3. Asociación, Correlación y Regresión Lineal

Transcripción

1 3. Asocacón, Correlacón y Regresón Lneal 3

2 3.. Asocacón y Causaldad Algunos sucesos o crcunstancas tenden a segur a otros cuando ocurren en el tempo. varos de estos sucesos que ocurren repetdamente en el tempo tenen certas cualdades, los observadores podrían llegar a pensar que están asocados de alguna manera. En certos casos se puede r más lejos y pensar que un tpo de suceso es causa para otro, hablando de relacones causales o de causa y efecto. Podemos decr, por ejemplo, que los gatos por consumo de una famla están asocados a su ngreso. el consumo aumenta (o dsmnuye) en la proporcón que el ngreso, podemos pensar en una relacón causal. n embargo, las observacones muestran que esto no es así cuando los ngresos regulares aumentan en grandes cantdades: parte se ahorra o nverte. Entonces, exste algún tpo de asocacón que no es causal. En otros casos exsten asocacones de otro tpo, causadas ndrectamente por terceras varables. Por ejemplo, podemos observar que, a medda que aumenta el número de televsores por famla, dsmnuye el número de hjos. Esto no quere decr que la TV sea el mejor antconceptvo. Más ben hay que pensar en que la cantdad de aparatos receptores de televsón está lgada al ngreso y que, por otras razones, las famlas de altos ngresos tenen menos hjos. Una asocacón o relacón estadístca, por fuerte y sugerente que sea, jamás puede establecer una asocacón causal. Las deas de causa y efecto deben salr de otros ámbtos y no de la estadístca. Por ejemplo, la relacón entre la lluva y el rendmento de las cosechas es un caso en el que consderacones no estadístcas precsan una asmetría de la stuacón: se dce que la lluva ocasona una varacón en las cosechas, pero jamás se podría pensar esto al revés, es decr, que un aumento de cosecha mplque un aumento de lluva. Aun cuando, en el caso anteror, no exstan razones estadístcas para descartar la dea de un efecto en las lluvas causado por las cosechas, el descarte de esta alternatva se basa en otro tpo de consderacones. Como contrapartda de estas asocacones estadístcas, exste el concepto de ndependenca. Así, el color café del cabello de una persona esté relaconado al tpo de nstrumento que use para escrbr, por ejemplo, una lapcera. El tema de este capítulo se encuentra amplamente tratado en la lteratura centífca y técnca, y es sumamente extenso. Nos centraremos en revsar los tpos de asocacones y a estudar uno de ellos, el referente a la correlacón entre varables (cualtatvas), que fue desarrollado a comenzos del sglo pasado por Karl Pearson y George Udny Yule, entre otros. 3.. Qué asocar? 3

3 Recén se apuntó a una asocacón entre varables. En estos casos se determnan dos a más varables en una poblacón o muestra de ndvduos. Puede ser nteresante, por ejemplo, saber s el contorno del busto entre las mujeres está asocado a su estatura, s la temperatura nfluye en el tamaño de los objetos o s el tpo de corteza de certa espece de árboles está relaconada con la presenca de certo compuesto químco en la madera. En la teoría estadístca encontramos estadígrafos, usualmente llamados coefcentes de correlacón, que nos permten detectar s exste o no asocacón entre varables, y s exste, qué tan fuerte es. Tambén podemos asocar objetos o ndvduos. Así, por ejemplo, podemos determnar característcas en los seres humanos y agruparlos según que tan parecdos sean, orgnando la clasfcacón en razas humanas. En otro caso, puede nteresar la dstanca que hay entre slas para saber s están asocadas, dando orgen o no a archpélagos. Al asocar ndvduos, el nterés se centra en clasfcarlos o agruparlos, lo que se hace a través de estadígrafos conocdos como coefcentes de smltud o meddas de dstanca, tema que no tratará en estos apuntes Tpos de asocacón Al consderar los tpos de asocacón que pueden exstr entre varables, tenemos una prmera clasfcacón global en las sguentes tres categorías: A) Independenca: En este caso, las varables no están estadístcamente asocadas. Las probabldades de sucesos compuestos de casos correspondentes a varables ndependentes se obtenen multplcando las probabldades ndvduales. Por ejemplo, en una festa grande puede ocurrr que el 5% de las jóvenes sean rubas y el % se movlce en moto. La proporcón de jóvenes que cumplan ambas condcones será el producto.5. =.. Al revés, las característcas de color, peso y tamaño no son ndependentes de las razas cannas, esto es lo que nos permte dstngur un chhuahua de un gran danés. B) Dependenca funconal: La dependenca funconal se encuentra al relaconar varables a través de fórmulas matemátcas en las que no hay posbldad de error. on casos típcos de la físca clásca. Así, por ejemplo, la ley de Boyle establece que, s la temperatura es constante, la presón P y el volumen V de certa cantdad de gas están relaconados por la ecuacón P V = constante. queremos tomar en cuenta la temperatura T, modfcamos la ecuacón anteror obtenendo una relacón para las tres varables por la P V ecuacón = constante. T Esta matera es de nterés estadístco debdo a que las varables asocadas funconalmente están, sn embargo, sujetas a errores y/o precsones en nstrumentos u 33

