Capítulo 4: Aplicaciones de la derivada

Transcripción

1 Capítulo 4: Aplicaciones de la derivada 1. Lección 15. Aplicaciones de la derivada I 1.1. Estudio del signo de la derivada Tratamos de ver en esta lección algunas aplicaciones de la derivada. Puesto que la derivada dy d mide el crecimiento relativo instantáneo de la función y = f(), es natural que estas aplicaciones estén en relación con los conceptos de crecimiento y decrecimiento que definimos a continuación. Sea D el dominio de una función f() y sea 0 D. Decimos que f es creciente en 0 cuando eiste un intervalo (a, b) del dominio con 0 (a, b), de manera que para todo (a, b) se tiene: (i) < 0 f() < f( 0 ); (ii) > 0 f() > f( 0 ). Sea D el dominio de una función f() y sea 0 D. Decimos que f es decreciente en 0 cuando eiste un intervalo (a, b) del dominio con 0 (a, b), de manera que para todo (a, b) se tiene: (i) < 0 f() > f( 0 ); (ii) > 0 f() < f( 0 ). Sea D el dominio de una función f() y sea 0 D. Decimos que f tiene un máimo (respectivamente, un mínimo) relativo en 0 cuando eiste un intervalo (a, b) del dominio con 0 (a, b), de manera que para todo (a, b) se tiene f() f( 0 ) (respectivamente, f() f( 0 )). Se tiene: Si 0 D y f ( 0 ) > 0, entonces la función f es creciente en el punto 0. Si 0 D y f ( 0 ) < 0, entonces la función f es decreciente en 0. La razón intuitiva de las dos propiedades es bastante simple: si la derivada dy d es positiva, se tendrá que el cociente de incrementos y > 0 para incrementos pequeños. Por tanto, el valor de la variable dependiente y crece al crecer la variable independiente. Cuando dy d < 0, la variable dependiente disminuye al aumentar la variable independiente, y viceversa. Luego la función decrece cerca del punto 0. El caso en que f ( 0 ) = 0 nos ha quedado sin analizar en las observaciones anteriores. Cuando f ( 0 ) = 0, decimos que 0 es un punto crítico de la función f. Se tiene: Si la función y = f() tiene un máimo relativo o un mínimo relativo en 0 y es derivable en 0, entonces f ( 0 ) = 0; es decir, 0 es un punto crítico. 1

2 Sea f ( 0 ) = 0. Supongamos que eiste un intervalo (a, b) del dominio con 0 (a, b), de manera que para todo (a, b) se tiene: (i) < 0 f () > 0; (ii) > 0 f () < 0. Entonces la función f tiene un máimo relativo en 0. Sea f ( 0 ) = 0. Supongamos que eiste un intervalo (a, b) del dominio con 0 (a, b), de manera que para todo (a, b) se tiene: (i) < 0 f () < 0; (ii) > 0 f () > 0. Entonces la función f tiene un mínimo relativo en 0. De nuevo la razón intuitiva de estas dos últimas propiedades es fácil de ver: si se cumple la primera posibilidad, la función f es creciente en puntos próimos a 0 pero a la izquierda de 0, luego en 0 ha de tomar un valor mayor; en cambio, a la derecha la función decrece, luego el valor en 0 es también mayor que en los puntos a su derecha. Por eso en 0 ha de haber un máimo. La situación con respecto al último caso es totalmente simétrica La concavidad de una función Supondremos ahora que f es una función de clase C 1 en un dominio D; es decir, es derivable y con derivada continua en D. Podemos definir los siguientes conceptos, en paralelo a los de crecimiento y decrecimiento. Sea D el dominio de una función f() y sea 0 D. Decimos que f es cóncava en 0 cuando eiste un intervalo (a, b) del dominio con 0 (a, b), de manera que para todo valor del incremento en el punto 0 tal que 0 + (a, b), se tiene y( 0, ) > dy( 0, ). Esto viene a significar que, cerca de 0, la función crece más deprisa que la tangente; gráficamente, la tangente está por debajo de la curva. Se dice también que la función tiene en 0 la concavidad hacia arriba. Sea D el dominio de una función f() y sea 0 D. Decimos que f es convea en 0 cuando eiste un intervalo (a, b) del dominio con 0 (a, b), de manera que para todo valor del incremento en el punto 0 tal que 0 + (a, b), se tiene y( 0, ) < dy( 0, ). Esto viene a significar que, cerca de 0, la función crece más despacio que la tangente; gráficamente, la tangente está por encima de la curva. Se dice también que la función tiene en 0 la concavidad hacia abajo. Sea D el dominio de una función f() y sea 0 D. Decimos que 0 es un punto de infleión de f cuando eiste un intervalo (a, b) del dominio con 0 (a, b), de manera que se verifica una de estas dos condiciones: (i) f es convea en (a, 0 ) y cóncava en ( 0, b); (ii) f es cóncava en (a, 0 ) y convea en ( 0, b). Así, un punto de infleión es un punto en el que cambia la concavidad de la curva que es la gráfica de la función. Gráficamente, la tangente en un punto de infleión atraviesa la curva. 2

