Intervalos de Confianza
|
|
- Esther Peña Miranda
- hace 6 años
- Vistas:
Transcripción
1 Intervalos de Confianza Álvaro José Flórez 1 Escuela de Ingeniería Industrial y Estadística Facultad de Ingenierías Febrero - Junio 2012
2 Intervalo de Confianza Se puede hacer una estimación puntual de µ... pero no hay razón para esperar que esta estimación proveniente de una muestra sea exactamente igual al parámetro poblacional que se supone estima (diferentes muestras arrojan diferentes resultados). En el caso que se quiera estimar µ por medio de x: # Muestra Estimación Parámetro Estimación
3 Intervalo de Confianza Una estimación por intervalos para un parámetro poblacional es llamada un intervalo de confianza. No podemos estar seguros que el intervalo contiene al verdadero valor del parámetro poblacional desconocido. Sin embargo, el intervalo de confianza es construido de forma que se tenga una alta confianza (probabilidad) de que el intervalo contenga el parámetro poblacional (Montgomery and Runger, 2004).
4 Intervalo de Confianza Una estimación por intervalos para un parámetro poblacional es llamada un intervalo de confianza. No podemos estar seguros que el intervalo contiene al verdadero valor del parámetro poblacional desconocido. Sin embargo, el intervalo de confianza es construido de forma que se tenga una alta confianza (probabilidad) de que el intervalo contenga el parámetro poblacional (Montgomery and Runger, 2004). Definición: Dada una muestra aleatoria X 1,..., X n con función de densidad f(x i, θ), un intervalo de confianza de (1 α) 100 % para un parámetro θ es un intervalo aleatorio (T 1, T 2 ) con Pr(T 1 < θ < T 2 ) = 1 α. Para la estimación de µ el intervalo de confianza estará determinado como: x ± Error de estimación
5 Intervalo de Confianza para µ Si se tiene una muestra aleatoria x 1,..., x n proveniente de una distribución normal con media µ desconocida y σ 2 conocida (o de cualquier distribución de probabilidad con un n suficientemente grande). Entonces, x se distribuye normalmente con media µ y varianza σ 2 /n. Además se tiene que: Z = x µ σ/ Normal(0, 1) n
6 Intervalo de Confianza para µ Si se tiene una muestra aleatoria x 1,..., x n proveniente de una distribución normal con media µ desconocida y σ 2 conocida (o de cualquier distribución de probabilidad con un n suficientemente grande). Entonces, x se distribuye normalmente con media µ y varianza σ 2 /n. Además se tiene que: Z = x µ σ/ Normal(0, 1) n Un intervalo de confianza para µ es un intervalo de la forma LI µ LS, donde LS y LI son calculados a partir de la muestra (Variables aleatorias). Estos valores se determinan de tal forma que se cumpla la siguiente condición: P (LI µ LS) = 1 α Donde 0 α 1. Lo que indica que hay una probabilidad de 1 α de que para la muestra seleccionada el intervalo de confianza contenga a µ
7 Intervalo de Confianza para µ Dado que: Z = x µ σ/ Normal(0, 1) n Entonces: ( P z α/2 x µ ) σ/ n z 1 α/2 = 1 α Prob = α/2 Prob = α/2 Z(α/2) 0 Z( 1 α/2) Los valores de LS y LI se encuentran al despejar µ en la desigualdad.
8 Intervalo de Confianza para µ Si x es la media muestral de una muestra aleatoria de tamaño n proveniente de una población normal (o de cualquier distribución si n es suficientemente grande) con varianza σ 2 conocida, entonces el intervalo del (1 α) 100 % para µ está dado por: x + z α/2 σ n µ x + z 1 α/2 σ n
9 Intervalo de Confianza para µ Si x es la media muestral de una muestra aleatoria de tamaño n proveniente de una población normal (o de cualquier distribución si n es suficientemente grande) con varianza σ 2 conocida, entonces el intervalo del (1 α) 100 % para µ está dado por: x + z α/2 σ n µ x + z 1 α/2 σ n Se tiene probabilidad (1 α) de seleccionar una muestra aleatoria que produzca un intervalo que contenga µ. A mayor nivel confianza mayor seguridad de que el intervalo dado contiene a µ.
10 Ejemplo Un fabricante produce pistones para motores de vehículos. Por especificaciones del fabricante se sabe el diámetro de los pistones está normalmente distribuido con σ = 0,01mm. Para realizar un control de calidad sobre el producto se decide observar una muestra aleatoria de 15 pistones y se encontró que el promedio del diámetro de 76,03mm. Construir un intervalo del 99 % de confianza para la media del diámetro de los pistones. Construir un intervalo del 95 % de confianza para la media del diámetro de los pistones.
11 Ejemplo Un fabricante produce pistones para motores de vehículos. Por especificaciones del fabricante se sabe el diámetro de los pistones está normalmente distribuido con σ = 0,01mm. Para realizar un control de calidad sobre el producto se decide observar una muestra aleatoria de 15 pistones y se encontró que el promedio del diámetro de 76,03mm. Para el caso del 99 % el intervalo queda de la siguiente forma: (76,02335; 76,03665) Lo que nos indica que con un 99 % de confianza se puede concluir que el diámetro medio de los pistones está entre mm y mm
12 Intervalo de Confianza para µ Fig: Simulación de 50 intervalos del 95 % confianza para µ intervalo de confianza µ Muestra Si se toman muchas muestras de la misma población, todas del mismo tamaño, y construimos un intervalo para cada uno, se puede afirmar que el (1 α) 100 % de los intervalos así construidos contendrán el verdadero valor del parámetro.
13 Para estimar µ: Comportamiento de los intervalos de confianza x ± z 1 α/2 σ n Estimación ± Error de estimación Es deseable tener un nivel de confianza alto y un error de estimación pequeño. El último se hace pequeño cuando: El nivel de confianza (1 α) se hace pequeño. La variabilidad entre los elementos de la población es pequeña. (σ es pequeño). Se incrementa el tamaño de muestra.
14 Para estimar µ: Comportamiento de los intervalos de confianza x ± z 1 α/2 σ n Estimación ± Error de estimación Este procedimiento es correcto sólo en circunstancias concretas: Los datos deben proceder de una muestra aleatoria. La población de los datos debe ser normal. Si la población no es normal, el tamaño de la muestra debe ser grande (teorema central del límite). Se tiene que tener conocimiento de la desviación estándar.
