SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS SOBRANTES 2012 (MODELO 1) OPCIÓN A

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1 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 2012 (Modelo 1 ) Germá-Jesús Rubio Lua SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS SOBRANTES 2012 (MODELO 1) OPCIÓN A EJERCICIO 1_A a 0 1 Sea las matrices A =, B = y C = b a) (1 puto) Halle los valores de a y b para que se verifique B C t = A b) (1 5 putos) Resuelva la ecuació matricial A X A 2 = I 2. Halle los valores de a y b para que se verifique B C t = A a 3 B C t a+2 2b = A = = 1 b 2 4 a-1 -b Igualado miembro a miembro -a+2 = -1 a = 3 2b-4 = -6 b = -1 a-1 = 2 a = 3 -b+3 = 4 b = -1 Luego a = 3 y b = -1. Resuelva la ecuació matricial A X A 2 = I A = y I 2 = S la matriz A tiee matriz iversa A -1, (podemos pasar de (A I 2 ) mediate trasformacioes elemetales a (I 2 B), la matriz B es A -1 ), podemos multiplicar la expresió matricial A X A 2 = I 2 por la izquierda por la matriz A F F1-6 F /8 6/8 (A I 2 ) = = F 2+2F F 2/(-8) 0 1-2/8-1/ /8-1/8 (I 2 A -1 ), por tato A -1 4/8 6/8 =. -2/8-1/8 De A X A 2 = I 2, teemos A -1 A X A -1 A 2 = A -1 I 2 I 2 X I 2 A = A -1 X A = A -1 X = A + A -1 Luego X = A + A /8 6/8-1+4/8-6+6/8-4/8-42/8-1/2-21/4 = + = = = 2 4-2/8-1/8 2-2/8 4-1/8 14/8 31/8 7/4 31/8 EJERCICIO 2_A De la fució f se sabe que su fució derivada es f (x) = 3x 2 8x + 5. a) (1 5 putos) Estudie la mootoía y la curvatura de f. b) (1 puto) Sabiedo que la gráfica de f pasa por el puto (1,1), calcule la ecuació de la recta tagete e dicho puto. Estudie la mootoía y la curvatura de f. Me está pidiedo la mootoía, que es el estudio de f (x). f (x) = 3x 2 8x + 5 Si f (x) = 0; teemos 3x 2 8x + 5 = 0, de dode x = 1 y x = 5/3 1 67, que puede ser los extremos relativos. Como f (0) = 5 > 0, f(x) es estrictamete creciete ( ) e (-,1). Como f (1 1) = 3(1 1) 2 8(1 1) + 5 = < 0, f(x) es estrictamete decreciete ( ) e (1, 5/3). Como f (2) = 3(2) 2 8(2) + 5 = 1 > 0, f(x) es estrictamete creciete ( ) e (5/3,+ ). 1

2 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 2012 (Modelo 1 ) Germá-Jesús Rubio Lua Por defiició x = 1 es u máximo relativo de f. Por defiició x = 5/3 es u míimo relativo de f. Me está pidiedo la curvatura, que es el estudio de f (x). f (x) = 3x 2 8x + 5 f (x) = 6x 8 Si f (x) = 0; teemos 6x 8 = 0, de dode x = 8/6 1 33, que puede ser el puto de iflexió. Como f (0) = - 8 < 0, f(x) es cócava ( ) e (-,8/6). Como f (2) = 6(2) 8 = 4 > 0, f(x) es covexa ( ) e (8/6,+ ). Por defiició x = 8/6 es u puto de iflexió de f. Sabiedo que la gráfica de f pasa por el puto (1,1), calcule la ecuació de la recta tagete e dicho puto. Nos ha dado f (x) = 3x 2 8x + 5, co lo cual f (1) = 0, y además de (1,1) teemos f(1) = 1. La recta tagete pedida es y f(1) = f (1) (x 1) La recta tagete pedida es y 1 = 0(x 1), es decir y 1 = 0 ó y = 1. EJERCICIO 3_A E u cogreso de 200 jóvees profesioales se pasa ua ecuesta para coocer los hábitos e cuato a cotratar los viajes por iteret. Se observa que 120 so hombres y que, de estos, 84 cotrata los viajes por iteret, mietras que 24 de las mujeres o emplea esa vía. Elegido u cogresista al azar, calcule la probabilidad de que: a) (1 puto) No cotrate sus viajes por iteret. b) (0 75 putos) Use iteret para cotratar los viajes, si la persoa elegida es ua mujer. c) (0 75 putos) Sea hombre, sabiedo que cotrata sus viajes por iteret. Este problema es muy fácil de realizar utilizado ua tabla de cotigecia (tabla de doble etrada), y después utilizado la defiició de probabilidad de Laplace (úmero de casos favorables partido por úmero de casos posibles). Hombres = H Mujeres = M Totales Cotrato por iteret = I No Cotrato por iteret = I C 24 Totales Completamos la tabla de cotigecia sabiedo que tato la suma e horizotal como e vertical da los totales. He puesto e egrita los úmeros que he completado. Hombres = H Mujeres = M Totales Cotrato por iteret = I No Cotrato por iteret = I C Totales No cotrate sus viajes por iteret. p("i C Número total de o cotratos por Iteret 60 ") = = Número total de cogresistas 200 = Use iteret para cotratar los viajes, si la persoa elegida es ua mujer. Cotrato por iteret de mujeres 56 p("cotrato por Iteret sabiedo que es Mujer") = = Total de mujeres 80 = (c) Sea hombre, sabiedo que cotrata sus viajes por iteret. 2

