PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2011 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 4: FUNCIONES

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1 PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 011 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 4: FUNCIONES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva 1, Ejercicio, Opción A Reserva 1, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva 3, Ejercicio, Opción A Reserva 3, Ejercicio, Opción B Reserva 4, Ejercicio, Opción A Reserva 4, Ejercicio, Opción B Septiembre, Ejercicio, Opción A Septiembre, Ejercicio, Opción B

2 x e a) Calcule la unción derivada de ( x) ( x ) b) Se sabe que la expresión que representa el número medio de clientes N() t que acuden un día a una cadena de almacenes, en unción del número de horas t que llevan abiertos, es N() t a t b t, 0 t 8, a, b. Sabiendo que el máximo de clientes que han acudido ese día ha sido de 160 y que se ha producido a las 4 horas de abrir, calcule a y b. SOCIALES II JUNIO. EJERCICIO. OPCIÓN A a) x x x x e ( x ) ( x)( x ) e e ( x ) ( x) e ' ( x) 4 3 ( x ) ( x ) 3 3 ( x ) ( x ) x x e ( x x) e ( x x ) b) El problema nos dice que la unción tiene un máximo en el punto (4,160), con lo cual se veriica que: N(4) a 4b 160 N '(4) 0 8a b 0 Resolviendo el sistema obtenemos que: a 10 ; b 80

3 Las unciones I( t) t 51t y G( t) t 3t 96 con 0t 8 representan, respectivamente, los ingresos y gastos de una empresa, en miles de euros, en unción de los años, t, transcurridos desde su inicio y en los últimos 18 años. a) Para qué valores de t, desde su entrada en uncionamiento, los ingresos coincidieron con los gastos? b) Determine la unción que releje los beneicios (ingresos menos gastos) en unción de t y represéntela gráicamente. c) Al cabo de cuántos años, desde su entrada en uncionamiento,los beneicios ueron máximos?. Calcule el valor de ese beneicio. SOCIALES II JUNIO. EJERCICIO. OPCIÓN B a) b) I t G t t t t t t t t y t ( ) ( ) B I t G t t t t t t t ( ) ( ) c) Calculamos el máximo. B ' 6t 54 0 t 9 El máximo corresponde a los 9 años y el beneicio obtenido es: B(9)

4 x 4 si x 4 Sea la unción ( x) si x 4 x x 4x 1 si x 4 a) Estudie la continuidad y la derivabilidad de. b) Determine los extremos locales de. c) Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráica de la unción en el punto de abscisa x 3. SOCIALES II RESERVA 1. EJERCICIO. OPCIÓN A a) La unción x 4 es continua y derivable para todos los valores; la unción 4 x es continua y derivable para todos los valores excepto en x 0 ; la unción x 4x 1 es continua y derivable para todos los valores. Vamos a estudiar si la unción ( x ) es continua y derivable en x y x 4. lim( x 4) x 4 () lim ( x) Continua en x x lim x x 4 lim 1 x4 x (4) lim ( x) 1 Continua en x 4 x4 lim( x 4x 1) 1 x4 1 si x 4 Calculamos la unción derivada: '( x) si x 4 y como: x x 4 si x 4 '( ) 1 '( ) '( ) '( ) 1 1 '(4 ) 4 '(4 ) '(4 ) '(4 ) 4 Luego la unción (x) es continua en y derivable en 4 Derivable en x No derivable en x 4 b) La unción ( x) x 4 es la ecuación de una recta de pendiente 1, por lo tanto, es 4 decreciente en el intervalo (, ). La unción ( x) es una hipérbola, que es decreciente en el x intervalo,4. La unción ( x) x 4x 1 es una parábola y en el intervalo 4, es creciente. Por lo tanto, la unción tiene un mínimo relativo en el punto (4,1). 4 4 c) La ecuación de la tangente es: y (3) '(3) ( x 3) y ( x 3) 4x 9y

5 Calcule las derivadas de las siguientes unciones: x x ( x) ; 3 x 1 5 g( x) x 1 ln e 4 ; hx ( ) x 3x x SOCIALES II RESERVA 1. EJERCICIO. OPCIÓN B ( ln x) x 1 ( x ) x ln x x ( xln 1) x '( x) x x x x x x x x 3x 3x 3e 3x g '( x) x 1 x ln e 4 3 x 1 x 1 4x ln e 4 x 3x e 4 e 4 3 x5 1 10x h'( x) (3 x) ( x ) 3 x ( x ) 3x 3e x 1

