Geometria / GE 3. Desplaçaments S. Xambó
|
|
- María del Carmen Franco Peralta
- hace 6 años
- Vistas:
Transcripción
1 Geometria / GE 3. Desplaçaments S. Xambó Definició de desplaçament Una condició equivalent Desplaçaments directes i inversos Exemple (simetria respecte d una varietat lineal) Desplaçaments de la recta euclidiana Girs del pla euclidià orientat Exemple: rotacions a l espai Classificació 2D Algorisme de classificació dels desplaçaments del pla Classificació 3D Algorisme de classificació dels desplaçaments de l espai Notes
2 2 Definició de desplaçament Un desplaçament de l espai euclidià, és una afinitat que conserva les distàncies, és a dir, tal que,, qualssevol que siguin,. Proposició. Una afinitat és un desplaçament si i només si per a tot, [] on és la transformació lineal associada a. Prova. És conseqüència immediata de la relació, de la definició de distància, i del fet que és un vector qualsevol de. Ens referim a la condició [] dient que és una isometria lineal de.
3 3 Una condició equivalent Com que el producte escalar no només determina la norma, sinó que queda determinat per ella (fórmula 2 ), és una isometria lineal si i només si qualssevol que siguin,. En coordenades aquesta relació equival, si és la matriu de i la matriu de la mètrica, a és a dir,. []
4 Remarques En referència rectangular la condició [] equival a dir que (és a dir, que és una matriu ortogonal). En altres paraules, és un desplaçament si i només si transforma tota base ortonormal (o una base ortonormal donada) en una base ortonormal. La condició més general significa que si és la matriu de la mètrica en una base i posem, llavors, és a dir, (1,). Adonem nos, doncs, que aquestes condicions, necessàries per la propietat, són suficients per tal que sigui un desplaçament. 4
5 5 Desplaçaments directes i inversos Els desplaçaments es classifiquen en directes o inversos, segons que conservin o inverteixin l orientació, és a dir, segons que det 1 o det 1 (o, en termes de les equacions, segons que det 1 o det 1). Exemple (translacions). Les translacions són les afinitats tals que. Vist que la identitat de és clarament una isometria lineal, tenim que les translacions són desplaçaments directes. Exemple (simetria central). L homotècia de centre i raó,,, és un desplaçament si i només si 1, ja que i per tant. El cas 1 dóna i el cas 1 dóna,, la simetria central de centre. Com que, és directa si és parell i inversa si és senar. La figura mostra el resultat,, d aplicar al triangle.
6 6 Exemple (simetria respecte d una varietat lineal) Sigui una varietat lineal. El simètric d un punt respecte de,, es defineix (fig. (a)) així: 2. Veurem que és un desplaçament i identificarem la seva transformació lineal associada. Amb les notacions de la figura (b), i amb, tenim,,,, i 2 2, on. Com que l aplicació, és una isometria lineal, resulta que és un desplaçament i. (b) (a) Si escollim una base ortonormal de manera que,, és una base de, llavors les equacions
7 7 de en la referència ; són si 1 si 1 En particular resulta que és directa si és parell i inversa si és senar. Un cas particular important és quan és un punt, en el qual és la simetria central de centre (v. el segon exemple de la pàgina 6): per a tot vector, ja que en aquest cas 0 (l espai director de és 0) i. Simetria especular. En el cas en què és un hiperplà, és un desplaçament invers i es diu que és una simetria especular (per a 2, la simetria especular s anomena simetria axial). Exemple (Desplaçaments de la recta euclidiana). Les afinitats d una recta afí són translacions ( ), o homotècies, (0,1). Les translacions són desplaçaments, però de les homotècies només les de raó 1 (simetries centrals) ho són. En resum: els desplaçaments de la recta euclidiana són les translacions i les simetries centrals. 1
8 8 Girs del pla euclidià orientat Suposem que estem en un pla euclidià orientat, i sigui, una base ortonormal positiva de. Donat un nombre real i un punt, anem a determinar els desplaçaments del pla que deixen fix i compleixen cos sin. Com que ha de ser unitari i perpendicular a, tenim sin cos. A més, vist que les funcions cos i sin són periòdiques de període 2, podem suposar que 0,2. Analitzem les dues possibilitats per separat. Cas sin cos. Aquest desplaçament, que en principi depèn de, i, de fet només depèn de i. En efecte, si provisionalment posem,, per denotar lo, es tracta de veure, si és una altra base ortonormal positiva, que,,,,.
9 9 Per veure això, notem primer que per definició cos sin sin cos és ensems la matriu de,, respecte de la base i la de,, respecte de la base. Si posem (és a dir, és la matriu de respecte de ), llavors la matriu de,, respecte de és. Però sabem que per algun i per tant, com volíem demostrar. Per tant, podem posar, per denotar el desplaçament caracteritzat per deixar fix i de manera que, per una base ortonormal positiva qualsevol. D aquest desplaçament en direm el gir de centre i amplitud (o angle). Les equacions de, en la referència ; són cos sin sin cos. Remarquem que, és la identitat per 0 i la simetria central per. En tot cas,, és un desplaçament directe. 2 cos,sin
10 10 Cas sin cos. La matriu de respecte de és cos sin sin cos. El polinomi característic de és 1, de manera que els seus valors propis són 1. Per tant, és diagonalitzable i la corresponent matriu diagonal és diag1, 1. De fet cos/2 sin/2 i sin/2 cos/2 són vectors propis unitaris de valors propis 1 i 1, respectivament. Podem, doncs, concloure que és la simetria axial / respecte de la recta que passa per amb vector director cos/2 sin/2.
11 cos, sin Pla, cos, sin Exemple (rotacions a l espai). Considerem un vector unitari de l espai euclidià orientat,, i. Definim,, : de la manera següent:,,,,, cos sin,,.,, és una aplicació afí amb aplicació lineal associada,, i és un desplaçament:, cos sin cos sin.,, deixa invariants els punts de la recta i indueix un gir de centre i amplitud en el pla. 11
12 12 Direm que,, és la rotació (o gir) d eix i amplitud. Notem que podem escriure,, cos sin cos 1 cos sin. Una referència convenient per expressar les equacions de,, és ;,,, on, és qualsevol vector unitari perpendicular a i. La matriu de, en la base,, és cos sin 0 sin cos i per tant les equacions de,, en la referència són, cos sin, sin cos. En particular veiem que les rotacions de l espai són desplaçaments directes.
