cuadrado sea igual a -1. El conjunto de los números complejos es una ampliación del conjunto de los números reales.

Transcripción

1 NUMEROS COMPLEJOS El cojuto de los úmeros complejos fue creado para poder resolver alguos problemas matemáticos que o tiee solució detro del cojuto de los úmeros reales. Por ejemplo x = 0 o tiee raíces reales; dado que o existe igú úmero real que elevado al cuadrado sea igual a -1. El cojuto de los úmeros complejos es ua ampliació del cojuto de los úmeros reales. Los úmeros complejos so muy útiles e Igeiería y Electróica, auque so ecesarios otros coocimietos matemáticos que excede el ivel de este curso para poder compreder estas aplicacioes. E el año 14 el matemático italiao Geróimo Cardao ( ) trataba de resolver el siguiete problema: Es posible expresar el úmero 10 como suma de dos úmeros reales tales que el producto de ellos sea igual a 40? Para resolver este problema, si llamamos x e y a los úmeros de la descomposició y plateamos las ecuacioes x + y = 10 x. y = 40 resulta, y = 10 x Debemos resolver la ecuació cuadrática x 10 x = 40, es decir x x 40 = 0 Aplicado la fórmula cuadrática, obteemos: 10 ± ( 40) x 1,2 = 2( 1) x 1 = Es decir

2 x 2 = lo cual es equivalete a x 1 = + 1 y x 2 = 1. Cardao advirtió que este problema o podía ser resuelto, porque las solucioes halladas o tiee setido e el cojuto de los úmeros reales: 1 o es u úmero real, es decir o existe igú úmero real cuyo cuadrado sea -1. De todas maeras alguos algebristas italiaos como Tartaglia ( ), Ferrari ) y el mismo Cardao, etre otros trabajaro formalmete co expresioes como las ateriores y operaro co ellas juto co los úmeros reales. Posteriormete, e el año 1777, Euler ( ) itrodujo el símbolo i (por imagiario) para idicar u úmero tal que i 2 = 1. Utilizado i resulta que, por ejemplo: 1 = 1 1 = 1i 2 = 1 i De esta maera, las solucioes de la ecuació cuadrática que surge del problema de Cardao puede expresarse como: x 1 = + 1i y x 2 = 1i. Pero está claro que o se trata de úmeros reales. Observemos que x = i y x = i so solucioes de la ecuació x = 0. Porque: i = = 0 y i = 1. i = = 0 Defiició Llamaremos úmero complejo a u úmero z que se escribe e la forma a + bi, dode a y b so úmeros reales e i verifica que i 2 = 1 Al úmero a se lo deomia parte real del úmero complejo z y se lo idica Re(z) = a. Al úmero b se lo deomia parte imagiaria del úmero complejo z y se lo idica Im(z) = a. Idicamos co la letra C al cojuto de todos los úmeros complejos: C = z z = a + bi ; a R, b R Todas las ecuacioes poliómicas de segudo grado, ax 2 + bx + c = 0 co discrimiate egativo, es decir, b 2 4ac < 0, que o tiee solució e R, tiee solució e el cojuto C 2

3 Ejemplos de úmeros complejos: Número complejo Parte real Parte imagiaria + 2i i i i i πi 0 π Observemos que: U úmero complejo cuya parte imagiaria es cero, es decir de la forma a + 0i, se lo idetifica co u úmero real. Por ejemplo: 3 + 0i = 3 R Todo úmero real puede cosiderarse u úmero complejo cuya parte imagiaria es cero. Por ejemplo 2 = 2 + 0i C Esto sucede por que El cojuto de los úmeros reales está icluido e el cojuto de los úmeros complejos : R C sea a R, a = a + 0i, etoces a C. U úmero complejo cuya parte real es cero se deomia imagiario puro Por ejemplo: 0 + 8i; 2i; πi, i so complejos imagiarios puros. Defiició Dos úmeros complejos z y w so iguales si, y solo si tiee la misma parte real y la misma parte imagiaria. 3

