Intervalos de Confianza

Transcripción

1 Itervalos de Cofiaza 1.- Se quiere estudiar la vida útil de uas uevas pilas que se va a lazar al mercado. Para ello se examia la duració de 40 de ellas, resultado ua media de 63 horas. Supoiedo que el tiempo de vida de las pilas sigue ua distribució ormal, y que la variaza se puede tomar la misma que las fabricadas ateriormete que era 38,44, se pide: a) Itervalo de cofiaza del 95% de la duració media de las uevas pilas. b) Itervalo de cofiaza del 99% de la duració media de las uevas pilas. c) Tamaño de la muestra ecesario para que co ua cofiaza del 95%, la duració media estimada o difiera de la real e más de ua hora..- Durate 15 días se estudió el úmero de alumos que pasaba por el almacé de la Escuela, obteiédose los siguietes resultados: 70, 78, 71, 6, 78, 67, 64, 76, 73, 65, 58, 7, 74, 67, 75 Supoiedo Normalidad de la distribució, calcular: Itervalo de cofiaza del 95% del úmero medio de usuarios del almacé. 3.- Para estudiar el úmero de pulsacioes por miuto de persoas etre 0 y 30 años, se elige 400 al azar, obteiédose ua media de 75 por miuto y ua desviació típica de 9. Calcular: a) Itervalo de cofiaza del 95% del úmero medio de pulsacioes por miuto e dicha població. b) Tamaño de la muestra ecesario para obteer el itervalo de cofiaza de la misma amplitud que el aterior y co ivel de cofiaza del 99%. 4.- Ua agecia de alquiler de automóviles ecesita estimar el úmero medio de kilómetros diarios que realizas su flota de automóviles; toma los recorridos de 100 vehículos y obtiee ua media de 165 km/día y ua variaza muestral de 36 km/día. Se pide: a) Itervalo de cofiaza para la media al 95% b) Itervalo de cofiaza para la variaza al 95% 5.- Si el coeficiete medio de iteligecia de la població uiversitaria de la U.P.M. es µ = 95 y =14, y se extrae ua muestra de 49 estudiates de esa població. a) Qué probabilidad hay de que resulte ua media muestral igual o iferior a 9? b) Hallar u Itervalo de cofiaza al 95% para la media de la població uiversitaria, para la muestra de media 9. c) Podemos aceptar la hipótesis de ser la media µ = 95? Uidad Docete de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. de la U.P.M. 1

2 Itervalos de Cofiaza 6.- Se desea estudiar el gasto semaal e euros, de los estudiates de Madrid. Para ello se ha elegido ua muestra aleatoria de 9 de estos estudiates: Se supoe que la variable aleatoria sigue ua distribució ormal de desviació típica coocida e igual a 1. Determiar u Itervalo de cofiaza al 95% para la media del gasto semaal por estudiate. 7.- Se realiza ua ecuesta sobre el ivel de coocimietos geerales de los estudiates de bachillerato de los diferetes cetros de Madrid. Para ello se ha elegido ua muestra aleatoria de 9 de estos estudiates a los que se ha realizado el exame. Las calificacioes obteidas ha sido las siguietes: 7,8 6,5 5,4 7,1 5 8,3 5,6 6,6 6, Se supoe que la variable aleatoria sigue ua distribució ormal de desviació típica coocida e igual a 1. Se pide: a) U Itervalo de cofiaza al 98% para la media de las calificacioes e el exame. b) El tamaño míimo que debería teer la muestra e el caso de admitir u error máximo de 0,5 putos co u ivel de cofiaza del 95%. 8.- Se ha tomado ua muestra de tamaño 10 del tiempo T, e miutos, etre el paso de dos autobuses e ua parada, co los siguietes resultados 9, 10, 6, 4, 15, 6, 1, 5, 4, 10. Si la fució de distribució del tiempo es: F(t) = 1 e λt a) Estimar, por máxima verosimilitud el valor de λ. b) Calcular la probabilidad estimada de esperar al autobús más de 10 miutos. 9.- Se ha escogido al azar 15 probetas de u determiado acero, cuya resistecia a la compresió se supoe que se distribuye ormalmete, y se ha medido ésta e las uidades adecuadas, habiédose observado los siguietes resultados: 40,15 65,10 49,5,4 38, 60,4 43,4 6,35 31, 55,6 47,5 73, 35,9 49,5 5,4 a) Estimar la resistecia media del acero y su variaza, utilizado estimadores cetrados. b) Hallar u Itervalo de cofiaza del 99% para la resistecia media. c) Hallar u Itervalo de cofiaza del 99% para la variaza La altura de los idividuos de ua població sigue ua distribució ormal, de media µ y desviació típica 0,075. Si e ua muestra aleatoria simple de tamaño 1 de dicha població se obtuvo ua media muestral de 1,75. Se pide: a) Determiar u Itervalo de cofiaza para µ co u ivel de cofiaza del 95%. b) Qué tamaño muestral sería ecesario para que el itervalo de cofiaza del mismo ivel tuviese logitud meor que 0,01? Uidad Docete de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. de la U.P.M.