15 Para estimar µ: Comportamiento de los intervalos de confianza x ± z 1 α/2 σ n Estimación ± Error de estimación En la mayoría de los casos no se tiene la suerte de conocer el valor de la varianza de la población de la cual se seleccionan las muestras aleatorias Qué pasa cuando no se tiene conocimiento de la desviación estándar?
16 Intervalo de Confianza para µ Si se tiene una muestra aleatoria x 1,..., x n proveniente de una distribución normal con media µ y σ 2 desconocida, entonces es razonable la utilización de la media ( x) y la varianza muestral (S 2 ) para realizar los cálculos. Donde se tiene que: T = x µ S/ n t n 1 Entonces el intervalo del (1 α) 100 % para µ está dado por: x + t n 1,α/2 S n µ x + t n 1,1 α/2 S n (x 1 x) 2 Donde S 2 = n i=1 n 1 y t n 1 se refiere a una distribución de probabilidad t-student con n 1 grados de libertad.
17 Distribución t-student Una variable aleatoria X tiene una distribución t-student con n grados de libertad si su función de densidad está dada por: ( ) (n+1)/2 Γ((n + 1)/2) 1 + x2, πnγ(n/2) n Normal(0,1) t(20) t(5) t(1) < x <, n >
18 Ejemplo Una compañía constructora resuelve estudiar la resistencia a la compresión de una mezcla de concreto, con el objetivo de hacer control de calidad. Para ello se tomaron 18 cilindros de prueba de acuerdo con las normas establecidas. Se encontró en la muestra que, luego de 28 días de curado, x = 280kg/cm 2 y S = 19,3kg/cm 2. Construir un intervalo de confianza del 95 % y 90 % para el valor de la resistencia a la compresión media de la mezcla de concreto
19 Ejemplo Una compañía constructora resuelve estudiar la resistencia a la compresión de una mezcla de concreto, con el objetivo de hacer control de calidad. Para ello se tomaron 18 cilindros de prueba de acuerdo con las normas establecidas. Se encontró en la muestra que, luego de 28 días de curado, x = 280kg/cm 2 y S = 19,3kg/cm 2. Construir un intervalo de confianza del 95 % y 90 % para el valor de la resistencia a la compresión media de la mezcla de concreto Intervalo del 95 % de confianza: (270,4023; 289,5977) Lo que nos indica que con un 95 % de confianza se puede concluir que la resistencia media a la compresión de la mezcla de concreto está entre kg/cm 2 y kg/cm 2
20 Ejercicio Un fabricante de fibras sintéticas desea estimar la tensión de ruptura media de una fibra. Diseña un experimento en el que se observan las tensiones de ruptura (libras) de 16 hilos del proceso seleccionados aleatoriamente. Los resultados son: Según el fabricante la tensión de ruptura de una fibra se encuentra modelada por una distribución normal con desviación estándar de 0.45 lb. Construir un intervalo de confianza del 94 % para el valor real de la tensión de ruptura promedio de la fibra Construir un intervalo de confianza del 90 % para el valor real de la tensión de ruptura promedio de la fibra (la varianza es desconocida)
21 Intervalo de confianza para σ 2 Se tiene una muestra aleatoria x 1,..., x n proveniente de una distribución normal con media µ y σ 2 desconocida. En algunos casos es de interés estimar un intervalo de confianza para la varianza poblacional (σ 2 ). Para la estimación se utiliza la varianza muestral (S 2 ) y se tiene la siguiente expresión: X 2 = (n 1)S2 σ 2 χ 2 n 1 χ 2 n 1 se refiere a una distribución chi cuadrado con n 1 grados de libertad.
22 Intervalo de confianza para σ 2 Se tiene una muestra aleatoria x 1,..., x n proveniente de una distribución normal con media µ y σ 2 desconocida. En algunos casos es de interés estimar un intervalo de confianza para la varianza poblacional (σ 2 ). Para la estimación se utiliza la varianza muestral (S 2 ) y se tiene la siguiente expresión: X 2 = (n 1)S2 σ 2 χ 2 n 1 χ 2 n 1 se refiere a una distribución chi cuadrado con n 1 grados de libertad. Entonces el intervalo del (1 α)100 % para σ 2 está dado por: (n 1)S 2 χ 2 σ 2 (n 1)S2 n 1,1 α/2 χ 2 n 1,α/2
23 Distribución χ 2 Una variable aleatoria X tiene una distribución χ 2 con n grados de libertad si su función de densidad está dada por: 1 2 n/2 Γ(n/2) xk/2 1 e x/2 Chisq(2) Chisq(5) Chisq(10) Chisq(20) x > 0, n >
24 Ejemplo Una maquina de llenado es utilizada para llenar botellas con detergente líquido. Una muestra aleatoria de 20 botellas dio como resultado una varianza muestral de S 2 = 0,0153onzas 2. Si la varianza del volumen de llenado es muy grande, habrá una proporción inaceptable de botellas con contenidos de líquidos muy alejados de la media. Suponiendo que el llenado de la maquina está normalmente distribuido, construya un intervalo de confianza del 95 % para la varianza
25 Ejemplo Una maquina de llenado es utilizada para llenar botellas con detergente líquido. Una muestra aleatoria de 20 botellas dio como resultado una varianza muestral de S 2 = 0,0153onzas 2. Si la varianza del volumen de llenado es muy grande, habrá una proporción inaceptable de botellas con contenidos de líquidos muy alejados de la media. Suponiendo que el llenado de la maquina está normalmente distribuido, construya un intervalo de confianza del 95 % para la varianza (0,0088; 0,0326) Lo que nos indica que con un nivel de confianza del 95 % la varianza del volumen de llenado de las botellas está entre y
26 Intervalos de confianza Qué pasa si la distribución de los datos no es normal?
27 Intervalos de confianza Qué pasa si la distribución de los datos no es normal? Las inferencias con respecto a la media son, en general, robustas, esto debido al Teorema Central del Límite. Los intervalos de confianza y contrastes basados en la distribución t son aproximadamente válidos independientemente de la distribución de partida, aunque dejan de ser óptimas.
28 Intervalos de confianza Qué pasa si la distribución de los datos no es normal? Las inferencias respecto a varianzas son muy sensibles a este supuesto. Para cualquier población S 2 es un estimador centrado de σ 2. pero su distribución y varianza es muy dependiente de la población. En consecuencia, los intervalos o contrastes serán poco precisos si la población no es aproximadamente normal.