3 1.3. Estudio de la segunda derivada y puntos críticos Por las definiciones anteriores vemos que la concavidad de una función en 0 significa que el crecimiento de la función se acelera alrededor de 0. De modo similar, la conveidad significa que el crecimiento se reduce. Por ello, la concavidad es una propiedad relacionada con la derivada de segundo orden. En lo que sigue, f será una función de clase C 1 que tiene segunda derivada en los puntos considerados. Si f ( 0 ) > 0, entonces la función es cóncava en 0. Si f ( 0 ) < 0, entonces la función es convea en 0. Si 0 es un punto de infleión, entonces f ( 0 ) = 0. Volvemos a estudiar lo que ocurre para los puntos críticos; ya antes hemos visto condiciones bajo las cuales dichos puntos dan un máimo o un mínimo. Relacionamos ahora dichas condiciones con la segunda derivada. Si 0 es un punto crítico y f ( 0 ) < 0, entonces f tiene un máimo en 0. Si 0 es un punto crítico y f ( 0 ) > 0, entonces f tiene un mínimo en Criterios para distinguir puntos de infleión Antes hemos mostrado criterios para decidir si un punto crítico (esto es, un punto 0 con f ( 0 ) = 0) es un máimo o un mínimo, basados en la derivada en puntos cercanos a 0. Completamos parcialmente esos criterios. Suponemos de nuevo que f es de clase C 1 y que f ( 0 ) = 0. Supongamos que eiste un intervalo (a, b) del dominio con 0 (a, b), de manera que para todo (a, b) se tiene 0 f () > 0. Entonces la función f tiene un punto de infleión en 0 (se dice que tiene un punto de infleión con tangente horizontal, y es creciente cerca de 0 ). Supongamos que eiste un intervalo (a, b) del dominio con 0 (a, b), de manera que para todo (a, b) se tiene 0 f () < 0. Entonces la función f tiene un punto de infleión en 0 (se dice que tiene un punto de infleión con tangente horizontal, y es decreciente cerca de 0 ). Tenemos otro criterio, basado en las derivadas sucesivas, para distinguir cuándo un punto crítico es un punto de infleión, o es un etremo relativo (máimo o mínimo). Proposición. Sea 0 un punto crítico de la función f, y supongamos que f es de clase C n, de manera que n > 1 es el menor entero con la propiedad de que f (n) ( 0 ) 0 (pero f (k) ( 0 ) = 0 para k = 1,..., n 1). Entonces: Si n es impar, f tiene un punto de infleión en 0. Si n es par, entonces f tiene un máimo relativo en 0 si es f (n) ( 0 ) < 0; y tiene un mínimo relativo en caso contrario. 3

4 Ejercicio 1. La probabilidad de que una molécula de masa m en un gas a temperatura T tenga una velocidad v está dada por la distribución de Mawell- Boltzmann: m p = 4π( 2πkT )3/2 v 2 e mv 2 2kT donde k es la constante de Boltzmann. Encontrar la velocidad más probable, para valores fijos de m y T. La probabilidad p es función de la variable independiente v; tanto k como m, T son constantes. Llamando podemos escribir y A, B son constantes. m A = 4π( 2πkT )3/2, B = m 2kT p = Av 2 e Bv2 Esta es una función derivable. Para hallar un máimo, debemos encontrar primero la derivada. p = 2Ave Bv2 + Av 2 ( 2Bve Bv2 ) = 2Ave Bv2 (1 Bv 2 ) Por las condiciones del problema, tenemos A, B > 0. Los puntos críticos se obtienen para los valores de v que anulan a la derivada p. Estos son: 1 Bv 2 = 0, Bv 2 = 1, v 2 = 1 B (también v = 0 anula a la derivada; pero para v = 0 se tiene p = 0 y la probabilidad no puede ser máima en v = 0). Aunque como función matemática la ecuación anterior da dos soluciones para v, debemos admitir que la velocidad se supone positiva. De este modo, el 1 único punto crítico se tiene para v c = B. Para distinguir si en v c hay un máimo o un mínimo, podemos acudir a algunos de los criterios vistos en la lección. Pero es más sencillo seguir las siguientes consideraciones: La velocidad v puede variar entre 0 y +. El valor de p para v = 0 es, directamente, 0. Cuando v +, entonces p 0, dado que la función es del tipo 2 e 2, y la eponencial crece mucho más deprisa que cualquier potencia. El valor p de la variable dependiente (probabilidad) es siempre 0. Luego la función tiene que ser creciente hasta el punto crítico y decreciente después. Así, en v c hay un máimo. 1 El valor de esa velocidad más probable será, pues, v = B = 2kT m. Ejercicio 2. La concentración en el instante t de una sustancia B en el proceso A B C consistente en dos reacciones irreversibles, está dada por: [B] = [A] 0k 1 k 2 k 1 (e k1t e k2t ) 4

