Análisis de la Varianza

Transcripción

1 Descrpcó breve del tema Aálss de la Varaza Tema. troduccó al dseño de expermetos. El modelo. Estmacó de los parámetros. Propedades de los estmadores 5. Descomposcó de la varabldad 6. Estmacó de la dfereca de medas Método de Fsher o, cotrastes múltples 7. Dagoss gaco Cascos Depto. Estadístca, Uversdad Carlos gaco Cascos Depto. Estadístca, Uversdad Carlos Objetvos Descrpcó breve del tema ecoocer la mportaca del dseño aálss estadístco de expermetos e geería Presetar u procedmeto para comparar el efecto de los dsttos veles de u factor Costrur estmar u modelo para cotrastar las hpótess de terés Cuatfcar el efecto de u factor e u expermeto. troduccó al dseño de expermetos. El modelo. Estmacó de los parámetros. Propedades de los estmadores 5. Descomposcó de la varabldad 6. Estmacó de la dfereca de medas Método de Fsher o, cotrastes múltples 7. Dagoss gaco Cascos Depto. Estadístca, Uversdad Carlos gaco Cascos Depto. Estadístca, Uversdad Carlos

2 troduccó al dseño de expermetos U geero debe ser capaz de resolver problemas reales aplcado el método cetífco. Para la resolucó de muchos de estos problemas o exste ua teoría sólda, para otros queremos cotrastarla efecto de las téccas de mezclado del hormgó duracó de materales de costruccó e dsttos ambetes Dspoemos de la EXPEMENTACÓN troduccó al dseño de expermetos U expermeto es ua prueba o sere de pruebas e las que se modfca delberadamete las codcoes de u proceso o sstema co el objetvo de observar el efecto de esas modfcacoes e el resultado. E u expermeto tervee varos factores, el objetvo es determar la flueca de estos factores e el resultado fal de u proceso, para explcar la relacó causa-efecto. gaco Cascos Depto. Estadístca, Uversdad Carlos 5 gaco Cascos Depto. Estadístca, Uversdad Carlos 6 troduccó al dseño de expermetos a factores: cotrolados: su valor lo especfca el vestgador o cotrolados: debdos al etoro al azar Debemos mmzar el efecto de los factores o cotrolados. troduccó al dseño de expermetos Ejemplo: U geero está teresado e determar qué factores flue e el úmero de coexoes defectuosas e ua placa de crcutos mpresos cotrolados: temperatura soldadura temperatura placa o cotrolados: operador, tpo de compoetes, grosor placa Objetvo: Determar qué factores afecta el úmero de defectos e qué dreccó Cosecuecas: Ajustar la máqua que realza las coexoes gaco Cascos Depto. Estadístca, Uversdad Carlos 7 gaco Cascos Depto. Estadístca, Uversdad Carlos 8

3 troduccó al dseño de expermetos Ejemplo: maufactura papel troduccó al dseño de expermetos Ejemplo: maufactura papel U fabrcate de bolsas de papel quere mejorar la ressteca a la tesó de las bolsas. El geero de produccó pesa que ha ua relacó causa-efecto etre la catdad de celulosa utlzada e la fabrcacó del papel la ressteca. Cocetracó de celulosa % Observacoes Expermeto e el que se fabrca papel co dsttos % de celulosa se mde la ressteca. gaco Cascos Depto. Estadístca, Uversdad Carlos 9 gaco Cascos Depto. Estadístca, Uversdad Carlos troduccó al dseño de expermetos Ejemplo: maufactura papel Descrpcó breve del tema. troduccó al dseño de expermetos. El modelo. Estmacó de los parámetros. Propedades de los estmadores 5. Descomposcó de la varabldad 6. Estmacó de la dfereca de medas Método de Fsher o, cotrastes múltples 7. Dagoss gaco Cascos Depto. Estadístca, Uversdad Carlos gaco Cascos Depto. Estadístca, Uversdad Carlos