29 Intervalo de confianza para σ 2 Fig: Simulación de 50 intervalos de confianza del 95 % para σ 2 = 1 (Normal) intervalo de confianza
30 Intervalo de confianza para σ 2 Fig: Simulación de 50 intervalos de confianza del 95 % para σ 2 = 1 (Exponencial) intervalo de confianza
31 Intervalos de confianza Cómo probar si un conjunto de datos se distribuye normalmente?
32 Intervalos de confianza Cómo probar si un conjunto de datos se distribuye normalmente? Gráficamente se pueden observar algunas características de la distribución normal como son: Los datos provenientes de una distribución de probabilidad normal deben ser aproximadamente simétricos alrededor de la media. Debido a que las colas de las curvas normales descienden muy rápidamente, las muestras de poblaciones normales deben tener muy pocas observaciones atípicas.
33 Intervalos de confianza Cómo probar si un conjunto de datos se distribuye normalmente? Fig: Datos provenientes de tres distribuciones de probabilidad diferentes Normal t student exponencial
34 Intervalos de confianza para una proporción En algunos casos es necesario construir un intervalo para una proporción poblacional (P ). Si se toma una muestra aleatoria de tamaño n de una población grande y se observa que X( n) observaciones presentan una característica de interés. Entonces ˆp = X/n es la estimación puntual de la proporción poblacional.
35 Intervalos de confianza para una proporción En algunos casos es necesario construir un intervalo para una proporción poblacional (P ). Si se toma una muestra aleatoria de tamaño n de una población grande y se observa que X( n) observaciones presentan una característica de interés. Entonces ˆp = X/n es la estimación puntual de la proporción poblacional. Si n es lo suficientemente grande entonces: ˆp Normal(µ = P, σ 2 = p(1 p)/n)
36 Intervalos de confianza para una proporción En algunos casos es necesario construir un intervalo para una proporción poblacional (P ). Si se toma una muestra aleatoria de tamaño n de una población grande y se observa que X( n) observaciones presentan una característica de interés. Entonces ˆp = X/n es la estimación puntual de la proporción poblacional. Si n es lo suficientemente grande entonces: ˆp Normal(µ = P, σ 2 = p(1 p)/n) Entonces el intervalo de confianza (aproximado) del (1 α)100 % queda definido como: ˆp + z α/2 ˆp(1 ˆp) n P ˆp + z 1 α/2 ˆp(1 ˆp) n
37 Ejemplo El gerente de una empresa de producción asegura que su proceso genera una proporción de unidades defectuosas cercana al 5 %, al tomar una muestra de su producto se obtiene que de 200 unidades revisadas, un total de 15 unidades fueron defectuosas. Construya un intervalo de confianza del 90 % para la proporción de artículos defectuosos Los datos corroboran la afirmación del productor?
38 Ejemplo El gerente de una empresa de producción asegura que su proceso genera una proporción de unidades defectuosas cercana al 5 %, al tomar una muestra de su producto se obtiene que de 200 unidades revisadas, un total de 15 unidades fueron defectuosas. Construya un intervalo de confianza del 90 % para la proporción de artículos defectuosos Los datos corroboran la afirmación del productor? (0,0443; 0,105) Con una confianza del 90 % la proporción de unidades defectuosas se encuentra entre el 4.43 % y el 10.5 %
39 Bibliografía Devore, J. L. (2008). Probabilidad y estadística para ingeniería y ciencias. Thomson Paraninfo, México, vol. 7 edition. Gutierrez, A. and Zhang, H. (2010). Teoría Estadística: Aplicaciones y Métodos. Universidad Santo Tomás, Bogotá,Colombia, vol. 1 edition. Montgomery, D. and Runger, G. (2004). Probabilidad y estadística aplicadas la ingeniería. Limusa-Wiley, México, 2 edition. Moore, D. S. (2005). Estadística aplicada básica. Antoni Bosch Editor, Barcelona, España, vol. 2 edition.
Pruebas de hipótesis
Pruebas de hipótesis Álvaro José Flórez 1 Escuela de Ingeniería Industrial y Estadística Facultad de Ingenierías Febrero - Junio 2012 Prueba de hipótesis Uno de los objetivos de la estadística es hacer
Más detallesConceptos Básicos de Inferencia
Conceptos Básicos de Inferencia Álvaro José Flórez 1 Escuela de Ingeniería Industrial y Estadística Facultad de Ingenierías Febrero - Junio 2012 Inferencia Estadística Cuando obtenemos una muestra, conocemos
Más detallesEstadística y sus aplicaciones en Ciencias Sociales 5. Estimación. Facultad de Ciencias Sociales, UdelaR
Estadística y sus aplicaciones en Ciencias Sociales 5. Estimación Facultad de Ciencias Sociales, UdelaR Índice 1. Repaso: estimadores y estimaciones. Propiedades de los estimadores. 2. Estimación puntual.
