ESTADISTICA GENERAL. MEDIDAS ESTADISTICAS Profesor: Celso Celso Gonzales

Transcripción

1 ESTADISTICA GENERAL MEDIDAS ESTADISTICAS Profesor: Celso Celso Gozales

2 SUMATORIAS Objetvos: Represetar medate sumatoras ua epresó umérca.

3 SUMATORIAS Sumatora smple e el caso de que solo se tee u solo crtero para detfcar a ua observacó q p Ejemplo: Ua empresa tee 500 trabajadores y represeta el sueldo de cada trabajador. Cómo epresaría la catdad total que la compañía debería teer a f de mes para pagar la plalla de los trabajadores?

4 SUMATORIAS SUMATORIAS - PROPIEDADES PROPIEDADES ( + ) p q k k q p q p q p k k * ) ( + +

5 SUMAS DE CUADRADO Y SUMAS DE PRODUCTO SC ) SCy ( y y) ( SPy ( )( y y) y y y

6 SUMATORIAS Sumatora doble: E el caso de que se tega dos crteros para detfcar a ua observacó. q s p j r j Notacó putual X X X j m j j j m j ; ; j j,..., m,...,

7 Ejemplo Se tee la sguete formacó sobre el úmero de electrodoméstcos veddos por 5 vededores e ua semaa. Electrodoméstco () Vededor (j) Preco () Refrgeradoras () Televsores () Equpos sodo (3) Las varables e estudo so: X j Número de electrodoméstcos del tpo veddos por el vededor j. P Preco del electrodoméstco del tpo. Represetar medate sumatoras y determar el valor umérco de: El total de televsores veddos e la semaa. El total de electrodoméstcos veddos por el vededor. El valor de veta total del vededor 4. El valor de veta total por cocepto de refrgeradoras y televsores.

8 Dadas las sguetes epresoes: [ ] + + A ) )( ( 3 B ) ( X X. Se puede coclur que A es gual a B? Ejemplo dode

9 MEDIDAS ESTADISTICAS Meddas de tedeca o poscó Meddas de varabldad

10 Objetvos Descrbr las meddas de Tedeca Cetral de los datos. Descrbr las meddas de varabldad de los datos. Descrbr las meddas de Poscó de los datos. Descrbr la forma de la dstrbucó. Itroducr el grafco de bo-plot como ua herrameta para descrbr las característcas de los datos.

11 MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Resume la formacó recolectada e dcadores que refleja la forma e que los datos se agrupa o cocetra alrededor de certos valores de ua varable e estudo. Meda artmétca smple Meda artmétca poderada Meda geométrca Meda armóca Medaa Moda

12 Meda Artmétca La meda artmétca, llamada també promedo artmétco, se defe como el cocete de la suma de los valores observados de la varable e estudo y el úmero de observacoes (Datos o agrupados e tervalos de clase) N X μ X N N X N X X X X

13 Ejemplo Durate 4 años sucesvos u dustral compró petróleo para ua caldera a 6, 8, y 5 cetavos por galó Cuál es el costo promedo por galó para u perodo de cuatro años cuado compra gual catdad de petróleo por año? X total decostos soles / galo galo 4

14 Ejemplo El sguete cuadro muestra el úmero de trabajadores que se ausetaro daramete a ua fábrca durate 0 días laborables. Xfaltas f Número de días X X f (0) + 4() + 7() + 6(3) + (4) faltas/ da E promedo se tee que. trabajadores falta e u día laborable.

15 Propedades de la meda artmétca tca ) La meda artmétca es u valor represetatvo debdo a que es el cetro de gravedad o puto de equlbro de u cojuto de datos. ) S se susttuye el valor de cada observacó por el valor del promedo artmétco o vara la suma de todas las observacoes. 3) La suma de las desvacoes de las observacoes co respecto al promedo artmétco es gual a cero. ( ) 0

16 4) S a cada observacó de ua muestra se le suma ua costate, el promedo de las uevas observacoes será gual al promedo de la muestra orgal más la costate. S y ± b,,,..., etoces y ± b 5) S a cada observacó de ua muestra se le multplca por ua costate, el promedo de las uevas observacoes será gual al promedo de la muestra orgal multplcado por la costate. S y etoces a,,,..., y a

17 MEDIA ARITM MEDIA ARITMÉTICA PONDERADA TICA PONDERADA La meda o promedo poderado de u cojuto de observacoes,,,, co pesos o poderacoes w, w,, w se defe como p w w w w w w w w X Usado para el calculo de úmeros ídces, porcetaje promedo, costo promedo, etc, es decr e todos aquellos casos dode las observacoes o tee la msma mportaca.

