Podemos pues formular los dos problemas anteriores en términos de matrices.

Transcripción

1 Tema 5 Diagonalización 51 Introducción Valores y vectores propios 511 Planteamiento del problema Problema general de diagonalización Dado un operador lineal f sobre un espacio vectorial V de dimensión n, nos planteamos el problema de cuándo es posible encontrar una base de V respecto de la cuál la matriz de f sea diagonal Si A es la matriz del operador f con respecto a una determinada base entonces el planteamiento anterior es equivalente a preguntarse cuándo existe un cambio de base tal que la matriz del operador en la nueva base sea diagonal Esa nueva matriz sabemos que viene dada por P 1 AP, donde P es la matriz de paso de la nueva base a la anterior (Teorema de Semejanza) Problema de la diagonalización ortogonal Dado un operador lineal f sobre un espacio vectorial V con producto interior y de dimensión n, nos planteamos el problema de cuándo es posible encontrar una base ortonormal de V respecto de la cuál la matriz de f sea diagonal Si V es un espacio con producto interior y las bases son ortonormales entonces se tendrá que P será ortogonal Podemos pues formular los dos problemas anteriores en términos de matrices Problema 1 Dada una matriz cuadrada A, existe una matriz P inversible tal que P 1 AP sea diagonal? Problema 2 Dada una matriz cuadrada A, existe una matriz ortogonal P tal que P t AP sea diagonal? Definición 51 Se dice que una matriz A cuadrada es diagonalizable si existe una matriz P inversible tal que P 1 AP es diagonal En ese caso se dice que P diagonaliza a la matriz A Si existe una matriz ortogonal P tal que P 1 AP es diagonal, entonces se dice que A es diagonalizable ortogonalmente y que P diagonaliza ortogonalmente a A 512 Diagonalización Valores y vectores propios Supongamos que la matriz A n n es diagonalizable, es decir que existe P inversible tal que P 1 AP = D, con D diagonal Esto es equivalente a que exista P inversible tal que AP = P D para cierta matriz D diagonal, luego p 11 p 12 p 1n λ λ 1 p 11 λ 2 p 12 λ n p 1n p 21 p 22 p 2n 0 λ 2 0 AP = P D = = λ 1 p 21 λ 2 p 22 λ n p 2n p n1 p n2 p nn 0 0 λ n λ 1 p n1 λ 2 p n2 λ n p nn Álgebra Lineal 57

2 51 Introducción Valores y vectores propios Si llamamos p 1, p 2,, p n a los vectores columnas de P, como las columnas de la matriz AP y las correspondientes de la matriz P D han de coincidir, lo anterior puede escribirse de la forma Ap 1 = λ 1 p 1, Ap 2 = λ 2 p 2,, Ap n = λ n p n, es decir, han de existir n vectores p i y n números reales λ i tales que Ap i = λ i p i, para los i = 1,, n Como la matriz P es inversible, los vectores p i son distintos del 0 y linealmente independientes Definición 52 Si A es una matriz cuadrada de orden n, diremos que λ es un valor propio, valor característico o autovalor de A si existe un p IR n, p 0, tal que Ap = λp Del vector p diremos que es un vector propio, vector característico o autovector de A correspondiente al valor propio λ Teorema 53 Si A es una matriz de orden n, las siguientes proposiciones son equivalentes: a) λ es un valor propio de A b) El sistema de ecuaciones (λi A)x = 0 tiene soluciones distintas de la trivial c) det(λi A) = 0 λ es un valor propio de A existe un vector x IR n diferente de cero, tal que Ax = λx el sistema (λi A)x = 0 