APLICACIONES DE DERIVADAS: ANALISIS DE FUNCIONES 1. 1º PARTE: Función creciente y decreciente, puntos críticos, extremos relativos

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1 Cálculo 1 _Comisión 1 Año 016 APLICACIONES DE DERIVADAS: ANALISIS DE FUNCIONES 1 Una de las aplicaciones de derivadas es el estudio del comportamiento de funciones Este estudio ya se había comenzado cuando en temas anteriores se encontraba dominio, ceros, intersecciones con los ejes y asíntotas de la función En este caso el análisis comprende, además de lo anterior, lo siguiente: Función creciente y decreciente, puntos críticos, extremos relativos y absolutos, función cóncava hacia arriba y hacia abajo y puntos de inflexión de la curva 1º PARTE: Función creciente y decreciente, puntos críticos, extremos relativos I) Nociones preliminares: 1 Crecimiento y decrecimiento en un punto Intuitivamente, el crecimiento o decrecimiento de una función se relaciona con el hecho de que los valores (imágenes) de una función aumentan o disminuyen en un intervalo o en un punto Dada una función y = f(x) Sea c un punto del Df Si se toma un entorno de c y para un x < c, es f(x) < f( c) y para un x > c, es f(x) > f( c), entonces la función es creciente en c Def: f es creciente en c x E(c ): x < c, f(x) < f( c) y x > c, f(x) > f( c) Si se toma un entorno de c y para un x < c, es f(x) > f( c) y para un x > c, es f(x) < f( c), entonces la función es decreciente en c Def: f es creciente en c x E(c ): x < c, f(x) > f( c) y x > c, f(x) < f( c) Crecimiento o decrecimiento en un intervalo (a;b) Si se cumplen estas condiciones en todo punto de un intervalo (a;b), se dice que la función es creciente en (a;b) o bien es decreciente en (a;b) 3 Extremos relativos Def: f ( c) es un máximo relativo (o local) de f x E(c ): f(x) f( c) Def: f ( c) es un mínimo relativo (o local) de f x E(c ): f(x) f( c) En la gráfica de f, el máximo relativo (o el mínimo) corresponde a un punto de la curva cuyas coordenadas son (c; f(c )) 1 Apunte elaborado por la Mgter Prof Adriana Duarte Guía teórica Análisis de Funciones con Derivadas 1º PARTE 1

2 Cálculo 1 _Comisión 1 Año 016 II) Relación del crecimiento o decrecimiento con la derivada de la función: Teorema 1a: Si una función es derivable en c y f' (c) > 0 f es creciente en c Teorema 1b: Si una función es derivable en c y f' (c) < 0 f es decreciente en c Demos teorema 1a: Como existe f' (c) y además es positiva, por definición de derivada primera en c, se tiene: f ( c) f ( c) = lím > 0, por propiedad de límites: x c x c f ( c) > 0, para ello, numerador y denominador deben tener el mismo signo, x c o sea: si x-c < 0, f (x ) < f (c ) o bien, si x-c>0 es f (x ) > f (c ); ésta ultima expresión corresponde a la definición de función creciente en c, dada anteriormente De manera similar, se puede demostrar el teorema 1b En un intervalo (a;b) Si f' (x) > 0, x (a;b) f es creciente en (a;b) Si f' (x) < 0, x (a;b) f es decreciente en (a;b) Interpretación geométrica: Como se sabe, la derivada de una función en un punto está asociada a la pendiente de la recta tangente a la curva en dicho punto Guía teórica Análisis de Funciones con Derivadas 1º PARTE