3 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 2012 (Modelo 1 ) Germá-Jesús Rubio Lua p("hombre, sabiedo que cotrata por iteret ") = Total de hombres que cotrata por itertet 84 = = Total cotratos por iteret 140 = EJERCICIO 4_A La variable tiempo de reacció de u coductor ate u obstáculo imprevisto sigue ua distribució Normal co desviació típica 0 05 segudos. Al medir dicho tiempo e 50 coductores se ha obteido u tiempo medio de 0 85 segudos. a) (1 25 putos) Halle el itervalo de cofiaza para el tiempo medio de reacció, co u ivel de cofiaza del 99%. b) (1 25 putos) De qué tamaño míimo ha de tomarse ua muestra para que el error de estimació o supere 0 01 segudos, co u ivel de cofiaza del 95%? σ Sabemos que para la media poblacioal μ, el estimador MEDIA MUESTRAL X, sigue ua N(μ, ), y geeralmete escribimos X N(µ, σ ) o X N(µ, σ ) Tambié sabemos que el itervalo de cofiaza para estimar la media es: σ σ I.C. (µ) = x z 1 α/2,x + z1 α/2 dode z 1-α/2 y z α/2 = - z 1-α/2 es el puto crítico de la variable aleatoria Normal tipificada Z N(0,1) que verifica p(z z 1-α/2 ) = 1 - α/2 σ Tambié sabemos que el error máximo de la estimació es E = z1 α /2, para el itervalo de la media, de 2 z 1- α/2. σ dode el tamaño míimo de la muestra es = E. Halle el itervalo de cofiaza para el tiempo medio de reacció, co u ivel de cofiaza, 1 α, del 99%. Datos del problema: σ = 0 05; = 50; x = 0 85; ivel de cofiaza = 99% = 0 99 = 1 - α, de dode α=0 01, co la cual α/2 = De p(z z 1-α/2 ) = 1 - α/2 = = 0 995, mirado e las tablas de la N(0,1) la probabilidad vemos que o viee, sio que viee y que correspode a z 1 = 2 57 y z 2 = Realizado la media de dichos valores teemos z 1-α/2 = ( )/2 = 2 575, por tato el itervalo de cofiaza pedido es: σ σ I.C. (µ) = x z 1 α/2,x + z1 α/2 = 0'05 0'05 0'85 2'575,0'85 + 2' (0 8318,0 8682) De qué tamaño míimo ha de tomarse ua muestra para que el error de estimació o supere 0 01 segudos, co u ivel de cofiaza del 95%? Datos del problema: σ = 0 05; x = 0 85; ivel de cofiaza = 95% = 0 95 = 1 - α, de dode α = 0 05, co la cual α/2 = α/2 = 0 05/2 = 0 025; Error = E <