13 13 Classificació 2D Lema. Si i són dos punts fixos d un desplaçament, llavors és un vector propi de de valor propi 1. Recíprocament, si és un punt fix de i és un vector propi de valor propi 1 de, llavors també és fix. Prova. Si P i Q són dos punts fixos del desplaçament,, de manera que. Recíprocament, si és fix i,. Ara procedirem per casos segons la dimensió de la varietat de punts fixos d un desplaçament del pla euclidià orientat,. Cas. El desplaçament és la identitat. En qualsevol referència les seves equacions són,.
14 14 Cas, una recta. Siguin i un punt i un vector director unitari de. Llavors és un vector propi de valor propi 1 de (pel lema). Si és un vector unitari perpendicular a, ha de ser, ja que altrament seria i la varietat de punts fixos no es reduiria a (el punt seria fix). Per tant, és la simetria axial d eix. En la referència ;, les equacions de són,. Cas F=O, un punt. Si, és una base ortonormal de, les equacions de en la referència ;, tenen la forma, on A és una matriu ortogonal. Sabem, però, que aquestes matrius tenen la forma
15 15 cos sin sin cos o cos sin sin cos amb 0, 2. El cas no es pot donar, vist que tindria el valor propi 1 (el seu polinomi característic és 1) i per tant els punts fixos de no es reduirien a. En el cas, tenim el gir, de centre i amplitud. Podem excloure el cas 0, ja que tindríem diag1,1 i seria la identitat. Per, diag1,1 (té el valor propi 1 repetit) i, la simetria central de centre. Altrament no té valors propis reals, ja que el seu polinomi característic és 2cos 1, que no té arrels reals si 0,. La distinció geomètrica és que deixa invariants totes les rectes per O, mentre que, no deixa cap recta invariant si 0,.
16 16 Cas. En aquest cas ha de tenir el valor propi 1, ja que altrament sabem que tindria un punt fix. Sigui un vector propi unitari de valor propi 1 i un vector unitari perpendicular a. Llavors és unitari i ortogonal a i, per tant, tenim dues possibilitats:. Donat un punt arbitrari com a origen, en la referència ;, les equacions de tenen la forma , és a dir,,. El cas del signe, tenim una translació. Prenent en la direcció de la translació, podem suposar que 0, de manera que ens queda, posant,, ( 0, altrament tindríem la identitat).
17 17 El cas del signe, tenim una simetria axial seguida de translació. Com que podem escriure /2 /2, fent el canvi d origen 0, 0 0, /2 podem aconseguir que 0, de manera que ens queda, posant,, ( 0, altrament tindríem una simetria axial). Es tracta, doncs, d una simetria axial (,, ) seguida d una translació paral lela a l eix de la simetria, i en diem simetria axial amb translació paral lela o amb lliscament. 3
18 18 Taula de la classificació 2D Equacions canòniques Nom, 2 0 Id d, 1 1 SA i, 0 2, SC d, 0 0,, 0, G d, ( 0) 2 0 T d, ( 0) 1 1 SA+T i La columna conté una descripció del conjunt de punts fixos: significa que és una recta, que hi ha un únic punt fix i que no hi ha punts fixos. En la columna de les equacions canòniques posem cos, sin en el cas i amb sense valors propis. En la columna, que conté una descripció simbòlica del desplaçament, representa una simetria axial, una translació paral lela a l eix de. Abreugem els noms amb les convencions següents: SA indica una simetria axial; SC una simetria central; G un gir d amplitud 0,; T una translació diferent de la identitat; i SA+T una simetria axial amb translació paral lela. Finalment, ( ) és la multiplicitat del valor propi 1 (1) de la transformació lineal associada i denota el «sentit» del desplaçament ( directe, invers).
19 19 Algorisme de classificació dels desplaçaments del pla Partim d una afinitat donada per l equació matricial. Suposem que hem verificat que es compleix la condició per ser un desplaçament, que hem calculat les multiplicitats i dels valors propis 1 i 1 de, i que hem decidit (mirant si el sistema és compatible o no) si hi ha punts fixos o no ( o ). 2G, cos tr 2 2 T Id 1 SAT SA 0 SC
20 20 Classificació 3D Anàlogament al cas 2D, procedirem per casos segons la dimensió de la varietat de punts fixos d un desplaçament de l espai euclidià orientat (, ). Cas. El desplaçament és la identitat. En qualsevol referència les seves equacions són,,. Cas, un pla. Siguin i, un punt i dos vectors unitaris ortogonals directors de. Llavors, són vectors propis de valor propi 1 de. Si és un vector unitari perpendicular a,, ha de ser. Per tant, és la simetria especular respecte del pla. En la referència ;, les equacions de són,,.
21 21 Cas, una recta. Siguin i un punt i un vector director unitari de. Llavors, és un vector propi de valor propi 1 de. Siguin, vectors unitaris ortogonals a, i ortogonals entre sí. Llavors,, i indueix un desplaçament del pla, que té el punt com a únic punt fix (altrament no es reduiria a ). Per tant és un gir de centre i amplitud 0,2, gir que és una simetria central si. En resulta que és un gir d amplitud al voltant de l eix, gir que esdevé la simetria axial del mateix eix quan. En la referència ;,,, les equacions de són,, ( cos, sin ). Per,,,. (equacions de la simetria axial).
22 22 Cas, un punt. Si,, és una base ortonormal de, les equacions de en la referència ;,, tenen la forma, on és una matriu ortogonal. Estant en dimensió senar, té necessàriament un valor propi real. Aquest valor propi ha de ser 1 (altrament tindria punts fixos distints de ). Podem suposar, doncs, que és un vector propi amb valor propi 1. Igual que en el cas anterior, indueix un desplaçament del pla, que té el punt com a únic punt fix (altrament no es reduiria a ). Per tant és un gir de centre i amplitud 0,2, gir que és una simetria central si. En resulta que és un gir d amplitud al voltant de l eix (gir que esdevé la simetria axial del mateix eix quan ), seguit de la simetria especular respecte del pla,. En la referència ;,,, les equacions de són (amb cos, sin):,,. Pere,,, (simetria central ).
