ALGEBRA Y GEOMETRIA ANALITICA

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1 Diplomatura en Ciencia y Tecnología ALGEBRA Y GEOMETRIA ANALITICA SEGUNDO CUATRIMESTRE DE 2009 Profesora Mariana Suarez PRACTICA N 7: SISTEMA COORDENADO TRIDIMENSIONAL. VECTORES.

2 PRACTICA 7: Sistema coordenado tridimensional. Vectores. PRIMERA PARTE Ejercicio 1. a) Situar en un sistema de coordenadas cartesianas ortogonales los puntos A0,0,4) B3,4,0) C6,0,0) D5,4,3) b) Si desde el punto D se trazan rectas perpendiculares a los planos coordenados, cuáles son las coordenadas del pie de cada perpendicular? c) Si desde D se traza una recta perpendicular al plano z=-2, cuáles son las coordenadas del pie de la citada perpendicular? Ejercicio 2. Describir geométricamente todos los puntos Px,y,z) que satisfagan la condición indicada a) z=5 b) x=1 c) x=2, y=3 d) x=4, y=-1, z=7 e) x-2)z-8)=0 f) z 2-16=0 Ejercicio 3. Dibujar una caja rectangular que tenga al origen y al punto P2, 3, 5) como vértices opuestos y sus caras paralelas a los planos coordenados. Luego encontrar las coordenadas de los otros seis vértices de la caja y la longitud de la diagonal de la caja. Ejercicio 4. a) Usar la fórmula de distancia para decidir si los puntos R1,4,0) S-2,-2,-3) y T7,10,16) son colineales b) Encontrar x si P1x,x,1), P20,3,5) y dp1,p2) = 5 c) Encontrar los puntos del eje y que equidistan de P3, 2, 0) y Q2, -1, 1). Interpretar geométricamente. Página 1 de 4

3 SEGUNDA PARTE Ejercicio 1. Calcular el vector z a) Si u = 2, -1) y v = 1, 2). z = u + 2 v z = ½ 3u + v) z = -u + ¼ v. Graficar. b) Si u = 1, 2, 3), v = 2, 2-1) y w = 4, 0, -4) z = u - v z = 2u + 4v - w z = 5u - 3v - ½ w z= v.w Ejercicio 2. Dados a = 2, 1, 2) y b = -3, 4, 5), hallar un vector unitario que tenga la misma dirección que a + 3b Ejercicio 3. a) En cada uno de los siguientes casos determinar cuáles vectores PQ y AB son equivalentes o equipolentes): i) P = 1, -1), Q = 4, 3), A = -1, 5), B =5, 2) ii) P = 1, 4), Q = -3, 5), A =5, 7), B = 1, 8) iii) P = 1, -1, 5), Q = -2, 3, -4), A = 3, 1, 1), B = 0, 5, 10) iv) P = 2, 3, -4), Q = -1, 3, 5), A = -2, 3, -1), B = -5, 3, 8) b) Determinar m para que los vectores a = 2, 3m, -m) y b = m 2 +2m-1, m 2 +2,m 2-2m) resulten equipolentes Ejercicio 4. Si AB es un representante del vector v=7,-1,3) y B es -2,3,5) cuál es A? Ejercicio 5. Dados los puntos P-1, 2, 3) y Q 3, -2, 4), obtenga a y b reales sabiendo que: a b w = 4 a + 4b, 4 a + b), y PQ son: i ) equipolentes, ii ) opuestos 2 Ejercicio 6. Usando vectores, demostrar que el punto medio M del segmento determinado por x1 + x2 y1 + y2 z1 + z2 P1 = x1, y1, z1) y P2 = x2, y2, z2) es M =,, Ejercicio 7. Determinar cuáles de los siguientes vectores son colineales con a = 3, 2, 5) u = , 8, 20) v = 2,, w = 6i 4j + 10k h = 3i + 2j 10k Ejercicio 8. Determinar las proyecciones escalar y vectorial de a en la dirección de b y de b en la dirección de a si a) a=-5i+5j b=-3i+4j b) a=-i-2j+7k b=6i-3j-2k Página 2 de 4