4 Simbólicamete z = w si y solo si Re(z) = Re(w) y Im z = Im(w) Nos plateamos las siguietes pregutas acerca de los úmeros complejos Es posible defiir e C las operacioes elemetales, de modo que cuado se opere co los úmeros reales (que se idetifica co ua parte del cojuto C) se obtega los mismos resultados que e R, y se verifique las propiedades? Se puede represetar gráficamete los úmeros complejos? La respuesta a ambas pregutas es afirmativa Es posible sumar, restar, multiplicar y dividir úmeros complejos y como se observará el resultado será siempre u úmero complejo. Operacioes e C Suma Si z = a + bi y w = c + di etoces la suma está dada por z + w = a + bi + c + di = a + c + b + d i Observació: Para sumar dos úmeros complejos, se suma separadamete sus partes reales e imagiarias. Defiició Dado el complejo z = a + bi, decimos que a bi es su opuesto, y lo otamos: z = a bi Se probará e la práctica que la suma de úmeros complejos verifica las siguietes propiedades: 1. z + w = w + z comutativa 2. z + w + v = z + w + v asociativa 3. z + 0 = 0 + z = z siedo 0 = 0 + 0i eutro aditivo 4. z + z = z + z = 0 opuesto aditivo Resta Si z = a + bi y w = c + di etoces la resta está dada por z w = z + w = a c + b d i 4

5 Es decir a z le sumamos el opuesto de w. Ejemplos i i = i = 7 + 8i i 3 + 6i = i = 13 4i Multiplicació Si z = a + bi y w = c + di etoces la multiplicació está dada por z w = a + bi c + di = ac bd + ad + bc i Observació: para multiplicar dos úmeros complejos se opera co ellos como si fuera poliomios y se cosidera que i 2 = 1. Ejemplo i 3 + 6i = i + 2i 3 + 2i 6i = 30 60i + 6i + 12i 2 = 30 60i + 6i 12 = 42 4i 4 2i 2 + 0i = 4 2i. 2 = 8 4i Iverso Multiplicativo Dado u úmero complejo z = a + bi es posible ecotrar u úmero complejo w = c + di tal que z w = 1 + 0i? Es decir, debe cumplirse que a + bi c + di = 1 + 0i, es decir ac bd + ad + bc i = 1 + 0i De dode ac bd = 1 (1) ad + bc = 0 (2) Despejado c de (1), c = 1+bd a

6 reemplazado e (2) d = Por tato w = a a 2 +b 2 b a 2 +b b a 2 +b 2, luego c = a a 2 +b 2 2 i y es tal que z w = 1 Dado el complejo z = a + bi, decimos que w = otamos co z 1 = 1 Z. a a 2 +b 2 b a 2 +b 2 i es su iverso multiplicativo y lo Divisió Si z = a + bi y w = c + di etoces la divisió está dada por z w = z w 1 = a + bi c c 2 + d 2 d ac + bd + bc ad i ac + bd bc ad c 2 2 i = + d c 2 + d 2 = c d c 2 + d 2 i Defiició Dos complejos se deomia cojugados si tiee la misma parte real y partes imagiarias opuestas. El complejo cojugado del complejo z = a + bi se idica co z, luego z = a bi Ejemplo: si z = 3 + 2i z = 3 2i Propiedades del cojugado 1. z + z = 2 Re z 2. z = z 3. z + w = z + w 4. z. w = z. w. z. z = a 2 + b 2, siedo z = a + bi. z. z > 0 si z 0. Demostració Ejercicio Para obteer el iverso multiplicativo de u úmero complejo podemos utilizar la propiedad del producto de u complejo por su cojugado, esto es: z 1 = 1 z = 1 z a bi = z z a 2 + b 2 = a a 2 + b 2 b a 2 + b 2 i Esto último os va a permitir defiir de maera simple la divisió etre úmeros complejos 6

7 z z w = w w w = a + bi c di c + di c di ac + bd bc ad = c d c 2 + d 2 i Observació: para dividir dos úmeros complejos se multiplica dividedo y divisor por el cojugado del divisor. Ejemplo 2 + 7i 2 3i = 2 + 7i 2 + 3i 2 3i 2 + 3i 4 + 6i + 14i + 21i i = 4 + 6i 6i 9i 2 = = i Para represetar gráficamete los complejos, tedremos e cueta que Todo úmero complejo z = a + bi puede determiarse co u par de úmeros reales a, b dode a es la parte real y b es la parte imagiaria. Y todo par de úmeros reales a, b determia u úmero complejo z = a + bi, cuya parte real es a y cuya parte imagiaria es b. Así, cualquier úmero complejo tiee ua posició e el plao umérico; los complejos co parte imagiaria cero se represeta sobre el eje x, los complejos co parte real cero se represeta sobre el eje y. Eje Imagiario b a, b z = a + bi Ejemplo: a Eje real 1. Represetar e u mismo sistema de coordeadas los siguietes úmeros complejos z 1 = 2 + i, z 2 = 1 i, z 3 = 2 + 3i y z 4 = 2i 7