23 23 Cas. En aquest cas ha de tenir el valor propi 1, ja que altrament sabem que tindria un punt fix. Sigui la dimensió de l espai de vectors propis de valor propi 1. Les possibilitats són 3, 2 o En aquest cas i és una translació diferent de la identitat. Escollint de manera que estigui en la direcció de la translació, aconseguim que les equacions de la translació tinguin la forma,, 0. 2 Podem escollir i de manera que formin una base de. Llavors és necessàriament un vector propi de valor propi 1 i les equacions de tenen la forma,,. Fent el canvi d origen 0, 0, 0 0,0, /2, podem suposar que 0. Es tracta d una simetria especular seguida d una translació paral lela al pla de la simetria (simetria especular amb translació paral lela o amb lliscament).
24 24 Observem finalment que podem escollir una altra base ortonormal de amb la qual 0 i 0, quedant finalment les equacions,,. 1 Sigui un vector unitari de valor propi 1 i siguin, vectors unitaris ortogonals a i ortogonals entre si. Llavors,, i la restricció de a, no té el valor propi 1. En resulta que les equacions de en la referència ;,,, un origen arbitrari, tenen la forma (posant cos, sin) Vist que no té el valor propi 1, podem fer un canvi d origen de la forma 0, 0, 0 0,, i aconseguir que en la nova referència tinguem 0. Ens queden, doncs, les equacions
25 , 0 0 que mostren que el desplaçament és un gir d eix seguit d una translació en la direcció d aquest eix. D aquest desplaçament se n diu moviment helicoïdal. En el cas, és una simetria axial seguida d una translació paral lela a l eix de la simetria (també es diu que és una simetria axial amb lliscament). 4
26 26 Taula de classificacio 3D Equacions canòniques Nom,, 3 0 Id d,, 2 1 SE i,, 1 2 SA d,, 1 0, G d,, 0 3 SC i,, 0 1 G+SE i,, 3 0 T d,, 2 1 SE+T i,, 1 2 SA+T d,, 1 0 G+T d
27 27 Explicació de les convencions de la taula Columna (varietat de punts fixos): significa que no hi ha punts fixos;, un únic punt fix;, que és una recta; i que, és un pla. Columna de les equacions: cos, sin, 0,. Columna (descripció simbòlica del desplaçament): representa un gir d amplitud 0,;, una simetria axial; una simetria especular (que en el cas de és respecte d un pla perpendicular al l eix de ); una translació paral lela a l eix de, o, segons correspongui. Nom: SE indica una simetria especular; SA, una simetria axial; G un gir d amplitud 0,; SC, una simetria central; T, una translació diferent de la identitat; SE+T, una simetria especular amb translació paral lela al pla de la simetria; SA+T, una simetria axial amb translació paral lela al seu eix; i G+T, un moviment helicoïdal. ( ): multiplicitat del valor propi 1 (1). La columna conté el «sentit» ( directe, invers). És igual a 1.
28 28 Algorisme de classificació dels desplaçaments de l espai Partim d una afinitat donada per l equació matricial. Suposem que hem verificat que es compleix la condició per ser un desplaçament, que hem calculat les multiplicitats i dels valors propis 1 i 1 de, i que hem decidit (mirant si el sistema és compatible o no) si hi ha punts fixos o no ( o ). G T, 2cos tr G, 0GSE, 3 T Id 2 SET SE 1 SAT SA 0 SC 2cos tr 1 2cos tr1
29 29 Notes 1. És fàcil comprovar les següents regles de càlcul:,,, on. Vegem, com a exemple, el primer cas. Com que el desplaçament és invers, serà la simetria central respecte del seu punt fix. Si posem, llavors i d on resulta que, és a dir, i. 2. La matriu de, respecte d una base ortonormal orientada negativament és.
30 30 3. A la nota 1 hem vist que tot desplaçament de la recta euclidiana és o una simetria central o producte de dues simetries centrals (les translacions). En el cas 2D, tot desplaçament és composició de com a molt 3 simetries axials. La raó d aquesta afirmació prové del fet que les translacions (girs) es poden posar com a composició de dues simetries axials d eixos paral lels (respectivament d eixos que es tallen en el centre de gir). En efecte, el producte de dues simetries axials i és un desplaçament directe. Si els eixos i són paral lels, és una translació, ja que 2 si és l espai director d aquests eixos, ). Més concretament,, on és el vector perpendicular a les rectes i de norma igual a la distància entre elles). I si la intersecció dels eixos i és un punt, llavors és un gir de centre (si considerem la simetria central de centre com un gir d amplitud ), ja que és l únic punt fix de (si és un punt fix de, llavors
31 31 ; però és perpendicular a i és perpendicular a, de manera que 0 i 0, és a dir, ha de ser fix per i per ). Si l angle entre els dos eixos és, l amplitud del gir és 2. Resumint: si un desplaçament del pla té una recta de punts fixos, és la simetria respecte d aquesta recta; si té un únic punt fix és el producte de dues simetries respecte d eixos que passen per ; i si no té punts fixos, és el producte de dues simetries axials d eixos paral lels si és una translació i el producte de tres simetries axials si és una simetria axial amb lliscament. 4. En el cas 3D tot desplaçament és composició de com a molt 4 simetries especulars. La raó d aquesta afirmació prové del fet que les translacions (rotacions) es poden posar com a composició de dues simetries especulars respecte de plans paral lels (respectivament, de plans no paral lels). Els arguments són similars al cas del pla i es deixen com a exercici. 2
32 32 En relació a la taula de classificació 3D, el nombre de simetries necessàries per expressar els diversos casos ve donat per la taula següent: Nom SE SA G SC G+SE T SE+T SA+T G+T
8 Geometria analítica
Geometria analítica INTRODUCCIÓ Els vectors s utilitzen en diverses branques de la física que fan servir magnituds vectorials, per això és important que els alumnes en coneguin els elements i les operacions.
Más detallesGEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA Un vector fijo es un segmento orientado que va del punto A (origen) al punto B (extremo). Módulo del vector : Es la longitud del segmento AB, se representa por. Dirección del
Más detallesI. SISTEMA DIÈDRIC 3. DISTÀNCIES I ANGLES DIBUIX TÈCNIC
DIBUIX TÈCNIC I. SISTEMA DIÈDRIC 3. DISTÀNCIES I ANGLES 1. Dist. d un punt a una recta - Abatiment del pla format per la recta i el punt 2. Dist. d un punt a un pla - Canvi de pla posant el pla de perfil
Más detallesDIVISIBILITAT. Amb els nombres 5, 7 i 35 podem escriure diverses expressions matemàtiques: 5x7= 35 35 5 35
ESO Divisibilitat 1 ESO Divisibilitat 2 A. El significat de les paraules. DIVISIBILITAT Amb els nombres 5, 7 i 35 podem escriure diverses expressions matemàtiques: 5x7= 35 35 = 7 5 35 = 5 7 35 7 0 5 35
Más detallesTEORIA I QÜESTIONARIS
ENGRANATGES Introducció Funcionament Velocitat TEORIA I QÜESTIONARIS Júlia Ahmad Tarrés 4t d ESO Tecnologia Professor Miquel Estruch Curs 2012-13 3r Trimestre 13 de maig de 2013 Escola Paidos 1. INTRODUCCIÓ
Más detallesVeure que tot nombre cub s obté com a suma de senars consecutius.