3 Itervalos de Cofiaza 11.- Supuesto que ua població se compoe de cico valores:, 3, 6, 8, 11. Cosidérese todas las muestras posibles de tamaño dos que pueda extraerse co reemplazamieto de esta població. Se pide: a) La media y desviació típica de la població. b) La distribució de la media muestral. c) La media y la desviació típica de la distribució de la media muestral. d) Calcular u Itervalo de cofiaza al 80% para la media de la població si se obtiee muestras de tamaño Las edades e que se produce la muerte, para ua muestra aleatoria de 19 idividuos fallecidos por ua determiada edad da ua media de 50 años. Supoiedo ormal la distribució, hallar u Itervalo de cofiaza para la media al 99% supoiedo coocido el valor de la variaza de la població = Se quiere estudiar la vida útil de uas baterías para móviles. Si admitimos que la variaza de la distribució ormal de la vida de las baterías es igual a 1,44, qué tamaño muestral deberíamos utilizar para que la amplitud del Itervalo de cofiaza para la media del 95% o sea superior al 0,4? 14.- Supoiedo que la producció de trigo por hectárea es ua variable aleatoria co distribució ormal, sabiedo que e 5 ficas elegidas al azar se produjero de media 300 kg por ha, y la desviació típica fue de 40 kg por ha, calcular: a) Itervalo de cofiaza al 95% de la producció media de trigo por ha. b) Itervalo de cofiaza al 95% de la variaza Se ha recogido firmas para ua petició, e cada hoja cabe 4 firmas, pero existe hojas que o está firmadas totalmete. Para ua muestra de 50 hojas se tiee 1471 los resultados x = y S = 9. Se pide dar u itervalo de cofiaza para la 50 media al 80% Sea X la v. a. úmero de errores al realizar ua ivelació. Se estudia 40 ivelacioes escogidas al azar. Los resultados so: X = 18.5 y S = 4. Se pide: a) Itervalo de cofiaza del 95% para la media. b) Itervalo de cofiaza para la variaza co u ivel de sigificació de α= Se ha realizado 15 medicioes de ua misma magitud, se supoe que se distribuye ormalmete, habiédose observado los siguietes resultados: 40,15 40,10 40,5 40,4 40, 40,4 40,4 40,35 40, 40,6 40,5 40, 40,9 40,5 40,4 a) Hallar u Itervalo de cofiaza del 99% para la variaza. b) Cuátas medicioes debería haberse utilizado si se requiere ua precisió e la media de ±0,1 y ua cofiaza del 95%? Uidad Docete de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. de la U.P.M. 3

4 Itervalos de Cofiaza Uidad Docete de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. de la U.P.M. 4

5 Itervalos de Cofiaza 1.- Se quiere estudiar la vida útil de uas uevas pilas que se va a lazar al mercado. Para ello se examia la duració de 40 de ellas, resultado ua media de 63 horas. Supoiedo que el tiempo de vida de las pilas sigue ua distribució ormal, y que la variaza se puede tomar la misma que las fabricadas ateriormete que era 38,44, se pide: a) Itervalo de cofiaza del 95% de la duració media de las uevas pilas. b) Itervalo de cofiaza del 99% de la duració media de las uevas pilas. c) Tamaño de la muestra ecesario para que co ua cofiaza del 95%, la duració media estimada o difiera de la real e más de ua hora. Solució: N µ,38.44 La duració de las pilas sigue ua distribució ( ) El itervalo de cofiaza para ua població ormal de variaza coocida es: X± z 1 α / a) Para uestros datos: X = 63; = = 6.; = 40; α= 0.05 Teemos X µ Z = N(0,1) ( ) ( ) P z < Z < z = 1 α= = 0.95 F(z ) = P Z < z = α/ 1 α/ 1 α/ 1 α/ #1: NSOLVE(NORMAL(z) = 0.975, z, Real) #: z = EXCEL: =DISTR.NORM.INV(0,975;0;1) 1, O directamete =INTERVALO.CONFIANZA(0,05;6,;40) 1, X ± z1 α/ = 63± 1, SPSS: IDF. NORMAL(0.975, 0,1) 1, Iα= 0.05 = , = ( 61.08,64.9 ) b) Cambia el ivel de cofiaza x = 63; = = 6.; = 40; α= 0.01 X µ Teemos Z = N(0,1) P( z1 α/ < Z < z1 α/) = 1 α= = 0.99 F(z 1 α/) = P( Z < z1 α/) = #1: NSOLVE(NORMAL(z) = 0.995, z, Real) #: z = Uidad Docete de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. de la U.P.M. 5