Más detallesEJERCICIOS RESUELTOS DE ESTADÍSTICA II
EJERCICIOS RESUELTOS DE ESTADÍSTICA II RESUMEN DE EJERCICIOS DADOS EN CLASES POR: EILEEN JOHANA ARAGONES GENEY DISTRIBUCIONES DOCENTE: JUAN CARLOS VERGARA SCHMALBACH ESTIMACIÓN PRUEBAS DE HIPÓTESIS Grupo
Más detallesTema 7 Intervalos de confianza Hugo S. Salinas
Intervalos de confianza Hugo S. Salinas 1 Introducción Hemos definido la inferencia estadística como un proceso que usa información proveniente de la muestra para generalizar y tomar decisiones acerca
Más detallesPrueba de Hipótesis. Bondad de Ajuste. Tuesday, August 5, 14
Prueba de Hipótesis Bondad de Ajuste Conceptos Generales Hipótesis: Enunciado que se quiere demostrar. Prueba de Hipótesis: Procedimiento para determinar si se debe rechazar o no una afirmación acerca
Más detallesMuestreo de variables aleatorias
Estadística II Universidad de Salamanca Curso 2011/2012 Outline 1 Introducción 2 Distribución de la muestra 3 4 5 Distribuciones de la media y la varianza en poblaciones normales Introducción Tiene como
Más detallesEJERCICIOS RESUELTOS DE ESTADÍSTICA II
EJERCICIOS RESUELTOS DE ESTADÍSTICA II RESUMEN DE EJERCICIOS DADOS EN CLASES PARTE II POR: EILEEN JOHANA ARAGONES GENEY DISTRIBUCIONES DOCENTE: JUAN CARLOS V ERGARA SCHMALBACH ESTIMACIÓN PRUEBAS DE HIPÓTESIS
Más detallesDistribuciones de muestreo fundamentales y descripciones de datos Muestreo aleatorio
Distribuciones de muestreo fundamentales y descripciones de datos Muestreo aleatorio En ocasiones en que no es posible o conveniente realizar un censo (analizar a todos los elementos de una población),
Más detallesTécnicas Cuantitativas para el Management y los Negocios I
Técnicas Cuantitativas para el Management y los Negocios I Licenciado en Administración Mag. María del Carmen Romero 2014 romero@econ.unicen.edu.ar Módulo II: ESTADÍSTICA INFERENCIAL Contenidos Módulo
Más detallesINFERENCIA ESTADISTICA
1 INFERENCIA ESTADISTICA Es una rama de la Estadística que se ocupa de los procedimientos que nos permiten analizar y extraer conclusiones de una población a partir de los datos de una muestra aleatoria,
Más detallesEstimaciones puntuales. Estadística II
Estimaciones puntuales Estadística II Estimación Podemos hacer dos tipos de estimaciones concernientes a una población: una estimación puntual y una estimación de intervalo. Una estimación puntual es un
Más detallesLa distribución de Probabilidad normal, dada por la ecuación:
La distribución de Probabilidad normal, dada por la ecuación: Donde: x = X -, la distancia entre X y en el eje de las X. = la media de la población o universo ( de las X ) fx= La altura de la ordenada
Más detallesIntervalos de Confianza para dos muestras
Intervalos de Confianza para dos muestras Álvaro José Flórez 1 Escuela de Ingeniería Industrial y Estadística Facultad de Ingenierías Febrero - Junio 2012 Comparación de dos poblaciones La comparación
Más detallesINTERVALOS DE CONFIANZA Julián de la Horra Departamento de Matemáticas U.A.M.
1 Introducción INTERVALOS DE CONFIANZA Julián de la Horra Departamento de Matemáticas U.A.M. En este capítulo, vamos a abordar la estimación mediante Intervalos de Confianza, que es otro de los tres grandes
Más detallesConceptos del contraste de hipótesis
Análisis de datos y gestión veterinaria Contraste de hipótesis Departamento de Producción Animal Facultad de Veterinaria Universidad de Córdoba Córdoba, 14 de Diciembre de 211 Conceptos del contraste de
Más detallesSolución Examen Parcial IV Nombres: Apellidos: C.I.: Firma: Fecha: 22/06/2005
Nombres: Apellidos: C.I.: Firma: Fecha: 22/06/2005 MÉTODOS ESTADÍSTICOS I EXAMEN IV PARTE I: Encierre con un círculo la respuesta correcta o llene los espacios en blanco (0,5 puntos c/u): 1. (V F) La prueba
Más detalles1. Ejercicios. 2 a parte
1. Ejercicios. 2 a parte Ejercicio 1 Calcule 1. P (χ 2 9 3 33) 2. P (χ 2 15 7 26). 3. P (15 51 χ 2 8 22). 4. P (χ 2 70 82). Ejercicio 2 Si X χ 2 26, obtenga un intervalo [a, b] que contenga un 95 % de
Más detallesEstadistica II Tema 0. Repaso de conceptos básicos. Curso 2009/10
Estadistica II Tema 0. Repaso de conceptos básicos Curso 2009/10 Tema 0. Repaso de conceptos básicos Contenidos Variables aleatorias y distribuciones de probabilidad La distribución normal Muestras aleatorias,
Más detallesTeorema Central del Límite (1)
Teorema Central del Límite (1) Definición. Cualquier cantidad calculada a partir de las observaciones de una muestra se llama estadístico. La distribución de los valores que puede tomar un estadístico
Más detallesTema 5. Muestreo y distribuciones muestrales
1 Tema 5. Muestreo y distribuciones muestrales En este tema: Muestreo y muestras aleatorias simples. Distribución de la media muestral: Esperanza y varianza. Distribución exacta en el caso normal. Distribución
Más detallesESTADISTICA GENERAL. PRINCIPALES DISTRIBUCIONES CONTINUAS Profesor: Celso Celso Gonzales
ESTADISTICA GENERAL PRINCIPALES DISTRIBUCIONES CONTINUAS Profesor: Celso Celso Gonzales OBJETIVOS Describir las características de las distribuciones de probabilidad : Normal, Ji-cuadrado, t de student
Más detallesEstadísticas Pueden ser
Principios Básicos Para iniciar en el curso de Diseño de experimentos, es necesario tener algunos conceptos claros en la parte de probabilidad y estadística. A continuación se presentan los conceptos más
Más detallesa) Cálculo del intervalo de confianza para la media, conocida la desviación típica de la población en una variable aleatoria normal
COMPLEJO EDUCATIVO CANTON TUTULTEPEQUE GUIA DE TRABAJO 2 Parte 2 Profesor Responsable: Santos Jonathan Tzun Meléndez. Grado: 1º año de Bachillerato. Asignatura: Matemática I Periodo: Fecha de Entrega:
Más detallesTema 5. Contraste de hipótesis (I)
Tema 5. Contraste de hipótesis (I) CA UNED de Huelva, "Profesor Dr. José Carlos Vílchez Martín" Introducción Bienvenida Objetivos pedagógicos: Conocer el concepto de hipótesis estadística Conocer y estimar
Más detallesviii CAPÍTULO 2 Métodos de muestreo CAPÍTULO 3 Análisis exploratorio de datos
Contenido Acerca de los autores.............................. Prefacio.... xvii CAPÍTULO 1 Introducción... 1 Introducción.............................................. 1 1.1 Ideas de la estadística.........................................