5 donde k 1, k 2 son constantes con k 1 k 2. Encontrar el tiempo t en que la concentración [B] es máima, y calcular dicha concentración máima. Calcularemos la derivada para buscar los puntos críticos. Primero, denotaremos como µ la constante [A]0k1 k 2 k 1. [B] = µ( k 1 e k1t + k 2 e k2t ) Los puntos críticos se obtienen para los valores que anulan a la derivada: k 2 e k2t k 1 e k1t = 0, k 2 k 1 = e (k2 k1)t Se sigue de aquí que dicho valor crítico se tiene cuando log( k 2 k 1 ) = (k 2 k 1 )t, t = log(k 2) log(k 1 ) k 2 k 1 Por el razonamiento que hemos seguido, vemos que ese valor de t es el único valor crítico de la función. Para determinar de qué tipo es ese valor crítico, observamos lo siguiente: El valor de [B] en el instante inicial t = 0 es, de acuerdo con la fórmula, 1 [B] 0 = 0. Cuando t +, el límite de [B] es igualmente 0, porque 1 e k 1 t e k 2 t es del tipo 0 0 = 0. Como los valores son positivos, se deduce que el único punto crítico ha de ser un máimo. El valor de [B] en ese punto crítico será µ(e k1 ln(k 2 ) ln(k 1 ) k 2 k 1 e k2 ln(k 2 ) ln(k 1 ) k 2 k 1 ) = µ((e ln(k2/k1) ) k 1 k 2 k 1 (e ln(k2/k1) ) k 2 k 2 k 1 ) Podemos simplificar: e ln(k2/k1) epresión anterior dará = k2 k 1, y el factor a la derecha de µ en la ( k 2 ) k 2 k 2 k 1 ( 1 + ( k 2 )) = ( k 2 ) k 2 k 2 k 1 ( k 2 k 1 ) k 1 k 1 k 1 k 1 Este último factor es el inverso del factor que acompaña a [A] 0 en la epresión de µ. Por tanto, obtenemos [B] c = [A] 0 ( k 2 ) k 1 k 2 k 2 k 1 2. Lección 16. Aplicaciones de la derivada II Veremos aquí aplicaciones del cálculo de derivadas a la representación de gráficas de funciones. Como hay además otros procedimientos que son útiles en la representación de funciones, revisaremos todos ellos en esta lección, dando así un desarrollo completo de los recursos más útiles en la tarea de representar funciones. Los diferentes apartados en el estudio sistemático de una función para su representación son, en el orden en que los veremos: Funciones pares e impares, traslaciones y simetrías. 5

6 Dominio, puntos de discontinuidad y asíntotas verticales. Intersecciones con el eje de abscisas. Asíntotas horizontales y oblícuas. Intervalos de crecimiento y decrecimiento. Puntos críticos, máimos y mínimos. Concavidad, conveidad y puntos de infleión Simetrías y traslaciones Más que un método general para representar funciones, se trata de comprobar si la función cuya gráfica queremos representar tiene alguna simetría importante o condición que facilite su representación mediante la comparación con otra función mejor conocida. Una función y = f() es par si f( ) = f() para todo del dominio. Por definición, si f es par y se tiene que ( 0, y 0 ) es un punto de la gráfica, entonces ( 0, y 0 ) también es un punto de la gráfica. Luego la gráfica es simétrica respecto del eje de ordenadas. Una función y = f() es impar si f( ) = f() para todo del dominio. Si f es impar y ( 0, y 0 ) es un punto de la gráfica, entonces ( 0, y 0 ) es también un punto de la gráfica. Así, la gráfica es simétrica respecto del origen de coordenadas. Si g() = f( a) para alguna constante a R y para todo del dominio, entonces la gráfica de g es una trasladada de la de f. Concretamente, si ( 0, y 0 ) es un punto de la gráfica de f, entonces y 0 = f( 0 ) = f(( 0 + a) a) = g( 0 + a); luego ( 0 + a, y 0 ) es un punto de la gráfica de g. Así, la gráfica de g es igual a la de f, pero trasladada una distancia a a la derecha (pero hay que tener en cuenta que una distancia a a la derecha está a la izquierda si a < 0). Si g() = f() a para alguna constante a R y para todo del dominio, entonces la gráfica de g es una trasladada de la de f. Así, si ( 0, y 0 ) es un punto de la gráfica de f, tenemos y 0 = f( 0 ) = g( 0 ) + a; luego ( 0, y 0 a) es un punto de la gráfica de f. De este modo, la gráfica de g es la de f, pero trasladada una distancia a hacia abajo (pero hay que tener en cuenta que una distancia a hacia abajo es en realidad hacia arriba si a < 0). Ejemplo. Representar la función y = f() = Claramente, f(1) = 8, f( 1) = 80, luego no es par ni impar. Tampoco se aprecia de qué función más sencilla puede ser trasladada. Sin embargo, = ( 2) 4 + ( 2)