4 observadores que las mden. Cuando esto se toma en cuenta, la relacón funconal pasa a ser una relacón estadístca. C) Asocacón Estadístca: La mayor parte de asocacón estadístca nacen al nteresarnos por la dstrbucón conjunta de dos varables. una categoría de sucesos (por ejemplo, peso de las personas entre 7 y 8 kg) ocurre con certa proporcón p de los casos, y otra categoría (por ejemplo, estatura entre 6 y 7 cm) ocurre con una proporcón q, los dos tpos de evento ocurrrán a la vez en algunos membros del grupo de estudo. De hecho, en una proporcón p q, s fueran ndependentes. En un sentdo que no es técnco, la exstenca de personas con peso entre los 7 y 8 kg y estaturas entre 6 y 7 cm, ndca que ambos tpos de suceso estás asocados en estos ndvduos. Pero esto no es evdenca que la asocacón sea estadístca. Por asocacón estadístca queremos expresar que la proporcón de personas que presentan ambos tpos de sucesos es, o ben, sgnfcatvamente más alta, o ben, sgnfcatvamente más baja que la proporcón esperada sobre la base de una consderacón smultánea de las frecuencas, calculadas por separado, de ambas categorías de sucesos. Consderemos otro ejemplo donde tenemos personas déntcas. A de ellas se les vacuna contra la nfluenza (grupo expermental) y a las otras se les admnstra un placebo. En una epdema posteror, ambos grupos quedan gualmente expuestos a la enfermedad y de los vacunados se contagan, mentras que lo msmo ocurre con 5 de los no vacunados. endo mposble atrbur estos resultados al azar, debemos conclur que el hecho de estar vacunado está asocado a no contraer la enfermedad. Más aún, se puede pensar que esta asocacón es de tpo casual. n embargo, s mramos un ndvduo en partcular, no es posble afrmar que la vacuna sea la causa por la que no se contagó, pues hay ejemplos de personas vacunadas que sí se contagaron y de ndvduos sn nfluenza que no estaban vacunados. Incluso se podría decr que esas personas se contagaron debdo a que sí estaban vacunadas!, aunque la tendenca general haya sdo en dreccón opuesta. Dentro de las asocacones estadístcas podemos dstngur relacones de nterdependenca y relacones de dependenca: a) Interdependenca: al estudar una relacón de nterdependenca, nos nteresa consderar varas varables smultáneamente, a fn de establecer la estructura de asocacones entre ellas. Por ejemplo, puede ser de nterés saber s exste relacón entre el largo del brazo y el largo de la perna en los seres humanos. Quzás se quera saber que tan relaconadas están las dstntas pruebas a que se somete una persona para determnar su coefcente ntelectual. Un químco querrá saber la 34

5 relacón exstente entre las decenas de productos químcos obtendos al destlar hojas de eucalptus. Y así, se podría nombrar muchos otros ejemplos. Generalmente, el nterés se centra es estas varables con el fn de establecer relacones numércas entre ellas, afín de dsmnur su cantdad o de construr ndcadores (como el índce de precos al consumdor). b) Dependenca: Volvendo al ejemplo del largo de la perna y el brazo, se puede desear usar sus medcones del largo del brazo para obtener nformacón sobre el largo de la perna (una cosa útl para los fabrcantes de overoles). De esta forma, estamos consderando la dependenca del largo de la perna respecto el largo del brazo. La dea se puede extender al caso en que deseamos saber s certas varables dependen de certas otras. Un caso nternaconalmente conocdo de esta stuacón, en el que se determnó que tres o cuatro meddas en el ser humano podían predecr las 5 ó necesaras para confecconar un traje, cas elmnó las confeccones a medda, creándose la moda pret a porter y la produccón en sere. Aunque no exste una dstncón clara y precsa, en la termnología estadístca, para referrse a las técncas que tenen que ver con estos tpos de problemas, la nterdependenca conduce a la teoría de la correlacón y la dependenca a la teoría de regresón Detectando Asocacón El problema consste en establecer s exste o no asocacón entre dos varables y, s exste, determnar qué tan fuerte es esta asocacón. Dos varables pueden tener relacones del tpo funconal como las que se muestran en la sguente fgura: 35