4 El modelo (ANOVA) El modelo (ANOVA) Teemos elemetos que se dfereca e u factor. E cada elemeto observamos ua característca que varía aleatoramete de u elemeto a otro. Se desea establecer s ha o o relacó etre el valor medo de la característca estudada el factor. Teemos: ua varable de terés (ressteca de las bolsas) u factor que flue e los valores de que llamamos F (% de celulosa) certo úmero de veles del factor F, que deotamos por ( porcetajes dsttos) u úmero de observacoes para cada vel del factor, (6 observacoes para cada vel) El úmero total de observacoes es gaco Cascos Depto. Estadístca, Uversdad Carlos gaco Cascos Depto. Estadístca, Uversdad Carlos El modelo (ANOVA) S para,, j,, : j es la j-ésma observacó del -ésmo grupo µ es la meda del -ésmo grupo u j es la perturbacó que mde la varabldad debda al error expermetal + u j j El modelo (ANOVA) La perturbacó u j mde la desvacó e la observacó j del grupo respecto de la meda del grupo. Se debe a causas o asgables (factores o cotrolados). Es ua varable aleatora. El promedo de las perturbacoes es cero, E[u j ] Msma varabldad e todos los grupos, Var[u j ]σ Dstrbucó perturbacoes es ormal, u j ~N(, σ ) Perturbacoes depedetes. gaco Cascos Depto. Estadístca, Uversdad Carlos 5 gaco Cascos Depto. Estadístca, Uversdad Carlos 6

5 El modelo (ANOVA) Alteratvamete, podemos reformular el modelo escrbrlo como: + α + u j para,, j,,. Dode µ es la meda de todas las observacoes α es el efecto dferecal del -ésmo grupo (α µ) gaco Cascos Depto. Estadístca, Uversdad Carlos 7 j Descrpcó breve del tema. troduccó al dseño de expermetos. El modelo. Estmacó de los parámetros. Propedades de los estmadores 5. Descomposcó de la varabldad 6. Estmacó de la dfereca de medas Método de Fsher o, cotrastes múltples 7. Dagoss gaco Cascos Depto. Estadístca, Uversdad Carlos 8 Estmacó de los parámetros E el modelo j + uj Para,, j,, co j ~N(, σ ) Los parámetros descoocdos so: El verdadero valor de la meda de cada grupo µ, µ,, µ La varaza de la perturbacó σ. Estmacó de los parámetros Meda de las observacoes e el -ésmo grupo ˆ µ j j..... gaco Cascos Depto. Estadístca, Uversdad Carlos 9 gaco Cascos Depto. Estadístca, Uversdad Carlos

6 Estmacó de los parámetros Como de costumbre, las perturbacoes las estmamos medate los resduos (mde la varabldad o explcada). Estmacó de los parámetros. 6 e6 6. ej j.... gaco Cascos Depto. Estadístca, Uversdad Carlos gaco Cascos Depto. Estadístca, Uversdad Carlos Estmacó de los parámetros La varaza muestral de los resduos es u estmador de σ σˆ j Desgracadamete se trata de u estmador sesgado. gaco Cascos Depto. Estadístca, Uversdad Carlos e j Estmacó de los parámetros Utlzamos la varaza resdual como estmador de σ ˆ S j El térmo que aparece e el cocete so los grados de lbertad. Teemos ( ) ~ χ σ gaco Cascos Depto. Estadístca, Uversdad Carlos e j

7 Descrpcó breve del tema. troduccó al dseño de expermetos. El modelo. Estmacó de los parámetros. Propedades de los estmadores 5. Descomposcó de la varabldad 6. Estmacó de la dfereca de medas Método de Fsher o, cotrastes múltples 7. Dagoss Props. de los estmadores (medas) Esperaza: (cetrado o sesgado) Varaza: u N j + j j ~ ( µ, σ ) j, K, K E [ ˆ µ ] E[ ] σ Var[ ˆ µ ] Var[ ] gaco Cascos Depto. Estadístca, Uversdad Carlos 5 gaco Cascos Depto. Estadístca, Uversdad Carlos 6 Props. de los estmadores (medas) Además, como µˆ es combacó leal de varables depedetes ormales, sgue dstrbucó ormal. So todas las medas guales? Como σ es descoocdo, teemos el tervalo de cofaza ˆ µ ± t,α / gaco Cascos Depto. Estadístca, Uversdad Carlos 7 gaco Cascos Depto. Estadístca, Uversdad Carlos 8

8 Descrpcó breve del tema. troduccó al dseño de expermetos. El modelo. Estmacó de los parámetros. Propedades de los estmadores 5. Descomposcó de la varabldad 6. Estmacó de la dfereca de medas Método de Fsher o, cotrastes múltples 7. Dagoss Descomposcó de la varabldad El Aálss de la Varaza compara la varabldad etre las medas de los grupos de los dsttos veles del factor co la varabldad expermetal. A maor dfereca etre las medas de los grupos maor varabldad etre ellos L : al meos u par de medas tee µ j gaco Cascos Depto. Estadístca, Uversdad Carlos 9 gaco Cascos Depto. Estadístca, Uversdad Carlos Descomposcó de la varabldad S las medas so mu dferetes, la varabldad etre las medas será maor que la varabldad detro de los grupos Descomposcó de la varabldad ( j ) ( j j ( ) + ( ) ) j + ( ) + ( j )( ).. j ( j ) j ( j ) + j ( ) + j ( j )( ).. j ( VT j ) j ( j ) ( VNE + VE + ) gaco Cascos Depto. Estadístca, Uversdad Carlos gaco Cascos Depto. Estadístca, Uversdad Carlos

