UNIVERSIDAD SIMON BOLIVAR Abril-Julio 2008 DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS PURAS Y APLICADAS MATEMATICA III (MA-1116) PRACTICA 1

Transcripción

1 UNIVERSIDD SIMON BOLIVR rl-jlo 8 DEPRTMENTO DE MTEMTICS PURS Y PLICDS MTEMTIC III (M-) PRCTIC Conteno: Mtres. Operones on mtres. Sstems e m eones on n nógnts. Operones elementles e fl. Mtr eslon eslon re. Métoos e Gss Gss-Jorn. Sstems on n solón on nfnts solones e nonsstente: homogéneos no homogéneos. Mtres sstems e eones lneles. Not: emás e los ejeros qí propestos los estntes een relr los ejeros e ls seones el teto.. Ds ls mtres: one B C D E F Clle: ) B + C ) E F ) DC C ) + B F ) ) ) ) Ds ls mtres: B C Done son números reles on stnto e ero etermne tl qe: B = C ) Verfqe qe l mtr one tene l prope. ) Dé n ejemplo e n mtr qe no teng es prope.. D l mtr hlle n etor olmn tl qe.

2 mentrs qe lego s sólo s: lo l es erto s sólo s: es er s lego el prolem se ree resoler el sstem e eones solón es 7 7 e one Do el sstem e eones: 8 7 ) Esr l mtr ment el sstem ) Utle el métoo e elmnón e Gss pr etermnr tos ls solones s esten el sstem o. ) L mtr ment el sstem es 8 7 l plr el métoo e Gss l mtr mpl se otene qe ést es eqlente l mtr 9 7

3 Por lo tnto el sstem o es eqlente l sstem: 9 7 el l tene nfnts solones. Despejno en l segn eón se tene: 9 sstteno el lor e en l prmer eón reslt: s hemos ls solones el sstem plnteo son: 9 on R. Eprese los sstems e eones os e l form ) 9 ) 7 ) ) Resel los sstems e eones el ejero nteror. ) ) 9 on R.

4 8. Determne los lores e s esten pr qe el sstem ) Se nonsstente ) Teng nfnts solones. Hlle ls solones pr este so. ) Teng solón ún. Hlle ls solones pr este so. l plr el métoo e Gss l mtr mpl el sstem se otene qe est mtr es eqlente l mtr ) S el sstem no tene solón lego el sstem es nonsstente s. Note qe s se otene lo l es n ontrón. ) El sstem tene nfnts solones s. Pr otener hs solones se sstte el lor e en l mtr se otene l mtr: Por lo tnto el sstem eqlente pr este so es: s solones son: on R ) El sstem tene solón ún s l mtr re es: l solón es:

5 . 9. Determne los lores e s esten pr qe el sstem 9 ) Se nonsstente ) Se onsstente l plr el métoo e Gss l mtr mpl el sstem 9 se otene qe ést mtr es eqlente l mtr 9 lego ) El sstem es nonsstente s. Por qé? ) El sstem tene solón s. En este so el sstem tene nfnts solones. Por qé?. Este ls solones el sstem: Do qe el sstem es homogéneo sempre es onsstente qe too sstem homogéneo sempre tene l solón: Vemos s tene solones stnts e l trl. Pr ello plqemos el métoo e Gss l mtr mpl el sstem: pr otener l mtr 8

6 lo qe nos permte onlr qe l ún solón el sstem plnteo es l trl. Por qé?. Hlle los lores e k s esten pr qe el sstem 9 9 k k ) Se nonsstente ) Teng nfnts solones ) Teng solón ún. l plr el métoo e Gss l mtr mpl el sstem 9 9 k k se otene qe est mtr es eqlente l mtr k k S el sstem no tene solón lego el sstem es nonsstente s k k k. Por qé? S se otene l mtr k Y el sstem tene solón ún. Por qé? S S se otene l mtr k k

7 k Y el sstem no tene solón. Por qé? Por lo tnto el sstem tene solón ún pr k en lqer otro so no tene solón.. Se L mtr mpl e n sstem e eones lneles. Enentre los lores e pr qe el sstem. ) Se nonsstente ) Teng nfnts solones ) Teng solón ún. l plr el métoo e Gss l mtr mpl el sstem se otene qe est mtr es eqlente l mtr S el sstem no tene solón. Por qé?. Se Osere qe o Se presentn os sos: ) ) Se. En este so reslt l mtr 7

8 ) Se S el sstem es nonsstente. S el sstem tene nfnts solones. Por qé?. En este so reslt l mtr En este so el sstem es nonsstente. Por qé? Se entones En este so reslt l mtr El sstem tene solón ún. En onseen ) El sstem es nonsstente pr ó lqer lor e. ) El sstem tene nfnts solones pr ) El sstem tene solón ún pr 8

9 UNIVERSIDD SIMON BOLIVR rl-jlo 8 DEPRTMENTO DE MTEMTICS PURS Y PLICDS MTEMTIC III (M-) PRCTIC Conteno: Mtr ent. Mtr nertle. Cállo e l ners e n mtr. Mtres eqlente por fls. Mtr trnspest. Mtr smétr. Not: emás e los ejeros qí propestos los estntes een relr los ejeros e ls seones.8.9 el teto.. Determne s ls mtres s son nertles; en so e ser nertle hlle s ners. ) ) 9 7 B ) L mtr no es nertle qe l form re por renglones e : tene n renglón e eros. ) L mtr B s es nertle qe s form eslon re por renglones tene potes s ners es l mtr: B 8 7. S B etermne B. B 7. Demestre qe s B C son mtres nertles e nn entones l mtr D BC es nertle hlle s ners. 9 BC BC C B C C - B B - - (L mltplón e mtres es sot) (Iners e n proto e os mtres nertles) (Iners e n proto e os mtres nertles) (L mltplón e mtres es sot)

10 Lego L mtr D BC es nertle s ners D es D - - = BC C B. Hlle l trnspest e ls mtres s: - ) ) B 7 ) C ) t ) 7 B t ) C t. Un mtr r es smétr s t. Sen B os mtres smétrs e nn emestre qe B t B. Do qe B son mtres smétrs se tene qe t t t B B. Lego: t B t B t B t t. Se n mtr e nn. Demestre qe l mtr t t t t B t B. emás se tene qe es smétr. t t t t t Not: Jstfqe no e los psos e l emostrón nteror. 7. Un mtr r es ntsmétr s ntsmétr. t t. Demestre qe l mtr es t t t t t t t t t Not: Jstfqe no e los psos e l emostrón nteror. 8. Se n mtr r ntsmétr e nn. Demestre qe to omponente e j l gonl prnpl es ero.