6 Itervalos de Cofiaza EXCEL: =DISTR.NORM.INV(0,995;0;1), O directamete =INTERVALO.CONFIANZA(0,01;6,;40), X ± z1 α/ = 63 ± SPSS: IDF. NORMAL(0.995, 0,1), Iα= 0.01 = 63.58, = ( 60.47,65.53 ) c) Para que la duració estimada o difiera de la real e más de ua hora, se tiee que: z1 α/ = 1 = ( z1 α/ ) = ( 1,96 6, ) = 147, 67 Por lo que el tamaño de la muestra será de 148 pilas. Uidad Docete de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. de la U.P.M. 6

7 Itervalos de Cofiaza.- Durate 15 días se estudió el úmero de alumos que pasaba por el almacé de la Escuela, obteiédose los siguietes resultados: 70, 78, 71, 6, 78, 67, 64, 76, 73, 65, 58, 7, 74, 67, 75 Supoiedo Normalidad de la distribució, calcular: itervalo de cofiaza del 95% del úmero medio de usuarios del almacé. Solució: Calculamos los parámetros estadísticos: xi 1050 X = = = ( i ) x X 506 S = = = S = = Se trata de ua població que sigue ua distribució Normal de variaza descoocida, y muestras pequeñas, por lo que el itervalo de cofiaza es: S X± t1 α/ Buscaremos e la tabla u valor / X = 70;S = 6; = 15; α= 0.05 P t < t < t = 1 α. t α tal que ( ) α/ 1 α/ ( 1 1 α/ ) ( 1 1 α/ ) ( 14 1 α / = 0,975 ) P t < t = 1 α P t > t =α P t > t = 0, 05 t =,145 #1: NSOLVE(STUDENT(t, 14) = 0.975, t) #: t = EXCEL: =INV.T.C(0,05;14), SPSS: IDF.T(0.975,14), Iα= 0.05 = , = ( , ) Uidad Docete de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. de la U.P.M. 7

8 Itervalos de Cofiaza 3.- Para estudiar el úmero de pulsacioes por miuto de persoas etre 0 y 30 años, se elige 400 al azar, obteiédose ua media de 75 por miuto y ua desviació típica de 9. Calcular: a) Itervalo de cofiaza del 95% del úmero medio de pulsacioes por miuto e dicha població. b) Tamaño de la muestra ecesario para obteer el itervalo de cofiaza de la misma amplitud que el aterior y co ivel de cofiaza del 99%. Solució: Por ser el tamaño de la muestra suficietemete grade podemos cosiderar N µ, El itervalo de cofiaza para ua població ormal es: X± z 1 α / a) Para uestros datos: X = 75; S = 9; = 400; α= 0.05 X µ Teemos Z = N(0,1) P z < Z < z = 1 α= = 0.95 F(z ) = P Z < z = ( ) ( ) 1 α/ 1 α/ 1 α/ 1 α/ #1: NSOLVE(NORMAL(z) = 0.975, z, Real) #: z = EXCEL: =DISTR.NORM.INV(0,975;0;1) 1, O directamete =INTERVALO.CONFIANZA(0,05;9;400) 0, X ± z1 α/ = 75 ± 0, SPSS: IDF. NORMAL(0.975, 0,1) 1, Iα= 0.05 = , = ( ,75.88 ) Uidad Docete de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. de la U.P.M. 8

9 b) Itervalos de Cofiaza ( ) ( ) P z < Z < z = 1 α= = 0.99 F(z ) = P Z < z = α/ 1 α/ 1 α/ 1 α/ #1: NSOLVE(NORMAL(z) = 0.995, z, Real) #: z = EXCEL: =DISTR.NORM.INV(0,995;0;1), SPSS: IDF. NORMAL(0.995, 0,1),58 z1 α/,58 9 z1 α/ = 0, = = = , , Por lo que el tamaño de la muestra será de 694. Uidad Docete de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. de la U.P.M. 9

10 Itervalos de Cofiaza 4.- Ua agecia de alquiler de automóviles ecesita estimar el úmero medio de kilómetros diarios que realizas su flota de automóviles; toma los recorridos de 100 vehículos y obtiee ua media de 165 km/día y ua variaza muestral de 36 km/día. Se pide: a) Itervalo de cofiaza para la media al 95%. b) Itervalo de cofiaza para la variaza al 95%. Solució: Por ser el tamaño de la muestra suficietemete grade podemos cosiderar N µ, El itervalo de cofiaza para ua població ormal es: X± z 1 α / a) Para uestros datos: X = 165; = S = 36; = 100; α= 0.05 X µ Teemos Z = N(0,1) P z < Z < z = 1 α= = 0.95 F(z ) = P Z < z = ( ) ( ) 1 α/ 1 α/ 1 α/ 1 α/ #1: NSOLVE(NORMAL(z) = 0.975, z, Real) #: z = EXCEL: =DISTR.NORM.INV(0,975;0;1) 1, O directamete =INTERVALO.CONFIANZA(0,05;6;100) 1, X ± z1 α/ = 165 ± 1, SPSS: IDF. NORMAL(0.975, 0,1) 1, Iα= 0.05 = , = ( 163.8, ) ( 1).S ( 1).S b) P < < = 1 α k k1 P χ < k = 0.05 ( ) Buscaremos los valores de k1 y k tales que: 99 1 ( 99 ) iterpolado, obteemos k1=73,361y k= 18,4. P χ < k = Uidad Docete de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. de la U.P.M. e las tablas e 10