tiene soluciones distintas de la trivial λi A = 0 Al polinomio en λ, P(λ) = λi A, se le denomina polinomio característico de la matriz A, y a la ecuación P(λ) = λi A = 0 ecuación característica de A Definición 54 Sea A una matriz de orden n y λ un valor propio de A, al espacio de las soluciones del sistema (λi A)x = 0 se le denomina espacio característico de A correspondiente al valor propio λ y lo denotaremos por V (λ) Observación: Si λ es un valor propio de A, V (λ) = {x : (λi A)x = 0} = {0} y por tanto dim V (λ) 1 En el estudio sobre la diagonalización realizado hasta ahora, hemos buscado la diagonalización de matrices, separándolas del operador lineal que aparece en el planteamiento inicial del problema Lo que hemos encontrado hasta ahora es reutilizable también para el estudio de ese operador? En efecto: Definición 55 Sea f: V V un operador lineal, diremos que un escalar λ es un valor propio de f si existe un vector v V, diferente de cero, tal que f(v) = λv Al vector v se lo denomina vector propio de f correspondiente a λ Teorema 56 Los vectores propios de f correspondientes al valor propio λ son los vectores, distintos de cero, del núcleo de la aplicación λi d f (denotaremos por I d la aplicación identidad) Si v un vector propio correspondiente a λ, entonces f(v) = λv = f(v) λv = 0 = v ker(λi d f) Por otra parte si v 0 pertenece al ker(λi d f) se tiene que (λi d f)v = 0 = λv f(v) = 0 = f(v) = λv, luego v es un vector propio de f correspondiente a λ Observación: Este núcleo se denominará, espacio característico de f correspondiente al valor propio λ Álgebra Lineal 58

3 52 Diagonalización Teorema 57 Sean V un espacio vectorial de dimensión n, f: V V un operador lineal y A la matriz de f con respecto a una base B = {v 1, v 2,, v n } Entonces: a) Los valores propios de f son los valores propios de A b) Un vector v V es un vector propio de f correspondiente al valor propio λ si y sólo si su matriz de coordenadas [v] B es un vector propio de A correspondiente a λ a) Sea λ un valor propio de f, es decir, v V, distinto de 0, tal que f(v) = λv = [f(v)] B = [λv] B = A[v] B = λ[v] B, luego λ es un valor propio de A al ser [v] B 0 Sea λ un valor propio de A, entonces x IR n, x 0 tal que Ax = λx Si tomamos x = x 1 v x n v n, siendo x = (x 1,, x n ), lo anterior quiere decir que A[x ] B = λ[x ] B [f(x )] B = [λx ] B f(x ) = λx y λ es un valor propio de f ya que x 0 b) v es un vector propio de f correspondiente a λ si y sólo si f(v) = λv [f(v)] B = [λv] B A[v] B = λ[v] B si y sólo si [v] B es un vector propio de A correspondiente a λ A la vista de este resultado y siempre que trabajemos en términos de valores y vectores propios, el problema de encontrar una base del espacio en la cual la matriz asociada al operador sea diagonal, se reduce al estudio de la diagonalización de las matrices 52 Diagonalización Teorema 58 Si A es una matriz de orden n, son equivalentes: a) A es diagonalizable b) A tiene n vectores propios linealmente independientes a) b) Lo hemos probado en los comentarios anteriores b) a) Sean los n vectores p 1, p 2,, p n vectores propios linealmente independientes de A correspondientes a los valores propios λ 1, λ 2,, λ n Consideremos la matriz p 11 p 12 p 1n p 21 p 22 p 2n P = p n1 p n2 p nn que tiene por vectores columna los p 1, p 2,, p n