Apuntes. Genius, a good idea in Maths Ximo Beneyto. Tema : Derivabilidad. Teorema de Taylor

Transcripción

1 Apuntes Genius, a good idea in Maths Ximo Beneyto

2 1. Hallar el desarrollo de Taylor y la expresión del resto de Lagrange, para las siguientes funciones. 1.1 f(x) = sen x en a =, n = f(x) = Ln x en a = 1, n = f(x) = e 2x en a = 0, n = Sea f(x) = sen x, continua y derivable hasta el orden "4" en, * > 0 û Hallando los coeficientes de la fórmula de Taylor 6 Desarrollo de Taylor: 6 Fórmula del resto de Lagrange:

3 1.2 Sea f(x) = Ln x, a=1, continua y derivable hasta el 5º orden en ] 1-*, 1+* [, œ * 0 ]0, 1[ û Hallando los coeficientes de la fórmula de Taylor Aplicando el teorema de Taylor : 6 Fórmula del resto de Lagrange: 1.3 Sea f(x) = e 2x, a=0, continua y derivable hasta el 5º orden en ] 0-*, 0+* [, œ * > 0 û Hallando los coeficientes de la f'fórmula de Taylor û Aplicando el teorema de Taylor :

4 6 Fórmula del resto de Lagrange [ Observa :. Es fácil comprobar que. También podíamos haber obtenido el desarrollo de e 2x sin más que sustituir x por 2x en el desarrollo anterior, hecho éste que podemos generalizar a cualquier desarrollo de una función ] 2. Sea f(x) = e x. Obtener el desarrollo de Taylor en a = 0 para n = 4, hallar la fórmula del Resto de Lagrange y utilizar el resultado para hallar el valor aproximado de acotando el error cometido con dicha aproximación. Sea f(x) = e x y a = 0. Como f(x) es derivable 'n' veces en cualquier intervalo abierto de centro 0 y radio * > 0, aplicaremos directamente la fórmula del teorema de Taylor en a = 0 ( fórmula de Maclaurin ó desarrollo de Serie de la función ). Así pues : û Hallando los coeficientes de la f'fórmula de Taylor Por lo tanto, el desarrollo de Taylor de la función en a=0, n=4, será:

5 * Fórmula del Resto de Lagrange : : * Valor aproximado de Puesto que, sustituyendo x = 1/2, en la expresión obtenida en el primer apartado * Acotando error cometido. Evaluemos el resto obtenido considerando x = 1/2 El error cometido en la aproximación obtenida es inferior a 0,00052 primeras cifras decimales serán exactas] [ Las tres 3. Hallar el desarrollo en serie de la función, para n = 4 y utilizar el desarrollo obtenido para calcular un valor aproximado de El desarrollo en serie nos indica que debemos aplicar el teorema de Taylor en a = 0 (fórmula de McLaurin) Sea, pues, continua y derivable hasta el orden "n" en el intervalo ]0 -*, 0 + *[,* > 0 suficientemente pequeño (0<*<1), y a = 0

6 û Hallando los coeficientes de la f'fórmula de Taylor [ Observa la idea de tomar f(x) = (1 + x) 1/2 para obtener las derivadas sucesivas de una forma más sencilla ] Y 6 Obteniendo la fórmula del resto Y 6 Hallando Hemos de buscar la relación de con la función para tomar el valor de x apropiado. En principio,, pero, el desarrollo obtenido anteriormente únicamente es válido œ x 0 ]-1, 1]. [ Fundamentos de Series de Potencias ] Consideremos, pues :, así pues, para x = 1/40 ]-1, 1].

7 Y, por tanto, 4. Desarrollar el polinomio P(x) = x 3 + 3x 2-5x Según potencias de x - 2. Sea P(x) = x 3 + 3x 2-5x + 6 continua y derivable hasta cualquier orden "n", n 0 N, y sea a = 2 û Hallando los coeficientes de la f'fórmula de Taylor 4.2 Según potencias de x + 1. Sea P(x) = x 3 + 3x 2-5x + 6 continua y derivable hasta cualquier orden "n", n 0 N, al tratarse de potencias de x + 1 como x + 1 = x - (-1), tomaremos a = -1

8 û Hallando los coeficientes de la f'fórmula de Taylor En ambos problemas hemos puesto igual y no aproximadamente igual al no haber resto. 5. Demostrar que, para todo x 0 [ 0, 1/4 ], se verifica,, siendo La expresión del enunciado nos recuerda de cerca el desarrollo del teorema de Taylor. Veamos. Sea f(x) = sen x y a = 0 f(x) es una función continua y derivable hasta el orden "n" en todo ú, œ n 0 N. Sea :

9 Puesto que œ x 0 [0, 1/4] Tomando r(x) = R 4 (x, 0) [ Observa la idea de tomar R 4 (x, 0) y no R 3 (x, 0) como parecía en un principio, para ajustar el resto a la expresión propuesta en el enunciado ] 6. Dada la función f(x) = Ln (1 + x ), hallar el número de términos que hay que obtener en el desarrollo en serie de la función, para hallar Ln 1'5 con un error inferior a una centésima (0,01). Sea f(x) = Ln ( 1 + x) y a = 0, f(x) es continua y derivable en el intervalo ]0-*, 0+*[ para un * suficientemente pequeño (0<*<1) Busquemos el término general del desarrollo en serie de la función Sea : 6 Buscando la fórmula de la derivada de orden "n"

10 6 Escribiendo la fórmula del resto de orden "n", a = 0 En particular, para obtener Ln 1'5, tomaremos x = 0'5 = 1/2, en cuyo caso: 6 Acotando : 6 Haciendo el error inferior a 1/100 Al tener cierta dificultad despejar "n" en la relación anterior, vamos a ir asignando valores a "n" hasta conseguir el primero que la cumpla ( Cuenta de la Vieja!) n = 1 2 A 2 2 < 100 n = 2 3 A 2 3 < 100 n = 3 4 A 2 4 < 100 n = 4 5 A 2 5 > 100 Tendremos, pues, que tomar al menos los 4 primeros términos del desarrollo en serie de la función anterior para hallar Ln 1'5 con error inferior a 1/100 6 Hallando la aproximación estimada de dicho valor :