8 2. Dado z 1 = 3 + i, represetar z 1 y z 1 z 1 = 3 i y z 1 = 3 i E geeral Si z = a + bi para represetar gráficamete z = a bi (su cojugado), se debe reflejar z sobre el eje real x. Si z = a + bi la represetació gráfica de z = a bi (el opuesto) es el simétrico de z respecto del orige de coordeadas. Recordemos que e R la distacia de 0 a cualquier úmero real a, se defie como el valor absoluto de a y se lo idica a De maera similar e C tambié podemos hablar de distacia. La distacia del orige de coordeadas 0,0 al úmero complejo z = a + bi = a, b se defie como z = a 2 + b 2. Esta distacia se llama módulo de z 8

9 b z P(a, b) a Nótese que z = a 2 + b 2 = z z y z 2 = a 2 + b 2 = z z, por la propiedad del cojugado. Forma Trigoométrica de u Número Complejo Como acabamos de ver al úmero complejo z = a + bi le correspode el puto P del plao de coordeadas. Si represetamos por r la logitud del segmeto OP, que ue el orige de coordeadas O y P, y por θ el águlo que forma OP co el semieje positivo de abscisas, se dice que r, θ so las coordeadas polares del puto P. P r θ O Si r = 0, es decir, si P O, etoces θ o está defiido, cosideremos por tato z 0. E este caso, r es úico pero θ o lo es. Dado r > 0, es evidete que si θ es u argumeto de u úmero complejo z, etoces tambié lo es θ = θ + 2kπ co k Z y r, θ y r, θ da lugar al mismo puto. Se establece como coveció que θ es positivo si es medido e setido atihorario y egativo e setido cotrario. A cualquiera de tales úmeros θ se les llama argumeto de z y se represeta arg(z). Se sigue que, para úmeros complejos cuya parte real sea o ula, se tiee que r = a 2 + b 2 y ta θ = b a 9

10 Ahora bie, si restrigimos el valor de θ para 0 θ < 2π, hay dos águlos que difiere e π que tiee la misma tagete. Para saber cuál de ellos es el argumeto, tedremos e cueta los sigos de a y b, de esta forma coseguiremos saber e qué cuadrate está situado el vector del úmero complejo. Y os dará el águlo que buscamos. Puesto que a = r cos θ y b = r se θ, teemos que z se puede expresar de la forma z = a + bi = r cos θ + i se θ Esta expresió se suele deomiar forma polar trigoométrica de z. Observemos que para que dos úmeros complejos, dados e forma trigoométrica z 1 = r 1 cos θ 1 + i se θ 1 y z 2 = r 2 cos θ 2 + i se θ 2 Sea iguales tiee que ser iguales sus módulos pero o ecesariamete tiee que ser los argumetos cosiderados Ejemplos z 1 = z 2 r 1 = r 2 θ 1 θ 2 = 2kπ kεz Escribir e forma trigoométrica o polar a) z = 1 + i b) z = 1 3i c) z = 3i. Nota: para dar el valor de arg z = θ debemos teer e cueta la posició del puto P(a, b) e el plao complejo a) z = 1 + i Idetificamos a = 1 y b = 1. Etoces r = = 2 Como ta θ = b a = 1 y 1,1 está situado e el primer cuadrate, tomamos θ = π 4. Luego z = 2 cos π 4 + i se π 4 b) z = 1 3i 10