Las columnas de la matriz producto AP son Ap 1, Ap 2,, Ap n y los p i son vectores propios, luego Ap 1 = λ 1 p 1,, Ap n = λ n p n, por lo que: λ 1 p 11 λ 2 p 12 λ n p 1n p 11 p 12 p 1n λ λ 1 p 21 λ 2 p 22 λ n p 2n AP = = p 21 p 22 p 2n 0 λ 2 0 = P D λ 1 p n1 λ 2 p n2 λ n p nn p n1 p n2 p nn 0 0 λ n donde D es la matriz diagonal que tiene como elementos en la diagonal principal a los valores propios λ 1, λ 2,, λ n Dado que los vectores columnas de P son linealmente independientes, P es inversible y por tanto se tiene que D = P 1 AP, es decir, A es diagonalizable Álgebra Lineal 59

4 52 Diagonalización Proposición 59 Sea f : V V un operador lineal, siendo V un espacio vectorial de dimensión n Entonces, existe una base de V con respecto a la cual la matriz de f es diagonal si y sólo si f tiene n vectores propios linealmente independientes Teorema 510 Sean v 1, v 2,, v k vectores propios de una matriz A asociados a los valores propios λ 1, λ 2,, λ k respectivamente, siendo λ i λ j, i, j = 1, 2,, k, con i j Entonces el conjunto de vectores {v 1, v 2,, v k } es linealmente independiente Supongamos que v 1, v 2,, v k son linealmente dependientes Por definición, un vector propio es distinto de cero, luego el conjunto {v 1 } es linealmente independiente Sea r el máximo entero tal que {v 1, v 2,, v r } es linealmente independiente Puesto que hemos supuesto que {v 1, v 2,, v k } es linealmente dependiente, r satisface que 1 r < k Además, por la manera en que se definió r, {v 1, v 2,, v r, v r+1 } es linealmente dependiente Por tanto, existen escalares c 1, c 2,, c r+1, al menos uno diferente de cero, tales que c 1 v 1 + c 2 v c r+1 v r+1 = 0 51 Multiplicando en ambos lados de la igualdad por A y haciendo las sustituciones Av 1 = λ 1 v 1, Av 2 = λ 2 v 2,, Av r+1 = λ r+1 v r+1 se obtiene c 1 λ 1 v 1 + c 2 λ 2 v c r λ r v r + c r+1 λ r+1 v r+1 = 0 52 Multiplicando los dos lados de (51) por λ r+1 y restándole a (52) la ecuación resultante se obtendrá c 1 (λ 1 λ r+1 )v 1 + c 2 (λ 2 λ r+1 )v c r (λ r λ r+1 )v r = 0 Y dado que los vectores v 1, v 2,, v r son linealmente independientes, necesariamente c 1 1(λ 1 λ r+1 ) = c 2 (λ 2 λ r+1 ) = = c r (λ r λ r+1 ) = 0 Como los λ 1, λ 2,, λ r+1 son distintos entre si, se deduce que c 1 = c 2 = = c r = 0 Sustituyendo estos valores en (51) resulta que c r+1 v r+1 = 0, y como v r+1 0 se deduce que c r+1 = 0, lo que contradice el hecho de que al menos uno de los escalares c 1, c 2,, c r+1 debía de ser distinto de cero Luego no se puede suponer que v 1, v 2,, v k sean linealmente dependientes y tenemos probado el teorema Corolario 511 Si una matriz A de orden n tiene n valores propios distintos, entonces A es diagonalizable Proposición 512 Sea A una matriz de orden n y λ i un valor propio de A de multiplicidad n i, si V (λ i ) es el espacio característico correspondiente al valor propio λ i Entonces 1 dim V (λ i ) n i Evidentemente dim V (λ i ) 1, como ya observamos en la definición 54 Supongamos entonces que dim V (λ i ) = d, y consideremos el operador lineal f : IR n IR n definido por f(v) = Av Sea {v 1,, v d } una base del espacio característico V (λ i ), que podemos completar hasta obtener una base de IR n, {v 1,, v d, v d+1,, v n } En dicha base, la matriz del operador será de la forma λ i λ i 0 A = B 0 0 λ i 0 B Álgebra Lineal 60