11 t Semos qe. S se tene qe j t En prtlr pr los elementos e l gonl prnpl se mple qe n. Por lo tnto pr too n. j pr too j rno e n. j pr too 9. Sen B os mtres rs e nn. Pree qe l mtr t t B B es smétr. t t B B t t t t B B t t t t t t t B B t B B t t B B t Not: Jstfqe no e los psos e l emostrón nteror.. Se n mtr r t t ) Mestre qe. t k k ) Es erto o flso qe t Sgeren: se el prolem pr too entero posto k?. Un mtr r se llm ortogonl s t I. Compree qe l mtr es ortogonl pr too número rel. os sen sen os. Sen B os mtres ortogonles e nn. Dg s l mtr D =B es ortogonl. Osere qe pr etermnr s l mtr D es ortogonl eemos estr el proto B t B. Teneno en ent qe por hpótess se tene qe: t I entones qe: B t B BB t t Lego l mtr D = B sí es ortogonl. t t BB t I = t I Not: Jstfqe no e los psos e l emostrón nteror.. Sen B os mtres rs e nn. Pree qe - t t t t t B C B C BB t I se tene - t t - t t t - t t t t t t B C B C B C B C Not: Jstfqe no e los psos e l emostrón nteror.. Se n mtr r nertle e nn. Demestre qe s B es n mtr r e nn tl qe B entones B es l mtr nl.

12 B B B Not: Jstfqe no e los psos e l emostrón nteror. I B B. Será erto B B pr lqer pr e mtres rs B? No trte e hllr n ontrejemplo.. Son los ejeros ) ) ontrtoros?. Jstfqe s respest.

13 UNIVERSIDD SIMON BOLIVR rl-jlo 8 DEPRTMENTO DE MTEMTICS PURS Y PLICDS MTEMTIC III (M-) CORRECCIÓN DE L PRCTIC Not: l fnl el ejero el ejero ) e l prát ee er: S k s k se otene l mtr k Y el sstem sólo tene solón pr k. Por qé? Por lo tnto el sstem tene solón ún pr k ó k en lqer otro so no tene solón.

14 UNIVERSIDD SIMON BOLIVR rl-jlo 8 DEPRTMENTO DE MTEMTICS PURS Y PLICDS MTEMTIC III (M-) PRCTIC Conteno: Determnntes. Propees e etermnntes. Determnnte e n mtr. Cállo e l ners sno l jnt.. jnt e Not: emás e los ejeros qí propestos los estntes een relr los ejeros e ls seones... el teto.. Clle los sgentes etermnntes: ) ) ) 7 ) on R e) one 9 ) ) ) ) e). D l mtr 7 8 ) Clle el menor M e l mtr. ) Hlle el lor el etermnnte M ) Determne el oftor ) Cál es el elemento e l mtr j() ) M ) M ) M ). Determne sn efetr állos áles e los sgentes etermnntes son nlos? Jstfqe s respest.

15 ) ) B ) C ) qe l segn fl es múltplo e l prmer fl. ) B qe l mtr B es n mtr gonl nngún elemento e l gonl es gl ero. ) C qe l terer olmn es múltplo e l prmer olmn.. S lle los etermnntes e ls mtres sgentes: B B D B L mtr B se otene ntermno os olmns stnts e C L mtr C se otene mltplno l segn fl e por l terer fl por D Pr otener l mtr D se smó l segn fl e l terer fl mltpl por.. Mestre qe Not: Jstfqe no e los psos e l emostrón nteror.

16 . D l mtr ) Hlle j() ) Es l mtr nertle? ) En so e ser nertle etermne s ners prtr e l jnt e sno Gss Jorn. Compre los resltos otenos. ) ) j () ) et( ) en onseen l mtr s es nertle. k 7. Pr qé lores e k s esten l mtr k es nertle? kk Por lo tnto es nertle s sólo s k k. Por qé? 8. D l mtr ) Clle eti ) Pr áles lores e s este l mtr D I es nertle? ) I ) D es nertle s sólo s por qé?

17 9. D l mtr ) Clle etbi B ) Hlle toos los lores reles o omplejos e s este pr los les BI ) BI ) BI ó. Sen B os mtres rs e oren n. ) Es sempre erto qe B B? ) Es erto qe etb etb? ) Este lgn ontrón entre los resltos otenos en ) )? ) Flso Por qé? ) Certo Por qé? ) No este por qé?. Se n mtr r tl qe lle: ) ) t ) ) ) ) t Not: Jstfqe no e los psos e l emostrón nteror.

18 . Sen B os mtres rs e oren n. Demestre qe s etb entones et o etb et BetetBet o etb Not: Jstfqe no e los psos e l emostrón nteror.. El reslto oteno en l pregnt nteror ontre el reslto e l pregnt ) e l prát? No por qé?. Se n mtr r e oren n. Demestre qe s tnto ó. entones por lo Como et Iet et et etet et et. Sen B C mtres rs e on ) Clle B t ) S C C B I lle C B. 8 ) B t t ) C C B I etc C B t et C et C B et et C etc BetC etc etbet C etc etbet et et C C etc etc ó etc Not: Jstfqe no e los psos e l emostrón nteror.

19 . Use ls propees e los etermnntes pr emostrr qe: Not: Jstfqe no e los psos e l emostrón nteror. 7. Se n mtr r tl qe t lle. t et et et et et t t Como se tene qe ó Not: Jstfqe no e los psos e l emostrón nteror.