4 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 2012 (Modelo 1 ) Germá-Jesús Rubio Lua De p(z z 1-α/2 ) = 1 - α/2 = = mirado e las tablas de la N(0,1) la probabilidad vemos que correspode a z 1-α/2 = 1 96, por tato tamaño míimo pedido es: 2 2 z 1- α/2. σ 1'96 0'05 > = E 0' , es decir el tamaño míimo es = 97 persoas. OPCIÓN B EJERCICIO 1_B Sea el recito determiado por las siguietes iecuacioes: 3x + 4y 28; 5x + 2y 42; x y 0 a) (0 5 putos) Razoe si el puto de coordeadas (7,3) perteece al recito. b) (1 5 putos) Represete dicho recito y halle sus vértices. c) (0 5 putos) Calcule el valor máximo de la fució F(x,y) = 3x 2y + 6 e el recito, idicado el puto o putos dode se alcaza ese máximo. Razoe si el puto de coordeadas (7,3) perteece al recito. Sustituimos el puto (7,3) y vemos si verifica las tres iecuacioes a la vez. 3x + 4y 28; 3(7) + 4(3) , cierto luego la verifica 5x + 2y 42; 5(7) + 2(3) , cierto luego la verifica x y 0; (7) (3) 0 4 0, cierto luego la verifica Luego el puto de coordeadas (7,3) perteece al recito. Represete dicho recito y halle sus vértices. Las desigualdades 3x + 4y 28; 5x + 2y 42; x y 0, las trasformamos e igualdades, y ya so rectas, 3x + 4y = 28; 5x + 2y = 42; x y = 0 Para que os sea más fácil dibujar las rectas (co dos valores es suficiete), despejamos las y y teemos y = 3x/4 + 7; y = -5x/2 + 21; y = x; Represetamos gráficamete las rectas que verifica estas igualdades, y el recito e el cual estará los bordes del recito delimitado por las iecuacioes dadas. Calculamos los vértices del recito resolviedo las ecuacioes las rectas de dos e dos. De y = -3x/4 + 7 e y = -5x/2 + 21; teemos -3x/4 + 7 = -5x/2 + 21, de dode -3x+28 = -10x+84, es decir sale 7x=56, de dode x = 8 e y = 1, y el puto de corte es A(8,1) 4

5 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 2012 (Modelo 1 ) Germá-Jesús Rubio Lua De y = -3x/4 + 7 e y = x; teemos -3x/4 + 7 = x, de dode -3x+28 = 4x, es decir sale 28=7x, de dode x = 4 e y = 4, y el puto de corte es B(4,4) De y = -5x/ e y = x; teemos -5x/ = x, de dode -5x+42 = 2x, es decir sale 42=7x, de dode x = 6 e y = 6, y el puto de corte es C(6,6) Fijádoos e la resolució de las ecuacioes, los vértices del recito so: A(8,1); B(4,4) y el C(6,6). (c) Calcule el valor máximo de la fució F(x,y) = 3x 2y + 6 e el recito, idicado el puto o putos dode se alcaza ese máximo. El Teorema Fudametal de la Programació Lieal afirma que su máximo y míimo absoluto está e la regió acotada, y que este extremo debe estar situado e algú vértice del recito, por lo que evaluamos F e los putos ateriores A(8,1); B(4,4) y el C(6,6). F(8,1) = 3(8) 2(1) + 6 = 28, F(4,4) = 3(4) 2(4) + 6 = 10, F(6,6) = 3(6) 2(6) + 6 = 12 Teiedo e cueta lo aterior vemos que el míimo absoluto de la fució F e la regió es 10 (el valor meor e los vértices) y se alcaza e el vértice B(4,4), y el máximo absoluto es 28 (el valor mayor e los vértices) y se alcaza e el puto A(8,1). EJERCICIO 2_B a) (1 25 putos) Dada la fució f(x) = 2x 2 + ax + b, determie los valores de a y b sabiedo que su gráfica pasa por el puto (1, 3) y alcaza u extremo e x = - 2. b) (1 25 putos) Calcule la ecuació de la recta tagete a la fució g(x) = 3x 2 2x + 1, e el puto de abscisa x = 1. Dada la fució f(x) = 2x 2 + ax + b, determie los valores de a y b sabiedo que su gráfica pasa por el puto (1,3) y alcaza u extremo e x = - 2. Como f pasa por el puto (1,3) me está diciedo que f(1) = 3. Como f alcaza u extremo e x = - 2, me está diciedo que f (-2) = 0 (los extremos aula la 1ª derivada). f(x) = 2x 2 + ax + b f (x) = 4x + a De f (-2) = 0 4(-2) + a = -8 + a = 0, de dode a = 8. De f(1) = 3 2(1) 2 + 8(1) + b = 3, de dode b = -7. b) Calcule la ecuació de la recta tagete a la fució g(x) = 3x 2 2x + 1, e el puto de abscisa x = 1. Nuestra fució es g(x) = 3x 2 2x + 1 La recta tagete es y g(1) = g (1)(x 1) g(x) = 3x 2 2x + 1 g(1) = 3(1) 2 2(1) + 1 = 2 g (x) = 6x 2 g1(1) = 6(1) 2(1) = 4 La recta tagete pedida es y 2 = 4(x 1) EJERCICIO 3_B Lazamos u dado, si sale 5 o 6 extraemos ua bola de ua ura A, que cotiee 6 bolas blacas y 4 egras. Si sale otro resultado se extrae ua bola de la ura B, que cotiee 3 bolas blacas y 7 egras. Calcule: a) (1 puto) La probabilidad de que la bola extraída sea egra. b) (0 5 putos) La probabilidad de que la bola sea egra y de la ura B. c) (1 puto) La probabilidad de que haya salido meos de 5 si la bola extraída ha sido blaca. Lazamos u dado, si sale 5 o 6 extraemos ua bola de ua ura A, que cotiee 6 bolas blacas y 4 egras. Si sale otro resultado se extrae ua bola de la ura B, que cotiee 3 bolas blacas y 7 egras. 5