5 53 Diagonalización ortogonal Como A y A son matrices semejantes tienen el mismo polinomio característico, es decir, λi A = λi A = (λ λ i ) d λi B, de donde se obtiene que d n i Teorema fundamental de la diagonalización 513 Sea A una matriz de orden n Entonces A es diagonalizable si y sólo si se cumplen las condiciones: a) Las n raices de la ecuación característica de A son todas reales Es decir, λi A = (λ λ 1 ) n1 (λ λ m ) n m con n 1 + n n m = n b) Si V (λ i ) es el espacio característico de A correspondiente a λ i, 1 i m, y n i es la multiplicidad de λ i en la ecuación característica de A, entonces dim V (λ i ) = n i Si A es diagonalizable, existe una matriz P inversible tal que P 1 AP = D (diagonal), es decir, A y D son matrices semejantes y por tanto poseen el mismo polinomio característico, luego λi A = λi D = (λ λ 1 ) n1 (λ λ m ) nm siendo λ i IR un valor de la diagonal de D repetido n i veces Luego, por ser D de orden n se verificará que n 1 + n n m = n, es decir, que las n raices son reales Además, por ser A y D matrices semejantes, también lo son λi A y λi D para todo λ IR, ya que λi D = λp 1 P P 1 AP = P 1 (λi A)P, λ IR De donde se deduce que rg(λi A) = rg(λi D), λ IR Ahora bien, si hacemos λ = λ i, i/1 i m, entonces rg(λ i I A) = rg(λ i I D) = n n i dim V (λ i ) = n i, i = 1, 2,, m, lo que prueba b) Si λi A = (λ λ 1 ) n1 (λ λ m ) n m, con n 1 + n n m = n, y dim V (λ i ) = n i para todo i = 1, 2,, m, consideremos en cada V (λ i ) una base B i, de la forma B 1 = {p 1,, p n1 }, B 2 = {p n1+1,, p n1+n 2 },, B m = {p n1+n 2+ +n m 1+1,, p n1+n 2+ +n m } Tomemos entonces B = B 1 B 2 B m, un conjunto de n vectores propios de A, si vemos que son linealmente independientes, tendremos que A es diagonalizable Planteemos una combinación lineal igualada a cero: (β 1 1p β 1 n 1 p n1 ) + (β 2 1p n β 2 n 2 p n1 +n 2 )+ + + (β m 1 p n1 + +n m β m n m p n1 + +n m ) = 0 Llamemos v 1 al primer vector situado entre paréntesis, v 2 al segundo vector situado entre paréntesis, etc Los vectores v 1, v 2,, v m son vectores del espacio característico correspondientes, respectivamente, a los valores propios distintos λ 1, λ 2,, λ m y por tanto, si no son cero, son linealmente independientes Pero la combinación lineal v 1 + v v m = 0 nos indicaría que son dependientes, luego la única forma de eliminar esa contradicción es que v i = 0, i = 1, 2,, m, lo cual nos llevará por otra parte a que βj i = 0 i, j, con lo cual se obtiene que B es linealmente independiente 53 Diagonalización ortogonal Teorema 514 Sea A una matriz de orden n, entonces son equivalentes: a) A es diagonalizable ortogonalmente b) A tiene un conjunto de n vectores propios ortonormales Álgebra Lineal 61

6 54 Ejercicios En efecto, A es diagonalizable ortogonalmente existe P ortogonal tal que P t AP = D (con D diagonal) existe P ortogonal tal que AP = P D Si llamamos p 1, p 2,, p n a los vectores columnas de P, éstos vectores son ortonormales y lo anterior es lo mismo que escribir Ap 1 = λ 1 p 1,, Ap n = λ n p n, supuesto que D = λ λ 2 0, y como al ser P inversible se tiene que p 1, p 2,, p n son linealmente independientes y por tanto no nulos A tiene n vectores propios 0 0 λ n ortonormales Teorema fundamental de la diagonalización ortogonal 515 Una matriz A de orden n es diagonalizable