado, sabemos que es continua. Ninguna de las anteriores concluones nos ha aportado nada para calcular m y n. Veamos que ocurre en y. En, impongamos la condición de continuidad f () f ( ) f ( ) f () m n m n f ( ) m n m n f ( ) Igualando, obtenemos una primera ecuación: m n En, imponemos las condiciones de continuidad: f () m n 9 m n f ( ) f ( ) m n 9 m n Igualando, obtenemos una segunda ecuación: 9 m n Tenemos entonces un stema de dos ecuaciones lineal con dos incógnitas, que resolvemos: m n m n 9 m n m n 5 m n Sumamos las ecuaciones y tenemos: m n 5 m 6. m

14 Sustituimos en m n n n Ejemplo 5.- Estudiar la continuidad de la función SOUCIÓN: f ( ) ln < < > o primero que observamos es que Dom ( f ) R { } Si <, f es continua por ser polinómica (es una función cuadrática) Si < <, f es continua por ser polinómica ( es una función afín) Si >, f es continua por ser una función logarítmica y su argumento (la ) ser potivo Veamos ahora que ocurre en los puntos donde la función cambia de definición: En o f ( ) o f ( ) ( ) o f ( ) ( ) Como vemos presenta una discontinuidad de salto finito y amplitud En o No eiste f (), pues no es del dominio. Ya sabemos que no es continua, pero veamos es evitable. o f ( ) ln ln o f ( ) ( ) 5 Vemos que presenta discontinuidad no evitable de salto finito y amplitud ( 5 ln ) Ejemplo 6.- Estudiar la continuidad de la función y 5 < f ( ) < < en los puntos < 5 SOUCIÓN: En o f ( ) o f ( ) ( ) o f ( ) ( ) Presenta una discontinuidad evitable, pues bastaría redefinir f ( ) y ya la función sería continua En, es análogo