Más detallesPruebas de Hipótesis. Diseño Estadístico y Herramientas para la Calidad. Pruebas de Hipótesis. Hipótesis
Diseño Estadístico y Herramientas para la Calidad Pruebas de Hipótesis Expositor: Dr. Juan José Flores Romero juanf@umich.mx http://lsc.fie.umich.mx/~juan M. en Calidad Total y Competitividad Pruebas de
Más detallesFormulario. Estadística Administrativa. Módulo 1. Introducción al análisis estadístico
Formulario. Estadística Administrativa Módulo 1. Introducción al análisis estadístico Histogramas El número de intervalos de clase, k, se elige de tal forma que el valor 2 k sea menor (pero el valor más
Más detallesECONOMETRÍA II Prof.: Begoña Álvarez TEMA 1 INTRODUCCIÓN. Estimación por máxima verosimilitud y conceptos de teoría asintótica
ECONOMETRÍA II Prof.: Begoña Álvarez 2007-2008 TEMA 1 INTRODUCCIÓN Estimación por máxima verosimilitud y conceptos de teoría asintótica 1. ESTIMACIÓN POR MÁXIMA VEROSIMILITUD (MAXIMUM LIKELIHOOD) La estimación
Más detallesINFERENCIA ESTADÍSTICA Notas de clase. Profesores: A. Leonardo Bañuelos S. Nayelli Manzanarez Gómez
INFERENCIA ESTADÍSTICA Notas de clase Profesores: A. Leonardo Bañuelos S. Nayelli Manzanarez Gómez TEMA III ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS POR INTERVALOS DE CONFIANZA La estimación puntual es útil pues proporciona
Más detallesTema 4: Probabilidad y Teoría de Muestras
Tema 4: Probabilidad y Teoría de Muestras Estadística. 4 o Curso. Licenciatura en Ciencias Ambientales Licenciatura en Ciencias Ambientales (4 o Curso) Tema 4: Probabilidad y Teoría de Muestras Curso 2008-2009
Más detallesEstadística I Tema 7: Estimación por intervalos
Estadística I Tema 7: Estimación por intervalos Tema 7: Estimación por intervalos Ideas a transmitir Definición e interpretación frecuentista. Intervalos de confianza para medias y varianzas en poblaciones
Más detallesUNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO FACULTAD DE ESTUDIOS SUPERIORES CUAUTITLÁN PLAN DE ESTUDIOS DE LA LICENCIATURA EN QUÍMICA INDUSTRIAL
UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO FACULTAD DE ESTUDIOS SUPERIORES CUAUTITLÁN PLAN DE ESTUDIOS DE LA LICENCIATURA EN QUÍMICA INDUSTRIAL PROGRAMA DE LA ASIGNATURA DE: IDENTIFICACIÓN DE LA ASIGNATURA
Más detallesTema 8: Contraste de hipótesis
Tema 8: Contraste de hipótesis 1 En este tema: Conceptos fundamentales: hipótesis nula y alternativa, nivel de significación, error de tipo I y tipo II, p-valor. Contraste de hipótesis e IC. Contraste
Más detallesAnota aquí tus respuestas para esta sección Distribución Z
Tarea 2. Estadística Inferencial Cada sección vale 25%. Cada inciso tiene el mismo peso. Hacer la tarea en equipo de dos personas y entregar solo una copia por cada equipo. 1. Cálculo lo siguiente. Ten
Más detallesEJERCICIOS RESUELTOS DE ESTADÍSTICA II
EJERCICIOS RESUELTOS DE ESTADÍSTICA II RESUMEN DE EJERCICIOS DADOS EN CLASES PARTE I POR: EILEEN JOHANA ARAGONES GENEY DISTRIBUCIONES DOCENTE: JUAN CARLOS V ERGARA SCHMALBACH ESTIMACIÓN PRUEBAS DE HIPÓTESIS
Más detallesDistribuciones Continuas de. Probabilidad. Dr. Víctor Aguirre Torres, ITAM. Guión 7.
Distribuciones Continuas de Probabilidad 1 Contenido 1. Ejemplo. 2. Diferencia entre variables aleatorias discretas y continuas. 3. Diferencia de f(x) entre variables aleatorias discretas y continuas.
Más detallesEstadística y sus aplicaciones en Ciencias Sociales 6. Prueba de hipótesis. Facultad de Ciencias Sociales, UdelaR
Estadística y sus aplicaciones en Ciencias Sociales 6. Prueba de hipótesis Facultad de Ciencias Sociales, UdelaR Índice 1. Introducción: hipótesis estadística, tipos de hipótesis, prueba de hipótesis 2.
Más detallesEJERCICIOS DE SELECTIVIDAD
EJERCICIOS DE SELECTIVIDAD INFERENCIA 1998 JUNIO OPCIÓN A Un fabricante de electrodomésticos sabe que la vida media de éstos sigue una distribución normal con media μ = 100 meses y desviación típica σ
Más detallesEjemplos Resueltos Tema 4
Ejemplos Resueltos Tema 4 2012 1. Contraste de Hipótesis para la Media µ (con σ conocida) Dada una muestra de tamaño n y conocida la desviación típica de la población σ, se desea contrastar la hipótesis
Más detallesINFERENCIA ESTADISTICA
INFERENCIA ESTADISTICA ESTIMACION 2 maneras de estimar: Estimaciones puntuales x s 2 Estimaciones por intervalo 2 ESTIMACION Estimaciones por intervalo Limites de Confianza LCI
Más detalles1. La Distribución Normal
1. La Distribución Normal Los espacios muestrales continuos y las variables aleatorias continuas se presentan siempre que se manejan cantidades que se miden en una escala continua; por ejemplo, cuando
Más detallesINFERENCIA ESTADÍSTICA
INFERENCIA ESTADÍSTICA 1. DEFINICIÓN DE INFERENCIA ESTADÍSTICA Llamamos Inferencia Estadística al proceso de sacar conclusiones generales para toda una población a partir del estudio de una muestra, así
Más detallesESTADISTICA GENERAL. INFERENCIA ESTADISTICA Profesor: Celso Celso Gonzales
ESTADISTICA GENERAL INFERENCIA ESTADISTICA Profesor: Celso Celso Gonzales Objetivos Entender los conceptos de estimación puntual y estimación por intervalos. Calcular e interpretar intervalos de confianza
Más detallesMATERIA: ESTADÍSTICA EJEMPLOS DE POSIBLES PREGUNTAS DE EXAMEN. a. Cuáles son las escalas en que pueden estar los datos en un análisis estadístico.