Mòdul Cubs i nombres senars Edat mínima recomanada A partir de 1er d ESO, tot i que alguns conceptes relacionats amb el mòdul es poden introduir al cicle superior de primària. Descripció del material 15
Más detallesEs important dir que, dos vectors, des del punt de vista matemàtic, són iguals quan els seus mòduls, sentits i direccions són equivalents.
1 CÀLCUL VECTORIAL Abans de començar a parlar de vectors i ficar-nos plenament en el seu estudi, hem de saber distingir els dos tipus de magnituds que defineixen la física: 1. Magnituds escalars: magnituds
Más detallesÀmbit de les matemàtiques, de la ciència i de la tecnologia M14 Operacions numèriques UNITAT 2 LES FRACCIONS
M1 Operacions numèriques Unitat Les fraccions UNITAT LES FRACCIONS 1 M1 Operacions numèriques Unitat Les fraccions 1. Concepte de fracció La fracció es representa per dos nombres enters que s anomenen
Más detallesCAMPS DE FORÇA CONSERVATIUS
El treball fet per les forces del camp per a traslladar una partícula entre dos punts, no depèn del camí seguit, només depèn de la posició inicial i final. PROPIETATS: 1. El treball fet pel camp quan la
Más detalles4.7. Lleis de Newton (relacionen la força i el moviment)
D21 4.7. Lleis de ewton (relacionen la força i el moviment) - Primera Llei de ewton o Llei d inèrcia QUÈ ÉS LA IÈRCIA? La inèrcia és la tendència que tenen el cossos a mantenirse en repòs o en MRU. Dit
Más detallesSemblança. Teorema de Tales
Semblança. Teorema de Tales Dos polígons són semblants si el angles corresponents són iguals i els costats corresponents són proporcionals. ABCDE A'B'C'D'E' si: Â = Â',Bˆ = Bˆ', Ĉ = Ĉ', Dˆ = Dˆ', Ê = Ê'
Más detallesUNITAT 3 OPERACIONS AMB FRACCIONS
M Operacions numèriques Unitat Operacions amb fraccions UNITAT OPERACIONS AMB FRACCIONS M Operacions numèriques Unitat Operacions amb fraccions Què treballaràs? En acabar la unitat has de ser capaç de
Más detallesPrograma Grumet Èxit Fitxes complementàries
MESURA DE DENSITATS DE SÒLIDS I LÍQUIDS Activitat 1. a) Digueu el volum aproximat dels següents recipients: telèfon mòbil, un cotxe i una iogurt. Teniu en compte que un brik de llet té un volum de 1000cm3.
Más detalles6. Calcula l obertura de l angle que falta. Digues de quin tipus d angles es tracta. 6
Geometria dossier estiu 2012 2C 1. Dibuixa dues rectes, m i n, que siguin: a) Paral leles horitzontalment. c) Paral leles verticalment. b) Secants. d) Perpendiculars. 6 2. Dibuixa una recta qualsevol m
Más detallesBLOCS BLOGGER. Document de treball del camp d aprenentatge de l alt Berguedà. MARÇ 2009
BLOCS BLOGGER Document de treball del camp d aprenentatge de l alt Berguedà. MARÇ 2009 CREAR I DISSENYAR UN BLOC. (BLOGGER) 1. CREAR UN BLOC: 1.1 Entrar a la pàgina web del blogger (https://www.blogger.com/start).
Más detallesPENJAR FOTOS A INTERNET PICASA
PENJAR FOTOS A INTERNET PICASA Penjar fotos a internet. (picasa) 1. INSTAL.LAR EL PROGRAMA PICASA Per descarregar el programa picasa heu d anar a: http://picasa.google.com/intl/ca/ Clicar on diu Baixa
Más detalles3. DIAPOSITIVA D ORGANIGRAMA I DIAGRAMA
1 3. DIAPOSITIVA D ORGANIGRAMA I DIAGRAMA Ms PowerPoint permet inserir, dins la presentació, objectes organigrama i diagrames. Els primers, poden resultar molt útils si es necessita presentar gràficament
Más detalles1,94% de sucre 0,97% de glucosa
EXERCICIS DE QUÍMICA 1. Es prepara una solució amb 2 kg de sucre, 1 kg de glucosa i 100 kg d aigua destil lada. Calcula el tant per cent en massa de cada solut en la solució obtinguda. 1,94% de sucre 0,97%
Más detallesMATEMÀTIQUES Versió impresa POTÈNCIES I RADICALS
MATEMÀTIQUES Versió impresa POTÈNCIES I RADICALS 1. IDEA DE POTÈNCIA I DE RADICAL Al llarg de la història, han aparegut molts avenços matemàtics com a solucions a problemes concrets de la vida quotidiana.
Más detallesÀmbit de les Matemàtiques, de la Ciència i de la Tecnologia M14 Operacions numèriques UNITAT 1 OPERACIONS AMB ENTERS
UNITAT 1 OPERACIONS AMB ENTERS 1 Què treballaràs? En acabar la unitat has de ser capaç de... Sumar, restar, multiplicar i dividir nombres enters. Entendre i saber utilitzar les propietats de la suma i
Más detallesForces i lleis de Newton
1 En les dues últimes unitats hem estudiat els moviments sense preocupar-nos de les causes que els originen. La part de la física que s'encarrega d'estudiar aquestes causes és la dinàmica. L'experiència
Más detallesMoviments en el pla. Objectius. Abas de començar. 1.Vectors pág. 108 Concepte de vector. Coordenades Vectors equipolents Suma de vectors
7 Moviments en el pla Objectius En aquesta quinzena aprendàs a: Manejar el concepte de vector com element direccional del pla. Reconéixer els moviments principals en el pla: traslacions, girs i simetries.