7 Escrita así, vemos que la función es trasladada una distancia igual a 10 hacia abajo de la función g() = ( 2) 4 + ( 2) 2. A su vez, esta función es trasladada una distancia 2 hacia la derecha de la función h() = Esta es una función par, y por tanto es simétrica respecto del eje de ordenadas. Si la representamos, y luego trasladamos la gráfica como se ha indicado, tendremos la gráfica de f Dominio y puntos de discontinuidad Esto fue considerado en el capítulo 2, al hablar de la continuidad de funciones. Allí se vio el dominio y los puntos de discontinuidad de las funciones elementales. Además, vimos que si en un punto de discontinuidad 0 la función tiene límite lateral ±, entonces la recta = 0 es una asíntota vertical. Así pues, en este apartado se encuentran también las asíntotas verticales, si las hay Intersecciones con el eje de abscisas Calculamos las raíces de la función; esto es, los valores tales que f() = 0, de modo que el punto ( 0, 0) es un punto de la gráfica, que estará en el eje de abscisas. El cálculo de estos valores, si los hay, se obtiene resolviendo la ecuación f() = 0. Ejemplo. Hallar los puntos de corte con el eje de abscisas de la gráfica de la función y = ( 2)sen( + 2). Para que se tenga ( 2)sen(+2) = 0, debe ser 2 = 0 o bien sen(+2) = 0. Así, una solución es = 2, obteniéndose (2, 0) como uno de los puntos de corte. En cuanto al otro factor sen = 0 si y solo si = kπ (k toma cualquier valor entero). Por tanto, las otras soluciones se obtienen para + 2 = kπ, = kπ 2. Por ejemplo, ( 2, 0) o (π 2, 0) son puntos de corte. Una vez que tenemos determinados los puntos de corte con el eje de abscisas, supongamos que hemos obtenido dos puntos ( 1, 0), ( 2, 0) sin ninguna otra raíz entre 1 y 2. Entonces la función no toma el valor 0 en el intervalo ( 1, 2 ), de forma que en ese intervalo todos sus valores son positivos o son todos negativos, de acuerdo con el teorema de Bolzano (suponiendo que la función es continua). Calculando directamente el valor f() en un punto intermedio, 1 < < 2, tendremos si la gráfica está por encima o por debajo del eje de abscisas en ese intervalo Asíntotas horizontales y oblícuas Hemos visto las asíntotas horizontales en el capítulo 2: si lím ± f() eiste y es un número real a, entonces la recta y = a es una asíntota horizontal de la función. Una función puede tener, como máimo, dos asíntotas horizontales. Si, en cambio, tenemos lím ± f() =, faltará al menos una de las asíntotas horizontales, pero la gráfica puede tener una asíntota oblícua. 7

8 En general, una asíntota (no vertical) es una recta tal que la gráfica de la función se acerca a esta recta cuando o +. Concretamente, la recta y = m + b es una asíntota oblícua de f cuando m 0 y lím (f() (m + b)) = 0. La condición para que el valor y = f() de la variable dependiente en la función se aproime a la ordenada m + b de la recta (y haya, por tanto, una asíntota oblícua), es doble: 1. El límite en el infinito de f() f() (o bien lím = m). ha de ser finito. Esto es, lím + f() = m 2. Además, el límite de f() m ha de ser también finito. Así, lím + (f() m) = b (o la propiedad correspondiente si consideramos el límite para ). Ejemplo. Buscar las asíntotas horizontales u oblícuas de la función y = Si calculamos los límites para ± de la función, vemos que ambos darán, luego no hay asíntotas horizontales. Calculemos, pues f() lím + = lím = 1 Tenemos, pues, que eiste el límite y es m = 1. El resultado es el mismo para. Para ver cuál es la asíntota oblícua en cada caso (si la hay), debemos calcular lím (f() ) = lím (3 2 1 (2 1) = lím = 1 El cálculo es eactamente el mismo para. Así, la recta y = + 1 es una asíntota oblícua de la gráfica en ambos etremos Crecimiento, decrecimiento y puntos críticos Los puntos críticos de la función y = f() son los correspondientes a los valores tales que f () = 0. Además, los intervalos en los que f () > 0 son intervalos de crecimiento de la función. Por su parte, los intervalos con f () < 0 son intervalos en que la función decrece. El estudio de la derivada, sus raíces y sus valores en los intervalos entre dos raíces puede determinar estos datos Concavidad, conveidad y puntos de infleión El estudio de la segunda derivada permite determinar los intervalos de concavidad y conveidad. Las raíces de la segunda derivada (valores tales que f () = 0) corresponden a posibles puntos de infleión. Entre esas raíces, los intervalos en que f () > 0 son intervalos de concavidad y los intervalos en que f () < 0 son los de conveidad. 8