6 En el caso (a) el dbujo representa una curva, mentras que en (b) se observa una línea recta. Cuando la relacón funconal es una línea recta, el uso hace que se hable de una relacón lneal. En los demás casos la relacón puede ser cuadrátca o de otra forma, no lneal. El coefcente de correlacón lneal de Pearson, que será defndo más adelante, se puede aplcar úncamente cuando la relacón funconal, o la asocacón estadístca correspondente, se basa en una recta. Este es un concepto que debe ser recordado sempre. La nvestgacón de la relacón entre dos varables X e Y, basada en un conjunto de n pares de observacones, empeza con un ntento por descubrr la forma aproxmada de la asocacón. Esto se realza medante un gráfco X vs Y en el que se ubcan los n puntos pareados, y que se conoce como dagrama o gráfco de dspersón. Para aclara deas, consdere el número de empleados y los gastos fjos que se generan en cuatro empresas muy smlares. La nformacón obtenda es: X: Nro de Empleados Y: Gastos Fjos en mles de pesos Como se apreca, ahora la nformacón es entregada en pares ordenados. Por ejemplo el dato (5,43) ndca que esta empresa tene 5 empleados y tene un gasto fjo de $43. El dagrama o gráfco de dspersón es: Los puntos, así grafcados, consttuyen lo que se llama nube de puntos. 36

7 A smple vsta se puede aprecar en este dagrama que hay una tendenca entre la cantdad de empleados y los gastos fjos. Las empresas que tenen un bajo número de empleados tenden a tener un bajo gasto fjo. Asmsmo, empresas con una gran cantdad de empleados tenen un gasto fjo alto. Además, la tendenca general de la nube es la de una línea recta Correlacón lneal de Pearson. Para calcular el coefcente de correlacón lneal de Pearson se debe consderar, todo, el conjunto de n pares de observacones, es decr,, y ),( x, y ),,( x n, y ) ( n x K. n XY Este coefcente se defne como r =, donde: XY = x y n X Y = n XX x n = XX ( X ) n y y n ( Y ) YY = = YY. =, El coefcente de correlacón lneal tene algunas propedades muy nteresantes. En prmer lugar, la nube de puntos en el gráfco de dspersón debe representar, al menos aproxmadamente, una línea recta. esto no se cumple, no es bueno calcularla en propedad. La correlacón lneal ( r ) toma el valor cuando la nube de puntos es crcular, como se muestra en la sguente fgura. En general, r varía entre y, es decr r. El sgno ndca que tpo de asocacón exste entre las varables X e Y. el sgno es postvo la asocacón es drecta, esto quere decr, que s X aumenta, tambén aumenta Y,o a la nversa s X dsmnuye, tambén dsmnuye Y. el sgno es negatvo la relacón es nversa, es decr, s X aumenta Y dsmnuye, o a la nversa s X dsmnuye, Y aumenta. 37

8 la correlacón, en valor absoluto, es cercana a ndca que la relacón funconal entre X e Y es lneal ( Y = a + bx ). Por otra parte, s es cercana a ndca que las varables no están correlaconadas. El párrafo anteror permte defnr r % como el porcentaje de lnealdad, exstente, entre las dos varables en estudo. En el problema anteror, el coefcente de correlacón lneal entre la cantdad de empleados 675 y los gastos fjos es r = = El análss de esta cantdad es como sgue: Como el sgno es postvo, ndca que mentras mayor sea la cantdad de empleados, mayor son los gastos fjos. Por otro lado, exste un 99.5% de lnealdad ndcando que la relacón funconal entre el número de empleados y los gastos fjos es lneal. Hay casos en que las varables en estudo están extremadamente asocadas, pero como no es lneal, el coefcente de correlacón lneal es cercano a. Esto se debe a que el coefcente de correlacón lneal sólo detecta lnealdad o relacón lneal entre las varables en estudo. Por eso es mportante realzar en forma preva el dagrama de dspersón y verfcar vsualmente la tendenca de los datos. Es mportante notar, que la nterpretacón de un coefcente de correlacón, como medda de la ntensdad de la relacón lneal entre dos varables, es puramente matemátca y lbre de cualquer mplcacón de causa o efecto. El hecho de que las dos varables tendan a crecer o decrecer juntas, no ndca que la una tenga un efecto drecto o ndrecto sobre la otra. Ambas pueden estar nfludas por otras varables de modo que se orgne una fuerte relacón matemátca. uponga que, a lo largo de un certo período de años, el coefcente de correlacón entre los sueldos de los profesores y el consumo de bebdas alcohólcas resultó ser.98. Durante ese período de tempo hubo una frme subda de los salaros de todo tpoy una tendenca general ascendente propa de las buenas épocas. En tales condcones, los sueldos de los profesores aumentaron tambén. Además la tendenca ascendente general de los salaros y del poder adqustvo se reflejó en la compra de bebdas alcohólcas. Por lo tanto, esta elevada correlacón muestra smplemente el efecto común a la tendenca ascendente sobre las dos varables. 38