6 Tras un test realizado a un nuevo modelo de automóvil, se ha observado que el consumo de gasolina, cx ( ), expresado en litros, viene dado por la unción c( x) x x siendo x la velocidad en Km/h y 5 x 175 a) Determine el consumo de gasolina a las velocidades de 50 Km/h y 150 Km/h. b) Estudie el crecimiento y decrecimiento de la unción cx. ( ) c) A qué velocidades de ese intervalo se obtiene el mínimo consumo y el máximo consumo y cuáles son éstos?. SOCIALES II RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN A a) c (50) 7'5 0' ' '65 L c (150) 7'5 0' ' '65 L b) Calculamos la derivada y la igualamos a cero. c '( x) 0' x 0 x 100 (5,100) (100,175) Signo c'( x ) + Función D C Mínimo (100,5) c) c (5) 7'5 0'05 5 0' '4065 L c (100) 7'5 0' ' L c (175) 7'5 0' ' '4065 L El consumo máximo es litros y se alcanza a las velocidades de 35 Km/h y 175 Km/h. El consumo mínimo es 5 litros y se alcanza a la velocidad de 100 Km/h.

7 si x 0 x Se considera la unción dada por ( x) si x 0 x a) Estudie la continuidad y la derivabilidad de. b) Halle las ecuaciones de las asíntotas de esta unción. SOCIALES II RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN B a) La unción x. La unción es x. Por lo tanto, debemos estudiar la continuidad y es continua en y derivable en continua en y derivable en derivabilidad en x 0. lim 1 x0 x (0) lim ( x) 1 Continua en x 0 x0 lim 1 x0 x si x 0 ( x ) Calculamos la unción derivada: '( x) y como: si x 0 ( x ) 1 '(0 ) '(0 ) '(0 ) No derivable en x 0 1 '(0 ) Luego la unción (x) es continua en, y derivable en 0,, b) La recta x es una asíntota vertical, ya que: La recta x es una asíntota vertical, ya que: La recta y 0 es una asíntota horizontal, ya que: lim x x lim x x lim lim 0 x x x x

8 Un banco lanza al mercado un plan de inversión cuya rentabilidad Rx, ( ) en miles de euros, viene dada en unción de la cantidad, x, que se invierte, también en miles de euros, por la siguiente expresión: R( x) 0.001x 0.4x 3.5 con x 10 a) Calcula la rentabilidad para una inversión de euros. b) Deduzca y razone qué cantidad habría que invertir para obtener la máxima rentabilidad. c) Qué rentabilidad máxima se obtendría?. SOCIALES II RESERVA 3. EJERCICIO. OPCIÓN A a) Como la unción está dada en miles de euros, entonces x 100 R(100) 0' '4100 3'5 33' b y c) Calculamos la derivada y la igualamos a cero, para hallar el vértice de la parábola. R '( x) 0'00x 0'4 0 x 00 La máxima rentabilidad estará en el vértice de la parábola o en el extremo x 10 R(10) 0' '410 3'5 7' R(00) 0' '400 3'5 43' Luego, la máxima rentabilidad es de y se obtiene con una inversión de

9 Sea la unción x x ax si x 1 x si x 1 ( ) x 8x 15 si x 3 a) Calcule el valor de a para que sea continua en x 1. b) Para a estudie la continuidad y la derivabilidad de. SOCIALES II RESERVA 3. EJERCICIO. OPCIÓN B a) Como es continua en x 1, se cumple que: 5 lim lim 1 4 a a lim x ax 3 4 a x1 x1 lim 1 x 1 x1 x1 b) La unción que tenemos es: x x x si x 1 x si x 1 ( ) x 8x 15 si x 3 En x 1 la unción no es continua, ya que el valor de a era 5 a. Estudiamos en x 3 lim x 4x 3 0 x3 (3) lim ( ) 0 x Es continua x3 lim x 8x15 0 x3 En x 1 la unción no es derivable ya que no es continua. Estudiamos la derivabilidad en x 3 4x si x 1 Calculamos la unción derivada: '( x) x 4 si 1 x 3 y como: x 8 si x 3 '(3 ) '(3 ) '(3 ) Derivable en x 3 '(0 ) Luego la unción (x) es continua en 1 y derivable en 1

