1. a) Mostrar que los siguientes conjuntos están acotados. x b) Mostrar que los siguientes conjuntos no están acotados superiormente

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1 FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES UNIVERSIDAD DE BUENOS AIRES COMPLEMENTOS DE ANÁLISIS MAESTRíA EN ESTADíSTICA MATEMÁTICA SEGUNDO CUATRIMESTRE 2007 PRÁCTICA 3 1. a) Mostrar que los siguietes cojutos está acotados { N / 3 < 59}, { 1 / } x R x b) Mostrar que los siguietes cojutos o está acotados superiormete R >0, {m 2 / m N} c) Mostrar que los siguietes cojutos o está acotados iferiormete Z, {x 1 / x < 0}, { x 2 + 2x + 1 / x R} 2. Sea A y B dos cojutos o vacíos de úmeros reales tales que para todo a A, b B. Mostrar que a b a) A está acotado superiormete y B acotado iferiormete b) sup A if B 3. Sea A, B subcojutos o vacíos de úmeros reales. Probar a) A B y B acotado superiormete = sup A sup B b) A B y B acotado iferiormete = if B if A c) A B y A o acotado = B o acotado. 4. Sea A u subcojuto o vacío de úmeros reales. Comprobar que a) si α < sup A, etoces existe a A tal que α < a b) si β > if A, etoces existe b A tal que b < β. 5. Sea A R o vacío y acotado superiormete. Probar que existe ua sucesió (a ) A tal que a sup A Euciar y probar u euciado aálogo para el caso de u subcojuto o vacío acotado iferiormete.

2 2 FCEYN UBA COMPLEMENTOS DE ANALISIS SEGUNDO CUATRIMESTRE Calcular supremo e ífimo si existe y probar que lo so, de los siguietes cojutos a) { N / 20 < 35} b) (a, b] { ( 1) / } c) N { 1 / } d) N, 30 { 2 / } e) N 7 3 f) {x Q / 2x 3 1 < 15} g) {x R Q / x 2 + x < 2} 7. PARTE ENTERA Dado a R se defie [a] = max{m Z / m a} Probar a) [a] a < [a] + 1 b) [a] = a a Z c) Sea m Z. Etoces m a < m + 1 = [a] = m d) Calcular: [3, 9], [20, 18742], [0, 39], [ 1], [ 1, 3], [ π] 8. Probar que si y x > 1, etoces existe m Z tal que y m x. 9. Sea x R. Mostrar que existe sucesioes de úmeros racioales (r ) y (r ) tales que r < x < r y r r 0 para todo N. Se puede determiar si estas sucesioes so covergetes? Vale u resultado similar para sucesioes de úmeros irracioales? 10. Estudiar la mootomía y acotació de las siguietes sucesioes + 1,!, Probar que las siguietes sucesioes so covergetes y calcular su límite a 1 = 2 a +1 = a 1 = 3, 2 + a a +1 = 3a

3 FCEYN UBA COMPLEMENTOS DE ANALISIS SEGUNDO CUATRIMESTRE Calcular los límites de las sucesioes siguietes ( 1 1 ) a) b) (2)! c) 2 ( 1 1 ) 2 d) ( ) e) ( f) l(e 1) g) se h). l(1 e ) i) l 52 j) k) 52 l( + 1) l l) ( ) 1 ( 2 2 m) ) 2 ( l( + 1) l ) 2 l ) ) +1 2 o) se(!) se(! + 5 2) + cos p) q) ( ) se 2 5 r) l( 1 ) Sea (a k ), (a j ) y (a i ) tres subsucesioes de la sucesió (a ). Si se sabe que las tres coverge al mismo límite l, se puede asegurar que a l? y a otro valor?

4 4 FCEYN UBA COMPLEMENTOS DE ANALISIS SEGUNDO CUATRIMESTRE De la sucesió (a ) se sabe que las subsucesioes a 3k l, a 3k+1 l, a 3k+2 l Probar que a l. Explicar por qué este resultado o se cotrapoe co las respuestas del ejercicio aterior. 15. Hallar todas las subsucesioes covergetes de las siguietes sucesioes a) se( π 2 ) b) cos( π 4 ) c) cos(π) + se( π 4 ) d) +1 se2 ( π 4 ) e) ( 1) 16. Hallar el límite superior e iferior de a) 1, 3, 1, 1, 3, 1, 1, 3, 1,... b) (1 1 ) se( π 2 ) c) ( 1) (2 + 3 ) d) ( 1) e) se( π 2 ) f) cos( π 4 ) g) cos(π) + se( π 4 ) h) +1 se2 ( π 4 ) i) ( 1) j) cos( π 2 ) k) 2 se( π 2 ) l) 3 [ 3 ] m) (s ) defiida por s 1 = 0 s 2 = s s 2+1 = 1 + s Ecotrar ua sucesió (x ) R que satisfaga lim if x = 3, lim sup x = 5 y tal que x > 5 para ifiitos valores de N. 18. Es cierto que a) si lim sup x = 2, etoces existe 0 N tal que x > 1, 99 para todo 0? b) si lim sup x = b, etoces existe 0 N tal que x b para todo 0? c) si lim sup x = b, etoces existe 0 N tal que x b para todo 0? Euciar y respoder situacioes aálogas para el límite iferior.