Más detallesCurs de preparació per a la prova d accés a cicles formatius de grau superior. Matemàtiques BLOC 3: FUNCIONS I GRÀFICS. AUTORA: Alícia Espuig Bermell
Curs de preparació per a la prova d accés a cicles formatius de grau superior Matemàtiques BLOC : FUNCIONS I GRÀFICS AUTORA: Alícia Espuig Bermell Bloc : Funcions i gràfics Tema 7: Funcions... Tema 8:
Más detallesPolígon. Taula de continguts. Noms i tipus. De Viquipèdia. Per a altres significats, vegeu «Polígon (desambiguació)».
Polígon De Viquipèdia Per a altres significats, vegeu «Polígon (desambiguació)». Un polígon (del grec, "molts angles") és una figura geomètrica plana formada per un nombre finit de segments lineals seqüencials.
Más detallesTELECENTRES DE TARRAGONA
TELECENTRES DE TARRAGONA APRÈN A CREAR EL TEU PROPI BLOG Manual elaborat pel personal de Telecentres de la ciutat de Tarragona (Ajuntament de Tarragona 2010-2011) INTRODUCCIÓ Un blog podem dir que és una
Más detallesTutorial amplificador classe A
CFGM d Instal lacions elèctriques i automàtiques M9 Electrònica UF2: Electrònica analògica Tutorial amplificador classe A Autor: Jesús Martin (Curs 2012-13 / S1) Introducció Un amplificador és un aparell
Más detallesENGINYERIA INDUSTRIAL. EPECIALITAT ORGANITZACIÓ INDUSTRIAL XAVIER GARCIA RAVENTÓS ESTUDI DEL TRÀNSIT EN LA ZONA CENTRAL DE VILANOVA I LA GELTRÚ
Titulació: ENGINYERIA INDUSTRIAL. EPECIALITAT ORGANITZACIÓ INDUSTRIAL Alumne (nom i cognoms) XAVIER GARCIA RAVENTÓS Títol PFC ESTUDI DEL TRÀNSIT EN LA ZONA CENTRAL DE VILANOVA I LA GELTRÚ Director del
Más detallesVALORACIÓ D EXISTÈNCIES / EXPLICACIONS COMPLEMENTÀRIES DE LES DONADES A CLASSE.
VALORACIÓ D EXISTÈNCIES / EXPLICACIONS COMPLEMENTÀRIES DE LES DONADES A CLASSE. Existeix una massa patrimonial a l actiu que s anomena Existències. Compren el valor de les mercaderies (i altres bens) que
Más detallesBreu tutorial actualització de dades ATRI. El Departament al portal ATRI i no directament a les persones afectades
Breu tutorial actualització de dades ATRI El Departament al portal ATRI i no directament a les persones afectades El Departament informa al portal ATRI (i no directament a les persones afectades): El no
Más detalles2n d ESO (A B C) Física
INS INFANTA ISABEL D ARAGÓ 2n d ESO (A B C) Física Curs 2013-2014 Nom :... Grup:... Aquest dossier s ha d entregar completat al setembre de 2014; el dia del examen de recuperació de Física i Química 1.
Más detallesCreació d un bloc amb Blogger (I)
Creació d un bloc amb Blogger (I) Una vegada tenim operatiu un compte de correu electrònic a GMail és molt senzill crear un compte amb Blogger! Accediu a l adreça http://www.blogger.com. Una vegada la
Más detallesCREACIÓ I RESTAURACIÓ D'IMATGES DE CLONEZILLA EN UN PENDRIVE AUTORRANCABLE
CREACIÓ I RESTAURACIÓ D'IMATGES DE CLONEZILLA EN UN PENDRIVE AUTORRANCABLE En aquest tutorial aprendrem: a) Primer, com fer que un pendrive sigui autoarrancable b) Després, com guardar la imatge d'un portàtil
Más detallesA.1 Dar una expresión general de la proporción de componentes de calidad A que fabrican entre las dos fábricas. (1 punto)
e-mail FIB Problema 1.. @est.fib.upc.edu A. En una ciudad existen dos fábricas de componentes electrónicos, y ambas fabrican componentes de calidad A, B y C. En la fábrica F1, el porcentaje de componentes
Más detallesprogram el_meu_primer_programa write(*,*) 'Hello, cruel world!' end --------------------------------------------------------------------
program el_meu_primer_programa write(,) 'Hello, cruel world!' end -------------------------------------------------------------------- program segon_programa read(,) a write(,) 'Has entrat el numero ',a
Más detallesEls centres d atenció a la gent gran a Catalunya (2009)
Els centres d atenció a la gent gran a Catalunya (29) Dossiers Idescat 1 Generalitat de Catalunya Institut d Estadística de Catalunya Informació d estadística oficial Núm. 15 / setembre del 213 www.idescat.cat
Más detallesCONEIXES LES DENTS? Objectiu: Conèixer i diferenciar els tipus de dentadura i de dents.
CONEIXES LES DENTS? Objectiu: Conèixer i diferenciar els tipus de dentadura i de dents. Descripció: A partir de la fitxa de treball núm.1, comentar i diferenciar la dentició temporal de la permanent, així
Más detallesNOTA SOBRE LA SENTÈNCIA DEL TRIBUNAL SUPERIOR DE JUSTÍCIA DE MADRID DE 10 DE MARÇ 2015 SOBRE LES DESPESES DEDUÏBLES DELS AUTONOMS.