9 Un punto en que f () = 0 es efectivamente un punto de infleión si tenemos f () 0. Ejemplo. Estudiar y representar la función y = f() = No presenta simetrías ni traslaciones notables. El dominio es todo R, ecepto las raíces del denominador. Factorizando, 2 1 = ( + 1)( 1) luego hay dos raíces: = 1, y = 1. Estos serán dos puntos de discontinuidad. Podemos estudiar las asíntotas verticales calculando el límite, si eiste, en esos dos puntos: lím = lím 1 2 ( + 1) ( + 1)( 1) = lím = 1 2 = 1 2 ya que el límite depende de los puntos cercanos a 1, pero no del propio 1. Ese límite es finito, de modo que la discontinuidad en ese punto es evitable. De hecho, la función (salvo en ese punto) es igual a la función y = 2 1. Calculando del mismo modo el otro límite, tendremos lím =. Luego = 1 es una asíntota vertical. Cuando está próimo a 1, pero < 1, se tiene 2 1 < 0; cuando > 1, entonces la función toma valores positivos. Esto nos indica cómo es la función cerca del punto de discontinuidad con asíntota vertical. Estos son dos puntos de discontinuidad, y la función es continua en todos los demás. Buscamos las raíces de la función. Para que se anule la función debe anularse el numerador; sustituyendo, como ya hemos hecho antes, la función por la y = 2 1, la única raíz es = 0. Así, la gráfica pasa por el origen. Contando los puntos de discontinuidad y las raíces, tenemos que la función es continua en los intervalos (, 1), ( 1, 0], [0, 1), (1, + ) En cada uno de esos intervalos, el signo de la función no puede cambiar, por el teorema de Bolzano. En los intervalos (, 1) y ( 1, 0) la función toma valores negativos; hay que tener en cuenta que, por ejemplo, f( 2) = 4 3 y, por el teorema de Bolzano, no puede haber en el intervalo puntos con valor positivo de la función. En el intervalo (0, 1) la función sigue tomando valores negativos, 9

10 dado que es igual a 2 1 y el denominador será negativo. Finalmente, en el intervalo (1, + ) la función toma valores positivos, como puede verse calculando, por ejemplo, f(2) = 4. Con todos estos datos, tenemos una idea aproimada de la forma de la gráfica en puntos relativamente cercanos al origen. En el punto siguiente, eaminamos los datos relativos al comportamiento de la función en los puntos muy alejados del origen. Las asíntotas horizontales (no eisten) y las oblícuas (la recta y = + 1) han quedado estudiadas en un apartado anterior de esta misma lección. La función tiende a por la izquierda y a + por la derecha, teniendo por asíntota en los dos casos la recta indicada. Estudiamos ahora la primera derivada. Usamos la función y = 2 1, puesto que tiene la misma derivada que la dada, ecepto en el punto = 1, en el que no hay derivada. y = f 2( 1) 2 () = ( 1) 2 = 2 2 ( 2) = ( 1) 2 ( 1) 2 Hay dos puntos críticos, que son = 0 y = 2. Además, la función f tiene una discontinuidad en = 1. Así, podemos ver el signo de la derivada en cada intervalo (, 0), (0, 1), (1, 2) y (2, + ). Nótese que el denominador es siempre positivo. En (, 0), f es positiva, luego f es creciente. En (0, 1) el numerador tiene un factor negativo, luego es negativo. Al ser f < 0, la función es decreciente. Esto implica que en el punto 0, f tiene un máimo. En (1, 2) el numerador sigue siendo negativo, así que f es decreciente. Finalmente, en (2, + ) la derivada es positiva, y por ello la función f es creciente. En consecuencia, tiene un mínimo en = 2. En definitiva, hay un máimo en (0, 0) y un mínimo en (2, 4). Resumiendo los datos según los intervalos, tendremos (prescindimos del punto = 1 donde la discontinuidad es evitable). En (, 0) la función toma valores negativos y es creciente, con una discontinuidad evitable en = 1. Tiene una asíntota oblícua y = + 1, y alcanza su máimo en = 0 con y = 0. En (0, 1) es decreciente y con valores negativos. La recta = 1 es una asíntota vertical, así que la gráfica se acerca a esa recta por la parte negativa para los puntos cercanos a 1 y < 1. En (1, 2) hemos visto que toma valores positivos y es decreciente. Como = 1 es una asíntota, la gráfica se acerca por la parte positiva a esa recta, para los puntos > 1. En = 2 llega a su mínimo, que es el punto (2, 4). En (2, + ) sigue siendo positiva, y es creciente. Tiene como asíntota la recta y =