11 E este caso r = = 2, ta θ = 3 = 3 y como 1, 3 está situado e el cuarto cuadrate, tomamos θ = 3 π. Luego z = 2 cos 3 π + i se 3 π 1 Otro modo de determiar θ es obteer el águlo de referecia θ = ta 1 3 cuarto cuadrate que deseamos es, θ = 2π θ = 2π π 3 = 3 π 1 = π 3. El águlo del c) z = 3i E este caso a = 0 y b = 3. Etoces r = = 3 y como 0, 3 está situado sobre el eje y, siedo b = 3 < 0, tomamos θ = 3 2 π. Luego z = 3 cos 3 2 π + i se 3 2 π Multiplicació e forma trigoométrica - polar Si z 1 = r 1 cos θ 1 + i se θ 1 y z 2 = r 2 cos θ 2 + i se θ 2, etoces, z 1 z 2 = r 1 r 2 cos θ 1 + θ 2 + i se θ 1 + θ 2 Demostració ejercicio El producto de dos úmeros complejos dados e forma trigoométrica-polar es u úmero complejo cuyo módulo es el producto de los módulos y su argumeto es la suma de los argumetos. Iverso de u úmero complejo z = r cos θ + i se θ 0 Se puede obteer e forma trigoométrica polar del siguiete modo: z 1 = 1 z = 1 r cos θ + iseθ = 1 r cos θ iseθ cos θ + iseθ cos θ iseθ = 1 r cos θ iseθ cos θ 2 + se θ 2 z 1 = 1 z = 1 r cos θ + ise θ Teiedo e cueta la multiplicació y el iverso de u úmero complejo e forma polar, podemos dividir dos úmeros complejos e forma polar 11

12 z 1 z 2 = r 1 r 2 cos θ 1 θ 2 + i se θ 1 θ 2 Ejemplo Si z 1 = 4 cos 7 + i se 7 y z 2 = 1 2 cos 4 + i se 4, ecuetre z 1z 2, z 1 z 2 cada respuesta e la forma a + bi. y exprese Solució: por lo aterior teemos z 1 z 2 = cos i se = 2 cos120 + i se120 = i = 1 + 3i 2 z 1 z 2 = cos i se 7 4 = 8 cos30 + i se30 = i = i 2 Forma expoecial de u úmero complejo Es posible mostrar, auque está fuera del alcace de este curso, que la fució expoecial real e x puede extederse razoablemete al caso de expoetes complejos. Para el caso de u expoete complejo imagiario puro, está dado ecesariamete por la siguiete fórmula, llamada fórmula de Euler Fórmula de Euler e iθ = cos θ + i se θ θεr De esta maera todo úmero complejo se puede represetar mediate z = r cos θ + i se θ = re iθ Esta expresió suele deomiarse forma expoecial de z. r es el módulo de z y θ el arg(z). Las propiedades aritméticas de la expoecial real e x, xεr se cumple para la expoecial 12

13 compleja e iθ θεr. Propiedades Sea dos úmeros complejos dados e forma expoecial z = re iθ, r > 0 y w = ρe iφ, ρ > 0 a. z = re iθ = r b. z = w re iθ = ρe iφ c. z = re iθ = re iθ = r 1 i θ+φ d. z w = rρe e. z = r ei θ φ w ρ e iθ r = ρ θ φ es u múltiplo de 2π Potecias de u úmero complejo Utilizado las propiedades de producto y cociete de úmeros complejos dados e forma expoecial, expresar la potecia eteras de u úmero complejo so fáciles de expresar e térmio del módulo y el argumeto. Si z = re iθ para = 1,2,3, teemos z 0 = 1 z 1 = z = re iθ z 2 = r 2 e i2θ z = r e iθ Estas expresioes so validas para expoetes egativos Fórmula de De Moivre Si z = r cos θ + i se θ = re iθ y es u etero, etoces z = r e iθ = r cos θ + i se θ La demostració de esta fórmula se basa e iducció matemática Ejemplos 13

14 1. calcular z 1 3, dode z 1 = 1 + i z 1 = 2 cos π 4 + i se π 4 = 2eiπ 4 Por la fórmula de De Moivre z 1 3 = 2e iπ 4 3 = 2 3 e i 3 4 π = 2 3 cos3 π 4 + i se 3 π 4 2. Evaluar 3 + i 6 Solució: r = = 2, ta θ = 1 3 y como 3, 1 está situado e el primer cuadrate, tomamos θ = π 6. Luego, por la fórmula de De Moivre 3 + i 6 = 2 6 e iπ 6 6 = 64e iπ = 64 cos π +se π = 64 Las potecias sucesivas de la uidad imagiaria so: i 0 = 1 i 4 = i 3 i = i. i = i 2 = 1 i 8 = i 7. i = 1 i 1 = i i = i 4. i = i i 2 = 1 i 6 = i. i = 1 i 3 = i 2 i = 1 i = i i 7 = i 6. i = i Podemos observar ua cierta regularidad si el expoete es múltiplo de 4. Si el expoete es de la forma 4k co k Z, se tiee i 4k = i 4 k = 1 k = 1. E geeral, Si el expoete de i es N, al efectuar la divisió por 4 se tiee que = 4q + r dode 0 r < 4. Por tato i 4q+r = i 4q i r = 1. i r = i r y el cálculo se reduce a ua de las cuatro potecias cosideradas e primer térmio. Ejemplo: Calcular a. i 12 i 12 = i 4 3 = 1 3 = 1 b. i 23 14