3 Cálculo 1 _Comisión 1 Año 016 Gráfico de una función creciente en c, recta tg con pendiente (+), m> 0 Gráfico de una función decreciente en c, recta tg con pendiente (-), m< 0 Entonces, si f' (x) > 0, x (a;b), significa que la recta tangente en cada uno de los puntos de la curva, tendrá pendiente positiva; si f' (x) < 0, x (a;b), en todo punto de la curva, la recta tangente tendrá pendiente negativa Ejemplo 1) Estudiar el crecimiento o decrecimiento de la función x = x + Solución: Primero se determina el Dominio de f: Df = R {-}, además x x lím =, por lo que hay una asíntota vertical x = - y lím = 1, es x x + x x + decir, una asíntota horizontal y = 1 x + x + 4 Se hallar f : f ( x) = = ( x + ) ( x + ) Este cociente es siempre mayor a cero, x Df, por lo tanto, la función será creciente en todo el dominio O bien: f es creciente en ( ; ) ( ; ) Guía teórica Análisis de Funciones con Derivadas 1º PARTE 3

4 Cálculo 1 _Comisión 1 Año 016 Ejemplo : Estudiar el crecimiento o decrecimiento de la función = x x + Solución: Primero se determina el Dominio de f; por ser función polinómica, está definida en todos los reales: Df = R, no posee asíntotas Se hallar f : f ( x) = 4x, luego se prueba: 4x > 0 x< 0, 5 y 4x < 0 x > 0,5 Por lo tanto, la funcion crece en ( ; 0,5) y decrece en ( 0,5; ) III) Puntos críticos Def: En x = c la función posee un punto crítico si y solo si la primera derivada de f es nula o bien si la primera derivada segunda no existe en ese punto En el caso que la función está definida en un intervalo cerrado [a;b], también los extremos del intervalo x= a o x= b son puntos críticos de f Ejemplo 3: Encontrar, si existen, puntos críticos de x = x + Guía teórica Análisis de Funciones con Derivadas 1º PARTE 4

5 Cálculo 1 _Comisión 1 Año Retomando la expresión de la derivada: f ( x) =, se observa que no se ( x + ) anula para ningún número real, o sea x Df, f (x) 0 Por otra parte, ese cociente no existiría si x toma el valor -, pero ese número no pertenece al Df, ni tampoco al dominio de f por lo tanto: la función no posee puntos críticos Ejemplo 4: Retomamos la función = x x + Su derivada f ( x) = 4x se anula para x = -0,5 Por lo tanto, este valor corresponde a un punto crítico de f Ejemplo 5: Si la función del ejemplo 4 está definida en el intervalo [-; ], además de x 0 = - 0,5, tiene dos puntos críticos más: x 1 = - y x = IV) Relación de extremos relativos con la derivada de la función: Teorema (Teorema de Fermat): Si en x = c hay un extremo relativo de f, entonces en x= c hay un punto crítico de f Este teorema afirma que, si se sabe que en un punto la función tiene un máximo, o un mínimo relativo, se puede asegurar que ese punto corresponde a un valor crítico de la función Ahora bien, la afirmación recíproca no siempre es verdadera, es decir, si un punto c es un valor crítico de la función, no siempre corresponde a un extremo relativo Por ejemplo, la función y= x 3 tiene derivada primera nula en x = 0, sin embargo, analizando f(x) en un entorno de 0, se cumple la definición de función creciente, por lo tanto, no tiene máximo ni mínimo en ese punto Guía teórica Análisis de Funciones con Derivadas 1º PARTE 5