11 Itervalos de Cofiaza EXCEL: =INV.CHICUAD (0,05;99) 73, =INV.CHICUAD (0,975;99) 18,4193 e la prueba de la chi se utiliza la cola de la derecha SPSS: IDF. CHISQ(0.975,99) 18,4 : IDF. CHISQ(0.05,99) 73, < < = , 16 P 0, < < Uidad Docete de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. de la U.P.M. 11

12 Itervalos de Cofiaza 5.- Si el coeficiete medio de iteligecia de la població uiversitaria de la U.P.M. es µ= 95 y =14, y se extrae ua muestra de 49 estudiates de esa població. a) Qué probabilidad hay de que resulte ua media muestral igual o iferior a 9? b) Hallar u itervalo de cofiaza al 95% para la media de la població uiversitaria, para la muestra de media 9. c) Podemos aceptar la hipótesis de ser la media µ= 95? Solució: La distribució de la media muestral es X N µ, = N 95, = N ( 95, ) a) F(9) = P( X 9) #1: NORMAL(9,95,) #: EXCEL: =DISTR.NORM.(9;95;;1) 0, SPSS: CDF. NORMAL(9,95,), b) El itervalo de cofiaza para ua població ormal es: X± z 1 α / Para uestros datos: X = 9; = 14; = 49; α= 0.05 X µ Teemos Z = N(0,1) P z < Z < z = 1 α= = 0.95 F(z ) = P Z < z = ( ) ( ) 1 α/ 1 α/ 1 α/ 1 α/ #1: NSOLVE(NORMAL(z) = 0.975, z, Real) #: z = EXCEL: =DISTR.NORM.INV(0,975;0;1) 1, O diretamete =INTERVALO.CONFIANZA(0,05;14;49) 3, X ± z1 α/ = 9 ± 3, SPSS: IDF. NORMAL(0.975, 0,1) 1, Iα= 0.05 = , = c) µ= 95 I α= 0.05 = ( 88.08,95.9 ), SÍ SE ACEPTA ( 88.08,95.9 ) Uidad Docete de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. de la U.P.M. 1

13 Itervalos de Cofiaza 6.- Se desea estudiar el gasto semaal e euros, de los estudiates de Madrid. Para ello se ha elegido ua muestra aleatoria de 9 de estos estudiates: Se supoe que la variable aleatoria sigue ua distribució ormal de media descoocida y desviació típica coocida e igual a 1. Determiar u itervalo de cofiaza al 95% para la media del gasto semaal por estudiate. Solució: N µ,1 El gasto sigue ua distribució ( ) El itervalo de cofiaza para ua població ormal de variaza coocida es: X± z 1 α / Para uestros datos: X = = 110; = 1; = 9; α= 0, 05 9 X µ Teemos Z = N(0,1) ( ) ( ) P z < Z < z = 1 α= = 0.95 F(z ) = P Z < z = α/ 1 α/ 1 α/ 1 α/ #1: NSOLVE(NORMAL(z) = 0.975, z, Real) #: z = EXCEL: =DISTR.NORM.INV(0,975;0;1) 1, O directamete =INTERVALO.CONFIANZA(0,05;1;9) 7, X ± z1 α/ = 110 ± 7, SPSS: IDF. NORMAL(0.975, 0,1) 1, Iα= 0.0 = 110 1,96, ,96 = 9 9 ( 10.16, ) Uidad Docete de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. de la U.P.M. 13

14 Itervalos de Cofiaza 7.- Se realiza ua ecuesta sobre el ivel de coocimietos geerales de los estudiates de bachillerato de los diferetes cetros de Madrid. Para ello se ha elegido ua muestra aleatoria de 9 de estos estudiates a los que se ha realizado el exame. Las calificacioes obteidas ha sido las siguietes: 7,8 6,5 5,4 7,1 5 8,3 5,6 6,6 6, Se supoe que la variable aleatoria sigue ua distribució ormal de desviació típica coocida e igual a 1. Se pide: a) U itervalo de cofiaza al 98% para la media de las calificacioes e el exame. b) El tamaño míimo que debería teer la muestra e el caso de admitir u error máximo de 0,5 putos co u ivel de cofiaza del 95% Solució: N µ,1 La calificació del exame sigue ua distribució ( ) a) El itervalo de cofiaza para ua població ormal de variaza coocida es: X± z 1 α / Para uestros datos: 7, , 4 + 7, ,3 + 5, 6 + 6, 6 + 6, X = = 6,5; = 1; = 9; α= X µ Teemos Z = N(0,1) ( ) ( ) P z < Z < z = 1 α= = 0.98 F(z ) = P Z < z = α/ 1 α/ 1 α/ 1 α/ #1: NSOLVE(NORMAL(z) = 0.99, z, Real) #: z = EXCEL: =DISTR.NORM.INV(0,99;0;1), O directamete =INTERVALO.CONFIANZA(0,0;1;9) 0, X ± z1 α/ = 6,5 ± 0, SPSS: IDF. NORMAL(0.99, 0,1), Iα= 0.0 = 6,5,33,63,5+,33 = 9 9 ( 5.73,7.7 ) Uidad Docete de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. de la U.P.M. 14