9 Los coefcentes de correlacón deben manejarse con cudado s se quere que den nformacón sensata en lo que concerne a las relacones entre pares de varables. El éxto de los coefcentes de correlacón requere estar famlarzados con el campo de aplcacón, así como tambén, con sus propedades matemátcas. Respecto al valor msmo de la correlacón, la sguente tabla da algunos crteros o guías que pueden ayudar a nterpretar el tamaño del coefcente de correlacón. Valor de r Interpretacón r =. No hay correlacón. < r.5 Correlacón débl.5 < r.8 Correlacón meda.8 < r <. Fuerte correlacón r =. Correlacón perfecta 3.6. El problema de Regresón En el ejemplo que relacona los gastos fjos de la empresa (Y) con la cantdad de empleados (X), el gráfco de dspersón muestra una tendenca lneal cas perfecta. Lo que hace suponer que el gasto fjo de la empresa se comporta de la sguente manera, según la cantdad que empleados que posee, y = β + βx + ε, para =,,3 y 4. La sguente gráfca explca mejor lo dcho anterormente: donde la línea recta es β + β x, pero como los puntos en la nube de puntos no están, generalmente, sobre la línea recta se ntroduce el térmno ε, que representa todo aquello que no podemos medr y hace que el valor de y (en el ejemplo el gasto fjo de la -ésma empresa) no caga exactamente sobre la línea recta. 39

10 Cuando exste relacón funconal lneal entre las dos varables, en estudo, el modelo matemátco y = β + βx + ε, con =,, K, n, recbe el nombre de regresón lneal smple. Esta es una técnca estadístca que permte el modelamento e nvestgacón de la relacón entre dos, la que permte predecr el valor de una de las varables (Y) dado un valor de la otra (X). La varable Y recbe el nombre de varable dependente ó endógena ó varable explcada, mentras que la varable X recbe el nombre de varable ndependente ó varable exógena ó varable explcatora ó regresor. El térmnoε recbe el nombre de error aleatoro ó perturbacón aleatora ó shock aleatoro ó rudo blanco. Lo que se quere es encontrar el valor de β y de β de manera que pase lo más cerca de los puntos en el dagrama de dspersón, es decr, la dstanca entre estos puntos a la recta ( ε ) sean lo más pequeño posble. Los valores que β y de β que cumplen con mnmzar las dstancas de la nube de puntos a la recta β + β x, son y de β ). Los valores de estas cantdades son ˆ β y ˆβ (que recben el nombre de estmacones de β ˆ β = ˆ β X Y y ˆ = xy β. xx Una de las dfcultades del modelo de regresón lneal, es reconocer cual varable es la explcatora y cual la varable dependente. En el problema de los gastos de fjos y el número de empleados, vsto con anterordad, es claro que el número de empleados no puede ser explcado por los gastos fjos. Esto ndca que la varable dependente es los gastos fjos, mentras que la varable explcatora es la cantdad de empleados (ya que a mayor cantdad de empleados mayor es el gasto fjo). Así se obtene que: X: Nro de Y: Gastos Fjos Empresa Empleados en mles de pesos X*X Y*Y X*Y Total Así X = = 7. 5 y Y = = 47. 5, por lo tanto, los estmadores de los parámetros 4 4 del modelo de regresón lneal smple son: 4