ortogonalmente si y sólo si A es simétrica Teorema 516 Si A es una matriz simétrica, entonces los vectores propios que pertenecen a valores propios distintos son ortogonales Sean λ 1 y λ 2 valores propios distintos de una matriz simétrica A y sean u y v vectores propios correspondientes a λ 1 y λ 2 respectivamente Tenemos que probar que u t v = 0 (Notar que u t Av es un escalar) Se tiene que u t Av = (u t Av) t = v t Au = v t λ 1 u = λ 1 v t u = λ 1 u t v, y por otra parte que u t Av = u t λ 2 v = λ 2 u t v, por tanto λ 1 u t v = λ 2 u t v (λ 1 λ 2 )u t v = 0 y como λ 1 λ 2 0, entonces u t v = 0 54 Ejercicios 51 Hallar las ecuaciones características, los valores propios y bases de los espacios característicos de las siguientes matrices: ( ) a) b) c) Sea T : M 2 2 M 2 2 el operador ( lineal) definido ( por: ) a b 2c a + c T = c d b 2c d Hallar los valores propios de T y bases para los subespacios característicos de T 53 Demostrar que λ = 0 es un valor propio de una matriz A si y sólo si A es no inversible 54 Probar que el término constante del polinomio característico P (λ) = λi A de una matriz A de orden n es ( 1) n det(a) 55 Demostrar que si λ es un valor propio de A entonces λ 2 es un valor propio de A 2 Demostrar por inducción que, en general, λ n es un valor propio de A n, n IN 56 Estudiar si son o no diagonalizables las siguientes matrices y en caso de que lo sean hallar una matriz P tal que P 1 AP = D con D matriz diagonal: ( ) a) b) c) Álgebra Lineal 62

7 54 Ejercicios 57 Sea T : IR 3 IR 3 el operador lineal T x 1 x 2 x 3 = de IR 3 respecto de la cual la matriz de T sea diagonal 2x 1 x 2 x 3 x 1 x 3 x 1 + x 2 + 2x 3 Hallar una base 58 Sea P 1 (x) el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual a 1 Sea T : P 1 (x) P 1 (x) el operador lineal T (a 0 +a 1 x) = a 0 +(6a 0 a 1 )x Hallar una base de P 1 (x) respecto de la cual la matriz de T sea diagonal 59 Sea A una matriz de orden n y P una matriz inversible de orden n Demostrar por inducción que (P 1 AP ) k = P 1 A k P, k IN ( ) Calcular A 40 siendo A = Estudiar la diagonalizabilidad de la matriz A, dada en función de los parámetros a y b, siendo A = 0 1 a En los casos posibles diagonalizarla 3 0 b 512 Sea A una matriz de orden 2 tal que A 2 = I Probar que A es diagonalizable 513 Hallar una matriz P que diagonalice ortogonalmente a A y calcular P 1 AP para cada una de las siguientes matrices: ( ) a) b) c) a) Demostrar que si D es una matriz diagonal con elementos no negativos entonces existe una matriz S tal que S 2 = D b) Demostrar que si A es una matriz diagonalizable con valores propios no negativos entonces existe una matriz S tal que S 2 = A 515 Probar que A y A t tienen los mismos valores propios siendo A una matriz de orden n 516 Sea A una matriz de orden n y P (λ) = λi A Probar que el coeficiente de λ n 1 en P (λ) es el opuesto de la traza de A 517 Sea A una matriz de orden n inversible, demostrar que los valores propios de A 1 son los inversos de los valores propios de A 518 Sea A una matriz de orden n ortogonal, probar que todos los valores propios de A son uno o menos uno 519 Se sabe que (1, 0, 0), (1, 1, 0), (0, 1, 0) y (0, 0, 1) son vectores propios de una matriz de orden 3 y que hay vectores de IR 3 que no lo son Calcular todos los vectores propios de la matriz { un = 3u 520 Se dan las siguientes ecuaciones de recurrencia: n 1 + 3v n 1 Utilizar la diagonalización para calcular u n y v n en función de n, sabiendo que u 0 = v 0 = v n = 5u n 1 + v n Los dos primeros términos de una sucesión son a 0 = 0 y a 1 = 1 Los términos siguientes se generan a partir de a k = 2a k 1 + a k 2 ; k 2 Hallar a 127 Álgebra Lineal 63