15 Itervalos de Cofiaza b) Para u ivel de cofiaza del 95% X µ Teemos Z = N(0,1) ( ) ( ) P z < Z < z = 1 α= = 0.95 F(z ) = P Z < z = α/ 1 α/ 1 α/ 1 α/ #1: NSOLVE(NORMAL(z) = 0.975, z, Real) #: z = EXCEL: =DISTR.NORM.INV(0,975;0;1) 1, SPSS: IDF. NORMAL(0.975, 0,1) 1,96 Co u error del 0,5: 1 1, 96 0,5= z1 α/ = 1,96 = = 3,9 = 15,3 0,5 Debemos tomar ua muestra de tamaño =16 Uidad Docete de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. de la U.P.M. 15

16 Itervalos de Cofiaza 8.- Se ha tomado ua muestra de tamaño 10 del tiempo T, e miutos, etre el paso de dos autobuses e ua parada, co los siguietes resultados 9, 10, 6, 4, 15, 6, 1, 5, 4, 10. Si la fució de distribució del tiempo es: F(t) = 1 e λt a) Estimar, por máxima verosimilitud el valor de λ. b) Calcular la probabilidad estimada de esperar al autobús más de 10 miutos. Solució: a) La fució de desidad de la distribució de T es: f(t) = F'(t) = λ e λt La fució de verosimilitud será: λt1 λt λ (t t ) L(t 1...t / λ ) = f (t 1...t / λ ) =Π f (t i) =λe... λ e =λ e i= 1 Tomado logaritmos eperiaos l ( L(t 1...t / λ )) = l ( λ) λ ( t t ) Buscamos el máximo l ( L(t 1...t / λ )) = ( t t ) = 0 λ= λ λ t t 10 Así para uestra muestra es: λ= = b) λt 7 Para uestros datos la fució de distribució será: F(t) = 1 e = 1 e P(T > 10) = 1 P(T < 10) = 1 F(10) = 1 1 e = /7 e t Uidad Docete de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. de la U.P.M. 16

17 Itervalos de Cofiaza 9.- Se ha escogido al azar 15 probetas de u determiado acero, cuya resistecia a la compresió se supoe que se distribuye ormalmete, y se ha medido ésta e las uidades adecuadas, habiédose observado los siguietes resultados: 40,15 65,1 49,5,4 38, 60,4 43,4 6,35 31, 55,6 47,5 73, 35,9 49,5 5,4 a) Estimar la resistecia media del acero y su variaza, utilizado estimadores cetrados. b) Hallar u itervalo de cofiaza del 99% para la resistecia media. c) Hallar u itervalo de cofiaza del 99% para la variaza. Solució: a) El estimador de máxima verosimilitud de la media, es la media muestral, que es u estimador cetrado, luego µ= X = 46,0. Pero para la variaza utilizaremos la cuasivariaza muestral, ya que es cetrado, ( xi X) S i= 1 0,5349 = = 1 b) Se trata de ua població que sigue ua distribució Normal de variaza descoocida, y muestras pequeñas, por lo que el itervalo de cofiaza es: S X± t1 α/ X = 46.0;S = 14, ; = 15; α= 0, 01 Buscaremos e la tabla u valor t α / tal que P( t1 α/ < t 1 < t1 α/) = 1 α. ( 1 1 α/ ) ( 1 1 α/ ) ( 14 0,995 ) ( 14 0,995 ) = P t < t = 1 α P t > t =α P t > t = 0,01 P t t #1: NSOLVE(STUDENT(t, 14) = 0.995, t) #: t = EXCEL: =INV.T.C(0,01;14), SPSS: IDF.T(0.995,14),98 Uidad Docete de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. de la U.P.M. 17

18 Itervalos de Cofiaza S X ± t1 α/ = 60. ± , Iα= 0.01 = , = ( , ) c) Sabiedo que ( ). S 1 χ 1 si la població de partida es N( µ, ) ( 1).S ( 1).S P < < = 1 α k k1 Buscaremos los valores de k1 y k tales que: ( 14 1) ( 14 ) P χ < k = P χ < k = EXCEL: =INV.CHICUAD (0,005;14) 4, =INV.CHICUAD (0,995;14) 31,31935 e la prueba de la chi se utiliza la cola de la derecha SPSS: IDF. CHISQ(0.995,14) 31,3 : IDF. CHISQ(0.005,14) 4, , ,5349 < < = 31,3 4, 07 P 0,99 90, < < 696, Uidad Docete de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. de la U.P.M. 18