20 UNIVERSIDD SIMÓN BOLIVR rl-jlo 8 DEPRTMENTO DE MTEMÁTICS PURS Y PLICDS MTEMÁTIC III (M-) PRCTIC Conteno: Vetores en el plno en el espo. Proto eslr proeones. Proto etorl. Rets plnos en el espo. Not: emás e los ejeros qí propestos los estntes een relr los ejeros e ls seones..... el teto. ) w. Do los etores: ) ) w ) ) 8 w ) pro 8 ) ) hlle:. Desr toos los etores e R qe son ortogonles l etor El etor ee stsfer. Lego lqer etor e R ortogonl l etor R.. tene l form on. Sen os etores en R n número rel. Demestre qe pro pro. Verfqe este reslto on pro pro Ejeros tomos el Prolemro Cállo Vetorl por plr

21 pro pro Clle el áre el prlelogrmo genero por los etores 7. j k j k 7 Por lo tnto 8. Demestre qe w w w w w w w w w w Not: Jstfqe no e los psos e l emostrón nteror. w w. Hlle n etor e mólo perpenlr los etores Se el etor so. Entones tene l reón e L mgnt e es:. Por qé? Por lo tnto: 7. Demestre qe s los etores son olneles entones los etores son olneles. Ejeros tomos el Prolemro Cállo Vetorl por plr

22 Como Lego son olneles se tene qe: Por lo tnto etores son olneles 7 7 Not: Jstfqe no e los psos e l emostrón nteror. 8. Sen os etores e R qe formn entre sí n ánglo e.. Demestre qe Por lo tnto sen os Not: Jstfqe no e los psos e l emostrón nteror. 9. Sen os etores ortogonles R on norms 9 respetmente. Clle. Lego: sen 9 9 Not: Jstfqe no e los psos e l emostrón nteror. Ejeros tomos el Prolemro Cállo Vetorl por plr

23 . Demestre qe l ret qe ps por los pntos e oorens perpenlr l ret qe ps por los pntos. es El etor retor e l ret qe ps por los pntos e oorens es. El etor retor e l ret qe ps por los pntos e oorens. En onseen ls rets son ortogonles. 8. Grfqe el lgr geométro e toos los pntos qe stsfen l eón. ) En l ret ) En el plno ) En el espo. es. Hlle ls eones smétrs e l ret L qe ontene el pnto l ret L e eón:. Do qe L L son prlels ms tenen el msmo etor retor. P es prlel Lego el prolem se ree hllr ls eones smétrs e l ret qe ps por el pnto o qe tene l reón el etor. Por tnto ls eones smétrs e l ret L son:. Hlle ls eones smétrs prmétrs e l ret L qe ontene el pnto es perpenlr ls rets e eones L : L : P Not qe el etor retor e l ret L ee ser ortogonl los etores retores e ls rets L L respetmente. Lego: Ejeros tomos el Prolemro Cállo Vetorl por plr

24 Por qé? Por tnto ls eones smétrs e l ret L son: o ls eones prmétrs son: R. Hlle l eón e l ret l e nterseón e los plnos e eones. l resoler el sstem e eones o Se otene qe el sstem tene nfnts solones: Ls eones prmétrs e l ret l son: t l : on t IR t. Hlle l eón el plno qe ps por el pnto e oorens ontene l ret l e nterseón e los plnos e eones l resoler el sstem e eones Se otene qe el sstem tene nfnts solones: Ls eones prmétrs e l ret l son: t l : t on t IR t Ejeros tomos el Prolemro Cállo Vetorl por plr

25 El prolem hor se ree hllr l eón el plno qe ps por el pnto e t oorens ontene l ret l e eón l : t on t IR t Pr llr l menos n pnto e l ret st rle n lor t por ejemplo t e mner qe n pnto e l ret es: El etor retor e l ret l es. El etor retor e l ret qe ps por los pntos e oorens. es El etor norml el plno es n O tmén: ( por qé?) L eón el plno es n 8. Hlle los pntos e nterseón el plno oteno en el ejero nteror on los ejes e oorens. Interseón on el eje : pnto e oorens Interseón on el eje : pnto e oorens Ejeros tomos el Prolemro Cállo Vetorl por plr Interseón on el eje : pnto e oorens 7. Hlle l nterseón el plno oteno en el ejero ) on los plnos oorenos. Interseón on el plno XY: ret e eón: Interseón on el plno XZ: ret e eón: Interseón on el plno YZ: ret e eón:

26 8. Hlle l eón el plno qe ontene l pnto eones : : 7 Q es ortogonl los plnos e En este so el etor norml n el plno ee ser ortogonl los etores normles n n e los plnos respetmente. Pr hllr n st tomr n n n. ( por qé?). Lego n. Osere qe tmén se pee onserr l etor omo el etor norml el plno ( por qé?). Por lo tnto l eón el plno so es: :. 9. Determne l eón el plno qe ontene ls rets e eones: t L : t t R ; 7 t L s : s s s R Osere qe L L L L. Deméstrelo. En este so no se pee otener el etor norml n prtr e one son los etores retores e ls rets L L respetmente pesr e ser ortogonl mos. ( por qé?). Pr hllr n se pee onserr los etores el etor PQ on P L Q L. Sen P Q los pntos e oorens 7 respetmente. ( Cómo se otenen?). Por lo tnto PQ 7. Se n PQ 9. Tmén se pee onserr omo etor norml el plno l etor 7 j k ( por qé?). Por lo tnto l eón el plno so es:. Hlle l stn el pnto 7. Q l plno Note qe el pnto Q no pertenee l plno ( por qé?). Ejeros tomos el Prolemro Cállo Vetorl por plr 7

27 Se L l ret qe ps por Q es perpenlr l plno. Do qe L es perpenlr l plno h ret tene por etor retor el etor n norml el plno. Se tene entones qe ls eones prmétrs e L son: s L : s s R s Como L nterse l plno gmos qe en n pnto P l ret L lego este n número rel s tl qe s - + s - s o qe P tmén pertenee l plno se mple qe: se tene qe P pertenee o tmén ( s) ( s) ( s) l resoler l eón nteror se tene s lego el pnto P tene oorens. Por efnón e stn reslt qe l stn el pnto Q l plno es gl l longt el segmento PQ. l plr l fórml e stn entre os pntos el espo se otene qe PQ 8 Ejeros tomos el Prolemro Cállo Vetorl por plr