9 Descomposcó de la varabldad La Varabldad Explcada (VE) mde la varabldad etre los dsttos grupos. S es pequeña, es porque las medas so smlares. La Varabldad No Explcada (VNE) o resdual, mde la varabldad detro de los grupos es debda al error expermetal. Descomposcó de la varabldad E geeral VNE ~ σ Además, s µ µ χ E cosecueca, bajo VE ~ σ χ VE/ ( ) ~ VNE/ ( ) F, gaco Cascos Depto. Estadístca, Uversdad Carlos gaco Cascos Depto. Estadístca, Uversdad Carlos Desc. varabldad. Tabla ANOVA Fuetes de varacó Etre grupos VE esdual VNE Total Suma de cuadrados ( ) j j... ( ) j. ( ) j.. Grados de lbertad Varaza e ( ) Test F gaco Cascos Depto. Estadístca, Uversdad Carlos 5 j j..... ( ) j ( ) j. S ˆe Descomposcó de la varabldad Cotraste de la F: L : al meos u par de medas tee µ S o es certa, la varaza etre grupos será maor que la resdual Aceptacó Aceptacó α α echazo gaco Cascos Depto. Estadístca, Uversdad Carlos 6 α S ˆe j

10 Descomposcó de la varabldad Ejemplo: maufactura de papel Descomposcó de la varabldad Ejemplo: maufactura de papel < α.5 ˆe S F (,) F.5(,).98 gaco Cascos Depto. Estadístca, Uversdad Carlos 7 egó de rechazo gaco Cascos Depto. Estadístca, Uversdad Carlos 8 Descrpcó breve del tema. troduccó al dseño de expermetos. El modelo. Estmacó de los parámetros. Propedades de los estmadores 5. Descomposcó de la varabldad 6. Estmacó de la dfereca de medas Método de Fsher o, cotrastes múltples 7. Dagoss Estmacó de la dfereca de medas S llegamos a la coclusó de que, al meos, u par de medas so dsttas. Deseamos saber cuáles so dsttas cuáles guales. Solucó: Comparar las medas a (Estadístca ). gaco Cascos Depto. Estadístca, Uversdad Carlos 9 gaco Cascos Depto. Estadístca, Uversdad Carlos

11 Cotrastes partculares Cotraste para la gualdad de medas de dos poblacoes ormales co varazas descoocdas pero guales pótess ula. pótess alteratva. echazo cuado pótess alteratva. < µ echazo cuado pótess alteratva. > µ echazo cuado +,α gaco Cascos Depto. Estadístca, Uversdad Carlos ˆ s T sˆ sˆ T T sˆ ( T + )ˆ s + ( )ˆ s > t < t > t +, α / +,α tervalos de Cofaza partculares tervalo de Cofaza para la dfereca de medas de dos poblacoes ormales co varazas descoocdas pero guales. µ µ t co u vel de cofaza α, sˆ dode P(X > t,α ) α +, s X~t gaco Cascos Depto. Estadístca, Uversdad Carlos + t +, α / T +, α / T sˆ + Estmacó de la dfereca de medas S t > t +, α / sˆ T + rechazamos. E la gráfca c t +,α/ gaco Cascos Depto. Estadístca, Uversdad - Carlos desdad Dstrbucó de del ua estmador t + α Acepto α / α/ -c c Dfereca de medas Ejemplo: maufactura de papel j, σ ) : µ j, σ ) t.8 j, σ ) : µ j, σ ) t 5. j, σ ) : µ j, σ ) t 7.7 j, σ ) : µ j, σ ) t.98 j, σ ) t.9 : µ j, σ ) j, σ ), σ ) t.6 t.8 (.5,). No ha dfereca e la essteca al utlzar el ó 5 % de celulosa j gaco Cascos Depto. Estadístca, Uversdad Carlos