NOTA SOBRE LA SENTÈNCIA DEL TRIBUNAL SUPERIOR DE JUSTÍCIA DE MADRID DE 10 DE MARÇ 2015 SOBRE LES DESPESES DEDUÏBLES DELS AUTONOMS. Barcelona, 22 juny 2015. Benvolguts associats/ades Avui anem a analitzar
Más detallesInterferències lingüístiques
Interferències lingüístiques L ús habitual de dues o més llengües pot provocar fàcilment interferències lingüístiques, és a dir, la substitució de la paraula adequada (per exemple, malaltia) per l equivalent
Más detallesMatemàtiques 1, Editorial Castellnou
MATEMÀTIQUES 1r BATXILLERAT Llibre utilitzat: Matemàtiques 1, Editorial Castellnou Observacions: La unitat 3 s estudia abans qua la unitat 2, per què l alumnat hagi revisat la Trigonometria abans de necessitar-la
Más detallesINFORME SOBRE PARCIALITAT I HORES EFECTIVES DE TREBALL A CATALUNYA
INFORME SOBRE PARCIALITAT I HORES EFECTIVES DE TREBALL A CATALUNYA Novembre 2014 CCOO DE CATALUNYA DENUNCIA QUE LA FEBLE MILLORA DEL NOSTRE MERCAT DE TREBALL ES BASA EN UNA ALTA PARCIALITAT I MENORS JORNADES
Más detallesEL IMPACTO DE LAS BECAS, EN PRIMERA PERSONA
EL IMPACTO DE LAS BECAS, EN PRIMERA PERSONA Testimoniales de alumnos becados dgadg Foto: Grupo de alumnos de 4º de BBA que colaboran con el Programa de Becas de ESADE Laia Estorach, Alumna de 4º de BBA
Más detallesInforme sobre els estudiants de nou accés amb discapacitat (any 2015) Comissió d accés i afers estudiantils
annex 2 al punt 6 Informe sobre els estudiants de nou accés amb discapacitat (any 2015) Comissió d accés i afers estudiantils Barcelona,18 de març de 2016 INFORME SOBRE ELS ESTUDIANTS DE NOU ACCÉS AMB
Más detalles8. Com es pot calcular la constant d Avogadro?
8. Objectius Fer una estimació del valor de la constant d Avogadro. Analitzar les fonts d error més importants del mètode proposat. Introducció La idea bàsica del mètode és la següent: si sabem el volum
Más detallesCOMISSIÓ GESTORA DE LES PROVES D ACCÉS A LA UNIVERSITAT COMISIÓN GESTORA DE LAS PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD
COMISSIÓ GESTORA DE LES PROVES D ACCÉS A LA UNIVERSITAT COMISIÓN GESTORA DE LAS PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD PROVES D ACCÉS A LA UNIVERSITAT PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD CONVOCATÒRIA: SETEMBRE
Más detallesGUIA CAPITALITZACIÓ DE L ATUR
GUIA CAPITALITZACIÓ DE L ATUR 0 Índex 1. Què és la capitalització de l atur? Pàg. 2 2. Requisits Pàg. 3 3. Com i qui pot beneficiar se? Pàg. 4 4. Tràmits i documentació per a la sol licitud Pàg. 6 5. Informació
Más detallesTEMA 4: Equacions de primer grau
TEMA 4: Equacions de primer grau Full de preparació Aquest full s ha de lliurar el dia de la prova Nom:... Curs:... 1. Expressa algèbricament les operacions següents: a) Nombre de rodes necessàries per
Más detallesGESTIÓ DE LES TAXES EN CENTRES PRIVATS CONCERTATS (en castellano más adelante, pág. 5 a 8)
GESTIÓ DE LES TAXES EN CENTRES PRIVATS CONCERTATS (en castellano más adelante, pág. 5 a 8) Els centres privats concertats no tenen capacitat per a generar els impresos de taxes (046) acadèmiques. No obstant
Más detallesAGROPLACE La plataforma de subhastes on line d Afrucat
AGROPLACE La plataforma de subhastes on line d Afrucat Mercè Gispert i Bosch assessorament@afrucat.com Associació catalana d'empreses fructícoles 130 empreses fructícoles OPFH s de Catalunya S.C.C.L de
Más detallesSoftware Interactiu de Simulació de Camps Elèctrics Generats per Càrregues Puntuals
Software Interactiu de Simulació de Camps Elèctrics Generats per Càrregues Puntuals TITULACIÓ: Enginyeria Tècnica Industrial en Electrònica Industrial AUTOR: Juan Ramón Rodríguez Sánchez. DIRECTOR: Roger
Más detallesÁLGEBRA LINEAL II Algunas soluciones a la práctica 2.3
ÁLGEBRA LINEAL II Algunas soluciones a la práctica 2. Transformaciones ortogonales (Curso 2010 2011) 1. Se considera el espacio vectorial euclídeo IR referido a una base ortonormal. Obtener la expresión
Más detalles1 Problemes de física per a batxillerat... // M. L. Escoda, J. Planella, J. J. Suñol // ISBN: 84-8458-220-5
1 Problemes de física per a batxillerat... // M. L. Escoda, J. Planella, J. J. Suñol // ISBN: 84-8458-0-5 MESURA FÍSICA: MAGNITUDS i UNITATS Índex P.1. P.. P.3. P.4. P.5. Magnituds físiques. Unitats Anàlisi
Más detallesAvançament d orientacions per a l organització i la gestió dels centres. Concreció i desenvolupament del currículum de l ESO
Avançament d orientacions per a l organització i la gestió dels centres Concreció i desenvolupament del currículum de l ESO 2016-2017 Març de 2016 Concreció i desenvolupament del currículum de l ESO per
Más detallesEL TRANSPORT DE MERCADERIES
EL TRANSPORT DE MERCADERIES En primer terme s ha d indicar que en tot el que segueix, ens referirem al transport per carretera o via pública, realitzat mitjançant vehicles de motor. El transport de mercaderies,
Más detallesRegistre del consum d alcohol a l e-cap
Registre del consum d alcohol a l e-cap Rosa Freixedas, Estela Díaz i Lídia Segura Subdirecció General de Drogodependències ASSOCIACIÓ D INFERMERI A FAMILIAR I COMUNITÀRI A DE CATALUN YA Índex Introducció
Más detallesEl camp magnètic. Introducció: Forces entre corrents elèctrics. El camp magnètic
El camp magnètic ntroducció: Forces entre corrents elèctrics Si observem dos cables elèctrics disposats paral lelament un a l altre i pels que circula corrent elèctric, observarem que interactuen entre
Más detallesSeguretat informàtica
Informàtica i comunicacions Seguretat informàtica CFGM.SMX.M06/0.09 CFGM - Sistemes microinformàtics i xarxes Generalitat de Catalunya Departament d Ensenyament Aquesta col lecció ha estat dissenyada
Más detallesPeticions de l AEEE en relació als ensenyaments d'àmbit economic recollits a la LOMCE.
Peticions de l AEEE en relació als ensenyaments d'àmbit economic recollits a la LOMCE. 1. Quart curs d ESO. A 4t d'eso, sol licitem dues matèries diferenciades: Economia de 4t d'eso, com a matèria orientadora
Más detallesEscherichia coli. Bacteri simbiont que habita lʼintestí gruixut de molts animals entre ells lʼhome.