28 UNIVERSIDD SIMÓN BOLIVR rl-jlo 8 DEPRTMENTO DE MTEMÁTICS PURS Y PLICDS MTEMÁTIC III (M-) PRCTIC Conteno: Espos etorles omplejos reles. Sespos etorles. Not: emás e los ejeros qí propestos los estntes een relr los ejeros e ls seones.. el teto.. Se V n espo etorl. Demestre qe ) pr too R ) pr too V. Se V n espo etorl se el elemento netro e V pr l ón. Demestre qe too sespo W e V ontene l. Como W es n sespo e V se tene qe pr too número rel k tnto W. W lego este W. emás se tene qe k W en prtlr W. Por el ejero nteror. Por lo. Dg s el onjnto o es n espo etorl. Jstfqe s respest. ) El onjnto e tos ls mtres e l form on l ón e mtres l mltplón por n eslr sl. ) El onjnto e tos ls mtres e l form on l ón e mtres l mltplón por n eslr sl. ) El onjnto e tos ls fnones ontns en ( C ) on l ón e fnones mltplón por n eslr sl. ) El onjnto e toos los polnomos e gro menor o gl qe tres e l form p ( ) on l ón mltplón por n eslr sl. e) El onjnto e toos los etores e R on l sm efn por pr too R l mltplón por n eslr sl. f) El onjnto e toos los etores e C on l sm l mltplón por n eslr sl.

29 ) S ) No ) S ) No e) No f) S Not: En los sos ) ) ee erfr qe se mplen toos los oms e espo etorl. En los sos ) ) e) ee mostrr qe no se mple lgno e los oms.. En so etermne s el onjnto H o es n sespo el espo etorl V. ) C V on l ón mltplón por n eslr sl. ) ( : f C f H. ) M V on l ón mltplón por n eslr sl. f e M H : ) R V on l ón mltplón por n eslr sl. : R H ) R V on l ón mltplón por n eslr sl. : R H e) P V on l ón mltplón por n eslr sl. p P p H ) ( : ) ( f) P V on l ón mltplón por n eslr sl. p P p H ) ( : ) ( g) C V on l ón mltplón por n eslr sl. C H ) Se H g f. Entones ) ( ) ( g f Vemos s H g f ) ( ) ( ) ( ) ( g f g f Por lo tnto H g f

30 En onseen H no es n sespo e V. ) ) H O por lo tnto H Sen H f e H f e R ) emos s H f e f e f f e e En onseen H ) Vemos s H f e f e Por lo tnto H De ) ) ) se onle qe H es n sespo e V. ) ) H por lo tnto H Sen H H R Por lo tnto ) Vemos s H En onseen H

31 ) Vemos s H Por lo tnto H De ) ) ) se onle qe H es n sespo e V. ) H no es n sespo e V qe H pesto qe e) Sen H p ) ( H q ) ( Vemos s H q p ) ( ) (. ) ( ) ( q p H Por lo tnto H q p ) ( ) ( En onseen H no es n sespo e V. f) ) H por lo tnto H Sen H p ) ( H q ) ( R ) Vemos s H q p ) ( ) ( ) ( ) ( q p Por lo tnto H q p ) ( ) ( ) Vemos s H p ) ( ) ( p En onseen H p ) (

32 De ) ) ) se onle qe H es n sespo e V. g) ) H por lo tnto H Sen H H R ) Vemos s H En onseen H ) Vemos s H Por lo tnto H De ) ) ) se onle qe H es n sespo e V.. Se n etor fjo e n espo etorl V. Mestre qe el onjnto W qe onst e toos los múltplos eslres es n sespo e V. Osere qe R V W / ) W qe. Por lo tnto W Sen W W R

33 Por lo tnto esten R tl qe ) Vemos s W En onseen W ) Vemos s Por lo tnto W W De ) ) ) se onle qe W es n sespo e V.. Mestre qe el onjnto e tos ls solones e one es n mtr e mn no es n sespo e R n s n Osere qe W R /. S se tene qe W ( por qé?) en onseen W no es n sespo e R n ( por qé?).

34 UNIVERSIDD SIMÓN BOLIVR rl-jlo 8 DEPRTMENTO DE MTEMÁTICS PURS Y PLICDS MTEMÁTIC III (M-) PRCTIC Conteno: Comnón lnel espo genero. Inepenen lnel. Bse mensón. Espo fl espo olmn. Rngo nl. Not: emás e los ejeros qí propestos los estntes een relr los ejeros e ls seones....7 el teto.. Determne prtr e l efnón s los etores genern R. Se lqer etor e R emos s se pee esrr omo n omnón lnel e los etores os es er s esten en R tl qe: De qí se otene el sstem qe tene solón pr lesqer ( por qé?): ( ) Lego too etor R pee ser esrto omo En onseen los etores os genern R.. Dg s los etores son lnelmente nepenentes o lnelmente epenentes Spongmos qe Entones se otene el sstem

35 ún solón es ( por qé?) lego = =. Por lo tnto los etores os son lnelmente nepenentes.. Respon el ejero ) sno el reslto oteno en el ejero ). Como m R = los etores son lnelmente nepenentes se tene qe es n se pr R por lo tnto R = gen.. Determne s los etores son lnelmente nepenentes o lnelmente epenentes. Spongmos qe Entones se otene el sstem el l sólo tene l solón trl ( por qé?) lego. En onseen los etores os son lnelmente nepenentes.. Determne s los etores genern P (el espo etorl e toos los polnomos e gro menor o gl qe ). Como el onjnto generor está formo por etores e P (el espo etorl e toos los polnomos e gro menor o gl qe ) no pee generr P por ejemplo P no pee ser esrto omo n omnón lnel e los etores os.. ) Determne s los etores genern P (el espo etorl e toos los polnomos e gro menor o gl qe ). ) Esr s es posle el polnomo ) ( p omo n omnón lnel e los etores os.

36 ) Se p( ) lqer polnomo e P emos s se pee esrr omo n omnón lnel e los polnomos os es er s esten en R tl qe: p( ) - - De qí se otene el sstem - - Lego too polnomo p( ) e P pee ser esrto omo: p( ) En onseen los polnomos os genern P. qe tene solón pr lesqer ( por qé?) ( - ) ) p( ) Determne s los etores lnelmente epenentes en P son lnelmente nepenentes o Spongmos qe Como es eón es ál pr to s le mos los lores - se otene el sgente sstem e eones: 8 el l tene nfnts solones e l form on R ( por qé?). Por ejemplo pr se otene qe n solón el sstem plnteo es. Por lo tnto esten eslres no toos nlos qe stsfen En onseen los etores os son lnelmente epenentes.

