AN ALISIS MATEM ATICO B ASICO.
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- María Jesús Manuela Sosa Ferreyra
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1 AN ALISIS MATEM ATICO B ASICO. CRITERIOS DE CONVERGENCIA DE SERIES. E geeral, repetimos, o vamos a poder ecotrar la suma de ua serie covergete. Pero si su caracter, es decir si es covergete o o lo es. Para ello se tiee ua coleccio de criterios que vamos a presetar a cotiuacio. E geeral se basa e el criterio de comparacio de series que ya hemos visto. Esta comparacio solo se puede hacer co series del mismo sigo, por lo que la mayora de criterios que presetamos lo so para series de termios positivos. Proposicio.. Dada ua serie es covergete, etoces tambie lo es la primera serie a ; si la serie e valor absoluto a : ja j Demostracio: Cosideramos b = a si a 0 0 si a < 0 y c = 0 si a 0 a si a < 0 : Como b ja j y c ja j para todo 2 N; se tiee por comparacio que las series b b c para todo ; se tiee que y a = Deicio.. Dada ua serie c so ambas covergete. Ahora como a = (b c ) = b a se dice que a: coverge absolutamete si la serie e valor absoluto coverge (e.d. si la serie P ja j es covergete); b: es codicioaete covergete si la serie coverge, pero o lo hace e valor absoluto. c
2 2 C. RUIZ Procedimieto: Dada ua serie a ; primero la poemos e valor absoluto P ja j; a la serie P ja j le aplicamos los criterios de covergecia para series de termios positivos que veremos a cotiuacio; si la serie P ja j es covergete, tambie lo es la serie P a ; si la serie P ja j o es covergete, etoces aplicamos los criterios de covergecia para series alteradas a la serie P a ; Teorema.. (Criterio de Leibiz) Si (a ) es ua sucesio decreciete co! a = 0; etoces la serie alterada ( ) a es covergete. Demostracio: Cosideramos (s N = P N ( ) a )) N= sumas parciales. Etoces, usado que (a ) es decreciete, la sucesio de P 2N la subsucesio de termios pares (s 2N = a )) N= es decreciete, ya que s 2N s 2N + ( ) 2N+ a 2N+ + ( ) 2(N+) a 2(N+) = s 2(N+) ; P 2N+ la subsucesio de termios impares (s 2N+ = a )) N= es creciete, ya que s 2N+ s 2N+ + ( ) 2N+2 a 2N+2 + ( ) 2(N+)+ a 2(N+)+ = s 2(N+)+ ; s 2 s i siempre que i sea impar y s s j siempre que j sea par. De forma geeral, s i s j siempre que i sea impar y j par (ejercicio). Como la subsucesio (s 2N = P 2N a ) N= iferiormete por s tiee ite, pogamos 2NX a = : N! Como la subsucesio (s 2N+ = P 2N+ a ) N= es creciete y esta acotada superiormete por s 2 tiee ite, pogamos N! Es claro ademas que : Como X 2N+ a = : es decreciete y esta acotada 0 s 2N s 2N+ = a 2N+! N! = 0; se deduce que = y por tato la serie alterada es covergete a
3 Ejemplos.. covergete es P APUNTES MMI 3 El ejemplo tpico de serie alterada codicioaete ( ) : E valor absoluto es la serie armoica que o coverge. El criterio de Leibiz os dice que la serie coverge. ( ) Se cosidera la serie alterada : Por u lado ( + ) + Luego ( ) j ( + ) + j =! ( + ) = e 2 ( 3 ; 2 ): + ( + ) 3 + = : Es decir la serie o coverge absolutamete. Por otro lado ( + ) + = + ( + ) #! 0; ya que ambas sucesioes ( + ) y ( (+ ) so decrecicetes. ) Luego por el criterio de Leibiz la serie coverge y es por tato codicioaete covergete. Las series codicioaete covergetes puede teer propiedades sorpredetes como la siguiete debida a B. Riema. Observacio.. Dada ua serie codicioaete covergete P a y cualquier umero real 2 R; se puede ecotrar ua biyeccio : N! N; es decir ua reordeacio de los umeros aturales, de modo que a () = : Comecemos ahora co los criterios de covergecia para series de termios positivos. Daremos solo dos, auque hay muchos mas. Los siguietes so los que mas aplicacioes tiee, sobre todo el Criterio del Cociete que veremos e segudo lugar. Teorema. 2. (Criterio de Comparacio por Cociete). Sea P a y P b dos series de termios positivos de modo que existe etoces a = c 6= 0;! b si ua serie coverge la otra tambie; equivaletemete, si ua serie diverge la otra tambie.