18 Ejemplo E ua ageca de vajes se ha veddo 00 pasajes a los precos sguetes: Preco de Veta (uevos soles) Número de pasajes Poderacó Total Calcule el preco promedo de veta?

19 Ejemplo Supoga que los costos de produccó y las catdades producdas por tres sucursales A, B y C de ua empresa so: Sucursal Costo de prod (X ) (soles) Catdad producda (w ) (umero de udades) A B C X p w w 0.5 * * * soles / ud El costo de produccó promedo por udad producda, para la empresa e su cojuto, será de soles.

20 Ejemplo Las calfcacoes de u estudate e las 3 asgaturas del curso fuero 4,; 5,6 y 7,8. a) S los pesos asgados a cada asgatura so, 4, y 5 respectvamete. Cuál es el promedo adecuado para sus calfcacoes? b) Cuál será el promedo s todos los pesos fuese guales?

21 MEDIA GEOMÉTRICA Correspode al valor represetatvo cetral de observacoes secuecales y estrechamete relacoadas etre sí. La meda geométrca de u cojuto de observacoes postvas,,, se defe como: X G.,, Este promedo se usa e la elaboracó de úmeros ídces y tasas promedos de varacó

22 Ejemplo: El Producto Bruto Itero de u país durate los últmos cco años tuvo la evolucó sguete: Año: +5%. Año : 0% Año3: - % Año 4: +% y Año5: + 4%. Cuál es la tasa de crecmeto aual promedo del PBI? AÑO Evolucó del PBI 0 00 Tasa de crecmeto

23 Ejemplo: Se recbó u préstamo de 000 soles por 3 meses y al fal del período se pagó u total soles; Cuál fue la tasa promedo de terés mesual que se pagó? Mes Saldo Mes Mes Mes

24 Ejemplo: Supoga que ua empresa ha epermetado u aumeto e sus vetas del: 5% e el año 003, 5% e el año 004 y ua dsmucó del 5% e el año 005. Hallar el promedo de crecmeto aual. 3 3 X G,5*,5*0,95,36565,095 Se puede coclur que las vetas se ha cremetado aualmete a u rtmo promedo del 0.95%. NOTA: Determar porcetaje promedo e vetas u otros egocos o seres ecoómcas de u período a otro X G valor fal del perodo valor al co del perodo

25 MEDIA ARMÓNICA La meda armóca de u cojuto de observacoes o ulas (dferetes de cero),,, se defe como el recproco de la meda artmetca de los recprocos de las observacoes. X A Obs: Los valores etremos afecta al promedo armóco co meor tesdad que al promedo geométrco y al promedo artmétco.

26 La meda armóca es útl para promedar razoes que tee dmesoes físcas tales como Km/gal, costo/km, km/h Cuado la udad del valor costate o udad de evaluacó es gual a la udad del umerador de ua razó, se usa el promedo armóco, y s es gual a la udad del deomador se usa el promedo artmétco.

27 Ejemplo: Calcular el redmeto promedo para el caso de tres automóvles que recorrero 500 klómetros y cada auto tuvo el redmeto sguete: Auto A B C Redmeto (Km/galó)

28 Ejemplo: Supoga que la velocdad de produccó de 3 obreros de so 0.5, 0.65 y 0.4 horas/artculo. Halle el tempo promedo por artculo producdo durate 6 horas de trabajo. X A horas / artculo E promedo se ecestara horas para producr u artículo.

29 Ejemplo Durate 4 años sucesvos u dustral compró petróleo para ua caldera a 6, 8, y 5 cetavos por galó Cuál es el costo promedo por galó para u perodo de cuatro años cuado cada año gasta gual catdad de dero? X A total decostos 4 galo soles/ galo

30 MEDIANA La medaa de u cojuto de observacoes ordeadas de acuerdo a su magtud, es el valor de la observacó que ocupa la poscó cetral. M e medaa poblacoal m e medaa muestral La medaa dvde a u cojuto de observacoes e dos partes guales. El 50% co valores mayores a la medaa y el otro 50% co valores meores. La medaa es fluecada por el úmero de observacoes y o por los valores de las observacoes.

