Potencias y raíces Matemáticas 1º ESO
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- Carlos Peralta Prado
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1 Potencias y raíces Matemáticas 1º ESO ÍNDICE 1. Potencias 2. Propiedades de potencias 3. Cuadrados perfectos 4. Raíces cuadradas 1
2 1. POTENCIAS Una potencia es una multiplicación en la que todos los factores son iguales: Las potencias están formadas por dos elementos: Base: es el factor que se repite. Exponente: es el número de veces que se repite la base. PRODUCTO DE POTENCIAS DE LA MISMA BASE. COCIENTE DE POTENCIAS DE LA MISMA BASE. POTENCIA DE UNA POTENCIA. PRODUCTO DE POTENCIAS CON EL MISMO EXPONENTE. COCIENTE DE POTENCIAS CON EL MISMO EXPONENTE. POTENCIAS ESPECIALES 2
3 2. POTENCIAS. POTENCIAS DE BASE 10 Una potencia de base 10 es igual a la unidad seguida de tantos ceros como indique el exponente = Las potencias de base 10 tiene la ventaja de facilitar la escritura de números muy grandes de forma abreviada = Si la base es (+) positiva, la potencia siempre será un entero positivo. Por ejemplo: 5 2 = 5 5 = 25 (exponente par) y 2 3 = = 8 (exponente impar) 3
4 Si la base es (-) negativa, el signo de la potencia dependerá de si el exponente es par o impar. VEAMOS. Si el exponente es par, la potencia será positiva: Por ejemplo: (-5) 2 = (-5) (-5) = 25 (-2) 4 = (-2) (-2) (-2) (-2) = 16 4
5 Si el exponente es impar, la potencia será negativa. Por ejemplo: (-5) 3 = (-5) (-5) (-5) = -125 (-2) 3 = (-2) (-2) (-2) = -8 BASE EXPONENTE SIGNO PONTENCIA POSITIVA PAR POSITIVO POSITIVA IMPAR POSITIVO NEGATIVA PAR POSITIVO NEGATIVA IMPAR NEGATIVO 5
6 OJO!!! Tener en cuenta que no es lo mismo (-2) 2 = (-2) (-2) = 4 (en este caso lo que está elevado al cuadrado es el (-2), por lo tanto se multiplica 2 veces) que = = -4 (en este caso, el (-) no está elevado al cuadrado por lo tanto no se multiplica junto al número.no está dentro del paraguas ) PRODUCTO DE POTENCIAS DE LA MISMA BASE El producto de potencias de igual base, es igual a una potencia con la misma base que los factores, elevada a la suma de los exponentes = = 3 7 Igual base Se conserva la base Se suman los exponentes 6
7 COCIENTE DE POTENCIAS DE LA MISMA BASE El cociente de potencias de igual base, es igual a una potencia con la misma base que los factores, elevada a la resta de los exponentes. 5 3 : 5 2 = = 5 1 = 5 Igual base Se conserva la base Se restan los exponentes POTENCIA DE UNA POTENCIA Para calcular una potencia de una potencia, se multiplican los exponentes y se deja la misma base = = 5 4 = 5 4 7
8 PRODUCTO DE POTENCIAS CON EL MISMO EXPONENTE Al multiplicar potencias con el mismo exponente, se multiplican las bases y se deja mismo el exponente = (4 3) 2 = 12 2 = 144 Igual exponente Se multiplican las bases Se conserva el exponente Pero también podemos utilizar esta propiedad en sentido contrario, mirar: (10 3) 2 = = = 900 COCIENTE DE POTENCIAS CON EL MISMO EXPONENTE Al dividir potencias con el mismo exponente, se dividen las bases y se deja el mismo exponente. 8 3 : 4 3 = (8 : 4) 3 = 2 3 = 8 Igual exponente Se dividen las bases Se conserva el exponente Pero también podemos utilizar esta propiedad en sentido contrario, mirar: (20 : 5) 3 = 20 3 : 5 3 = 8000 : 125 = 64 8
9 Apliquemos todas las propiedades aprendidas para resolver el siguiente ejercicio : [( ) : ( ) ] Multiplicación de potencias de igual exponente Multiplicación de potencias de igual base Potencia de exponente 0 [(2 3) 7 : ] [6 7 : 6 5 ] + 1 División de potencias de igual base Potencia de base 1 Recuerda que el orden en que se realizan las operaciones es: 1. Resolver los paréntesis. 2. Potencias. 3. Multiplicaciones y divisiones. 4. Sumas y restas. Luego, el resultado de nuestro ejercicio es 37. POTENCIAS ESPECIALES Si la base de una potencia es 1, entonces, el valor de la potencia, para cualquier exponente, es siempre 1. Si la base de una potencia es 0, entonces, el valor de la potencia, para cualquier exponente natural, es siempre 0. Si el exponente de una potencia es 1, entonces, el valor de la potencia siempre será igual a la base. 1 9 = 0 51 = 37 1 = Si el exponente de una potencia es 0, entonces, el valor de ella, para cualquier base distinta de cero, es igual a = 1 9
10 3. CUADRADOS PERFECTOS Un cuadrado perfecto es aquel número que se obtiene de elevar al cuadrado un número natural. Observando la siguiente figura es fácil deducir que: 1 = 1 2 4= = = 5 2 Luego los números 1, 4, 9, 16, 25 son cuadrados perfectos. 3. RAÍCES CUADRADAS La raíz cuadrada de un número natural a es otro número natural b tal que elevado al cuadrado sea igual al número dado a. 10
11 3. RAÍCES CUADRADAS Cuando al hacer la operación raíz cuadrada de un número obtenemos un resultado exacto, estaremos antes una raíz cuadrada exacta Cuando el último resto es distinto de cero tenemos una raíz cuadrada entera ,30... No existen las raíces cuadradas de los números negativos. 3. RAÍCES CUADRADAS ENTERAS Si la raíz cuadrada que no es exacta se considera entera y la resolvemos defecto, es decir: 30 = 5 y resto 5, es decir, 30 = = 8 y resto 12, es decir, 76 =
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