15 i 23 = i 4.+3 = i 4. i 3 = 1. i 3 = i Raíces de u úmero complejo Decimos que w es la raíz - ésima de u úmero complejo z si y solo si z = w w = z Veamos cuatas raíces -ésimas tiee u umero complejo. Sea w = ρe iφ y z = re iθ, segú la defiició dada deberá ser w = z ρ e iφ = re iθ De acuerdo a la igualdad de úmeros complejos dados e forma expoecial ρ = r φ = θ + 2kπ φ = ρ = r θ + 2kπ k = 0, ±1, ±2, Es decir w k = re iθ+2kπ = r cos θ+2kπ + i se θ+2kπ Al dar valores a k obteemos Para k = 0, w 0 = re iθ = r cos θ + i se θ Para k = 1, w 1 = re iθ+2π = r cos θ + 2π + i se θ + 2π Para k = 2, w 2 = re iθ+4π = r cos θ + 4π + i se θ + 4π 1 π iθ+2 Para k = 1, w 1 = re = r cos θ π + i se θ π Para k =, w = re iθ+2π = re iθ +2π = r cos θ + 2π + i se θ + 2π 1

16 Y esta última raíz es w 0. Por tato el úmero complejo tiee raíces -ésima (distitas) Represetació gráfica de las raíces Observamos que todas las raíces ésimas del úmero complejo z tiee el mismo módulo r los argumetos de dos raíces obteidas para k = p y k = p + 1 se diferecia e θ + 2 p + 1 π θ + 2pπ = 2π Por tato, los putos que represeta esas raíces so los vértices de u polígoo regular de lados iscrito e ua circuferecia co cetro e el orige de coordeadas y radio Ejemplo Ecuetre las raíces cubicas de z = i. Solució: r = 1 y θ = π, etoces i = cos π + i se π, luego por lo aterior r y 3 w k = 1 cos π 2 +2kπ 3 + i si π 2 +2kπ 3 co k = 0,1,2 Para k = 0 w 0 = cos π 6 + i si π 6 w 0 = i k = 1 w 1 = cos π π + i si π π = cos 6 π + i si 6 π w 1 = i k = 2 w 2 = cos π π + i si π π = cos 3 2 π + i si 3 2 π w 2 = i 16

17 Ejemplo Ecuetre 1 + i Solució: el módulo y el argumeto de z = 1 + i so 2 y θ = 4 respectivamete. Así que w k = 2 w 0 = 2 w 1 = 2 w 2 = 2 w 3 = 2 cos k cos 4 cos cos cos + i si k + i si i si + i si + i si 10 = co k = 0,1,2,3,4 cos 9 + i si = 2 10 = 2 10 = 2 cos 81 + i si 81 cos 13 + i si 13 cos 22 + i si 22 w 4 = 2 cos i si = 2 cos i si 297 Luego w 0 = ί w 3 = ί w 1 = ί w 4 = ί w 2 = ί 17

18 Al comiezo del capítulo vimos alguas ecuacioes de segudo grado que o tiee solució e los úmeros reales R, pero que tiee dos solucioes e el cojuto C de los úmeros complejos. E el cojuto C, se puede demostrar que toda ecuació de segudo grado tiee dos solucioes, toda ecuació de tercer grado tiee tres solucioes y, e geeral Toda ecuació de grado tiee solucioes. Este resultado es coocido como Teorema Fudametal del Algebra. Ejemplo x 3 1 = 0 Tiee a x = 1 como solució real. Luego se puede descompoer la ecuació e factores como x 1 x 2 + x + 1 = 0 Las solucioes de x 2 + x + 1 = 0 so x = i y x = i. E defiitiva la ecuació de tercer grado x 3 1 = 0 tiee tres solucioes complejas: 1 + 0i; i; i. 18