Notas teóricas. a) Suma y resta Se agrupan los monomios del mismo grado y se opera.

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1 MATEMÁTICAS EJERCICIOS RESUELTOS DE POLINOMIOS POLINOMIOS A. Introducción Teoría B. Ejercicios resueltos B.. Sumas y restas B.. Multiplicación B.3. División B.4. Sacar factor común B.5. Simplificar fracciones algebraicas B.6. Operaciones con fracciones algebraicas B.7. Relación entre dividendo, divisor, resto y cociente - Operaciones con polinomios: Notas teóricas a) Suma y resta Se agrupan los monomios del mismo grado y se opera. b) Multiplicación Se multiplica cada uno de los términos del primer polinomio por cada uno de los términos del segundo y luego se agrupan y se operan los términos del mismo grado. c) División Suelen utilizarse dos métodos: i. Método estándar: Se procede de forma análoga a la división entre números. dividendo divisor resto cociente Se cumple que: Dividendo divisor cociente + resto ii. Método de Ruffini: Sólo se puede aplicar para dividir polinomios de grado igual o mayor que dos entre un binomio de grado uno - Teorema del resto: /3

2 Logaritmos resueltos El resto de la división de un polinomio entre a coincide con el valor del polinomio en a, es decir: resto P( a) - Factorización de polinomios: Los polinomios compuestos pueden descomponerse como producto de dos o más polinomios de grado menor. A esta tarea se le llama factorizar polinomios. B.. Sumas y restas Ejercicios resueltos ( ) ( ) B.. Multiplica ( ) (3 + ) (6 5) ( 7) 6+ /3

3 Logaritmos resueltos 4. 5 ( ) (3 9) (6 5) ( ) 8. (3 9) (6 5) ( + ) (3 7 ) ( 4) ( ) ( ) (3 + )(5 + ) 3 (5 + )+ (5 + ) ( + 7)( + ) ( + )+7 ( + ) ( )(5 + 6) (5 + 6) (5 + 6) (3 )( 7 + ) 3 ( 7 + ) ( 7 + ) (3 + 7)( + ) (3 + 7)( + ) 3 ( + ) + 7 ( + ) ( + )( + ) ( + )+( + ) ( + ) ( ) 3. ( ) /3

4 Logaritmos resueltos 33. ( )( + ) ( ) ( ) ( 3 3) ( 5) 3 ( ) ( ) ( 4 ) 3( 4 ) 5 3( 4 )( 5) ( 5) ( ) TEMA RELACIONADO: Binomio de Newton B.3. División 36. ( 4+ 3 )( : ) a) Método de Ruffini Resto: 0 Cociente: 3 b) Método general o estándar Cociente Resto 4/3

5 Logaritmos resueltos 37. ( )( : + ) a) Método de Ruffini Resto Cociente: 3 5 b) Método general Cociente Resto 38. ( )( : + ) 5/3

6 Logaritmos resueltos a) Método estándar: Resto: 9 +9 Cociente: b) Método de Ruffini Resto: Cociente: ( )( : + ) En este caso no podemos aplicar el método de Ruffini, ya que aparece un divisor que no es de la forma ( ± a) - Método estándar: 6/3

7 Logaritmos resueltos Resto: Cociente: B.4. Saca factor común ( + 3) ( + ) ( + 5) ( + 3) 44. a 3 b a b 3 a b ( a b) 45. ab ac a c a(b c ac) ( 3) ( ) a b 3 5 a 3 b 5a b (b 5a) 48. 4abc 6ac 0b c 4bc(a 4a 5bc) y y 5 y y (5y 30 y 3 ) ( ) B.5. Simplifica ( + ) /3

8 Logaritmos resueltos ( + ) ( + ) ( + 3) Puede que te estés preguntando por qué el resultado no es 0. La razón por la que en el numerador queda un es que +3 se puede escribir también como: (+3). Así que: + 3 ( + 3) ( + 3) ( + 3) ( ) ( 3) 3( 3) 4. También habría podido proceder del siguiente modo: ( 3 9) ( 3 9) ( ) ( ) ( 5 5) ( 5 5 ) ( 3 5) ( ) ( ) ( 5+ 5) ( 5+ 5) ( + ) + ( + )( ) 8/3

9 Logaritmos resueltos ( ) ( 3) 3 ( + )( ) y - y 9y - 3y y( 3) 3y( 3) 3 a b ab ab( a b) ab 3 3 a b a b a b ( a b) a b ab B.6. Opera con las siguientes fracciones polinómicas ( ) ( ) ( )( + ) ( ) + ( )( + ) ( )( + ) + ( ) ( )( + ) ( )( + ) ( ) + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( + ) ( ) + ( )( + ) ( )( + ) ( )( + ) + + ( )( + ) ( ) ( )( + ) 9/3

10 Logaritmos resueltos ( ) ( ) ( )( + ) ( )( + ) + ( )( + ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( + )( ) ( + )( ) ( + )( ) ( + )( ) ( + )( ) ( ) ( ) + ( + )( )( ) ( + )( )( ) + + ( + )( )( ) ( + )( )( ) B.7. Relación entre dividendo, divisor, resto y cociente 74. Determina el valor de m para que el polinomio 3 P( ) m+ ( m 5) al dividirlo por ( 5) tenga un resto de 3 Por el teorema del resto se tiene que cumplir que P( 5) 3, es decir: 3 P( 5) m+ ( m 3) 3 m Calcula el valor de m para que el polinomio p( ) m+ 4m sea divisible por ( 5) Para que el polinomio sea divisible por ( 5) se tienen que cumplir la condición P( 5) 0, es decir: 3 P( 5) 5 5 5m+ 4m 0 m 55 0/3

11 Logaritmos resueltos Así que el polinomio buscado es: 3 P( ) Calcula el valor de m y n para que el polinomio P( ) m+ n sea divisible simultáneamente por ( 5) y ( + ) Para que el polinomio sea divisible por ( 5) y ( + ) se tienen que cumplir las condiciones P( 5) 0 y P( ) 0. Es decir: 3 P( 5) 5 5 5m+ n 0 3 P( ) ( ) ( ) ( ) m+ n 0 Tenemos entonces un sistema de ecuaciones, cuyas incógnitas son m y n. resolviendo: 5m+ n 75 m 3; n 0 m+ n 6 Conclusión: 3 El polinomio buscado es P( ) 3 0 Factoriza los siguiente polinomios 77. P( ) 6 Utilizamos Ruffini. Las raíces enteras de P() van están entre los divisores de 6. Probaremos con el y con el /3

12 Logaritmos resueltos Conclusión: P( ) ( + )( 3) 78. P( ) 9+ 0 Utilizamos Ruffini. Las raíces enteras de P() van están entre los divisores de 6. Probaremos con el 4 y con el Conclusión: P( ) ( 4)( 5) P( ) Utilizamos Ruffini. Las raíces enteras de P() van están entre los divisores de 3. Probaremos con el, y con el Conclusión: P( ) ( + )( )( 3) P( ) /3

13 Logaritmos resueltos Utilizamos Ruffini. Las raíces enteras de P() van están entre los siguientes números, todos divisores de, es decir: ± y ± Conclusión: P( ) ( )( )( )( ) ( )( ) *** 3/3