10 El beneicio, en miles de euros, alcanzado en una tienda de ropa el pasado año, viene dado por la unción Bt () expresada a continuación 1 t t 5 si 0 t 6 8 Bt (), t es el tiempo transcurrido en meses t 1 si 6 t 1 a) Estudie la derivabilidad de la unción al cabo de 6 meses. b) Cuándo ue mínimo el beneicio?. Cuál ue dicho beneicio?. c) Represente gráicamente la unción Bt (). Cuándo ue máximo el beneicio?. A cuánto ascendió?. SOCIALES II RESERVA 4. EJERCICIO. OPCIÓN A a) Estudiamos primero la continuidad en t 6: 1 7 lim t t 5 t6 8 7 B(6) lim B( t) Es continua t 1 7 t6 lim t6 Estudiamos la derivabilidad en t 6 t 1 si 0 x 6 4 Calculamos la unción derivada: B'( t) y como: 1 si 0 x 1 1 B '(6 ) B'(6 ) B'(6 ) Derivable en t 6 1 B '(6 ) b) El mínimo pueden estar en los extremos del intervalo t 0 y t 1, y también en las soluciones de B'( t) 0. t B(0) 5 ; B(1) 6'5 ; B '( t) 1 0 t 4 B(4) 3 4 Luego, el mínimo beneicio ue de 3000 y corresponde a t 4 c) El máximo beneicio ue de 6500 y corresponde a t 1. La representación gráica de la unción es:

11 a) La gráica de la unción derivada,, de una unción es una parábola que corta al eje OX en los puntos ( 1,0) y (3,0), y tiene su vértice en (1, 4). Estudie, a partir de ella, la monotonía de la unción e indique la abscisa de cada extremo relativo. 3 b) Halle la ecuación de la recta tangente a la gráica de la unción g( x) e x en el punto de abscisa x 0 SOCIALES II RESERVA 4. EJERCICIO. OPCIÓN B a) Hacemos la representación gráica de la unción derivada. Vemos que '( x ) es positiva en el intervalo (, 1) (3, ), luego en ese intervalo ( x ) será creciente. Vemos que '( x ) es negativa en el intervalo ( 1,3), luego en ese intervalo ( x ) será decreciente. (, 1) ( 1,3) (3, ) Signo ' + + Función C D C b) La recta tangente en x 0 es y g(0) g '(0) ( x 0) Máximo x 1 mínimo x 3 g(0) g x e g 3 '( ) 6 x '(0) 6 Sustituyendo en la ecuación, tenemos, y 6 ( x 0) y 6x

12 4x a) Halle el dominio, los puntos de corte con los ejes, y las asíntotas de la unción ( x) x 1 b) Halle los intervalos de monotonía, los extremos relativos, los intervalos de curvatura y los 3 puntos de inlexión de la unción g( x) x 3x 3x. SOCIALES II SEPTIEMBRE. EJERCICIO. OPCIÓN A a) El dominio de la unción (x) es Asíntotas Verticales: 1 x. 1 4x 4 Asíntotas Horizontales: lim ( x) lim y x x x 1 Asíntota Oblicua: No tiene Corte eje X y 0 4x 0 x 0 (0, 0) Corte eje Y x 0 y 0 (0, 0) b) Calculamos la primera derivada y la igualamos a cero. g x x x x '( ) (, 1) ( 1, ) Signo g ' + + Función C C La unción es creciente en su dominio. No tiene máximos ni mínimos. Calculamos la segunda derivada y la igualamos a cero. g ''( x) 6x 6 0 x 1 (, 1) ( 1, ) Signo g + Función Cn Cx La unción es cóncava en (, 1) y convexa en ( 1, ). Su punto de inlexión es ( 1, 1)

13 x x si x 3 4 Sea la unción ( x) a 4 si x x a) Halle el valor de a para que dicha unción sea continua y estudie la derivabilidad de para ese valor de a. b) Para a 1, existe alguna asíntota vertical de esa unción? Y horizontal?. Razone las respuestas y calcule, en caso airmativo, dichas asíntotas. SOCIALES II SEPTIEMBRE. EJERCICIO. OPCIÓN B a) a lim ( x) lim ( x) 4 a 4 a a x x lim x 3x 4 x lim 4 4 x x Calculamos la unción derivada: x 3 si x '( x) 4 si x x y como: '( ) 1 '( ) '( ) Es derivable en x '( ) 1 Luego, la unción es derivable en. 1 b) La unción x 3x 4 es polinómica, por lo tanto, no tiene asíntotas. La unción 4, tendría x una asíntota vertical en x 0, pero está uera de su dominio. Tiene una asíntota horizontal Asíntota Horizontal: 1 1 lim ( x) lim y 4 x x x