11 El último paso es estudiar los intervalos de concavidad y conveidad, y los puntos de infleión. Para ello hemos de calcular la segunda derivada. Una vez más, desechamos el punto = 1. y = (2 2)( 1)2 2( 2 2)( 1) 2 ( 1) 4 = ( 1) 3 Esta función tiene el signo de 1. Luego es negativa para < 1 y positiva para > 1. En particular, f (0) < 0 y f (2) > 0, lo que confirma que en 0 hay un máimo y en 2 un mínimo. En cuanto a los intervalos de concavidad, es convea en todo el intervalo (, 1), que incluye al máimo. Es cóncava en el intervalo (1, + ) que incluye al mínimo. No aparecen puntos de infleión. 3. Lección 17. Representación gráfica de funciones Ejemplo 1. Representar gráficamente la función: y = f() = 2 e. Seguiremos los pasos indicados en el método general. No tiene simetrías; por ejemplo, f(1) = e 1 = 1/e, pero f( 1) = e 1 = e. Dominio: Sabemos que e está definida (y es positiva) para todo R. La función f es un cociente 2 e, y, como también 2 está definido, y el denominador e no puede anularse, se tiene que el dominio es todo R. Además, la función toma siempre valores 0, ya que el numerador es 0 también. No hay asíntotas verticales, puesto que no hay discontinuidades. Puntos de corte con el eje de abscisas: la condición y = 0 implica 2 = 0. La única raíz es = 0. Así, el origen es el único punto de corte de la gráfica con el eje de abscisas. A la izquierda y a la derecha del origen, la función toma valores positivos. Comportamiento en el infinito: asíntotas horizontales y oblícuas. Calculamos los límites para ±. El límite será el del cociente 2 e, que es del tipo. Aplicando la regla de l Hôpital, se obtiene el límite de 2 e, que sigue siendo del mismo tipo. Aplicando otra vez la regla, llegamos a 2 e. Para, lím 2 e = lím 2e = Por otro lado, lím + 2 e es del tipo 2 + = 0. lím + 2e = + Por esta segunda relación, y = 0 es una asíntota horizontal: cuando +, la gráfica se acerca a esa recta horizontal. 11

12 Buscamos si hay una asíntota oblícua por el otro lado, con. Se tendrá f() = e = e y eactamente como antes, podemos ver que el límite es. Luego no hay asíntota oblícua. Crecimiento y puntos críticos. La derivada será la función f () = 2e 2 e e 2 = e (2 ) (2 ) e 2 = e Vemos que hay dos puntos críticos, que corresponden a los valores = 0, = 2 de la variable independiente. En el intervalo (, 0), la derivada es negativa, pues el factor es negativo, pero 2 es positivo. Así, en ese intervalo la función es decreciente. En el intervalo (0, 2), los dos factores del numerador son positivos, así que la función es creciente. De este modo, en el origen = 0 la función tiene un mínimo. Finalmente, en el intervalo (2, + ), uno de los factores del numerador, 2, será negativo. Luego la función vuelve a ser decreciente. Así, en el punto (2, 4e 2 ) la función tiene un máimo. Aproimadamente, el punto es (2, ). Concavidad y puntos de infleión. Calculemos la segunda derivada. f () = (2 2)e (2 2 )e e 2 = e Las raíces de la segunda derivada corresponden a las raíces del polinomio Estas son: 4 ± = 2 ± 2 Esto implica que la segunda derivada se puede escribir como f () = ( (2 2))( (2 + 2)) e En el intervalo (, 2 2), los valores de son menores que 2 2, luego los dos factores del numerador son negativos. Así, el numerador es positivo y f () > 0 para esos puntos. Esto significa que la función es cóncava en ese intervalo. En el intervalo (2 2, 2 + 2) uno de los factores es negativo y el otro positivo. Luego la segunda derivada es negativa en esos puntos y la función es convea. Por tanto, el primero de esos etremos es un punto de 12