31 Medaa 50% de 50% de m Para datos o agrupados me me X X me ma + + X + para para mpar par

32 EJEMPLO E la Graja UNALM, se realzó u estudo co la faldad de comparar el peso e Kg. ( a los dos meses de acdo), de dos razas de cuyes: It y Ada. Para llevarlo a cabo, se seleccoaro al azar muestras de cada ua de las razas, obteédose los sguetes resultados:. Halle e terprete la meda, medaa y la moda para la raza Ada. Cuado se cosdera el cuy para cosumo almetco, se debe teer e cueta que el 6 % del peso del cuy de la raza t es comestble, y que el preco de veta de la parte comestble es de 8 soles por klogramo. Para mateer la parte comestble lsta para la veta, ésta debe ser refrgerada a u costo úco de 5 soles(o depededo de la catdad de cuyes que se desee refrgerar). Cosderado las codcoes ya mecoadas, cuál es el greso eto promedo por la veta de los cuyes de raza t? ANDINA Cuy Peso Cuy Peso 0, INTI Stem-ad-Leaf Dsplay: Catmor Stem-ad-leaf of Catmor N4 0,89 0 0,95 Leaf Ut 0,00 3 0,89 0, ,89 0, ,89 3, ,89 4,09 (5) ,89 5, ,90 6, 0 5 5

33 Ejemplo Se realzó u estudo sobre el café e el departameto de Sa Martí dode se evaluaro dos varedades: Caturra y Catmor; para ambas varedades se evaluaro 4 parcelas. Los redmetos a) Halle e terprete las meddas de tedeca cetral (meda, medaa y moda) de la varedad Catmor. b) Calcule la produccó meda de café para estas dos varedades de maera cojuta. c)s el costo de produccó de la varedad Caturra es C X + 8. Halle el costo medo, costo medao y costo modal. Caturra VARIEDADES Parcela Red. Parcela Red. 8,5 9,4 Catmor Stem-ad-Leaf Dsplay: Catmor Stem-ad-leaf of Catmor N4 9,8 0,7 Leaf Ut 0,0 3 9,9, ,3, 9 5 0,7 3, ,9 4 4,9 (5) , ,

34 MODA Es aquel valor, clase o categoría que ocurre co mayor frecueca. Nota: La moda se puede hallar para datos cualtatvos como cuattatvos. La moda es ua medda de tedeca estable.

35 Ejemplo Cuáles so los valores de la moda para las sguetes dstrbucoes? Color de cabello frecueca Tpo de sagre frecueca Negro AB 4 Castaño 4 O Pelrrojo 6 A 35 Rubo 8 B 6

36 Meddas de tedeca: PERCENTILES El percetl q (P q ), es el valor por debajo del cual se ecuetra el q% de las observacoes y por ecma el (00-q)% de las observacoes Toma el ombre de percetles por que dvde a la dstrbucó e 00 partes guales.

37 Poscó ( + ) 00 q E. d Cálculo del percetl P q X ( E ) + d + E * ( X ( E ) X ( ) )

38 CUARTILES So 3 y dvde a la dstrbucó e 4 partes guales. Q Prmer cuartl, por debajo de este valor se ecuetra el 5% de las observacoes. Q me Q 3 Tercer cuartl, por debajo de este valor se ecuetra el 75% de las observacoes. Cuartl Q P 5% Q P 50% Q 3 P 75% Poscó 5( +)/00 50( +)/00 75( +)/00 DECILES Los Decles so ueve y dvde a la dstrbucó e 0 partes guales D 3 P 30 D 5 P 50 Q me D 9 P 90

39 Ejemplo Del ejemplo de café la varedad Caturra. Calcule e terprete los cuartles. Caturra Parcela Red. Parcela Red. 8,5 9,4 9,8 0,7 3 9,9,8 4 0,3, 5 0,7 3,4 6 0,9 4 4,9 7 0,9 8,

40 MEDIDAS DE VARIABILIDAD Rago Rago tercuartl Varaca Desvacó estádar Coefcete de varabldad

41 Itroduccó Cuado se dspoe de formacó de ua varable es ecesaro coocer s los datos recoplados muestra ua varabldad sgfcatva. Dspesó de las otas de dos alumos Alumo y Notas

42 S los datos so muy semejates etre s (otas del alumo Y), se observara que o se ecuetra muy dspersos co respecto a la meda; s embargo, cuado los datos preseta dferecas mportates etre s (otas del alumo X) se aprecara que los datos so muy dspersos. E todo aálss estadístco el grado de varabldad es mportate pues de esto depede el grado de cofabldad de las estmacoes que se realce.

43 Rago Es la dfereca etre el valor mámo de las observacoes y el valor mímo de las observacoes. R Obs. Mayor Obs. Meor Nos da ua dea muy rápda de dspersó. Rago tercuartl RICQ 3 -Q també os da dea de dspersó pero e el 50% cetral de los datos

44 VARIANZA Es el promedo de las desvacoes de las observacoes co respeto a su meda, es ua medda de varabldad absoluta σ N ( X ) N μ ud Varaza poblacoal s ( ) X X X X u Varaza muestral

45 Desvacó estádar s Varaza ud. Del ejemplo del café: Calcule las meddas de varabldad (rago, rago tercuartílco, varaza, desvacó estádar y coefcete de varabldad) de la varedad Caturra.