8 54 Ejercicios 522 El propietario de una granja para la cría de conejos observó en la reproducción de éstos que: i) Cada pareja adulta (con capacidad reproductora) tiene una pareja de conejos cada mes ii) Una pareja recién nacida tarda dos meses en tener la primera descendencia Si partimos de una pareja adulta y siendo a n el número de parejas nacidas en el n-ésimo mes (a 0 = 0), se pide: a) Obtener una fórmula recurrente para a n en función de términos anteriores b) Probar que a n = (1 + 5) n (1 5) n c) Calcular, si existe: lim n 2 n 5 a n+1 a n 523 Sea el determinante n n siguiente: D n = Dar una expresión de D n en función de los determinantes de tamaño menor que n y obtener las ecuaciones de recurrencia para hallar su valor 524 Determinar para qué valores de a, b y c son diagonalizables simultáneamente las matrices 1 a b 1 a b A = 0 2 c y B = 0 1 c Estudiar para qué valores de a, b y c es diagonalizable la matriz A = 526 Dada la matriz A = es diagonalizable a a 0 a a 0 b 0 2b c 2a 0 b 0 a 0 2b c Estudiar para qué valores de a y b la matriz A 527 Sea f: IR 3 IR 3 el operador lineal cuya matriz asociada a la base canónica es: m 0 0 A = 0 m 1 1 n m a) Determinar para qué valores de m y n existe una base de IR 3 de tal forma que la matriz en esa base sea diagonal En los casos que f sea diagonalizable calcular una base en la cuál la matriz de f sea diagonal b) Si n = 0, observando la matriz A y sin hacer ningún cálculo, determinar un valor propio y un vector propio asociado a dicho valor propio, razonando la respuesta Álgebra Lineal 64

9 54 Ejercicios 528 Dada la matriz A = a b d 1 1 c e f 1 Encontrar para qué valores de los parámetros a, b, c, d, e, f IR la matriz A es diagonalizable Para dichos valores encontrar las matrices P y D tales que P 1 AP = D, donde D es una matriz diagonal 529 En IR 4 consideramos el subconjunto: S = {(x 1, x 2, x 3, x 4 ) / x 2 x 4 = 0} Sea T : IR 4 IR 4 el operador lineal que verifica: es el conjunto de vec- i) ker(t ) = {x IR 4 / < x, y >= 0, y S} ii) T (1, 0, 0, 0) = ( 1, 3, 1, 2) iii) T (1, 1, 1, 1) = ( 3, m, n, p) { x1 + x iv) El subespacio solución del sistema: 2 + x 3 + x 4 = 0 x 2 + 2x 3 + 2x 4 = 0 tores propios correspondientes a un mismo valor propio de T Se pide: a) Probar que S es un subespacio vectorial de IR 4 b) Hallar ker(t ) c) Encontrar una base para el subespacio de vectores propios de la propiedad (iv) d) La matriz estándar de T 530 Sean f : IR 4 IR 4 un operador lineal, y B = {e 1, e 2, e 3, e 4 } la base canónica de IR 4, verificando lo siguiente: i) f(e 1 ) H = {x IR 4 / x 2 = 0} ii) f(e 2 ) S = {x IR 4 / x 2 = 1 y x 4 = 0} iii) f(e 3 ) = (α, β, 1, 2); f(e 4 ) = (1, 0, 2, γ) iv) ker f es el conjunto de soluciones del sistema: 2x 1 + x 2 + 2x 3 2x 4 = 0 3x 1 + 3x 2 + x 3 + x 4 = 0 x 1 x 2 x 3 + 3x 4 = 0 v) Las ecuaciones implícitas de la imagen de f son y 1 2y 3 y 4 = 0 vi) El operador f es diagonalizable Hallar la matriz estándar de f Álgebra Lineal 65