37 Otr form e etermnr los eslres qe stsfen l eón es l sgente: on R. 8. En M (el espo etorl e tos ls mtres reles etermne s los etores son lnelmente nepenentes o lnelmente epenentes. Spongmos qe Entones se otene el sstem ún solón es ( por qé?). Por lo tnto los etores os son lnelmente nepenentes. 9. En M hlle l mensón el sespo genero por. Se W = gen omo los etores os son lnelmente nepenentes por qé? se tene qe el onjnto es n se pr W. En onseen m W =.. S W es el sespo el ejero 9) Es W = M?

38 No por qé?. Se H = : R g s H es n sespo e R. En so frmto hlle l mensón e H n se pr H. H es n sespo e R ( por qé?). Pr etermnr n se pr H hllemos los etores qe genern H. Note qe s H entones ss omponentes stsfen l eón: s resolemos pr reslt es er es e l form Por lo tnto se pee esrr omo n omnón lnel e los etores por lo tnto H = gen Como los etores son lnelmente nepenentes ( por qé?) n se B pr H es el onjnto B m H =. Se S = ) Determne n se pr el sespo W = gen S ) Hlle m W. ) Vemos s los etores son lnelmente nepenentes o lnelmente epenentes. Spongmos entones qe:

39 Entones se otene el sstem e eones El l tene nfnts solones ( por qé?). Por lo tnto los etores os son lnelmente epenentes. Hllemos el sespo genero por S. Osere qe s W entones pee ser esrt omo n omnón lnel e los etores e S es er Entones se otene el sstem e eones El l tene solón sólo s ( por qé?). Lego Por lo tnto gen : M W Como los etores son lnelmente nepenentes ( por qé?) el onjnto B es n se pr W. ) m W =

40 . ) Determne n se pr el sespo W e P qe onst e toos los etores e l form t t t. ) Hlle m W ) Es W? P ) Se tene qe Do qe W p( t) P : p( t t ) t t t t t t t t W gen t t t Como los etores t t t son lnelmente nepenentes ( por qé?) n se B pr W es el onjnto ) m W = ) No ( por qé?) B t t t. Sen w tres etores lnelmente nepenentes e n espo etorl V. Demestre qe los etores w w w son lnelmente nepenentes. Spongmos De one w w w ( * ) w Como w son lnelmente nepenentes l eón nteror se mple s sólo s: El l solón ún ( por qé?) En onseen l eón ( * ) se mple s sólo s por lo tnto los etores w w w son lnelmente nepenentes. 7

41 . Demestre qe s los etores e R n son ortogonles no nlos entones son lnelmente nepenentes. Spongmos o Como se tene qe. En form nálog se emestr qe. En onseen Por lo tnto los etores son lnelmente nepenentes. Not: Jstfqe no e los psos e l emostrón nteror. Not: el ejero qe sge ontnón orrespone prte e l mter qe se elrá en el terer prl. D l mtr hlle el espo nlo N l nl () l mgen (Imgen ) el rngo () n se pr el espo fl R n se pr el espo olmn C. N Lego pr hllr N se ee resoler el sstem R : Lo l mpl resoler el sstem e eones 8

42 9 El l tene nfnts solones e l form on R Por lo tnto gen N En onseen ) ( por qé? Como ) ( ) ( (número e olmns e ) se tene qe ) ( Se se qe Imgen = C. Hllemos entones C. C es el espo genero por los etores olmns e. Es er gen C Conseremos l mtr s fls son los etores olmns e es er t t L l es eqlente por renglones l mtr B por qé? Se tene qe B R R t en onseen n se B pr C ( por qé?) es el onjnto ' B Lego gen Imgen C R es el espo genero por los etores fls e. Es er

43 gen R Como l mtr es eqlentes por renglones l mtr C por qé? Se tene qe C R R en onseen n se C pr R ( por qé?) es el onjnto ' C Lego gen R Osere qe R C m m ) ( Imgen m

44 UNIVERSIDD SIMÓN BOLI VR rl-jlo 8 DEPRTMENTO DE MTEMÁTICS PURS Y PLICDS MTEMÁTIC III (M-) PRCTIC 7 Conteno: Espo on proto nterno. Vetores ortogonles. Norm e n etor. Conjntos ortogonles ortonormles. Proeso e ortonormlón e Grm-Shmt. Mtr ortogonl. Complemento ortogonl. Teorems e proeón promón e l norm. Not: emás e los ejeros qí propestos los estntes een relr los ejeros e ls seones.9. el teto.. En R onsere el proto one. ) Verfqe qe es n proto nteror. ) S W = gen hlle n se ortonorml pr W. ) Hlle W. ) Hlle n se ortonorml pr W. e) Hlle pro w one f) Hlle pro w. g) Hlle l stn e W. ) Se ee erfr qe mple ls onones e proto nterno. ) Note qe el onjnto B = = es n se pr W qe los etores os son lnelmente nepenentes. ( por qé?). Hllemos entones n se B = ortonorml pr W. ( por qé ee tener os etores?) pr ello plqemos el proeso ortonormlón e Grmm-Shmt: ) Cllemos :

45 one: Por lo tnto ) Cllemos : ' ' = 7 9 ' ' one: 7 ' ' '. En onseen 7 7 El onjnto B = = 7 7 es n se ortonorml pr W ) Hllemos W. Por efnón W está formo por toos los etores e R qe son ortogonles toos los etores e W es er W = W to pr : R w w por lo tnto stsfe:

46 En onseen W = : R. ) Hllemos prmero n se pr W pr ello resolmos el sstem e eones: el l tene por solón: R ( por qé?). Por lo tnto: W = gen Y el onjnto B = = es n se pr W. Hllemos hor n se ' B ortonorml pr W. ( por qé ee tener n etor?) pr ello plqemos el proeso e ortonormlón e Grmm-Shmt: Cllemos : one: En onseen: Lego n se ortonorml pr W es el onjnto B' Note qe