46 Propedades de la varaza: ) La suma de los cuadrados de las desvacoes de las observacoes co respecto al promedo artmétco es meor o gual que la suma de los cuadrados de las desvacoes de las observacoes co respecto a cualquer otro valor. ( ) ( a) a R ) S todas las observacoes so guales a ua costate la varaza es cero. 3) S a cada observacó se le suma ua costate, la varaza o camba. 4) S a cada observacó se le multplca por ua costate, la varaza queda multplcada por dcha costate.,

47 Coefcete de Varacó Es ua medda de dspersó relatva que es fáclmete comparable co otro coefcete de varacó de otro cojuto de observacoes. El resultado se epresa e porcetaje. Metras meor es el cv, meor es la dspersó de los datos Grado de varabldad de los datos Coefcete de varabldad Co varabldad baja Meos de 0% Co varabldad moderada De 0% a 30% σ CV.00 cv μ s.00 Co alta varabldad Más de 30% Del ejemplo de café Compare la varabldad de las dos varedades de café a través del coefcete de varabldad y el rago tercuartílco. Qué coclusoes puede obteer de estos resultados?.

48 Ejemplo Sueldo de los empleados de la compañía ABC Sueldo de los geretes de la compañía ABC Meda Desv Est Coef Var 7.87% 8.8%

49 MEDIDA DE ASIMETRÍA Dstrbucó smétrca: Cuado su curva de frecueca es smétrca co respecto al cetro de los datos, e este caso μmemo. Dstrbuco smetrca Frequecy X 5 6 7

50 Dstrbucó asmétrca postva μ>me>mo Dstrbuco asmetrca postva Frequecy X Dstrbucó asmétrca egatva μ<me<mo Dstrbuco asmetrca egartva Frequecy X 4 5 6

51 Coefcete de asmetría a de Pearso As 3(μ Me) σ Poblacoal as 3( s me) Muestral Grado de Asmetría Smetría Perfecta Cero. Sesgo Postvo Postvo. Sesgo Negatvo Negatvo. Valor del Sesgo El promedo es gual a la medaa Promedo mayor que la medaa Promedo meor que medaa

52 BOXPLOT (Dagrama de Cajas) X mímo Q Medaa Q 3 X mámo Xmío : Es la observacó de meor valor Xmámo : Es la observacó de mayor valor Q : Prmer Cuartl Q3 : Tercer Cuartl

53 Peso de u grupode hombres y mujeres 0 00 Frecueca Mujeres Hombres E promedo el peso de los hombres es mayor que el de las mujeres. La dstrbucó del peso de las mujeres tee u valor etremo (outler). Hay mayor dspersó e el cojuto de peso de las mujeres que e el cojuto de pesos de los hombres pues RIC Muujeres >RIC Hombres (e el 50% cetral) Ambas dstrbucoes so smétrcas postvas, observadas e el 50% cetral de los datos.

54 Cuado se cosdera que ua observacó es u outlers? U es cosderado u outlers s o perteece al tervalo [A,B], dode A Q -.5 RIC B Q RIC

55 Ejemplo Se ecuestó a 84 cogresstas de certo país para averguar el úmero de vajes teracoales que realza por año, obteédose los sguetes resultados: Stem-ad-Leaf Dsplay: C Stem-ad-leaf of C N 84 Leaf Ut.0 (46) Calcule las meddas de tedeca cetral para estos datos.calcule todos los valores umércos volucrados e el dagrama de cajas Complete el gráfco co estos valores. Iterprete el rago tercuartl y la smetría de los datos 3.Hallar e terpretar: Meda, Medaa y Moda. 4. Hallar el tervalo del úmero de vajes que realza el 80% cetral de estos cogresstas

56 Se realzo u estudo e la provca de Tambo Grade (Pura), luego de la aplcacó de u uevo aboo e el cultvo de dos varedades de mago: Ket y Hade. Los redmetos e la produccó obtedos luego de la cosecha e Kg/Ha fuero los sguetes: Varedad Ket Varedades N de Ha Red. N de Ha Red. Stem-ad-Leaf Dsplay: Varedad Hade 9 3. Stem-ad-leaf of N Leaf Ut (6)

57 Descrptve Statstcs: Varedad Ket Varable N Mea StDev Mmo Mamo Descrptve Statstcs: Varedad Hadem Varable N Mea StDev Mmo Mamo a) Grafcar u dagrama múltple de cajas para los redmetos de ambas varedades de mago, completado todos los valores compreddos e el dagrama b) Realce ua comparacó acerca de la poscó, varabldad, smetría para el 50% cetral y outlers de ambas varedades.