6 Cálculo 1 _Comisión 1 Año 016 A los fines prácticos, al analizar una función, se utiliza ésta afirmación recíproca, diciendo que los valores (puntos críticos) que se obtienen, son posibles extremos (máximo o mínimo) relativos Cómo asegurar que esos puntos críticos corresponden a extremos relativos? Hacemos uso de dos criterios: 1º criterio: signo de f en el entorno del punto crítico Sea x = c un punto crítico de f, se considera un entorno E(c ) Si para x < c, f (x) > 0 y para x> c, f (x) < 0, entonces en c la función tiene un máximo relativo Desde el punto de vista geométrico, ésto expresa que si a izquierda de c, la pendiente de la recta tangente es positiva y a derecha de c, la pendiente es negativa, en c hay un máximo Si para x < c, f (x) < 0 y para x> c, f (x) > 0, entonces en c la función tiene un mínimo relativo Desde el punto de vista geométrico, ésto expresa que si a izquierda de c, la pendiente de la recta tangente es negativa y a derecha de c, la pendiente es positiva, en c hay un mínimo º criterio: signo de f en el punto crítico Sea x = c un punto crítico de f, y se cumple que f (c ) = 0 Si se obtiene que f (c ) < 0, entonces en c la función tiene un máximo relativo Si se obtiene que f (c ) > 0, entonces en c la función tiene un mínimo relativo La ventaja del º criterio reside en que se está analizando precisamente en el valor c, sin tener que analizar lo que ocurre en un entorno de ese valor En cambio, el 1º criterio es necesario para el caso donde no exista la derivada primera en c, o bien, cuando f (c ) = 0 Ejemplo 5: En el ejemplo 4, se obtuvo que la derivada de la función = x x + se anula para x = -0,5 Por lo tanto, este valor corresponde a un punto crítico de f Es conveniente utilizar el º criterio para analizar si corresponde a un extremo relativo Como f ( x) = 4, para c =-0,5 la derivada segunda será negativa, entonces la función tiene en ese punto un máximo relativo Ejemplo 6: Hallar extremos relativos de 3 = ( x ) Solución: en primer lugar, se considera el dominio de la funcion dada, en este caso Df= R Luego se obtienen los puntos críticos f ( x) = Se observa que no 1 3 3( x ) hay ningún número real que anule a f, pero sí se cumple que x = representa a un punto crítico porqué? Al no estar definida f en x=, tampoco estará definida f en ese punto Es decir, no es válido utilizar el º criterio Probando con el 1º, se toma un entorno, para un valor x = 1,9, f (1,9) < 0 y para un valor x =,1, f (,1) >0, por lo tanto, en x = la función tiene un mínimo relativo (Advertencia: siempre conviene tomar entornos con radio pequeño porqué?) Guía teórica Análisis de Funciones con Derivadas 1º PARTE 6

7 Cálculo 1 _Comisión 1 Año 016 OPTIMIZACIÓN Una de las aplicaciones más interesantes del cálculo de extremos de una función es la resolución de problemas de diferentes contextos donde se requiere optimizar valores para que la función sea máxima o mínima Por ejemplo, se desea saber cuáles son las dimensiones de un rectángulo que hacen que su área sea máxima, sabiendo que su perímetro debe ser constante e igual a 50 cm Para resolver el problema, llamamos x e y a sus dimensiones (habitualmente se denominan base y altura del rectángulo), entonces su perímetro se plantea como: P = x + y ; en este caso el dato es que P=50 cm, entonces: x + y = 50cm x + y = 5cm Podemos intentar una resolución aproximada, tomando diferentes medidas de los lados del rectángulo, cuya suma cumplan esta condición En la siguiente tabla se muestran algunos de estos valores y también se calcula el área del rectángulo: x [cm] y [cm] Área = xy `[cm ] Según los valores de la última columna, podemos decir que el área va aumentando, tomando los valores más altos cuando x está entre 10 y 15 cm y luego disminuye Nos podríamos preguntar, si entre estos dos valores de x habría alguno que de un área mayor por ejemplo: x [cm] y [cm] Área = xy `[cm ] Guía teórica Análisis de Funciones con Derivadas 1º PARTE 7