47 m W + m W = + = = m R. e) Hllemos pro w. Como B = es n se ortonorml pr W o qe pro w = se tene qe: pro w = = 7 f) Hllemos pro w. Como ' B 7 7 es n se ortonorml pr W Se pee llr pro w prtr e l efnón: pro w = Pero tmén omo W tene mensón fnt l plr el teorem e proeón se mple qe pro w = pro w lego pro w = g) Hllemos l stn e W. Do qe pro w = pro w se tene qe pro w. En M onsere el proto

48 B tr B t one M B tr(d) es l tr e n mtr D qe se efne omo l sm e los elementos e l gonl prnpl. ) Verfqe qe B es n proto nteror. ) S W = gen hlle n se ortonorml pr W. ) Hlle W. ) Hlle n se ortonorml pr W. e) Hlle pro w one f) Hlle pro w g) Hlle l stn e W. ) Se ee erfr qe mple ls onones e proto nterno. ) Hllemos prmero n se pr W. Por el ejero e l prát tenemos qe el onjnto B = es n se pr W. Hllemos entones n se ' B ortonorml pr W. ( por qé ee tener os etores?) pr ello plqemos el proeso e ortonormlón e Grmm-Shmt: ) Cllemos : one: tr tr t Lego: ) Cllemos : ' ' =

49 Note qe en este ejemplo ' esto es porqe los etores e l se B son ortogonles (erfíqelo). En este so pr hllr l se ortonorml solo se reqerí normlr los etores e l se B. one: tr tr t Por lo tnto: El onjnto ' B es n se ortonorml pr W ) Hllemos W. Por efnón W está formo por toos los etores e M qe son ortogonles toos los etores e W es er W = W to pr : M w w por lo tnto stsfe: En onseen: W = : M ) Hllemos hor n se pr W. Do qe: W s. Se tene qe to mtr e W se pee esrr omo:. Por lo tnto: W = gen

50 7 el onjnto B es n se pr W qe los etores e B son lnelmente nepenentes genern W. Hllemos hor n se ' B ortonorml pr W. ( por qé ee tener os etores?). Osere qe tr t tr tr es er los etores e l se B tmén son ortogonles lego pr hllr n se B ortonorml solo se reqere normlr hos etores: Cllemos : one: tr - tr t En onseen: Cllemos : tr - tr ' ' ' t De one: Lego n se ortonorml pr W es el onjnto ' B Note qe m W + m W = + = = m M. e) Hllemos pro w.

51 8 Como ' B es n se ortonorml pr W. Do qe pro w = se tene qe: pro w tr tr = f) Hllemos pro w. Como ' B es n se ortonorml pr W Se pee llr pro w prtr e: pro w = Pero tmén omo W tene mensón fnt se mple qe pro w = pro w Lego pro w g) Hllemos l stn e W. Do qe pro w pro w Se tene qe tr. En P onsere el proto

52 p q p( t)q( t) t one p q P. ) Verfqe qe p q es n proto nteror. ) S W = P : p t R p ) Cál es l mensón e W. ) Hlle n se pr W. e) Hlle pro w one t hlle n se ortonorml pr W. t f) Hlle l stn e W. ) Se ee erfr qe mple ls onones e proto nterno ) Note qe W gen t (por qé?). Lego el onjnto es n se pr W. Hllemos entones n se ortonormlón e Grmm-Shmt: B t B' ortonorml pr W. Pr ello plqemos el proeso e Cllemos : one: Lego: El onjnto B' 7 t tt t 7 t es n se ortonorml pr W 7 ) m W = m P m W = = ) Hllemos W. Por efnón W está formo por toos los etores p e P qe son ortogonles toos los etores e W es er t p t t P: w prto ww Por lo tnto p(t) stsfe: t t tt t t t t 9

53 En onseen: Es er Como los etores W es el onjnto: t t t t 7 W 8 - t t- t 7 7 t t 8 Wgen- 7 P : t t t. son lnelmente nepenentes ( por qe?) n B pr 8 - t t- t 7 7 B. e) Como W tene mensón fnt pr hllr pro w one pro w = - pro w t se mple qe Cllemos entones l proeón e sore W. Do qe se tene qe: B' 7 t es n se ortonorml pr W omo 7 pro w Por lo tnto; 7 t 7 7 pro w t t t pro w tt t t tt t t f) Hllemos l stn e W. Do qe Se tene qe pro w pro w t t t

54 UNIVERSIDD SIMÓN BOLIVR rl - Jlo 8 DEPRTMENTO DE MTEMÁTICS PURS Y PLICDS MTEMÁTIC III (M-) PRCTIC 8 Conteno: Trnsformones lneles. Propees e ls trnsformones lneles. Imgen núleo. Mtr so n trnsformón lnel. Not: emás e los ejeros qí propestos los estntes een relr los ejeros e ls seones... el teto.. En so etermne s l fnón T es n trnsformón lnel. ) T: R R w w T ) T: R R T ) T: M M T()=B one B ) T: P P T ) Sen w w R R ) Vemos s T T T T T w w w w w w T T Lego: T T T pr too pr e etores e R. ) Vemos s T T

55 Por lo tnto T T T = = w w T w w pr too etor e R pr too R. T De ) ) se onle qe T es n trnsformón lnel. (Jstfqe no e los psos e l emostrón) ) No es n trnsformón lnel ( por qé?) ) Sen C M R ) Vemos s T C T TC) T(+C) = ( + C) B = B + CB = T() + T(C) Lego: T(+C) = T() + T(C) pr too pr e mtres C e M. ) Vemos s TT Por lo tnto T T B B T T pr to mtr e M pr too R. De ) ) se onle qe T es n trnsformón lnel. (Jstfqe no e los psos e l emostrón) ) Sen p( ) q( ) P R ) Vemos s Tp( ) q( ) Tp( ) T(q( )) T p( ) q( ) T T T p( ) T T(q( )) Por lo tnto Tp( ) q( ) Tp( ) T(q( )) ) Vemos s Tp( ) Tp( ) pr too pr e polnomos p q e P. T p( ) T T p( )

56 Por lo tnto )) T(q( ) p( T ) q( ) p( T pr too polnomo p e P pr too R. De ) ) se onle qe T es n trnsformón lnel. (Jstfqe no e los psos e l emostrón). Hlle el núleo l mgen l nl el rngo e l trnsformón lnel el ejero ). Se tene qe: T : R w nt w Hllemos toos los etores e R qe stsfen l onón plnte. T w w w w w on R Lego gen nt Como los etores son lnelmente nepenentes ( por qé?) se tene qe: m nt (T) Hllemos hor l mgen e T R lgún pr T : R T mgen w w Note qe

57 T w w w Do qe el sstem e eones plnteo tene solón pr lesqer ( por qé?) Por lo tnto Imgen T = R T m mgen T Cómo se pee hllr T sn otener premente l mgen e T?. Hlle el núleo l mgen l nl el rngo e l trnsformón lnel el ejero. nt P : T T Lego Por lo tnto ntgen (T) m nt Hllemos hor l mgen e T mgent P : T e pr lgún e P T e e e Do qe este sstem en ls nógnts e tene solón pr lesqer se tene qe Imgen T = P = gen t Por lo tnto T m mgen T. Hlle l mtr so T en l se nón l trnsformón lnel el ejero.