4 Ejercicio 9. a) Determinar un vector u colineal con v = 3i + 2j + 2k que verifica u.v = 3. b) Determinar k para que u = k, 3+k) sea perpendicular a v = 1, 1) y dibujarlos. c) Los vectores a y b forman entre si un ángulo de π/4. Si el módulo de a es 3 cuál debe ser la longitud de b para que a - b sea perpendicular a a? d) ) Los vectores a y b forman entre si un ángulo de π/3. Si el módulo de a es 3 y el módulo de b es 5, calcular a b. Ejercicio 10. Hallar α R tal que αa + 8b sea ortogonal a αa 8b y a = 2b a y b no nulos). Ejercicio 11. Sean u = 2, 4, 0) y w = 3i + j k. Hallar los vectores v y t tales que : t sea ortogonal a u, v sea paralelo a u y w = v + t. Ejercicio 12. Dados los vectores a = 3, 1, 0), b = 4, 2, 1) y c = 2, 1, 2) ortogonal a a y b y tal que proy c v = 6 Ejercicio 13. Encuentre un vector b paralelo al eje z tal que a +b ) = 5 3, 5, 2) y = 2, 1, 2) a = c proy c Ejercicio 14. Demostrar que el vector n = Ai + Bj es perpendicular a la recta de ecuación Ax + By +C = 0. Sugerencia : Tomar dos puntos distintos de la recta). Hallar un vector v, siendo Ejercicio 15. Mostrar, usando vectores, que las diagonales de un rombo son perpendiculares. Ejercicio 16. Dados los puntos P11,0,1) y P2k,2-k,2+k), hallar k tal que los vectores OP1 y OP2 determinen un ángulo de π/3. Ejercicio 17. Mostrar que si u es perpendicular a v1 y v2 entonces es perpendicular a c1 v1 + c2 v2 siendo c1 y c2 números cualesquiera. Interpretar geométricamente. Ejercicio 18. Sean v1,v2 y v3 tres vectores no nulos perpendiculares dos a dos. Mostrar que si c1 v1 + c2 v2 + c3 v3 = 0 entonces c1 = c2 = c3 = 0. Ejercicio 19. Calcular u x v y comprobar que que es ortogonal a u y v. Calcular además el área del paralelogramo determinado por u y v. a) u = 2, -3, 1) v = 1, -2, 1) b) u = 12, -3, 0) v = -2, 5, 0) Página 3 de 4

5 Ejercicio 20. Hallar un vector de módulo 2 perpendicular al plano de los vectores u=2,-1,0) y v=3,-2,-1) Ejercicio 21. Calcular el área del triángulo de vértices 2, -3, 1), 0, 1, 2) y 1, 4, 2). Ejercicio 22. a.- Hallar x para que el volumen del paralelepípedo que tiene por aristas u = -1,1,1) v = 1,0, x) y w = 2,-1,1) sea 7. b.- Hallar el volumen del paralelepípedo determinado por i + j, j + k, i + k Ejercicio 23. Averiguar si los vectores 2, 3, -1), 1, -1, 3) y 1, 9, -1) son coplanares. Ejercicio 24. Utilice el producto triple para probar que los puntos P 1, 0, 1), Q 2, 4, 6), R 3, -1, 2) y S 6, 2, 8) son coplanares. Ejercicio 25. Suponiendo que u. v x w ) = 2, hallar a.- v. u x w) b.- u x v). w c.- u. w x v ) d.- u x v). v e.- u x u). w Ejercicio 26. a) Comprobar que v = 1, 1, 1) es combinación lineal de v1 = 1, -2, 1), v2 = 0, 1, 3) y v3 = 1, 5, 1). Explicar gráficamente su significado. Vale para cualquier vector v? b) Averiguar si cualquier vector del espacio puede escribirse como combinación lineal de los vectores v1 = 1, -2, 1), v2 = 0, 1, 3) y v3 = -2, 5, 1) EJERCICIOS TEÓRICOS CORRESPONDIENTES A LA PRÁCTICA Encontrar las coordenadas del punto medio de un segmento del espacio. 2.- Dado el vector c,d), encontrar un representante del mismo con punto inicial m,n) 3.- Definir ángulo entre dos vectores 4.- Producto escalar, definición. Propiedades. 5.- Cálculo del ángulo entre dos vectores. 6.- Definir ángulos y cosenos directores de un vector del espacio 7.- Definir proyección escalar y proyección vectorial de un vector sobre otro. 8.- Qué se puede decir acerca del ángulo que forman dos vectores no nulos u y v si: a) u.v = 0 b) u.v > 0 c) u.v < Qué se puede decir de dos vectores u y v si la proyección escalar de u sobre v es u? y si es 0? 10.- Completar y demostrar: el módulo del producto vectorial es Interpretación geométrica del módulo del producto vectorial Triple producto escalar. Definición e interpretación geométrica Sean u, v y w vectores del espacio. Demostrar que u v w) = u.w).v u.v).w 14.- Sean u, v y w vectores del espacio. Demostrar que el módulo de u v es el producto de los módulos si u y v son ortogonales Usando vectores, demostrar el teorema del seno y el teorema del coseno de la trigonometría plana. Página 4 de 4