MATERIA: ESTADÍSTICA EJEMPLOS DE POSIBLES PREGUNTAS DE EXAMEN 1. Conteste las preguntas siguientes: a. Cuáles son las escalas en que pueden estar los datos en un análisis estadístico. 1. 2. 3. 4. b. En
Más detallesUNIVERSIDAD TECNICA PARTICULAR DE LOJA ESTADISTICA Y PROBABILIDAD ENSAYO N 8
UNIVERSIDAD TECNICA PARTICULAR DE LOJA ESTADISTICA Y PROBABILIDAD ENSAYO N 8 DOCENTE: Ing. Patricio Puchaicela ALUMNA: Andrea C. Puchaicela G. CURSO: 4to. Ciclo de Electrónica y Telecomunicaciones AÑO
Más detallespara una muestra Ref: Apuntes de Estadística, Mtra Leticia de la Torre Instituto Tecnológico de Chiuhuahua
Pruebas de hipótesis para una muestra Ref: Apuntes de Estadística, Mtra Leticia de la Torre Instituto Tecnológico de Chiuhuahua En muchas situaciones cuando queremos sacar conclusiones sobre una muestra,
Más detallesModelos de probabilidad. Modelos de probabilidad. Modelos de probabilidad. Proceso de Bernoulli. Objetivos del tema:
Modelos de probabilidad Modelos de probabilidad Distribución de Bernoulli Distribución Binomial Distribución de Poisson Distribución Exponencial Objetivos del tema: Al final del tema el alumno será capaz
Más detallesDistribución Chi (o Ji) cuadrada (χ( 2 )
Distribución Chi (o Ji) cuadrada (χ( 2 ) PEARSON, KARL. On the Criterion that a Given System of Deviations from the Probable in the Case of a Correlated System of Variables is such that it Can Reasonably
Más detallesTeoría de la decisión Estadística
Pruebas de hìpótesis Unidad 8. Pruebas de hipótesis. Formulación general. Distribución de varianza conocida. Prueba para la bondad del ajuste. Validación de modelos 1 Formulación Una Hipótesis es una proposición
Más detallespara una muestra Ref: Apuntes de Estadística, Mtra Leticia de la Torre Instituto Tecnológico de Chiuhuahua
Pruebas de hipótesis para una muestra Ref: Apuntes de Estadística, Mtra Leticia de la Torre Instituto Tecnológico de Chiuhuahua Las secciones anteriores han mostrado cómo puede estimarse un parámetro de
Más detallesINTERVALOS DE CONFIANZA. La estadística en cómic (L. Gonick y W. Smith)
INTERVALOS DE CONFIANZA La estadística en cómic (L. Gonick y W. Smith) EJEMPLO: Será elegido el senador Astuto? 2 tamaño muestral Estimador de p variable aleatoria poblacional? proporción de personas que
Más detallesTeorema del límite central
TEMA 6 DISTRIBUCIONES MUESTRALES Teorema del límite central Si se seleccionan muestras aleatorias de n observaciones de una población con media y desviación estándar, entonces, cuando n es grande, la distribución
Más detallesDeterminación del tamaño de muestra (para una sola muestra)
STATGRAPHICS Rev. 4/5/007 Determinación del tamaño de muestra (para una sola muestra) Este procedimiento determina un tamaño de muestra adecuado para la estimación o la prueba de hipótesis con respecto
Más detalles= P (Z ) - P (Z ) = P (Z 1 25) P (Z -1 25)= P (Z 1 25) [P (Z 1 25)] = P (Z 1 25) [1- P (Z 1 25)] =
El peso en kg de los estudiantes universitarios de una gran ciudad se supone aproximado por una distribución normal con media 60kg y desviación típica 8kg. Se toman 100 muestras aleatorias simples de 64
Más detallesEstadística Inferencial
Estadística Inferencial 1 Sesión No.2 Nombre: Distribuciones muestrales Contetualización Toda cantidad que se obtiene de una muestra con el propósito de estimar un parámetro poblacional se llama estadístico
Más detallesModelos de distribuciones discretas y continuas
Ignacio Cascos Fernández Departamento de Estadística Universidad Carlos III de Madrid Modelos de distribuciones discretas y continuas Estadística I curso 2008 2009 1. Distribuciones discretas Aquellas
Más detallesTeoría de muestras. Distribución de variables aleatorias en el muestreo. 1. Distribución de medias muestrales
Teoría de muestras Distribución de variables aleatorias en el muestreo 1. Distribución de medias muestrales Dada una variable estadística observada en una población, se puede calcular se media y su desviación
Más detallesTema 5: Introducción a la inferencia estadística
Tema 5: Introducción a la inferencia estadística 1. Planteamiento y objetivos 2. Estadísticos y distribución muestral 3. Estimadores puntuales 4. Estimadores por intervalos 5. Contrastes de hipótesis Lecturas
Más detallesMODELO DE RESPUESTAS Objetivos 2, 3, 4, 5, 6, 7, Y 8.
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA ESTADÍSTICA GENERAL 745) VICERRECTORADO ACADÉMICO INTEGRAL ÁREA DE MATEMÁTICA Fecha: 17/ 01 /009 MODELO DE RESPUESTAS Objetivos, 3, 4, 5, 6, 7, Y 8. OBJ. 1 PTA 1 Una compañía
Más detallesMétodos Estadísticos de la Ingeniería Tema 11: Contrastes de Hipótesis Grupo B
Métodos Estadísticos de la Ingeniería Tema 11: Contrastes de Hipótesis Grupo B Área de Estadística e Investigación Operativa Licesio J. Rodríguez-Aragón Abril 2010 Contenidos...............................................................
