EJEMPLO OBJETIVO 1 DETERMINAR LOS ELEMENTOS DE UN VECTOR NOMBRE: CURSO: FECHA:

Transcripción

1 JETIV DETERMINR LS ELEMENTS DE UN VETR NMRE: URS: EH: EJES DE RDENDS Unos ejes de coordenadas están formados por dos rectas, una horizontal otra vertical. La recta horizontal se llama eje de abscisas o eje. La recta vertical se llama eje de ordenadas o eje. El punto donde se cortan los ejes se llama origen de coordenadas. PUNTS Un punto en el plano,, viene representado por dos coordenadas, la primera indica su situación en el eje, la segunda, su posición en el eje : (, ). ELEMENTS DE UN VETR Dos puntos determinan un vector fijo W. : origen del vector. : etremo del vector. (, ) oordenadas del vector W. Se obtienen hallando la diferencia entre las coordenadas del etremo del origen : W = ( 2 -, 2 - ) Módulo del vector W. W es la longitud del segmento. El módulo de un vector W (, ) es W 2 2 = +. Dirección del vector W. Es la dirección de la recta. Sentido del vector W. Es el que va del origen () al etremo (). ( 2, 2 ) EJEMPL onsidera los puntos (, 3) (3, ). Las coordenadas del vector W son: (3 -, - 3) = (2, -2). La primera coordenada (2) representa el desplazamiento en el eje. La segunda coordenada (-2) representa el desplazamiento en el eje. 3 W Dados los puntos de coordenadas (2, 3), (-, 4), (0, 6) D(-3, 7): a) Halla las coordenadas de los vectores W D W. b) Qué módulo tienen los vectores W D W? 308 MTEMÁTIS 3. ES MTERIL TPILE SNTILLN EDUIÓN, S. L _ indd /05/0 6:33

2 JETIV 2 RENER LS DISTINTS MVIMIENTS UNIDD 0 NMRE: URS: EH: MVIMIENTS Son las transformaciones geométricas que conservan las distancias los ángulos. TRSLIÓN Una traslación de vector vw(v, v 2 ) es un movimiento que transforma cualquier punto (, ) en otro punto ' cuas coordenadas son '( + v, + v 2 ). EJEMPL Dados los puntos (2, ), (2, 3) (4, 4), trasládalos según el vector vw(6, ). Trasladamos (2, ): '(2 + 6, + ) " '(8, 2) Trasladamos (2, 3): '(2 + 6, 3 + ) " '(8, 4) Trasladamos (4, 4): '(4 + 6, 4 + ) " '(0, 5) ', ' ' son la traslación de los puntos, mediante el vector vw(6, ). Si dibujamos,,, ', ', ', podemos observar lo que ha ocurrido: vw ' ' ' Un cuadrado tiene como vértices los puntos (-, ), (, ), (, -) D(-, -). Halla su trasladado por el vector vw(4, -2). DPTIÓN URRIULR 2 El cuadrilátero D se ha trasladado se ha obtenido '''D'. D ' ' D' ' a) Qué coordenadas tienen los vectores W ' W '? b) uáles son las coordenadas del vector traslación que transforma D en '''D'? MTEMÁTIS 3. ES MTERIL TPILE SNTILLN EDUIÓN, S. L _ indd /05/0 6:33

3 RENER LS DISTINTS MVIMIENTS GIR Un giro es un movimiento angular de a grados con respecto a un punto determinado, denominado centro de giro. Las coordenadas de los puntos transformados por un giro no tienen una epresión sencilla como ocurre con las traslaciones. Solo en ciertos casos se pueden determinar de forma general: Giro de centro (0, 0) ángulo 90 : transforma P(, ) en P'(-, ) Giro de centro (0, 0) ángulo 80 : transforma P(, ) en P'(-, -) Giro de centro (0, 0) ángulo 270 : transforma P(, ) en P'(, -) EJEMPL Gira el punto (5, -4) respecto al punto (0, 0) un ángulo de 90, Giro de 90º: (5, -4) " '(4, 5) Giro de 80º: (5, -4) " '(-5, 4) Giro de 270º: (5, -4) " '(-4, -5) 3 Un triángulo tiene por vértices los puntos de coordenadas (2, ), (-, 4) (3, 5). a) Determina el transformado de, ''', por un giro de centro el origen ángulo 90. b) Halla el transformado de ''' por un giro de centro el origen ángulo 90. c) btén el transformado de por un giro de centro el origen ángulo La estrella de puntas,,, D, E se ha girado con centro en el punto. ompleta la tabla, indicando el ángulo de giro. IGUR RIGINL IGUR INL ÁNGUL DE GIR ED DE E DE DE DE D DE 30 MTEMÁTIS 3. ES MTERIL TPILE SNTILLN EDUIÓN, S. L _ indd 30 27/05/0 6:33