2.2 Teixits Els organismes més simples que existeixen són aquells que estan formats per una única cèl lula. Aquest tipus d organismes s anomenen unicel lulars. Aquesta cèl lula és capaç de fer totes les
Más detallesTranslaciones, giros, simetrías.
Translaciones, giros, simetrías. Transformaciones geométricas Transformación geométrica es una aplicación del plano en el plano tal que a cada punto de un plano le hace corresponder otro punto del mismo
Más detallesCRISI INTERNA EN EL PP Isern rebaixa a Cort les exigències de Rodríguez per revisar l'etapa de Calvo El ple aprova per unanimitat donar suport a la denúncia d'emaya i revisar la gestió feta al 2009, però
Más detallesPRÀCTICA 4: ANÀLISIS CINÈMATICA D ESTABILITAT DE TALUSSOS
PRÀCTICA 4: ANÀLISIS CINÈMATICA D ESTABILITAT DE TALUSSOS ÉS MOLT FREQÜENT QUE L ESTABILITAT DELS MASSISOS ROCOSOS ESTIGUI CONTROLADA PELS PLANS DE DISCONTINUITAT, MÉS QUE PER LES PROPIES CARACTERÍSTIQUES
Más detallesSOLUCIONARI Unitat 7
SOLUCIONAI Unitat 7 Electromagnetisme Qüestions 1. Un imant atrau una peça de ferro. Aleshores el ferro pot atraure una altra peça de ferro. Podeu donar una explicació d aquest fenomen? Quan un imant natural
Más detallesESTADÍSTIQUES I GRÀFICS a ITACA (en castellano más adelante, pág. 15 a 28)
ESTADÍSTIQUES I GRÀFICS a ITACA (en castellano más adelante, pág. 15 a 28) Des de Centre Llistats Estadístiques i Gràfics podrà obtindre informació estadística sobre distints aspectes acadèmics del seu
Más detallesTEMA 6. CÀLCUL SOBRE BIGUES I COLUMNES.
TE 6. CÀLCUL SORE IGUES I COLUNES.. lexió d una biga. Diem que una biga pateix una flexió si actuen com a mínim tes foces pependiculas a la biga, de les que dues apuntaan en el mateix sentit i una en sentit
Más detallesUniversitat Autònoma de Barcelona Manual d Identitat Corporativa Síntesi
Universitat Autònoma de Barcelona Manual d Identitat Corporativa Síntesi Símbol El símbol de la UAB va ser creat com un exercici d expressivitat gràfica de la relació entre el quadrat i la lletra A, i
Más detallesLa regulación de los clubes de cannabis será larga y complicada, pero las instituciones están dando los primeros pasos.
CÀNNABIS MÒDUL II ACTIVITAT 1 Fitxa 1.1 15 anys La regulación de los clubes de cannabis será larga y complicada, pero las instituciones están dando los primeros pasos. La Agencia de Salud Pública de Cataluña
Más detallesREVISONS DE GAS ALS DOMICILIS
CONCEPTES BÀSICS Què és una revisió periòdica del gas? i cada quant temps ha de realitzar-se una revisió periòdica de gas butà? Una revisió periòdica del gas és el procés per mitjà del qual una empresa
Más detallesL exhibició 2007: Continua baixant l assistència a les sales
L exhibició 2007: Continua baixant l assistència a les sales Fermín Ciaurriz Frederic Guerrero-Solé Mercè Oliva Reinald Besalú Observatori de la Producció Audiovisual INTRODUCCIÓ El 2007 va ser un any
Más detallesr 1 El benefici (en euros) està determinat per la funció objectiu següent: 1. Calculem el valor d aquest benefici en cadascun 150 50 =
SOLUIONRI 6 La gràfica de la regió factible és: r2 r3= ( 150, 0) r3 r5= ( 150, 50) r4 r5= ( 110, 90) r1 r4= D( 0, 90) r r = E( 0, 0) 1 2 160 120 80 40 E D 40 80 120 160 El benefici (en euros) està determinat
Más detallesBASES PROMOCION Online Community CaixaEmpresas III
BASES PROMOCION Online Community CaixaEmpresas III La entidad financiera CaixaBank, S.A., en adelante "la Caixa", realizará una promoción dirigida a clientes, personas físicas y jurídicas, con residencia
Más detallesEL BO SOCIAL, APROFITA L!
EL BO SOCIAL, APROFITA L! El Bo Social, aprofita l! Què és? Un descompte del 25% en la factura de l electricitat del preu del terme de potència (terme fix) i del consum. En cap cas dels lloguers o serveis
Más detalles79 Problemes de física per a batxillerat...// M. L. Escoda, J. Planella, J. J. Suñol // ISBN:
79 Problemes de física per a batxillerat...// M. L. Escoda, J. Planella, J. J. Suñol // ISBN: 84-8458-0-5 TREBALL I ENERGIA Index P.. P.. P.3. P.4. P.5. P.6. Concepte de treball Teorema del treball i de
Más detallesTEMA3 :TREBALL, POTÈNCIA, ENERGIA
TEMA3 :TREBALL, POTÈNCIA, ENERGIA El treball és l energia que es transfereix d un cos a un altre per mitjà d una força que provoca un desplaçament Treball El treball fet per una força sobre un objecte
Más detallesTRENCACLOSQUES, JOCS I MATEMÀTIQUES SUPER CUBIX. Oriol Romaguera i Restudis. TJM Primavera 2008 ETSETB - UPC
TRENCACLOSQUES, JOCS I MATEMÀTIQUES SUPER CUBIX Oriol Romaguera i Restudis TJM Primavera 2008 ETSETB - UPC Índex 1. Una mica d història... pàg. 3 2. Descripció pàg. 3 3. Notació pàg. 4 4. Conceptes de
Más detallesDistricte Universitari de Catalunya
Proves dʼaccés a la Universitat. Curs 2011-2012 Geografia Sèrie 4 Escolliu UNA de les dues opcions (A o B). OPCIÓ A Exercici 1 [5 punts] Observeu el mapa següent i responeu a les qüestions plantejades.
Más detallesLleis químiques Àtoms, elements químics i molècules Mesura atòmica i molecular Fórmula empírica i fórmula molecular
Lleis químiques Àtoms, elements químics i molècules Mesura atòmica i molecular Fórmula empírica i fórmula molecular U1 Lleis químiques Lleis ponderals: - Llei de Lavoisier - Llei de Proust Teoria atòmica
Más detallesGeometria Computacional (I)
Geometria Computacional (I) Josep Blat Universitat Pompeu Fabra Índex 1 Geometria afí i mètrica 2 1.1 Espai afí i subespais................................. 2 1.2 Sistemes de referència afins.............................