58 L se nón B e R es el onjnto B Hllemos l mgen e no e los etores e l se: T T T T Lego l mtr so es T Osere qe omo: w w se tene qe: w T w w w T Por otr prte o qe nt = N T e Imgen T = Imgen T = C T se tene qe:. Hlle el espo nlo l mgen e l mtr T gen n T ( por qé? erfíqelo) Imgen T = R ( por qé? erfíqelo). Hlle l mtr so en l se nón l trnsformón el prolem.

59 L se non e P es el onjnto B t t t B. Hllemos l mgen e no e los etores e l se B: l se nón e P es el onjnto T() t B T( t) t B T( t ) t t B Lego l mtr so es: T 8. Hlle l trnsformón lnel T:R R mtr so es: T Se R. Bsqemos l mgen e. T Es er T es l trnsformón lnel qe too etor e R. R lo trnsform en el etor 9. Hlle l trnsformón lnel T:R R mtr so es: T os sen sen os Se R. Bsqemos l mgen e. os T sen sen os os sen sen os

60 Es er T es l trnsformón lnel qe too etor os sen e R. sen os R lo trnsform en el etor. S T es l trnsformón lnel el ejero 9 hg l ssttón r os ) Oteng l mgen el etor r sen r os r sen ) Se P lqer pnto el plno on oorens rtesns se r l stn el orgen O l pnto P se el ánglo formo por el etor OP el eje posto e ls. El pr r se le enomn oorens polres el pnto P ls eones r os r sen son ls eones e trnsformón e oorens rtesns oorens polres. Interprete geométrmente est trnsformón. r os ) T r sen os os ros sen r r os r sen rsen sen rsen os ) L trnsformón lnel T trnsform pnto el plno en oorens polres el pnto e oorens r seno el ánglo e rotón. r en es er T es n rotón el plno lreeor el orgen. Enentre tos ls trnsformones lneles e R en R tles qe l ret se trnsforme en l ret. Osere qe l ret es el onjnto Defnmos ls trnsformones lneles T por : R T T on R Entones T T T 7

61 8. Enentre n trnsformón T: R R tl qe - : R mgen T S T mgen se tene qe Es er gen mgen T Como los os etores son lnelmente nepenentes n se B pr l mgen e T es el onjnto B Defnmos l trnsformón lnel T por T T T Entones T T T T Verfqe qe l mgen e l trnsformón efn es el plno e eón

62 UNIVERSIDD SIMÓN BOLIVR rl-jlo 8 DEPRTMENTO DE MTEMÁTICS PURS Y PLICDS MTEMÁTIC III (M-) PRÁCTIC 9 Conteno: tolores toetores. Mtres semejntes. Dgonlón. Dgonlón ortogonl. Not: emás e los ejeros qí propestos los estntes een relr los ejeros e ls seones.. el teto.. Pr n e ls mtres s: ) Hlle los tolores e l mtr ) Hlle los toetores orresponentes los tolores otenos en l prte ). ) Hlle los espos propos orresponentes no e los tolores. ) Inqe l mltpl lger l mltpl geométr e tolor. ) Dg s l mtr es gonlle. En so frmto hlle n mtr gonl D n mtr nertle P tl qe D = P - P. ) ) ) e) ) f). ) ) -I Lego: I. Por lo tnto los tolores o lores propos e l mtr son:. ) Hllemos los etores propos orresponentes tolor: Pr se tl qe

63 on R En onseen n etor propo soo l tolor e l mtr es el etor Pr se tl qe on R En onseen n etor propo soo l tolor e l mtr es el etor Pr se tl qe on R En onseen n etor propo soo l tolor e l mtr es el etor ) Los espos propos orresponentes los tolores son: gen E gen E gen E ) L mltpl lger e no e los lores propos es. L mltpl geométr e no e los lores propos es. ) L mtr s es gonlle ( por qé?). Un mtr gonl D n mtr nertle P tl qe D = P - P son ls sgentes : D P

64 ) D l mtr se tene qe: ) I - De one I - Por lo tnto los tolores o lores propos e l mtr son:. ) Hllemos los etores propos orresponentes tolor: Pr se tl qe on R En onseen n etor propo soo l tolor e l mtr es el etor Pr se tl qe on R En onseen n etor propo soo l tolor e l mtr es el etor ) Los espos propos orresponentes los tolores son: gen E gen E ) L mltpl lger e es mentrs qe l mltpl lger e es. L mltpl geométr e no e los lores propos es.

65 ) L mtr no es gonlle ( por qé?). ) D l mtr se tene qe: ) I - Lego: I. Por lo tnto los tolores o lores propos e l mtr son:. ) Hllemos los etores propos orresponentes tolor. Pr se tl qe on R En onseen n etor propo soo l tolor e l mtr es el etor Pr se tl qe on R En onseen os etores propos soos l tolor e l mtr son los etores ) Los espos propos orresponentes los tolores son: gen E gen E ) L mltpl lger el tolor es l el tolor es.

66 L mltpl geométr el tolor es l el tolor es. ) L mtr s es gonlle ( por qé?). Un mtr gonl D n mtr nertle P tl qe D = P - P son ls sgentes: D P ) D l mtr se tene qe: ) I - Lego: I. Por lo tnto los tolores o lores propos e l mtr son:. ) Hllemos los etores propos orresponentes l to lor oteno: Pr se tl qe on R En onseen n etor propo soo l tolor e l mtr es el etor ) El espo propo orresponente l tolor es: gen E ) L mltpl lger el lor propo es pero s mltpl geométr es. ) L mtr no es gonlle ( por qé?).