4 UNIDD 0 SIMETRÍ RESPET UN PUNT La simetría respecto a un punto es un giro de 80º con respecto a ese punto, llamado centro de simetría. D ' entro de simetría D' ' ' 5 De las siguientes letras maúsculas, di cuáles tienen centro de simetría e indícalo. M N P S T 6 Un triángulo tiene por vértices los puntos (2, 3), (-3, 5) (6, 7). a) Determina el transformado de, ''', por una simetría central con centro el origen. b) Halla su transformado por una simetría con centro el punto. 7 l triángulo de vértices (2, 3), (5, ) (4, 6) se le aplica una simetría central, con centro el origen, se convierte en el triángulo '''. Dibuja los triángulos '''. DPTIÓN URRIULR Escribe las coordenadas de los puntos ', ' '. MTEMÁTIS 3. ES MTERIL TPILE SNTILLN EDUIÓN, S. L _ indd 3 27/05/0 6:33

5 RENER LS DISTINTS MVIMIENTS SIMETRÍ RESPET UN RET Un punto es simétrico de otro respecto a una recta cuando están a la misma distancia de ella pertenecen a la misma perpendicular a la recta. r Q' Simétrico de Q respecto a r. s P' No es simétrico de P respecto a s. P P" Simétrico de P respecto a s. Q Q Q" No es simétrico de Q respecto a r. Eje Eje 8 bserva los dos primeros ejemplos dibuja la figura simétrica en el tercer caso. ' ' ' ' Eje de simetría Eje de simetría ' Eje de simetría ' 9 btén los ejes de simetría de las siguientes figuras. No son ejes de simetría Eje de simetría Eje de simetría 32 MTEMÁTIS 3. ES MTERIL TPILE SNTILLN EDUIÓN, S. L _ indd 32 27/05/0 6:33

6 UNIDD 0 0 Representa, en cada sistema de coordenadas, el triángulo de vértices (-2, ), (2, 5) (3, -2). plícale el movimiento que se indica en cada caso dibuja el triángulo resultante. a) Simetría respecto al eje c) Simetría respecto al eje b) Traslación de vector d) (3, -) Giro de 80 entro Gira con centro en ángulo 240 el heágono DE. Escribe junto a cada vértice la nueva letra que le corresponde tras realizarse el giro. E DPTIÓN URRIULR D 2 uáles son las coordenadas del triángulo obtenido al aplicar al triángulo de vértices = (0, 0), = (0, 4), = (4, 0) una traslación de vector (5, -3)? = (0, 0) " ' = (, ) = (0, 4) " ' = (, ) = (4, 0) " ' = (, ) MTEMÁTIS 3. ES MTERIL TPILE SNTILLN EDUIÓN, S. L _ indd 33 27/05/0 6:33

7 JETIV 3 DISTINGUIR SEMEJNZS HMTEIS NMRE: URS: EH: SEMEJNZ Las semejanzas transforman una figura en otra figura con la misma forma pero, generalmente, con distinto tamaño. Se diferencian de las traslaciones los giros en que no son movimientos. G G Son semejantes. Son semejantes. PLÍGNS SEMEJNTES Dos polígonos son semejantes si cada ángulo su transformado son iguales, el cociente entre cada lado su homólogo es constante. Esa cantidad se llama razón de semejanza. EJEMPL Halla la longitud de los lados que faltan en la figura 2, sabiendo que es semejante a la figura. cm IGUR IGUR 2 3 cm 2 cm 3,3 cm 4,5 cm z omo las figuras 2 son semejantes, eiste una relación de proporcionalidad entre las longitudes de sus lados, es decir, son directamente proporcionales: IGUR 3 cm cm 2 cm 3,3 cm IGUR 2 4,5 cm z 3 = 3 = 2 3 = 3,3 4, 5 4,5 4,5 z 3 = 4,5 3 = 9 3z = 4,85 4,5 9 4, 85 = =,5 cm = = 3 cm z = = 4,95 cm MTEMÁTIS 3. ES MTERIL TPILE SNTILLN EDUIÓN, S. L _ indd 34 27/05/0 6:33