Más detallesTEMA 4: CONTROL POR VARIABLES Hoja de ejercicios (Entregar el 7 -problema de examen-)
MÉTODOS ESTADÍSTICOS PARA LA MEJORA DE LA CALIDAD INGENIERIA DE TELECOMUNICACIONES TEMA 4: CONTROL POR VARIABLES Hoja de ejercicios (Entregar el 7 -problema de examen-) 1. Un proceso industrial fabrica
Más detallesJUEGO DE BASKETBALL. Repaso de Distribuciones de Probabilidad Discretas y Continuas
JUEGO DE BASKETBALL Repaso de Distribuciones de Probabilidad Discretas y Continuas PREGUNTA #1 Qué es una variable aleatoria uniforme discreta? Cómo es su distribución? Qué es una variable aleatoria uniforme
Más detallesAlgunas Distribuciones Continuas de Probabilidad. UCR ECCI CI-1352 Probabilidad y Estadística Prof. M.Sc. Kryscia Daviana Ramírez Benavides
Algunas Distribuciones Continuas de Probabilidad UCR ECCI CI-1352 Probabilidad y Estadística Prof. M.Sc. Kryscia Daviana Ramírez Benavides Introducción El comportamiento de una variable aleatoria queda
Más detallesTema 4: Probabilidad y Teoría de Muestras
Tema 4: Probabilidad y Teoría de Muestras Estadística. 4 o Curso. Licenciatura en Ciencias Ambientales Licenciatura en Ciencias Ambientales (4 o Curso) Tema 4: Probabilidad y Teoría de Muestras Curso 2008-2009
Más detallesESTADÍSTICA. Población Individuo Muestra Muestreo Valor Dato Variable Cualitativa ordinal nominal. continua
ESTADÍSTICA Población Individuo Muestra Muestreo Valor Dato Variable Cualitativa ordinal nominal Cuantitativa discreta continua DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS Frecuencia absoluta: fi Frecuencia relativa:
Más detallesAGRO Examen Parcial 2. Nombre:
Densidad Densidad Densidad Densidad Examen Parcial 2 AGRO 5005 Nombre: Instrucciones: Por favor lea los enunciados y las preguntas cuidadosamente. Se pueden usar el libro, las tablas con fórmulas y la
Más detallesProbabilidad y Estadística
Probabilidad y Estadística Tema 13 Inferencia en una población Objetivo de aprendizaje del tema Al finalizar el tema serás capaz de: Explicar el procedimiento de pruebas en la inferencia estadística. Aplicar
Más detallesUNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL DE GUAYANA VICERRECTORADO ACADÉMICO COORDINACION DE PRE-GRADO PROYECTO DE CARRERA DE INGENIERIA INDUSTRIAL
VICERRECTORADO ACADÉMICO COORDINACION DE PRE-GRADO PROYECTO DE CARRERA DE INGENIERIA INDUSTRIAL PROGRAMA: ESTADISTICA II CÓDIGO ASIGNATURA: 1215-22 PRE-REQUISITO: 1215-311 SEMESTRE: CUARTO UNIDADES DE
Más detallesANALISIS DE FRECUENCIA EN HIDROLOGIA
ANALISIS DE FRECUENCIA EN HIDROLOGIA Luis F. Carvajal Julián D. Rojo Universidad Nacional de Colombia Facultad de Minas Escuela de Geociencias y Medio Ambiente Introducción 1. Los eventos hidrológicos
Más detallesINTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS DE DATOS ORIENTACIONES (TEMA Nº 7)
TEMA Nº 7 DISTRIBUCIONES CONTINUAS DE PROBABILIDAD OBJETIVOS DE APRENDIZAJE: Conocer las características de la distribución normal como distribución de probabilidad de una variable y la aproximación de
Más detallesTema 6. Variables aleatorias continuas
Tema 6. Variables aleatorias continuas Resumen del tema 6.1. Definición de variable aleatoria continua Identificación de una variable aleatoria continua X: es preciso conocer su función de densidad, f(x),
Más detalles2 Introducción a la inferencia estadística Introducción Teoría de conteo Variaciones con repetición...
Contenidos 1 Introducción al paquete estadístico S-PLUS 19 1.1 Introducción a S-PLUS............................ 21 1.1.1 Cómo entrar, salir y consultar la ayuda en S-PLUS........ 21 1.2 Conjuntos de datos..............................
Más detallesIntervalos de confianza
Capítulo 5 Intervalos de confianza Como su nombre indica, el objetivo de un estadístico puntual para un parámetro desconocido de una población, es acercarnos al verdadero valor del mismo dando un valor
Más detallesDefinición Una hipótesis es una afirmación acerca de un parámetro.
Capítulo 8 Prueba de hipótesis Existen dos áreas de interés en el proceso de inferencia estadística: la estimación puntual y las pruebas de hipótesis. En este capítulo se presentan algunos métodos para
Más detallesJuan Carlos Colonia INTERVALOS DE CONFIANZA
Juan Carlos Colonia INTERVALOS DE CONFIANZA INTERVALOS DE CONFIANZA PARA LOS PARÁMETROS DE DOS POBLACIONES I.C. PARA EL COCIENTE DE VARIANZAS Sean X y dos muestras aleatorias,..., Xn Y,..., Yn independientes
Más detallesUnidad IV: Distribuciones muestrales
Unidad IV: Distribuciones muestrales 4.1 Función de probabilidad En teoría de la probabilidad, una función de probabilidad (también denominada función de masa de probabilidad) es una función que asocia
Más detallesCurso de Probabilidad y Estadística
Curso de Probabilidad y Estadística Distribuciones de Probabilidad Dr. José Antonio Camarena Ibarrola camarena@umich.mx Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo Facultad de Ingeniería Eléctrica
Más detallesTema 10: Introducción a los problemas de Asociación y Correlación
Tema 10: Introducción a los problemas de Asociación y Correlación Estadística 4 o Curso Licenciatura en Ciencias Ambientales Licenciatura en Ciencias Ambientales (4 o Curso) Tema 10: Asociación y Correlación
Más detallesT2. El modelo lineal simple
T2. El modelo lineal simple Ana J. López y Rigoberto Pérez Dpto Economía Aplicada. Universidad de Oviedo Curso 2010-2011 Curso 2010-2011 1 / 40 Índice 1 Planteamiento e hipótesis básicas 2 Estimación de
Más detallesCM0244. Suficientable
IDENTIFICACIÓN NOMBRE ESCUELA ESCUELA DE CIENCIAS NOMBRE DEPARTAMENTO Ciencias Matemáticas ÁREA DE CONOCIMIENTO MATEMATICAS, ESTADISTICA Y AFINES NOMBRE ASIGNATURA EN ESPAÑOL ESTADÍSTICA GENERAL NOMBRE
Más detallesProbabilidad y Estadística
Probabilidad y Estadística Tema 10 Estadísticos muestrales y sus aplicaciones Objetivo de aprendizaje del tema Al finalizar el tema serás capaz de: Describir las propiedades de los estadísticos muestrales.