Más detallesD5 DRETS I OBLIGACIONS DELS ALUMNES
Instruccions per a l alumnat dels cursos de formació professional per a l ocupació adreçats prioritàriament a treballadores es i treballadors desocupats (Reial decret 395/2007, de 23 de març, i Ordre TAS/718/2008,
Más detalles3r a 4t ESO INFORMACIÓ ACADÈMICA I D OPTATIVES
r a 4t ESO INFORMACIÓ ACADÈMICA I D OPTATIVES Camí DE SON CLADERA, 20-07009 Palma Tel. 971470774 Fax 971706062 e-mail: iesjuniperserra@educacio.caib.es Pàgina Web: http://www.iesjuniperserra.net/ ORIENTACIÓ
Más detallesTema 6. Energia. Treball i potència. (Correspondria al Tema 7 del vostre llibre de text pàg. 144-175)
Tema 6. Energia. Treball i potència (Correspondria al Tema 7 del vostre llibre de text pàg. 144-175) ÍNDEX 6.1. Definició d energia 6.2. Característiques de l energia 6.3. Com podem transferir l energia
Más detallesProves d Accés per a Majors de 25 i 45 anys
Proves d Accés per a Majors de 25 i 45 anys Convocatòria: 2013 Assignatura: FILOSOFIA I) CARACTERÍSTIQUES DE LA PROVA La prova de l examen es realitzarà a partir de les lectures dels cinc textos bàsics
Más detallesEjemplo 1 Sea V un espacio con producto interno sobre un cuerpo K. A las transformaciones lineales T : V K las llamamos funcionales lineales.
Facultad de Ingeniería - IMERL - Geometría y Álgebra Lineal 2 - Curso 2008. 1 Transformaciones lineales en espacios con producto interno Notas para el curso de Geometría y Algebra Lineal 2 de la Facultad
Más detallesMatemàtiques 1r d'eso Professora: Lucía Clar Tur DOSSIER DE REPÀS
DOSSIER DE REPÀS 1. Ordena els nombres de més petit a més gran: 01 0 01 101 0 001 0 001 0 1. Converteix els nombres fraccionaris en nombres decimals i representa ls en la recta: /4 1/ 8/ 11/10. Efectua
Más detallesDistricte Universitari de Catalunya
Proves d Accés a la Universitat per a més grans de 25 anys Convocatòria 2013 Dibuix tècnic Sèrie 3 Fase específica Opció: Enginyeria i arquitectura Bloc 1 A/B Bloc 2 A/B Bloc 3 A/B Qualificació Qualificació
Más detallesActivitat Cost Energètic
Part 1. Article cost energètic. Contesta les preguntes següents: 1. Què hem de tenir en compte per saber què paguem per un PC? Para poder saber cuánto pagamos por un PC necesitamos saber dos cosas: cuánto
Más detallesMANUAL DE CONFIGURACIÓ BÀSICA DEL VISAT TELEMÀTIC
MANUAL DE CONFIGURACIÓ BÀSICA DEL VISAT TELEMÀTIC A) CONFIGURACIÓ EXPLORADOR I SISTEMA OPERATIU B) LLOCS DE CONFIANÇA DEL NAVEGADOR C) RECOMACIONS INTERNET EXPLORER 10 i 11 D) INSTAL LACIÓ DE JAVA E) SIGNATURA
Más detallesTEMA 8 LES CAPACITATS FÍSIQUES BÀSIQUES ( CONDICIONALS )
TEMA 8 LES CAPACITATS FÍSIQUES BÀSIQUES ( CONDICIONALS ) ÍNDEX: 8.1.- Generalitats 8.2.- La Força 8.3.- La Resistència 8.4.- La Velocitat 8.5.- La Flexibilitat 8.1.- GENERALITATS El moviment corporal té
Más detallesMATEMÁTICASII Curso académico BLOQUE GEOMETRÍA. TEMA 1: VECTORES
MATEMÁTICASII Curso académico 2015-2016 BLOQUE GEOMETRÍA. TEMA 1: VECTORES 1.1 VECTORES DEL ESPACIO. VECTORES LIBRES DEL ESPACIO Sean y dos puntos del espacio. Llamaremos vector (fijo) a un segmento orientado
Más detallesRESUM ORIENTATIU DE CONVALIDACIONS
RESUM ORIENTATIU DE CONVALIDACIONS TIPUS DE CONVALIDACIONS Aquest document recull les possibles convalidacions de mòduls i unitats formatives del cicle formatiu de grau superior ICA0 Administració de sistemes,
Más detallesOficina d Organització de Proves d Accés a la Universitat Pàgina 1 de 10 PAU 2005
Oficina d Organització de Proves d Accés a la Universitat Pàgina de 0 PAU 005 SÈRIE Avalueu cada pregunta en punts i mitjos punts, però no en altres decimals. Ara bé, dins de cada pregunta podeu utilitzar
Más detallesCuál es la respuesta a tu problema para ser madre? Prop del 90% dels problemes d esterilitat es poden diagnosticar, i la immensa majoria tractar.
Actualment, els trastorns de fertilitat afecten un 15% de la població. Moltes són les causes que poden influir en la disminució de la fertilitat, però ara, als clàssics problemes físics se ls ha sumat
Más detalles(en castellano más adelante pág. 7-12)
COMUNICAT ASSISTÈNCIA Fons Social Europeu (FSE d'ara en avant) (en castellano más adelante pág. 7-12) L'objectiu de la nova funcionalitat d'itaca és substituir l'enviament mensual, per part dels centres
Más detallesÁLGEBRA LINEAL II Práctica
ÁLGEBRA LINEAL II Práctica 3.1-3.2 Geometría afín. (Curso 2013 2014) 1. En un espacio afín real de dimensión 3, se consideran dos sistemas de referencia R = O, ē 1, ē 2, ē 3 } y R = P, ū 1, ū 2, ū 3 },
Más detallesCol legi de Fisioterapeutes RECULL DE PREMSA DIA MUNDIAL DE LA FISIOTERÀPIA
Col legi de Fisioterapeutes de Catalunya RECULL DE PREMSA DIA MUNDIAL DE LA FISIOTERÀPIA Setembre 2004 Els fisioterapeutes critiquen el sistema de regularització de la Generalitat de les teràpies naturals
Más detalles