8 UNIDD 0 alcula las longitudes de los lados que faltan en estas figuras, sabiendo que son semejantes. IGUR 2, 3, ,7 6 8 IGUR 2,5 0 2 IGUR 2, 3,7 IGUR IGUR IGUR 2 IGUR 2 IGUR 2 }} = }} }} = }} = = 2 Es el triángulo de lados 4 cm, 7 cm 5 cm semejante al triángulo de lados 60 cm, 05 cm 75 cm? 3 Los lados de un triángulo miden 6 cm, 9 cm 3 cm los de otro triángulo miden 2 cm, 8 cm 26 cm. Son semejantes? DPTIÓN URRIULR 4 Un triángulo tiene por lados a = 3 cm b = 8 cm. tro semejante a él tiene como lados b' = 40 cm c' = 50 cm. Halla la longitud de los lados de los dos triángulos. MTEMÁTIS 3. ES MTERIL TPILE SNTILLN EDUIÓN, S. L _ indd 35 27/05/0 6:33

9 DISTINGUIR SEMEJNZS HMTEIS 5 Dibuja un polígono semejante al de la figura, sabiendo que la razón de semejanza es 2. 6 Los polígonos DE '''D'E' son semejantes. údate de una regla halla la razón de semejanza entre ambos. E D E' D' ' ' ' 7 Los siguientes triángulos son semejantes su razón de semejanza es 2 3. Halla la base la altura de '''. Halla el área de el área de '''. uál es la razón entre las áreas? ' 2 cm 3 cm ' ' 36 MTEMÁTIS 3. ES MTERIL TPILE SNTILLN EDUIÓN, S. L _ indd 36 27/05/0 6:33

10 JETIV 4 PERR N ESLS UNIDD 0 NMRE: URS: EH: La escala es la razón de semejanza entre el objeto real su representación. Las escalas se utilizan en planos, mapas, maquetas, etc. La escala puede ser numérica o gráfica: Escala numérica: Escala gráfica: :3 000 " cm en el plano son cm en la realidad. cm m " ada centímetro del plano representa 30 m en la realidad. bserva el siguiente dibujo a escala :200 obtén la medida del despacho. Despacho Sala de reuniones Escala :200 Medida tomada en el plano: cm en el plano Medida real: 200 cm reales rchivo Secretaría Para saber cuánto mide el despacho en la realidad tomamos una regla medimos e : Mapa Realidad 200 a b 200 = a 200 a = b = = b DPTIÓN URRIULR 2 Dos ciudades están separadas entre sí por 60 km. qué distancia se encuentran en un mapa a escala : ? 3 Si en un mapa a escala : vemos que dos lugares están separados por 2 cm, qué distancia les separa en la realidad? MTEMÁTIS 3. ES MTERIL TPILE SNTILLN EDUIÓN, S. L. 37

11 PERR N ESLS 4 lgunas fotocopiadoras reducen o amplían los originales. Estas reducciones o ampliaciones vienen epresadas en la máquina con porcentajes. Una reducción del 90 % indica que 00 cm del original se convierten en 90 cm en la fotocopia, que cm del original se convierte en 0,9 cm en la fotocopia. Se ha fotocopiado con reducción al 80% un plano hecho a escala :600. uál es la escala de la fotocopia? cm del plano se convierte en 0,8 cm de la fotocopia. 0,8 cm de la fotocopia representan 600 cm de la realidad. La escala es :750. 0,8 " " 6 " = = 750 0,8 a) uál es la escala de la fotocopia si se hace al 75 %? b) uál es la escala de la fotocopia si se hace al 20 %? c) la escala de la fotocopia si se hace al 25 %? 5 El siguiente dibujo muestra la forma el tamaño que tiene un parque en el plano de una ciudad. También se ha dibujado la escala que aparece en dicho plano. Halla las medidas de los dos lados indicados en el dibujo km 2 cm 2,3 cm 38 MTEMÁTIS 3. ES MTERIL TPILE SNTILLN EDUIÓN, S. L _ indd 38 27/05/0 6:33