19 Itervalos de Cofiaza 10.- La altura de los idividuos de ua població sigue ua distribució ormal, de media µ y desviació típica 0,075. Si e ua muestra aleatoria simple de tamaño 1 de dicha població se obtuvo ua media muestral de 1,75. Se pide: a) Determiar u itervalo de cofiaza para µ co u ivel de cofiaza del 95%. b) Qué tamaño muestral sería ecesario para que el itervalo de cofiaza del mismo ivel tuviese logitud meor que 0,01? Solució: a) Se trata de ua població que sigue ua distribució Normal de variaza coocida, y muestras pequeñas, por lo que el itervalo de cofiaza es: X± z 1 α / X = 1.75;S = 0.075; = 1; α= 0, 05 X µ Teemos Z = N(0,1) P z < Z < z = 1 α= = 0.95 F(z ) = P Z < z = ( ) ( ) 1 α/ 1 α/ 1 α/ 1 α/ #1: NSOLVE(NORMAL(z) = 0.975, z, Real) #: z = EXCEL: =DISTR.NORM.INV(0,975;0;1) 1, SPSS: IDF. NORMAL(0.975, 0,1) 1, Iα= 0.05 = , = 1 1 ( , ) O directamete co EXCEL =INTERVALO.CONFIANZA(0,05;0,075;1) 0, X ± z1 α/ = 1, 75 ± 0, b) El itervalo de cofiaza e geeral es Iα = X z α/,x zα/ caso, e uestro Iα= 0.05 = , para descoocido, cuya logitud es = 1.96 < 0.01 > 9.4 Debemos tomar ua muestra de tamaño =865 Uidad Docete de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. de la U.P.M. 19

20 Itervalos de Cofiaza 11.- Supuesto que ua població se compoe de cico valores:, 3, 6, 8, 11. Cosidérese todas las muestras posibles de tamaño dos que pueda extraerse co reemplazamieto de esta població. Se pide: a) La media y desviació típica de la població. b) La distribució de la media muestral. c) La media y la desviació típica de la distribució de la media muestral. d) Calcular u itervalo de cofiaza al 80% para la media de la població si se obtiee muestras de tamaño 3. Solució: La població está formada por {,3,6,8,11 } a) µ= = = 36 = =10.8 = b) Calculemos las medias de todas las posibles muestras de tamaño c) i x x x i i i i i 1 4,5 5 1, ,5 9 40, , , , , , ,5 9, , x1+ x x 150 Media: x = = = 6 N 5 x + x x Variaza: x = x = 36 = 5.4 N 5 Obsérvese que X=µ= 6 y que 10.8 x = = = 5.4 x = Uidad Docete de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. de la U.P.M. 0

21 Itervalos de Cofiaza d) Sabemos que el estadístico X µ sigue ua distribució t de Studet co -1 grados S X 6 N 5 de libertad. Así pues: = t3 1, ya que S = = 10.8 = N Buscaremos el itervalo I S α = X t 1 α/,x+ t1 α/ S, es decir, S S P X t1 α/ <µ< X+ t1 α/ = 1 α. E uestro caso, queda: Iα= 0. = , = 3 3 (,10 ) NSOLVE(STUDENT(t, ) = 0.8) t = EXCEL: =INV.T.C(0,;) 1,8856 Uidad Docete de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. de la U.P.M. 1

22 Itervalos de Cofiaza 1.- Las edades e que se produce la muerte, para ua muestra aleatoria de 19 idividuos fallecidos por ua determiada edad da ua media de 50 años. Supoiedo ormal la distribució, hallar u itervalo de cofiaza para la media al 99% supoiedo coocido el valor de la variaza de la població = 38. Solució: Teemos ua distribució ormal y variaza coocida: Iα = X z 1 α/,x+ z1 α/ Datos: = 19; X = 50 ; = 38;1 α= 0.99 y e la distribució ormal X µ Z = N(0,1) α F(Z < z 1 α/) = + 1 α= z1 α/ = Iα= 0.01 = , = #1: NSOLVE(NORMAL(z) = 0.995, z, Real) #: z = EXCEL: =DISTR.NORM.INV(0,995;0;1), SPSS: IDF. NORMAL(0.995, 0,1),58 ( , ) Uidad Docete de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. de la U.P.M.

23 Itervalos de Cofiaza 13.- Se quiere estudiar la vida útil de uas baterías para móviles. Si admitimos que la variaza de la distribució ormal de la vida de las baterías es igual a 1,44, qué tamaño muestral deberíamos utilizar para que la amplitud del itervalo de cofiaza para la media del 95% o sea superior al 0,4? Solució: Supogamos que el error máximo que queremos admitir es ε. El itervalo será ( µ ε µ + ε), y co ivel de sigificació α, comparado co el itervalo de cofiaza, I = X z,x+ z α 1 α/ 1 α/ teemos que: Para uestros datos: z1 α/ z1 α/ =ε = = z1 α/ ε ε ε= 0, 4; = 1, 44;1 α= 0,95 z1 / 1, 96 1, α 138, 976 = = = ε 0,. Luego ecesitamos que sea igual a 139 X µ Teemos Z = N(0,1) ( ) ( ) P z < Z < z = 1 α= 1 0, 05 = 0,95 F(z ) = P Z < z = 0,975 1 α/ 1 α/ 1 α/ 1 α/ #1: NSOLVE(NORMAL(z) = 0.975, z, Real) #: z = EXCEL: =DISTR.NORM.INV(0,975;0;1) 1, SPSS: IDF. NORMAL(0.975, 0,1) 1,96 Uidad Docete de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. de la U.P.M. 3