11 ˆ xy β = = = 3.4 ˆ β ˆ = Y βx = = *5.5 xx entonces el modelo estmado es : yˆ = x, =,,3, 4. La nterpretacón de los parámetros estmados ˆ β y ˆβ es: β es el valor de la varable dependente cuando la varables dependente toma el valor, y ˆβ es el aumento que se produce en la varable dependente cuando la varable ndependente aumenta en una undad. En el ejemplo ˆβ representa el gasto fjo de una empresa s se tenen cero empleados ($4) y ˆβ representa el ncremento en los gastos fjos por cada empleado, adconal, que se contrata ($34). Para determnar s el modelo de regresón lneal es adecuado, exste una medda llamada el coefcente de determnacón o smplemente el R, que se calcula como R = r (correlacón al cuadrado). Este coefcente, nos ndca cuanto explca el modelo de regresón lneal al la varabldad de la varable dependente. En el ejemplo de los gastos fjos se obtene que el coefcente de determnacón es R =.99 99%., ndcando que el modelo explca a la varabldad de los gastos fjos en un ˆ 3.7. Ejercco Resuelto. Imagne que una compañía de seguros desea determnar el grado de relacón que exste entre el ngreso semanal famlar (X) y el monto del seguro de vda (Y) del jefe de famla. Con base en una muestra de 8 famlas, se obtuvo la sguente nformacón (en mles de pesos). Observacón Ingreso eguro Observacón Ingreso eguro

12 Al realzar el dagrama de dspersón se puede conclur que exste una asocacón funconal lneal entre el monto del seguro y el ngreso semanal famlar. eguro de Vda Monto del eguro (en mles de $) Ingreso Famlar (en mles de $) Para calcular el coefcente de correlacón lneal de Pearson necestamos las sguentes cantdades: así: xx yy xy = = = n = n = n = x y n X ny x y nx Y = = = 35.9 = 64.3 = = XY r = = = XX YY Esto nos ndca que exste una fuerte relacón (drecta) entre el monto del seguro y el ngreso semanal famlar, más aún esta relacón es lneal en un 9.3%. Lo que nos hace pensar que es adecuado pensar en un modelo de regresón lneal smple. Es fácl darse cuenta que la varable dependente es el monto del seguro y que la varable explcatora es el ngreso semanal famlar. Los coefcentes estmados del modelo de regresón son: ˆ xy = = = ˆ β Y - ˆ β = β X = xx = Por lo que la ecuacón estmada de regresón quedaría: yˆ = x. La nterpretacón de los coefcentes de regresón estmados son Por cada ml pesos que aumenta el ngreso famlar, el seguro de vda aumenta en.78 pesos aproxmadamente, y que aún cuando no exsta un ngreso famlar, el monto del seguro de vda es de.5 pesos. 4

13 Imagne que la compañía de seguros está nteresada en estmar montos ndvduales del seguro de vda para los ngresos semanal de 8, 8, 38, 48 y 58. Los montos ndvduales estmados se muestran en la sguente tabla: Ingreso eguro 8 34,49 8 5,7 38 7, ,8 58 5,59 El coefcente de determnacón para este modelo es R =. 886, ndcando que el modelo explca a la varabldad del monto del seguro de vda en un 8.86% Ejerccos propuestos.. El gerente de una ndustra desea determnar s exste una relacón lneal entre el número de undades Y, armadas por los operadores de una línea de ensamble, y el lapso X que transcurre antes de que se presente una falla. Con base en una muestra aleatora de operadores de la línea de ensamble, se observa la sguente nformacón: Observacón Tempo en Horas Undades ensambladas Observacón Tempo en Horas Undades ensambladas a) Trace un dagrama de dspersón de los datos. Parece razonable modelar una ecuacón lneal que relacone a Y con X? b) Calcule la ecuacón de regresón.e nterprete los coefcentes. Un corredor de benes raíces estudó la relacón entre X= ngreso anual (en mllones de pesos) de los compradores de resdencas e Y= preco de venta de la resdenca (en mllones de pesos). e obtuveron datos de las solctudes hpotecaras correspondentes a 4 profesonales de dstntas empresas. El resumen de algunos resultados son: 43

14 n = 4 4 = y 4 = x = 94.5 = = 4 = x = x y = = y = 83.6 a) Para un modelo lneal smple, obténgase la ecuacón estmada de regresón b) Interprétense los coefcentes de regresón estmados. 3. Como parte de un estudo de sucursales de un banco mercantl, se han obtendo datos acerca del número del número de negocos ndependentes (X) localzados en una muestra de áreas selecconadas por medo del códgo postal y del número de sucursales del banco (Y) ubcadas en dchas áreas. e excluyeron los centro comercales de las cudades N de Observacón negocos Número de sucursales N de Observacón negocos Número de sucursales a) Trace un dagrama de dspersón de los datos. Parece razonable modelar una ecuacón lneal que relacone a y con X? b) Calcule la ecuacón de regresón e nterprete los coefcentes. 44