67 e) D l mtr se tene qe: ) I - Lego: I. Por lo tnto los tolores o lores propos e l mtr son:. ) Hllemos los etores propos orresponentes l tolor. Pr se tl qe on R En onseen os etores propos soos l tolor e l mtr son los etores ) El espo propo orresponente l tolor es: gen E ) L mltpl lger el lor propo es mentrs qe s mltpl geométr es. ) L mtr no es gonlle ( por qé?). f) D l mtr se tene qe: ) I - Lego: I.

68 7 Por lo tnto los tolores o lores propos e l mtr son:. ) Hllemos los etores propos orresponentes l tolor. Pr se tl qe on R En onseen tres etores propos soos l tolor e l mtr son los etores: ) El espo propo orresponente l tolor es: gen E ) L mltpl lger el lor propo es s mltpl geométr tmén es. ) L mtr s es gonlle ( por qé?). Un mtr gonl D n mtr nertle P tl qe D = P - P son ls sgentes : D P NOT: Osere qe los ses ejemplos nterores mestrn los sos qe se nos peen presentr pr n mtr e tmño en ls qe el los tolores soos l mtr son reles: ) Qe l mtr teng tres lores propos reles stntos. En este so se otenen tres etores propos lnelmente nepenentes l mtr es gonlle. ) Qe l mtr teng tres lores propos reles pero no e ellos on mltpl lger os pero qe el tolor e mltpl lger os teng n solo etor propo soo (teng mltpl geométr gl ). En este so l mtr no es gonlle. ) Qe l mtr teng tres lores propos reles pero no e ellos on mltpl lger os qe el tolor e mltpl lger os teng n os etores

69 8 propos soos (teng mltpl geométr gl ). En este so l mtr es gonlle. ) Qe l mtr teng tres lores propos reles pero toos gles (mltpl lger tres) pero qe ho tolor teng n solo etor propo soo (teng mltpl geométr gl ). En este so l mtr no es gonlle. e) Qe l mtr teng tres lores propos reles pero toos gles (mltpl lger tres) pero qe ho tolor teng solo os etores propos soos (teng mltpl geométr gl ). En este so l mtr no es gonlle. f) Qe l mtr teng tres lores propos reles pero toos gles (mltpl lger tres) pero qe ho tolor teng tres etores propos soos (teng mltpl geométr gl ). En este so l mtr es gonlle. El otro so qe se pee presentr es qe l mtr teng tres lores propos no rel os omplejos. En este so se otenen tres etores propos lnelmente nepenentes l mtr es gonlle.. Hlle los tolores toetores e l mtr. I - Lego: I. Por lo tnto los tolores o lores propos e l mtr son:. Hllemos los etores propos orresponentes tolor: Pr se tl qe R En onseen n etor propo soo l tolor e l mtr es el etor. Pr se tl qe on R En onseen n etor propo soo l tolor e l mtr es el etor

70 9. Pr qé lores e es gonlle l mtr? I Por lo tnto I ) S se tene qe: I en este so los tolores o lores propos e l mtr son:. Hllemos los toetores en este so: Pr se tl qe on R En onseen n etor propo soo l tolor e l mtr es el etor. Como l mltpl lger () el tolor es ferente s mltpl geométr () l mtr no es gonlle pr. ) S se tene qe: I en este so los tolores o lores propos e l mtr son:. Pr se tl qe on R

71 En onseen os etores propos soos l tolor e l mtr son: Pr se tl qe on R En onseen n etor propo soo l tolor e l mtr es el etor. Como l mltpl lger e tolor es gl s mltpl geométr l mtr es gonlle pr. ) S se tene qe: I o lores propos e l mtr son: s es gonlle. ( por qé?) en este so los tolores. En este so l mtr Lego l mtr es gonlle pr too lor e eepto pr.. Se n lor propo e l mtr emestre qe es n lor propo e l mtr I Como es n lor propo e l mtr se tene qe et I Lego Por lo tnto. eti etii -I eti I es n lor propo e l mtr I. Not: jstfqe no e los psos e l emostrón nteror. Se n lor propo e l mtr emestre qe es n lor propo e l mtr Como es n lor propo e l mtr se tene qe et I II I. emás

72 Lego Por lo tnto et I et II es n lor propo e l mtr etieti. Not: jstfqe no e los psos e l emostrón nteror. Demestre qe s l mtr es semejnte l mtr B entones es semejnte B. Como es semejnte B este n mtr C nertle tl qe C C B C C B C CC C BB C C B Por lo tnto es semejnte B. Not: jstfqe no e los psos e l emostrón nteror 7. Demestre qe s es gonlle entones es gonlle. Como es gonlle este n mtr gonl D n mtr nertle P tl qe P P D. Entones P P PP P D P D P P D Como D es n mtr gonl es gonlle. Not: jstfqe no e los psos e l emostrón nteror 8. Demestre qe s es gonlle entones t es gonlle. Solón Como es gonlle este n mtr gonl D n mtr nertle P tl qe P P D. Vemos s t es gonlle. P t t t P D P P D P P D t P t t - t t - - t t t t P P D t Como D t es n mtr gonl t es gonlle. Not: jstfqe no e los psos e l emostrón nteror 9. Cáles e ls mtres el ejero ) son gonlles ortogonlmente? P t D

73 Ls ) f) ( por qé?). Enentre l mtr ortogonl Q qe gonl l mtr el prolem ). D l mtr tenemos qe los espos propos soos los tolores son: gen E gen E Hllemos n se ortonorml pr no e los espos propos. Se B n se e E o qe l se tene n solo etor solo se reqere normlrlo. Se entones Lego B' es n se ortonorml pr E. Se B n se pr E plqemos Grm Shmt pr hllr n se B' ortonorml pr E. Se entones. Lego Se lego plno l fórml ' se tene qe

74 ' e one ' en onseen. Lego B' es n se ortonorml pr E Por lo tnto l mtr Q es n mtr ortogonl qe gonl l mtr. Verfqe qe Q Q t