Más detallesMatemáticas 2.º Bachillerato. Intervalos de confianza. Contraste de hipótesis
Matemáticas 2.º Bachillerato Intervalos de confianza. Contraste de hipótesis Depto. Matemáticas IES Elaios Tema: Estadística Inferencial 1. MUESTREO ALEATORIO Presentación elaborada por el profesor José
Más detallesTAMAÑO DE MUESTRA EN LA ESTIMACIÓN DE LA MEDIA DE UNA POBLACIÓN
TAMAÑO DE MUESTRA EN LA ESTIMACIÓN DE LA MEDIA DE UNA POBLACIÓN En este artículo, se trata de explicar una metodología estadística sencilla y sobre todo práctica, para la estimación del tamaño de muestra
Más detalles6. Estimación, DISTRIBUCIONES MUESTREO, Y PRUEBA DE
6. Estimación, DISTRIBUCIONES MUESTREO, Y PRUEBA DE HIPÓTESIS. 6.1 INFERENCIA ESTADISTICA La estadística está dividida en descriptiva e inferencial donde La estadística Descriptiva se relaciona principalmente
Más detallesINDICE 1. Qué es la Estadística? 2.Descripción de Datos: Distribuciones de Frecuencia y Presentación Gráfica
INDICE 1. Qué es la Estadística? 1 Introducción 2 Qué significa estadística? 2 Por qué se estudia la estadística? 4 Tipos de estadística 5 Estadística descriptiva 5 Estadística inferencial 6 Tipos de variables
Más detallesINDICE. Prólogo a la Segunda Edición
INDICE Prólogo a la Segunda Edición XV Prefacio XVI Capitulo 1. Análisis de datos de Negocios 1 1.1. Definición de estadística de negocios 1 1.2. Estadística descriptiva r inferencia estadística 1 1.3.
Más detallesANÁLISIS DE FRECUENCIAS
ANÁLISIS DE FRECUENCIAS EXPRESIONES PARA EL CÁLCULO DE LOS EVENTOS PARA EL PERÍODO DE RETORNO T Y DE LOS RESPECTIVOS ERRORES ESTÁNDAR DE ESTIMACIÓN REQUERIDOS PARA LA DETERMINACIÓN DE LOS INTERVALOS DE
Más detallesPLAN DE TRABAJO 9 Período 3/09/07 al 28/09/07
PLAN DE TRABAJO 9 Período 3/09/07 al 28/09/07 TEMAS A ESTUDIAR En esta guía nos dedicaremos a estudiar el tema de Estimación por intervalo y comenzaremos a estudiar las pruebas de hipótesis paramétricas.
Más detallesTabla de Test de Hipótesis ( Caso: Una muestra ) A. Test para µ con σ 2 conocida: Suponga que X 1, X 2,, X n, es una m.a.(n) desde N( µ, σ 2 )
Test de Hipótesis II Tabla de Test de Hipótesis ( Caso: Una muestra ) A. Test para µ con σ conocida: Suponga que X, X,, X n, es una m.a.(n) desde N( µ, σ ) Estadística de Prueba X - μ Z 0 = σ / n ~ N(0,)
Más detallesTEMA 2: Estimadores y distribuciones en el muestreo. Alfredo García Hiernaux. Grupos 69 y 73 Estadística I. Curso 2006/07
TEMA 2: Estimadores y distribuciones en el muestreo 1) Introducción 2) Tipos de muestreos 3) Estadísticos INDICE 4) Estimadores y propiedades 5) Distribución muestral 6) Teorema Central del Límite 7) Distribuciones
Más detallesMuestreo. Tipos de muestreo. Álvaro José Flórez. Febrero - Junio Facultad de Ingenierías. 1 Escuela de Ingeniería Industrial y Estadística
Muestreo Tipos de muestreo Álvaro José Flórez 1 Escuela de Ingeniería Industrial y Estadística Facultad de Ingenierías Febrero - Junio 2012 Introducción Todos los métodos probabilísticos de muestreo están
Más detallesCONTRASTE DE HIPÓTESIS
CONTRASTE DE HIPÓTESIS Antonio Morillas A. Morillas: Contraste de hipótesis 1 CONTRASTE DE HIPÓTESIS 1. Introducción 2. Conceptos básicos 3. Región crítica óptima i. Teorema de Neyman-Pearson ii. Región
Más detallesVariable Aleatoria Continua. Principales Distribuciones
Variable Aleatoria Continua. Definición de v. a. continua Función de Densidad Función de Distribución Características de las v.a. continuas continuas Ejercicios Definición de v. a. continua Las variables
Más detallesINFERENCIA ESTADÍSTICA Notas de clase. Profesores: A. Leonardo Bañuelos S. Nayelli Manzanarez Gómez
INFERENCIA ESTADÍSTICA Notas de clase Profesores: A. Leonardo Bañuelos S. Naelli Manzanarez Gómez TEMA II ESTIMACIÓN PUNTUAL DE PARÁMETROS POBLACIONALES La estimación puntual de un parámetro relativo a
Más detallesPROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA Notas de clase Profesores: A. Leonardo Bañuelos S. Nayelli Manzanarez Gómez TEMA VI DISTRIBUCIONES MUESTRALES En adelante, cuando se hable de una muestra aleatoria, o de las
Más detallesEjercicios T2 y T3.- DISTRIBUCIONES MUESTRALES Y ESTIMACIÓN PUNTUAL
Ejercicios T2 y T3.- DISTRIBUCIONES MUESTRALES Y ESTIMACIÓN PUNTUAL 1. Se ha realizado una muestra aleatoria simple (m.a.s) de tamaño 10 a una población considerada normal. Llegando a la conclusión que
Más detallesUnidad Temática 5 Estimación de parámetros: medias, varianzas y proporciones
Unidad Temática 5 Estimación de parámetros: medias, varianzas y proporciones Responda verdadero o falso. Coloque una letra V a la izquierda del número del ítem si acepta la afirmación enunciada, o una
Más detalles( ) DISTRIBUCIÓN UNIFORME (o rectangular) 1 b a. para x > b DISTRIBUCIÓN DE CAUCHY. x ) DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL. α α 2 DISTRIBUCIÓN DE LAPLACE
Estudiamos algunos ejemplos de distribuciones de variables aleatorias continuas. De ellas merecen especial mención las derivadas de la distribución normal (χ, t de Student y F de Snedecor), por su importancia
Más detallesProbabilidad. Álvaro José Flórez. Febrero - Junio Facultad de Ingenierías. 1 Escuela de Ingeniería Industrial y Estadística
Probabilidad Álvaro José Flórez 1 Escuela de Ingeniería Industrial y Estadística Facultad de Ingenierías Febrero - Junio 2012 Probabilidad Expresión del grado de certeza de que ocurrirá un determinado
Más detalles