24 Itervalos de Cofiaza 14.- Supoiedo que la producció de trigo por hectárea es ua variable aleatoria co distribució ormal, sabiedo que e 5 ficas elegidas al azar se produjero de media 300 kg por ha, y la desviació típica fue de 40 kg por ha, calcular: a) Itervalo de cofiaza al 95% de la producció media de trigo por ha. b) Itervalo de cofiaza al 95% de la variaza. Solució: La producció de trigo por hectárea sigue ua distribució N ( µ,40) El itervalo de cofiaza para ua població ormal de variaza coocida es: X± z 1 α / a) Para uestros datos: X = 300; = 40; = 5; α= 0.05 Teemos X µ Z = N(0,1) ( ) ( ) P z < Z < z = 1 α= = 0.95 F(z ) = P Z < z = α/ 1 α/ 1 α/ 1 α/ #1: NSOLVE(NORMAL(z) = 0.975, z, Real) #: z = EXCEL: =DISTR.NORM.INV(0,975;0;1) 1, O directamete =INTERVALO.CONFIANZA(0,05;6,;40) 1, X ± z1 α/ = 300 ± 15, SPSS: IDF. NORMAL(0.975, 0,1) 1, Iα= 0.05 = , = 5 5 ( ,315.68) Uidad Docete de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. de la U.P.M. 4

25 Itervalos de Cofiaza ( 1).S ( 1).S b) P < < = 1 α k k1 Buscaremos los valores de k1 y k tales que: k1=1, y k= 39, ( 4 1) ( 4 ) P χ < k = 0.05, obteemos P χ < k = P < < = 0,95 39, , , < < 3096, #1: NSOLVE(CHI_SQUARE(k, 4) = 0.05, k, 0, 40) #: k = #3: NSOLVE(CHI_SQUARE(k, 4) = 0.975, k, 0, 40) #4: k = EXCEL: =INV.CHICUAD (0,05;4) 1, =INV.CHICUAD (0,975;4) 39, SPSS: IDF. CHISQ(0.975,4) 1,4 IDF. CHISQ(0.05,4) 39,36 Uidad Docete de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. de la U.P.M. 5

26 Itervalos de Cofiaza 15.- Se ha recogido firmas para ua petició, e cada hoja cabe 4 firmas, pero existe hojas que o está firmadas totalmete. Para ua muestra de 50 hojas se tiee los resultados para la media al 80% = =. Se pide dar u itervalo de cofiaza 50 x y S 9 Solució: Teemos ua muestra de tamaño grade (=50) y variaza descoocida de ua distribució ormal: Datos: S I = X z,x+ z X = ; S = 9; 1 α= 0.8 α 1 α/ 1 α/ S α y e la distribució ormal F(z 1 α/) = + 1 α= 0.9 z1 α/ = 1.8 #1: NSOLVE(NORMAL(z, 0, 1) = 0.9, z, Real) #: z = EXCEL: =DISTR.NORM.INV(0,9;0;1) 1,8155 O directamete =INTERVALO.CONFIANZA(0,;raiz(9);50), S 1471 X ± zα / = ±, SPSS: IDF. NORMAL(0.9, 0,1) 1, WOLFRAMALPHA: ormal distributio, mea=0,sd= (Percetil 90) Iα= 0. = 1.8, = ( 6.68,3.16 ) Uidad Docete de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. de la U.P.M. 6

27 Itervalos de Cofiaza 16.- Sea X la v. a. úmero de errores al realizar ua ivelació. Se estudia 40 ivelacioes escogidas al azar. Los resultados so: X = 18.5 y S = 4. Se pide: a) Itervalo de cofiaza del 95% para la media. b) Itervalo de cofiaza para la variaza co u ivel de sigificació de α= 0.01 Solució: a) Teemos ua muestra de tamaño grade (=40) y variaza descoocida de ua distribució ormal: S S I α = X z 1 α/,x+ z1 α/ Datos: X = 18.5 ; S = 4; α= 0.05 y e la distribució ormal α F(Z < z α/ ) = + 1 α= λ α/ = Iα= 0.05 = , = ( , ) ( 1).S ( 1).S b) P < < = 1 α k k1 Datos: S = 4; α= 0.01 y e la distribució Chi-cuadrado ( ) Buscaremos los valores de k1 y k tales que: 39 1 ( 39 ) 19, y k= 65, P χ < k = 0.005, obteemos k1= P χ < k = P < < = 0,99 65, , ,53 < < 31, 1 Uidad Docete de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. de la U.P.M. 7