13 infleión. Se trata del punto (2 2, (6 4 2)e 2 2 ). Evaluándolo aproimadamente, es el punto (0 5858, ). Consideramos finalmente la segunda derivada en el intervalo (2+ 2, + ). Aquí los dos factores del numerador son positivos, y la segunda derivada es positiva de nuevo. Luego la función es cóncava. Así, el punto (2 + 2, ( )e 2 2 ) es también un punto de infleión. Podemos calcular que se trata del punto de coordenadas (3 4142, ) aproimadamente. Con esos datos, no es difícil hacerse una idea de la gráfica. Se puede dibujar, y comparar con la gráfica obtenida con wmaima en un intervalo en que aparezcan los puntos críticos; por ejemplo ( 10, 10). Ejemplo 2. Dibujar la gráfica de la función y = f() = sen. El seno es una función impar, porque sen( ) = sen(). De aquí resulta que f es también impar, ya que f( ) = ( ) sen( ) = ( sen ) = f() Tenemos, pues, que la gráfica presentará simetría respecto del origen. Podemos, pues, limitarnos a estudiarla en el intervalo (0, + ), y dibujar la otra mitad de la gráfica por simetría. Dominio y asíntotas verticales. Como el seno está definido en todo punto, la función tiene dominio R. En consecuencia, no hay asíntotas verticales. Puntos de corte con los ejes. Es claro que el origen es un punto de la gráfica. Por otro lado, la ecuación sen = 0 se verifica cuando es = sen(). Pero por razones geométricas, se tiene siempre sen() < si > 0. Luego no hay otros puntos de intersección de la gráfica con el eje de abscisas más que el origen. Por ser > sen, la función toma valores positivos, ecepto en = 0. Comportamiento de la función en el infinito. Es claro que cuando +, el valor de es mucho mayor que el de sen, que está acotado por 1. Luego el límite es +, y no hay asíntotas horizontales. Para las oblícuas, deberíamos calcular el límite de sen() = 1 sen(). Como el seno está acotado y +, el límite del segundo sumando es 0. Luego el límite del cociente es 1, finito. Tomamos, pues, m = 1 y vemos si eiste el límite de f() m. lím ( sen()) = lím sen() + + y dicho límite no eiste, pues el seno siempre oscila entre 1 y 1. Así, no hay asíntota oblícua. Crecimiento y puntos críticos. La derivada es: f () = 1 cos 13

14 El valor es siempre 0, y los puntos críticos son los que hacen cos = 1. Estos son todos los de la forma = 2kπ, con k = 0, 1, 2,.... En todos los demás puntos, la función es creciente, luego no hay máimos o mínimos. Pasamos a la segunda derivada. f () = sen El valor de f () es cero cuando = kπ; en particular, la segunda derivada se anula en todos los puntos críticos. Pero además se anula en los puntos kπ con k impar. Por otra parte, la segunda derivada es positiva en el intervalo (0, π), negativa en (π, 2π), etc. Así, la función f es convea en los intervalos (kπ, (k + 1)π) con k impar; y es cóncava en los intervalos de esa forma con k par. En cada punto con = kπ, la concavidad de la función cambia, luego esos son puntos de infleión. Lo confirmamos, además, viendo el valor de la tercera derivada en los puntos críticos. Como será cos, la tercera derivada no se anula en esos puntos, pues el coseno en los valores múltiplos enteros de π es ±1. Así, todos los puntos con segunda derivada nula son puntos de infleión. Ejemplo 3. Representar la función y = f() = ln(). Como ln() solo está definido para > 0, el dominio es (0, + ). No hay simetrías, ni traslaciones útiles. El único punto con discontinuidad es = 0, donde la función no está definida. Como ln() tiende a, el límite por la derecha de la función cuando tiende a 0 tiene la forma 0 ( ). Podemos resolver la indeterminación teniendo en cuenta que ln() = ln() 1/, que es de la forma regla de l Hôpital-Bernouilli, obtenemos que el límite es el de de forma que el límite es 0. No hay asíntotas verticales.. Usando la 1/ 1/ 2 =, Cuando y = 0, debe ser = 0 o ln() = 0. Esta segunda solución se tiene para = 1, pero la primera no da un punto del dominio, luego no es una raíz de la función. Así, el único punto de corte con los ejes es (1, 0). Para valores de menores, se tiene ln() < 0 y la función toma valores negativos. A partir de = 1, el logaritmo es positivo, y la función toma valores positivos. Cuando +, los dos factores tienden a +, de forma que el límite es +. No hay asíntotas horizontales. En cuanto a las oblícuas, calculamos lím + f() = lím + ln() =, y no hay asíntotas oblícuas. Crecimiento y puntos críticos. La derivada es y = ln() + 1 = 1 + ln(). Hay solamente un punto crítico, obtenido cuando ln() = 1. Así, = e 1 = 1 e. Para los valores de anteriores al punto crítico, el logaritmo es < 14