5 FCEYN UBA COMPLEMENTOS DE ANALISIS SEGUNDO CUATRIMESTRE Cota superior de u cojuto APÉNDICE: DEFINICIONES Y RESULTADOS Sea A R o vacío. Decimos que el úmero α es ua cota superior de A si x α para todo x A Cota iferior de u cojuto Sea A R o vacío. Decimos que el úmero β es ua cota iferior de A si x β para todo x A Cojuto acotado Sea A R o vacío. Decimos que A está acotado superiormete si tiee ua cota superior A está acotado iferiormete si tiee ua cota iferior A está acotado si está acotado superior e iferiormete. Supremo Máximo Sea A R o vacío y acotado superiormete. U úmero α se llama supremo de A si α es cota superior de A si a es cota superior de A, etoces a α. Se lo deota: sup A. E caso que α A, se lo llama máximo y se lo deota max A. Ifimo Míimo Sea A R o vacío y acotado iferiormete. U úmero β se llama ífimo de A si β es cota iferior de A si b es cota iferior de A, etoces b β. Se lo deota: if A. E caso que β A, se lo llama míimo y se lo deota mi A. Axioma de Completitud Todo subcojuto de los úmeros reales que sea o vacío y acotado superiormete tiee supremo.

6 6 FCEYN UBA COMPLEMENTOS DE ANALISIS SEGUNDO CUATRIMESTRE 2007 Proposició Sea A u cojuto acotado superiormete y o vacío. U úmero real α es el supremo de A si y sólo si α es cota superior de A para cada ε > 0 existe x A tal que α ε < x. Proposició Sea A u subcojuto de úmeros reales acotado iferiormete, etoces existe if A. Proposició (Pricipio de Arquímedes) Dado x R existe N tal que x. Corolario Sea a y b úmeros reales tales que 0 < a < b. Etoces existe N tal que a > b. Proposició (Desidad de Q) Dados dos úmeros reales a < b, existe q Q tal que a < q < b Proposició (Desidad de R Q) Dados dos úmeros reales a < b, existe x R Q tal que a < x < b Proposició (Parte Etera) Dado x R, existe u úico m Z tal que m x < m + 1 Nota: este úmero m se llama parte etera de x y se lo deota [x]. Proposició (Raíz ésima) Sea a > 0 y N. Etoces, existe u úico úmero positivo b tal que b = a Nota: este úmero b se llama raíz ésima de a y se lo deota a.

7 FCEYN UBA COMPLEMENTOS DE ANALISIS SEGUNDO CUATRIMESTRE Sucesioes moótoas Sea (a ) ua sucesió de úmeros reales. Se dice que (a ) es creciete si a a +1 para todo N. (a ) es estrictamete creciete si a < a +1 para todo N. (a ) es decreciete si a a +1 para todo N. (a ) es estrictamete decreciete si a > a +1 para todo N. Proposició Toda sucesió moótoa creciete (decreciete) y acotada superiormete (resp. iferiormete) tiee límite y su valor es el supremo (resp. ífimo) de {a / N}. Proposició (Defiició de e) ( (1 1) ) La sucesió + es estrictamete creciete y acotada superiormete. A su límite se lo deota e = lím (1 + 1 ) Proposició Sea (a ) ua sucesió de úmeros reales. Etoces, (a ) es de Cauchy si y sólo si es covergete. Puto límite Sea A R u cojuto o vacío. Decimos que u úmero c es u puto límite de A si existe ua sucesió (a ) A tal que a c.

8 8 FCEYN UBA COMPLEMENTOS DE ANALISIS SEGUNDO CUATRIMESTRE 2007 Límite superior Sea (a ) ua sucesió y L = {putos límite de (a )}. si L está acotado superiormete, se llama límite superior de (a ) a lim sup a = sup L si L o está acotado superiormete, se llama límite superior de (a ) a lim sup a = + Límite iferior Sea (a ) ua sucesió y L = {putos límite de (a )}. si L está acotado iferiormete, se llama límite iferior de (a ) a lim if a = if L si L o está acotado iferiormete, se llama límite iferior de (a ) a lim if a =