28 Itervalos de Cofiaza 17.- Se ha realizado 15 medicioes de ua misma magitud, se supoe que se distribuye ormalmete, habiédose observado los siguietes resultados: 40,15 40,10 40,5 40,4 40, 40,4 40,4 40,35 40, 40,6 40,5 40, 40,9 40,5 40,4 c) Hallar u Itervalo de cofiaza del 99% para la variaza. d) Cuátas medicioes debería haberse utilizado si se requiere ua precisió e la media de ±0,1 y ua cofiaza del 95%? Solució: X = 40,353;S = 0, ; = 15; α= 0, 01 a) Sabiedo que ( ). S 1 χ 1 si la població de partida es N( µ, ) ( 1).S ( 1).S P < < = 1 α k k1 P( χ 14 < k1) = Buscaremos los valores de k1 y k tales que: P χ < k = ( 14 ) k =31, ; k1 = 4, , , P < < = 0,99 31, , , < < 0, S b) X± t1 α/ Buscaremos el percetil t 1 α / tal que P( t1 α/ < t 1 < t1 α/) = 1 α. P t < t = 1 α P t > t =α P t > t = 0,05 ( 1 1 α/ ) ( 1 1 α/ ) ( 14 0,975 ) ( 14 0,975 ) = 0,975 = P t t 0, 05 t, Para que la precisió e la media sea de 0,1, se tiee que: 1 α/ 1 α/ S t S t, t1 α/ = 0,1 = S 0, , ,1 = = = 0,1 0,1 Por lo que el tamaño de la muestra será de 0. Uidad Docete de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. de la U.P.M. 8

29 Itervalos de cofiaza para la media a) Població ormal co variaza coocida. Sabemos que N,, luego N( 01, ). Queremos calcular u itervalo de forma que la P 1. A 1 se le llama ivel de cofiaza A se le llama ivel de sigificació y es la probabilidad de que el parámetro o esté e el itervalo. Buscaremos e la N(0,1) u valor z1 / de forma que P z1 / z1 / 1 como, y so coocidos, teemos el itervalo z1 /, z1 /. El itervalo de cofiaza sería: X z1 / b) Població cualquiera de variaza fiita y muestras grades. Sabemos que N(, ). Razoado igual que ates, si la variaza es coocida el itervalo será P z1 / z1 / 1 para >30. Si la variaza es descoocida la estimamos por la variaza muestral, y queda: S S S P z1 / z1 / 1 para >100 y el itervalo es X z1 /. c) Població ormal co variaza descoocida. Buscaremos e u valor t1 / tal que P t1 / t 1 t1 / 1 y el correspodiete S S itervalo de cofiaza será: P t1 / t1 / 1 S Para ua muestra cocreta: X t1 / y si queremos determiar el tamaño muestral, S resulta t 1 / de dode t 1 /.S. U.D. de Matemáticas de la E.T.S.I. e Topografía, Geodesia y Cartografía 103

30 Itervalos de cofiaza para la variaza Se sabe que ( ). S 1 1 si la població de partida es N(, ). Por tato, para tomar el itervalo de cofiaza de ivel de sigificació, buscamos los valores k 1 y k, tal que: ( 1). S Pk 1 k 1. Se os platea el problema de que la distribució 1 o es simétrica (como ocurría co la Normal y la t de Studet) por lo que o es posible determiar co exactitud los valores k 1 y k para que el itervalo esté cetrado e S. Ua solució aproximada y geeralmete buea es determiar k 1 y k co las codicioes: P 1 k1 y P 1 k

31 Método de máxima verosimilitud Método de iferecia estadística que cosiste e elegir el valor del parámetro que hace más probables (más verosímiles) los valores obteidos e la muestra. Este método fue usado por Gauss e el caso especial de la distribució Normal para justificar el método de los míimos cuadrados y posteriormete desarrollado por R. A. Fisher e sus aspectos eseciales. Si tomamos ua muestra 1,,..., de ua població que depede de uos parámetros 1,,...,, sabemos que cada i tiee la misma distribució que la població: fx i, 1,,...,. La probabilidad de que salga ua muestra 1,,..., viee dada por: 1, 1,,...,..., 1,,..., i, 1,,..., 1,...,, 1,,..., fx fx fx Lx x i 1 que es la llamada fució de verosimilitud. La idea de este método es coger como estimadores los valores que hace máxima esta fució, basádose e el pricipio lógico de supoer que los parámetros toma los valores que hace máxima la probabilidad de obteer cada muestra. Es más cómodo maejar log L, y lo podemos hacer ya que los valores que maximice L, maximiza log L (por ser el logaritmo ua fució moótoa creciete). E la mayoría de los casos, basta co hallar los valores que aula su derivada: logl 0. Estas ecuacioes que debe satisfacer los parámetros so las ecuacioes de máxima verosimilitud. Observació: El método de máxima verosimilitud o siempre produce estimadores isesgados. i