15 1, ya que la función logaritmo es creciente. Luego y < 0 en dichos puntos y la función decrece. En el intervalo (e 1, + ), la función es creciente. En consecuencia, la función tiene un mínimo en e 1, que será el punto (e 1, e 1 ). Consideremos la segunda derivada. Será y = 1. Por tanto, es positiva para todo valor del dominio, lo que significa que la función dada es cóncava en todo su dominio. No tiene puntos de infleión. Estos elementos deben ser suficientes para representar la función. Habría quizá que añadir un estudio especial de la discontinuidad en = 0. En ese punto no eiste la derivada, pero se puede ver que la derivada por la derecha se acerca a cuando 0 +. Por tanto, las pendientes en puntos próimos a 0 se acercan a la vertical. 4. Ejercicios 1. Estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función y = +1 ( 1) Estudiar los máimos y mínimos relativos de la función y = y sus puntos de infleión, si los tiene. 3. El potencial de Lennard-Jones para la interacción de dos moléculas separadas por una distancia R es: U(R) = A R 12 B R 6 donde A, B son constantes positivas. La separación de equilibrio R e es el valor de R para el que U(R) es mínimo; y la energía de enlace es D e = U(R e ). (a) Epresar A y B en términos de R e y D e ; (b) Epresar U(R) en términos de R, R e y D e. 4. La función que da la densidad de probabilidad radial para el electrón en el estado fundamental del átomo de hidrógeno es: D(r) = Nr 2 e 2r a 0 donde N, a 0 se consideran constantes positivas. Identificar el máimo (relativo) valor de D, y a qué valor de r corresponde. Buscar también los valores de r que dan puntos de infleión. 5. Determinar, en función del parámetro a, el número de raíces reales del polinomio a (Indicación: haciendo un esquema aproimado de la gráfica de la función se puede encontrar para qué valores de tiene su máimo y su mínimo relativos; del signo de la función en esos puntos, depende el número de raíces). 15

16 6. De entre todos los botes cilíndricos cerrados en las dos bases y cuyas superficies (sumando la lateral y las de las bases) han de tener una misma área A, calcular la altura (epresada en función de A) del que tiene mayor volumen. 7. Se consideran todos los triángulos isósceles cuyo lado igual tiene una longitud fija l. Determinar cuál ha de ser (epresada en función de l) la longitud del tercer lado para que el área sea la máima posible. 8. El volumen de una esfera de radio r es V = 4 3 πr3. Encontrar la diferencial dv (en función de r, dr). Dar una interpretación geométrica del resultado (téngase en cuenta para ello que la superficie de la esfera es 4πr 2 ). 9. Estudiar la función y = y dibujar su gráfica. 10. Encontrar las asíntotas oblícuas, si las hay, de la gráfica de la función y = Discutir la concavidad y los puntos de infleión de la curva de ecuación y = e sen. 12. Determinar los intervalos en los que la función es cóncava o convea. y = ln( ) 13. Para las funciones y = 4, y = 5, y = 6, indicar si en = 0 tienen un máimo, un mínimo o un punto de infleión. 14. Hallar los máimos y mínimos de la función y = e +sen(). 15. Representar la gráfica de la función y = e +1 ln(). 16. Indicar los máimos y mínimos de la función y = e sen()+cos(). 17. La energía entregada en la unidad de tiempo por una pila de fuerza electromotriz E y resistencia interna R, en un circuito de resistencia, es E 2 (R+) 2. Hallar el valor de para el cual la energía es máima. 18. Consideremos una curva plana dada por sus ecuaciones paramétricas = (t), y = y(t) (es decir, para cada valor de t, los valores ((t), y(t)) dan un punto de la curva). Sea t 0 un valor de t, con 0 = (t 0 ), y 0 = y(t 0 ), y supongamos que en un intervalo que contiene a t 0, la función = (t) tiene inversa; de forma que y se puede considerar como una función de en un intervalo que contiene a 0 (y es función compuesta de, porque podemos poner t como función de en el intervalo correspondiente). Demostrar que la ecuación de la recta tangente, si eiste, a la curva dada en el punto ( 0, y 0 ) es: (t 0 )(y y 0 ) = y (t 0 )( 0 ) 16

17 19. Discutir la concavidad y los puntos de infleión de la curva de ecuación: y = ( 1) 4 ( + 2) Estudiar máimos y mínimos de las funciones y = e, y = a ln() (a > 0) 21. Dibujar la gráfica de la función y = Dibujar, usando wmaima, la gráfica de la función y = , en el intervalo [ 4, 4], y describir cualitativamente, a la vista de la gráfica, las propiedades aparentes de la función: crecimiento, concavidad, etremos, asíntotas. 17