12 Dfereca de medas Ejemplo: maufactura de papel j, σ ) j, σ ) j, σ ) j, σ ) j, σ ) j, σ ) j, σ ) j, σ ) j, σ ) j, σ ) j, σ ) j ~ N (, ) S todas las varazas so guales, podemos utlzar la formacó de todas las muestras para estmar la varaza µ σ ˆ S gaco Cascos Depto. Estadístca, Uversdad Carlos 5 Estmacó de la dfereca de medas Método Fsher o Deseamos hacer varos cotrastes del tpo µ µ :, segú las hpótess del modelo, la varaza es la msma e todos los veles del factor. Utlzamos, así, todos los datos para estmarla ej ( ) j gaco Cascos Depto. Estadístca, Uversdad Carlos 6 Estmacó de la dfereca de medas Método Fsher o La dstrbucó del estadístco es ahora: S ha muchos grupos (veles del factor), el vel crítco camba (porque mucho maor que + ). Co el método de Fsher detectamos dferecas más pequeñas. Explcacó: varaza de ua t. + ~ t gaco Cascos Depto. Estadístca, Uversdad Carlos 7 Dfereca de medas Ejemplo: maufactura de papel t.8, t.8 t 5., t.75 t 7.7, t 7.57 t.98, t.9 t.9, t.7 t.6, t.8 t (.5,).86 (.5,6).86 No ha dfereca e la essteca al utlzar el ó 5 % de celulosa gaco Cascos Depto. Estadístca, Uversdad Carlos 8

13 Dfereca de medas Ejemplo: maufactura de papel Dstaca míma etre grupos para cosderarlos dferetes Estos so los úcos.c. que se solapa gaco Cascos Depto. Estadístca, Uversdad Carlos 9 Estmacó de la dfereca de medas Cotrastes múltples E u cotraste de hpótess, estamos sempre clados a aceptar la hpótess ula. La rechazamos sólo s ha ua evdeca mu fuerte e su cotra. Pr(echazar certa) α S utlzamos el método de Fsher para comparar cada pareja de medas, realzamos ( )/ cotrastes. gaco Cascos Depto. Estadístca, Uversdad Carlos 5 Estmacó de la dfereca de medas Cotrastes múltples Al realzar m cotrastes depedetes cada uo co vel de sgfcacó α.5, la probabldad de rechazar algua hpótess ula certa es: Pr(echazar algú ) Pr(Aceptar todos ) (.5) m.95 m >.5 Estmacó de la dfereca de medas Cotrastes múltples. Método de Boferro Pr(echazar algú ) ΣPr(echazar u )mα Fjado u vel de sgfcacó global α T, garatzamos dcho vel de sgfcacó global s realzamos cada cotraste co u vel de sgfcacó αα T /m Los tervalos de cofaza será ahora más achos se solapará co maor facldad. gaco Cascos Depto. Estadístca, Uversdad Carlos 5 gaco Cascos Depto. Estadístca, Uversdad Carlos 5

14 Cotrastes múltples. Método de Boferro Ejemplo: maufactura de papel.8.75 t 7.57 t.9 t t.7.8 tt (.5,).86 (.5,6) α.5 / 6.6 t (.6, ).97.8 (.6,6) No ha dfereca e la essteca al utlzar el ó 5 % de celulosa. Tampoco ha dfereca al utlzar el 5 ó % de celulosa. gaco Cascos Depto. Estadístca, Uversdad Carlos 5 Descrpcó breve del tema. troduccó al dseño de expermetos. El modelo. Estmacó de los parámetros. Propedades de los estmadores 5. Descomposcó de la varabldad 6. Estmacó de la dfereca de medas Método de Fsher o, cotrastes múltples 7. Dagoss gaco Cascos Depto. Estadístca, Uversdad Carlos 5 Dagoss Para comprobar las hpótess del modelo, calculamos los resduos (estmacoes de la perturbacó) ej j. Dagoss Comprobar hpótess de ormaldad: Gráfcamete: stograma de resduos Gráfco probablístco ormal Métodos ferecales: Cotraste de ormaldad gaco Cascos Depto. Estadístca, Uversdad Carlos 55 gaco Cascos Depto. Estadístca, Uversdad Carlos 56

15 Dagoss Dagoss Comprobar hpótess de varaza costate: Gráfcamete: Gráfco de resduos frete a veles del factor Gráfco de resduos frete a valores ajustados Métodos ferecales: Cotraste de gualdad de varazas (sesbles a la ormaldad) Comprobar hpótess de depedeca: Gráfcos de resduos frete a tempo. S los datos so depedetes, e el gráfco o aparecerá gua tedeca. S ha tedecas, es posble que el expermeto o haa sdo aleatorzado las dferecas etre los veles sea debdas al efecto del tempo. gaco Cascos Depto. Estadístca, Uversdad Carlos 57 gaco Cascos Depto. Estadístca, Uversdad Carlos 58 Dagoss Ejemplo: maufactura de papel Nveles del factor gaco Cascos Depto. Estadístca, Uversdad Carlos 59