6 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 2012 (Modelo 1 ) Germá-Jesús Rubio Lua Para sacar ua bola de A la probabilidad de hacerlo es 2/6 = 1/3 Para sacar ua bola de B la probabilidad de hacerlo es 4/6 = 2/3 Llamemos A, B, Ba y N = (B) C, a los sucesos siguietes, sacar ua bola de la bolsa A, " sacar ua bola de la bolsa B", " sacar ua bola blaca " y " sacar ua egra ", respectivamete. Todo esto se ve mejor e el siguiete diagrama de árbol (completamos las probabilidades sabiedo que la suma de ellas que parte de u mismo odo vale 1). La probabilidad de que la bola extraída sea egra. Aplicado el teorema de la probabilidad total, la probabilidad de que la bola extraída sea egra (N) es: p(n) = p(a).p(n/a) + p(b).p(n/b) = (1/3) (4/10) + (2/3) (7/10) = (3/5) = 0 ' 6. La probabilidad de que la bola sea egra y de la ura B. Me pide p(b y N) = p(b N) = p(b).p(n/b) = (2/3) (7/10) = 7/ (c) (1 puto) La probabilidad de que haya salido meos de 5 si la bola extraída ha sido blaca Aplicado el teorema de Bayes, teemos: p( A Ba ) p( A).p(Ba/A ) (1/3) (6/10) p(a/ba) = = = = (1/2) = 0 5. p(ba) 1 - p(n) 1-3/5 EJERCICIO 4_B U iforme de u Ayutamieto afirma que al meos el 26% de los usuarios del carril bici habría utilizado el coche particular para sus desplazamietos de o haber existido dicho carril. Si embargo, u periódico local aucia la falsedad del dato, iformado que ua ecuesta propia idica que solo 240 de los 1000 usuarios ecuestados afirma que habría utilizado el coche particular. a) (1 5 putos) Establezca u cotraste, co hipótesis ula H 0 : p , para verificar la afirmació del Ayutamieto e idique la regió crítica de dicho cotraste para u ivel de sigificació del 5%. b) (1 puto) Co este ivel de sigificació podría aceptarse el iforme del Ayutamieto? a) Establezca u cotraste, co hipótesis ula H 0 : p , para verificar la afirmació del Ayutamieto e idique la regió crítica de dicho cotraste para u ivel de sigificació del 5%. Datos del problema: p 0 = 26% = 0 26; = 1000; ˆp = 240/1000 = 0 24; regió crítica = α = 5% = Etapa 1: Las hipótesis ula y alterativa so: H 0 : p (al meos el 26% habría usado el coche si o existiese el carril bici) y H 1 : p 0 < 0 26, la cual os idica la direcció del cotraste, es decir la regió crítica esta a la izquierda del puto crítico z α = - z 1-α. Etapa 2: El ivel de sigificació es α = 0 05, luego teemos 1 - α = 0,95. 6

7 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 2012 (Modelo 1 ) Germá-Jesús Rubio Lua De p(z z 1-α ) = 1 - α = = 0 95, mirado e las tablas de la N(0,1), vemos que o aparece e las tablas. Los valores más próximo so y , que correspode a z 1-α = ( )/2 = 1 645, co lo cual el valor crítico es z α = - z 1-α = que separa las zoas de aceptació y rechazo. Lo observamos e u dibujo: ˆp - p0 Etapa 3 y 4: E este caso el estadístico de prueba es Z =, que sigue ua ormal tipificada, p 0.(1-p 0) ˆp - p0 N(0,1), y el valor observado del estadístico de prueba será el úmero z 0 = p.(1-p )/ = 0'24-0'26 = '26 0' b) Co este ivel de sigificació podría aceptarse el iforme del Ayutamieto? 0 0 Etapa 5: Como el valor observado del estadístico de prueba z 0 = es mayor que el valor crítico z α = - z 1-α = , vemos que os ecotramos e la regió de aceptació. Por tato, tomamos la decisió de la aceptar hipótesis ula H 0 : p , y aceptamos el iforme del Ayutamieto. Co lo cual, co ua probabilidad de equivocaros del 5%, afirmamos que más del 26% de los usuarios del carril bici habría utilizado el coche particular para sus desplazamietos de o haber existido dicho carril. 7