8 Cálculo 1 _Comisión 1 Año 016 Nuevamente, el área mayor se da para los valores de x comprendidos entre 1 y 13 cm Se podrá seguir con este mismo procedimiento hasta lograr obtener el valor de x que haga máxima el área Sin embargo, este proceso es tedioso y no garantiza que se encuentren los valores exactos que resuelvan el problema Por ello, el uso de Derivadas es una buena herramienta que permite una resolución analítica al problema En este caso, se requieren consideran los datos iniciales: perímetro P=50cm, determinar las variables involucradas (en este caso, x e y), la relación entre las variables (x + y = 5 cm), la función que hay que maximizar o minimizar (en este problema, maximizar el área del rectángulo), hallar su dominio, puntos críticos y sus extremos La función área, en símbolos, A = x y es una función que depende de dos variables independientes, entonces, se utiliza la relación entre ellas, para hallar una función que solamente depende de una variable (puede depender de x o de y, indistintamente), es decir A = o A= f ( y) Como x + y = 5 cm, es y = 5 x De ahí, la función área es: A= x (5 x) = 5x x Representa a una función polinómica cuyo dominio natural es R No obstante, según el contexto del problema, las variables x e y sólo podrán ser valores positivos y de imagen positiva, ya que no podemos considerar lados y área negativa Tampoco pueden tomar x o y el valor 0, dado que estos valores dan área nula y no tiene sentido en el problema En definitiva, su dominio será el intervalo abierto, donde (0 5), con 0 < x < 5 y su gráfica será: Cálculo de puntos críticos: Derivando la función, se obtiene: A ( x) = 5 x Luego: 5 x = 0 x = 1,5cm es P C Usando el criterio de la segunda derivada: A ( x) = Será negativa para cualquier x del dominio, entonces, en x = 1,5 la función área alcanza su máximo valor Evaluando en la función el PC tenemos que el área máxima es: A ( 1,5) 51,5 1,5 = 156,5cm = También se podría haber considerado la relación: A( y) (5 y) y 5y y x = 5 y, siendo la función = =, y la solución será la misma encontrada antes Por último, la respuesta al problema es: Las dimensiones del rectángulo para que su área sea máxima es que x e y tienen que valer 1,5 cm, o sea es un cuadrado Guía teórica Análisis de Funciones con Derivadas 1º PARTE 8

9 Cálculo 1 _Comisión 1 Año 016 Ejemplo ) Se desea fabricar un tanque cilíndrico, sin tapa, cuya capacidad sea 00 litros La base se hará de un material cuyo costo es de $18 por m y la superficie lateral con otro material que cuesta la mitad del precio de la base Hallar las dimensiones del tanque que harán mínimo su costo Solución: La función a minimizar será el costo del material que es utilizado tanto para la superficie de la base como para la superficie de la pared Como el tanque es cilíndrico, el desarrollo de su superficie lateral es un rectángulo, con base igual a la medida del perímetro de la circunferencia de la base del cilindro ( π R ) y su altura es la altura del cilindro (H) Su área en símbolos es π R H La base es un círculo de radio R y su área es π R [ m ] (ver la siguiente figura): Para el Costo de material, se multiplica la superficie de la base por el costo de cada m y luego se suma el producto de la superficie lateral por el precio del m de la pared del cilindro, o sea: C = 18 $ π R [ m ] + 9 $ m m R H [ m ] π [1] Por otra parte, la capacidad del cilindro (superficie de la base por altura) debe ser 3 de 00lt 0, m [ m] 3 0, m = π R H H = 0,/ π R, sustituyendo en [1]: C = 18 $ π R [ m ] + $ 0, 9 π R 0,/ π R m = 18π R + 18 [$] m R Cálculo de puntos críticos: La derivada es: C ( R) = 36π R 180,R Si se hace C ( R) = 0, se obtiene el valor m [ ] 1 1 R = 3 [m], o bien R 3 = Y se verifica que la derivada segunda C ( R) > 0 10 π 10π para el valor hallado de R, por lo que el Costo es mínimo para dicho valor del radio R Por último, se calcula la altura H y esas serán las dimensiones que debe tener el tanque cilíndrico Guía teórica Análisis de Funciones con Derivadas 1º PARTE 9