4 4 C. RUIZ Demostracio: Como a ; b 0; se tiee que c > 0: Tomemos 0 < < c 2 ; y recordado la deicio de ite de ua sucesio, existe u 0 2 N de modo que para todo 0 se tiee que y por tato Luego j a b cj <, c < a b < c + c 2 b a 3c 2 b para todo 0 : c b a 3c 2 2 Ahora es claro que si ua serie coverge, como acota a la otra salvo ua costate, esta otra tambie coverge Ejemplo.. Se cosidera la serie 2 : Esta serie es de termios P + positivos y se parece a la serie 2 : Ahora! =! 2 b : 2 + = : Luego como la serie P 2 es covergete, el criterio de comparacio por cociete os dice que uestra serie tambie lo es. Teorema. 3. (Criterio del Cociete). Sea P a ua serie de termios positivos de modo que existe Etoces a + = :! a si < la serie es covergete; si > la serie es divergete; si = el criterio o decide, es decir la serie e cuestio puede coverger o o. Observemos que este criterio es itriseco a la serie, o ecesitamos de otras para compararla. Demostracio: Veamos el primer caso, el otro es aalogo auque la cosecuecia es la cotraria. Si < ; podemos ecotar < r < y u 0 2 N de modo que para todo 0 se tiee que a + a < r ) a + < ra :
5 APUNTES MMI 5 As para todo 0 teemos que Y por tato NX a < ra < r 2 a 2 < : : : < r 0 a 0 : NX a r 0 a 0 = = 0 = 0 N X 0 k=0 r k a 0 a 0 X k=0 r k = a 0 r ; dode hemos usado P la suma de la serie geometrica e la ultima igualdad. Como la serie a es de termios positivos y sus sumas parciales esta acotadas, cocluimos que la serie coverge Ejemplos (2 + ) ; la podemos es cribir como La serie 3 5 (2 + ) = Aplicado el Criterio del Cociete! 3 5 (2+) (2+3) 3 + (+)! 3 5 (2+) 3! 3 5 (2 + ) (2 + 3) =! 3 + ( + ) = 2 3 < ; vemos que la serie coverge. La serie P a a ; para cierto a > 0 va coverger o o depediedo del valor de a: Aplicaco el Criterio del Cociete a + ( + ) a! a a =! a( + )a = a: Si a < la serie coverge. Si a > la serie diverge. Y si a = ; e este caso la serie queda luego la serie diverge. = ; La serie armoica es divergete y se tiee que! + =! + = : La serie es covergete y se tiee que 2! (+) =! ( + ) 2 = : :
6 6 C. RUIZ Los dos ejemplos ateriores muestra que cuado = ; el Criterio del Cociete o adivia el caracter de la serie e cuestio. Existe muchos mas criterios de covergecia, pero co los que teemos se puede hacer muchas cosas. E el Tema de la Itegral, veremos el Criterio de la Itergral, secillo P y util que os permite, etre otras cosas, asegurar que las series del tipo so covergetes si p > : p Apedice: Teorema. 4. ( Criterio de la Itegral) Dada ua fucio f R : (0; )! R; de modo que f 0; es decreciete y P tal que existe la itegral 0 f (x)dx; etoces la serie de termios positivos f () es covergete. Demostracio: (Ver Itegrales Impropias: Aplicacioes. ) Referecias Departameto de Aalisis Matematico, Facultad de Matematicas, Uiversidad Complutese, Madrid, Spai address : Cesar Ruiz@mat.ucm.es
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5.4 Covergecia de ua serie de Fourier 8 5.4 Covergecia de ua serie de Fourier Teorema de covergecia de las series de fourier Ua serie de Fourier es ua fució ( ) f x cotiua e [, ] α β la cual puede presetar
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